Estudo de um modelo do úcleo do deuteão Goçalo Oliveia º 5789 Pedo Ricate º 578 Física Quâtica da Matéia Istituto Sueio Técico Maio, 8 Resumo Cosidea-se um modelo simles aa o úcleo do deuteão, ode a iteacção ete o otão e o eutão é descita o um oço de otecial Estuda-se as soluções da fução de oda aa cetos valoes de eegia de ligação, ofudidade e lagua do oço de otecial Itodução Queemos estuda um modelo aoximado aa a iteacção ete um otão e um eutão Esta aeas deede da distâcia ete os dois e é dada o um oço de otecial de ofudidade V e lagua a Desevolvimeto do Poblema Paa desceve este sistema atimos do hamiltoiao geal: ˆ ˆ H + + V ( m m em que os ídices e são elativos ao otão e ao eutão, esectivamete Dado que o otecial aeas deede da seaação das atículas,, é coveiete mudamos aa as coodeadas do ceto de massa e da seaação Temos etão: m m + m RCM R + m CM m m m + + m RCM m + m mm Se defiimos M m + m e µ m + m vemos que o hamiltoiao do sistema se ode esceve da seguite foma: ˆ ˆ CM H + + V ( M µ sedo ˆCM o mometo do ceto de massa e ˆ o mometo elativo ao mesmo A equação aos valoes óios deste hamiltoiao é H Ψ E Ψ Como o otecial é ideedete das coodeadas do ceto de massa, ode-se usa o método de seaação de vaiáveis a ossa fução de oda: Ψ ( RCM, Φ( RCM ψ ( Substituido a equação aos valoes óios e eodeado os temos obtemos: ˆ + V ( Φ ψ ( E El Φψ µ ε ode E é a eegia total e E l é a eegia de taslação do ceto de massa Como vamos estuda o caso em que l, a eegia de otação é ula Desta foma a eegia total - E - é dada ela soma da eegia de taslação do ceto de massa - E l - e da eegia de ligação - ε Como os oeadoes desta equação se alicam à fução ψ, odemos multilica tudo * o Φ e itega as coodeadas do ceto de massa, ficado com: ˆ * * + V ( ψ Φ Φ dv εψ Φ Φ dv µ ˆ + V ( ψ εψ µ H s ode defiimos um ovo hamiltoiao H s que só tem em cota o movimeto elativo ao ceto de massa A equação aos valoes óios é: ħ H sψ εψ ψ + V ( ψ εψ µ
Devido à simetia do oblema queemos esolve esta equação em coodeadas esféicas Paa tal temos que covete o lalaciao de coodeadas catesiaas aa coodeadas esféicas L + + + x y z ħ em que: 1 L ħ + cotθ + θ θ si θ ϕ Aós a mudaça de coodeadas, a equação dos valoes óios fica: ħ L + ψ V ( ψ εψ + µ ħ Como já foi dito vamos estuda o caso em que l, o isso a equação aos valoes óios simlifica-se: ψ ψ µ + ( V ( ε ψ ħ Tedo em cota que o otecial é da foma: V, < a V (, > a vamos defii duas quatidades aa facilita a esolução da ossa equação difeecial: µ κ ε ħ µ q ( V + ε ħ Como queemos modela um deuteão tem que existi um estado estável, o que imlica que V < ε < Resulta etão que κ > κ eal e q < q i q Voltado à equação difeecial (cosideado já a foma do otecial temos: d ψ dψ + b ψ d d em que b κ aa < a e b q aa > a Se fizemos uma mudaça de vaiáveis coveiete aa a esolução da equação difeecial: ρ ρ b b φ ρψ φ ψ ρ Vemos que: ψ b φ b φ b φ + 3 ρ ρ ρ ρ ρ ψ b b φ φ + 3 ρ ρ ρ e a equação difeecial simlifica-se aa φ φ ρ A solução desta equação difeecial é da foma: ρ ρ φ( ρ Ae + Be que voltado às coodeadas ateioes os dá: 1 b b ψ ( ( Ae + Be Temos agoa que aalisa esta solução aa os dois valoes de b, ou seja, aa as duas egiões do oço de otecial: (I < a : b q <, logo b i q A solução fica do tio: A ψ I ( si ( q C Excluiu-se a solução cos( q, ois se esta solução fosse icluída a fução de oda exlodia a oigem e ão seia omalizável (II > a : b κ >, logo b κ Paa que a fução seja omalizável etão a solução é do tio: B κ ψ II ( e Excluiu-se a solução com exoecial ositiva, ois como é óbvio se esta fosse icluída a fuçao de oda ão seia omalizável A fução de oda tem que se cotíua e difeeciável em todo o seu domíio e em aticula a tasição dos dois amos da fução: ψ I ( a ψ II ( a dψ I d Daqui decoe que: A si a q A cos a dψ II d a a ( q a ( q a B e a κ a κ B e a κ a
Assim as vaiáveis odem elacioa-se o: B Asi( q a e κa e a fução de oda em todo o domíio de fica: A si ( q, < a ψ ( A κ ( si ( a q a e, c c ode a costate A é obtida atavés da omalização da fução de oda Pegado as elações de foteia e dividido uma equação ela outa obtemos a seguite exessão: cot ( q a κ q Mudamos de vaiáveis aa: y q a λ a ( κ q e obtemos a equação de estados ligados: λ y cot ( y y As soluções desta equação vão se obtidas gaficamete, atavés das itesecções dos dois gáficos Cada itesecção coesode a um estado ligado Cofome os aâmetos de ε V e a, o º de estados ligados ossíveis aa o sistema vai vaia 1 5-5 6 8 1 Soluções obtidas aa váios valoes de λ Se λ < ão existe solução da equação Os aâmetos escolhidos ão emitem a existêcia de um estado ligado do deuteão λ é o valo míimo aa a existêcia de um estado ligado Se λ > temos uma ou mais soluções Discussão das Pegutas Poostas a Detemie gaficamete a eegia ε de ligação do deuteão e a elação ete V e a o limite em que ε Calcule esse limite V, tomado a 16 fm Paa detemia gaficamete ε, um dos métodos ossíveis é veifica qual o valo da abcissa, y, aa o qual se dá a itesecção dos i gáficos Obtido este valo, ivete-se a fómula do y aa sabe ε em fução de a, V e y i : µ a yi ( V + ε ħ ħ y ε V µ i a Note-se que ode existi mais do que uma itesecção dos gáficos, ou mesmo ehuma Caso os gáficos ão se itesectem sigifica que os aâmetos adotados aa V e a ão são comatíveis com a existêcia de um estado estável do deuteão Se o outo lado tivemos mais do que uma itesecção ete os dois gáficos, sigifica que aeas V e a ão são suficietes aa detemia a eegia de ligação, ois existião váios valoes ossíveis aa ε No limite em que ε vemos que κ e q µ V Assim: ħ κ cot ( q a q elo que as iteceções se dão aa: ( + 1 q a Substituido q, eodeado os temos e tedo em cota que ε, obtemos o fim: V ( + ħ 1 1 8µ a Se a 16 fm etão o alicação desta fómula aa temos 1 V 68 1 J, ou seja, V MeV Aida que este seja um modelo bastate simlificado aa a foça fote, odemos costata que esta foça causa uma difeeça de otecial muito gade ete o ceto do úcleo e o exteio
b Sedo ε 6MeV detemie como estão costagidos V e a A eegia de ligação emite cohece em detalhe o otecial uclea? Pela fómula: λ y cot( y y vemos que y tem que esta comeedido o itevalo ], λ ] Temos etão: a a < y λ < µ ( V + ε µ V ħ ħ Aalisado as duas desigualdades vemos que V < ε, que são codições esseciais aa a existêcia de estados ligados, mas que ada os dizem sobe a Coclui-se aeas que a eegia do fudo do oço de otecial tem obigatoiamete que se mais baixa que a eegia de ligação (este caso V < 6 MeV Paa cohece o otecial uclea em detalhe ão é suficiete cohece a eegia de ligação, ois esta ada diz elativamete à lagua do oço de otecial c Reesete gaficamete a fução de oda do deuteão e a esectiva desidade de obabilidade aa o estado S Como estamos a estuda o estado s (l, a fução de oda do deuteão ão vai aeseta deedêcia agula Seá assim uma fução com simetia esféica, aeas deedete de a distâcia ete o eutão e o otão Aesetamos as fuções de oda dos imeios estados ligados e as esectivas obabilidades: ψ ( aa o imeio estado ligado ψ ( aa o segudo estado ligado ψ ( aa o segudo estado ligado ψ ( aa o teceio estado ligado ψ ( aa o imeio estado ligado ψ ( aa o teceio estado ligado
Bibliogafia: Itoductio to Quatum Mechaics, David J Giffiths, Secod Editio, Petice Hall; Quatum Physics, Stehe Gasioowicz, Thid Editio, Wiley