(9) 5- O ELIE RESOLVE IME ISCURSIVS MEMÁIC MEMÁIC QUESÃO Cosidr log a 4, com a úmros rais positivos. trmi o valor d m, úmro ral, para qu a quação m 8 log 8 log ( ) m x x a mx a tha três raízs m progrssão aritmética. mos qu, sdo a rais positivos: 4 log a 4 a a a ou a ssim, sgu qu: m m log a mlog m log ( a) mlog m Rscrvdo tão a quação poliomial dada, tmos: x x m m x m x x m x m 8 8 8 8 S as raízs stão m P d razão r, podmos scrvê-las como: P r,, r Impodo agora as rlaçõs d Girard, vm qu: 8 rr 8 m 8 rrrr m8 m rr m 8 r m 8 r m a primira quação otmos 6. Sustituido as outras duas: Sustituido r m 6 r m8 m 66 r m 6 r r d uma quação a outra, vm qu: m 6 m m 96 QUESÃO Cosidr a, c úmros itiros a c. trmi o(s) valor(s) d x, y z, qu satisaçam o sistma d quaçõs ax y cz ac ax 4y ac y cz xyz Em rlação às três primiras quaçõs, tmos: ax y cz ac ax y cz ac ax 4y ac ax 4y ac y cz cz y ividido a sguda quação por 4, tmos: ax y ac ax y y ac ac ax 4y ac ax y 4 4 4 cz y cz y Somado a primira quação à sguda, vm qu: ax y ac ax ac 7 ax ac y ac 4 4 cz ac cz y Como a, c são úmros itiros positivos, m particular são ão ulos, d modo qu podmos scrvr: x c y ac z a Sustituido agora a última quação do sistma origial, sgu qu: xyz ac c ac a ac Como a, c são úmros positivos, dscartamos a possiilidad gativa, icamos com: atoração m primos d é ac 6 Como a c, a úica possiilidad é: Portato: a c 6 x c 6 y ac 6 z a x 67 y 8 z QUESÃO Cosidr a matriz. Sja a matriz, com úmros itiros. trmi a soma, m ução d, dos quatro lmtos da matriz. x Uma matriz da orma M tm a propridad d qu: x M, para todo itiro positivo. Vamos dmostrar tal ato por idução iita sor : Para, tmos: x x M M, o qu garat a validad da airmação para.
(9) 5- O ELIE RESOLVE IME ISCURSIVS MEMÁIC Supoha agora qu a igualdad sja válida para p, isto é: p p x M. Para p, tmos: p p px x x px p x M M M, ou sja, a igualdad é válida para p. ssim, plo Pricípio da Idução Fiita, mostramos qu a igualdad é válida para todo itiro positivo. partir disso, m rlação à matriz dada, tmos qu: matriz pod sr costruída como: soma vm a sr a soma dos primiros trmos d uma progrssão gométrica d primiro trmo razão. Fazmos: Já a soma S pod sr calculada da sguit maira: S S S S Fazdo a primira quação mos a sguda, mmro a mmro, vm qu: S 4 S S soma tr parêtss corrspod à soma dos primiros trmos d uma progrssão gométrica d primiro trmo razão. ssim: S S Fialmt, a soma das quatro tradas da matriz, m ução d, pod sr xprssa por: QUESÃO 4 45 Cosidr P tg, com 8 rprstado o produto dos trmos dsd até, sdo úmros itiros. trmi o(s) valor(s) d m, úmro ral, qu satisaça(m) a quação P m. Rlmrado a soma d tagts: s s scosscos s tgtg cos cos coscos coscos mos qu: s 4 8 tg tg tg 8 4 8 cos cos 4 8 45 45 s s 8 8 8 9 s s 8 8 Portato, o produto dos 46 ators pdido é: 45 s 45 8 P 9 s 8 45 46 47 s s s 8 8 8 9 89 88 s s s 8 8 8 88 89 9 s s 8 s 8 8 47 46 45 s 8 s s 8 8 Osrv qu o umrador da primira ração é o domiador da última ração, o umrador da sguda ração é o domiador da púltima ração, assim por diat. alogamt, o domiador da primira ração é o umrador da última, o domiador da sguda é o umrador da púltima, assim por diat. ssim, como o úmro d ators é par (caso cotrário o ator ctral ão sria caclado), todos os sos s caclam, icamos com 46 ators iguais a m multiplicação. Portato: 46 P m QUESÃO 5 Cosidr, Z Z, complxos qu satisazm a quação x px q, od p q são úmros rais dirts d zro. Sa-s qu os módulos d Z Z são iguais qu a dirça tr os sus argumtos val, od é dirt d zro. trmi o valor d cos m ução d p q. Como os coicits da quação x px q são todos rais, sgu qu Z é raiz da quação s somt s Z (cojugado d Z ) é raiz. Portato, dvmos tr Z Z. Sdo úmros complxos d msmo argumto, podmos dotá-los por:
(9) 5- O ELIE RESOLVE IME ISCURSIVS MEMÁIC Z cosi s Z cos i s cosi s MH EM MH EM L ( EM) G C G L G MH () I acordo com o uciado, a dirça tr sus argumtos é. ssim: Podmos rscrvr Z Z como: Podmos otar tamém, plo torma udamtal, qu E ~ G. Logo: E ( EM) ( EM) (( ) ( )) G G G. m( ) ( ) ( m ) G ( EM) G ( EM) ( II) m( ) m Z cos i s Z cos i s Usado agora as rlaçõs d soma produto para a quação, sgu qu: p ZZ q Z Z cos i s cos i s p cos i s cos i s q cos p p cos cos i s q q Sustituido I m II: L ( EM) MH ( EM) ( m ) ml MH. m ( m ) QUESÃO 7 Cosidr um círculo com ctro C, a origm, raio. Ess círculo itrcpta o ixo das ascissas os potos, sdo a ascissa d mor do qu a ascissa d. Cosidr P Q, dois potos dss círculo, com ordadas maiors ou iguais a zro. O âgulo ormado tr o sgmto CP CQ val rd. trmi a quação do lugar gométrico dscrito plo poto d itrsção dos sgmtos P Q itros ao círculo. Na igura aaixo, sjam os âgulos Q ( x,) a projção d E sor o ixo y: y Q P. Sja aida, E(x,y ) P ssim: p p cos 4 cos p 4 q QUESÃO 6 Cosidr um triâgulo C com lado C igual a L. São dados um poto sor o lado um poto E sor o lado C, d modo qu EC sjam válidas as rlaçõs m, com m>. Plo poto médio E do sgmto E, domiado M, traça-s uma rta paralla ao lado C, itrcptado o lado o poto F o lado C o poto H. Calcul o comprimto do sgmto MH, m ução d m L. Sgu a ilustração da situação dscrita o uciado. 6º (-,) C (,) x y Sdo Q, tmos: QC F M E H G alogamt, como P, tmos: PC o arco, tmos: 6º 8º 6º C L raçado G parallo a E, podmos otar qu GH ~ EMH. Logo sgu qu: aí: y y E tg x y x y x y E tg6º x x
(9) 5- O ELIE RESOLVE IME ISCURSIVS MEMÁIC y x y x x y y xy + y 4 x y x x xy y 4y x 4 4 4 y 4 y x 4 6, y x y Logo, o lugar gométrico é o arco d circurêcia com ctro m,, raio 4 comprdido tr acima do ixo x: y x ac y g dh Somado mmro a mmro, tmos: x y a c g dh x y Por outro lado, plo torma d it: dt dt dt dtdt dt 5 x 4 5 xy 96 xy 5 4 y partir disso, tmos: Como x y x y x x ou xy y y, icamos com: x y ) Para dtrmiar a matriz, usamos a associatividad o produto d matrizs: (-,) QUESÃO 8 São dadas duas matrizs tais qu 5 5 C x 4 4 y, (,) com x y rais x y. trmi: a) o(s) valor(s) d x y; ) as matrizs qu satisazm as quaçõs aprstadas. Façamos: a) mos qu: a c d g. h a 5 a g a h c d g h 5 c dg c dh a x 4 ac d g h c d 4 y ag ch g dh a diagoal pricipal do produto a g 5 c dh 5 Somado mmro a mmro, tmos:, vm qu: a c g dh 55 a diagoal pricipal do produto, vm qu: a 4 5 a c d 4 5 c d a4 4a 5ac 5d c 4d 4c d a5 c 5d a 4 5ac 5a4c 4a 5d 4a5d c 4d a5c a5 c 4d 4c d 5d 4c 5d Usado a rgra d Cramr as duas primiras quaçõs para xprssar a m ução d c d, tmos: c 4 d 5 5c 4d 4d 5c a 5 4 5a4 c 4 5 4a5 d 5 c 4 d 5d 4c 4c 5d 5 4 4 5 Por sustituição dirta, vriica-s qu ssas xprssõs satisazm tamém as outras duas quaçõs do sistma. ssim: Para costruir a matriz, azmos: 4d 5c 4c 5d c d, d modo qu prcisarmos costruir a matriz ivrsa d. Fazmos: 4d 5c 4c 5d 4d cd 4c dt d c 4
(9) 5- O ELIE RESOLVE IME ISCURSIVS MEMÁIC vmos impor, iclusiv, como codição para a xistêcia dssa ivrsa, qu: 5 dt 4d cd 4c d c 4 a c matriz dos coators ' é dada por: d c ' 4c 5d 4d 5c E F G matriz adjuta é dada por: E a ivrsa 5d 4c d ' 4d 5c c é dada por: C 5d 4c d dt 4d cd 4c 4d 5c c d 5d 4c 4d cd 4c c 4d 5c Fialmt, tmos: d 5d 4c 5 4d cd 4c c 4d 5c 5 d 54c 496d 5c 4d cd 4c 54d c 5d 46c d 77c 48d 75c 7d 5cd 7c 77d 55c 75d c Em suma, a rsposta para o itm () sria: com 4d 5c 4c 5d c d, d 77c 48d 75c 7d 5cd 7c 77d 55c 75d c c 5, d c d 4 QUESÃO 9 Cosidr um ttradro rgular C um plao, olíquo à as C. s arstas, C, dss ttradro são sccioadas, por st plao, os potos E, F G, rspctivamt. O poto é a itrsção da altura do ttradro, corrspodt ao vértic, com o plao. trmi o valor d sado qu. E F G 6 Sjam: E a, F G c, a situação dscrita stá ilustrada a sguir: Plo uciado: () a c 6 No sistma cartsiao tridimsioal (xyz), coloqumos o poto a origm a as C paralla ao plao xy. Como mostram as iguras aaixo, podmos costruir o triâgulo C sor o plao xy: ' Com tal costrução, samos qu: (,,) ; x x ' C' ' C ' ' é quilátro é su arictro, logo: x' x' xc' x x' x' xc' () alogamt, y y y () Qurmos calcular, tão, C, d lado. omado um cort latral: C ' ' C' ' x z, qu é a altura da pirâmid z ' C' y 5
(9) 5- O ELIE RESOLVE IME ISCURSIVS MEMÁIC E a E' ' H Sm prda d gralidad, assumimos qu E stá aaixo do plao xy. Por smlhaça d triâgulos (lmrado qu EH E ' ): EH E E ' a ' ' ' aí, por divisão d sgmto (dividimos E ' com o poto, lmrado qu xe' xe ): E ' a ( x xe' ) a ( xe) a ' ( x x ) ( x ) F' F ' ' ' xe x' a c G' G C' ze xe ye ze xe y a a a E zf xf yf zf xf yf zg xg y G zg xg yg c c c Somado sustituido () (4): ze zf zg xe xf xg ye yf y G a c a c a c ze zf z G a c Sustituido m (6): z 6 6 Para cotrar a altura da pirâmid, val lmrar qu a mdida d ' é dois trços da altura do triâgulo quilátro C d lado (lmrado qu é o arictro), ou sja, ' é arsta do ttradro d arsta : (7) ' alogamt: xf x' xg xc' c Somado: xe xf xg x' x' xc' Pla q (), x' x' xc', tão: a c xe xf x G (4) a c ' Para y tmos aalogia: ye yf y G (5) a c Novamt por smlhaça d triâgulos: H E ( z zh) a ( z ze) a ' ( z z ) ( z ) ze z a a alogamt: zf zg z z c c Somado: ze zf zg z a c a c Sustituido (): ze zf zg z (6) a c 6 Sja z x y a quação do plao cotdo E, F, G, aplicamos para o poto =(,,): z x y Logo, o plao é dscrito por: z x y 6 ' ' Sustituido (7): QUESÃO Cosidr a sguit diição: 6 6 6 dois potos P Q, d coordadas (x P, y P ) (x Q, y Q ), rspctivamt, possum coordadas m comum s somt s x P x Q ou y P y Q ado o cojuto S {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)}. trmi quatas uçõs ijtoras : S S xistm, tais qu para todos os potos P Q prtcts ao cojuto S, (P) (Q) possum coordadas m comum s somt s P Q possum coordadas m comum. Vamos rprstar os ov potos do cojuto S o plao cartsiao: ssim, aplicamos aos potos E, F G dividimos por a, c, rspctivamt: 6
(9) 5- O ELIE RESOLVE IME ISCURSIVS MEMÁIC Comçamos scolhdo um lmto qualqur d S, por xmplo o poto (,), psado qual sria a imagm dl pla ução. Ora, tmos: 9 possiilidads. Por xmplo, supoha qu a scolha da imagm sja o poto (,): Psmos agora a rspito da imagm do poto (,). Como é um poto qu possui uma coordada m comum com (,), sua imagm tamém dv possuir uma coordada m comum com a imagm do (,), isto é, sua imagm dv star a msma liha ou a msma colua qu a imagm do (,). Para tato, tmos: 4 possiilidads. Por xmplo, supoha qu a scolha sja o poto (,): Psmos agora a rspito da imagm do poto (,). Como l tm uma coordada m comum com os potos (,) (,), sua imagm dv star a msma liha ou colua qu a imagm do poto (,), tamém a msma liha ou colua da imagm do poto (,). Essas rstriçõs jutas acaam impodo uma úica possiilidad para a imagm do poto (,), qu o osso xmplo tm qu sr o poto (,): modo aálogo, as dmais imags stão todas dtrmiadas, sdo:,,,,,, Psmos agora a rspito da imagm do poto (,). Ela dv possuir uma coordada m comum com a imagm do poto (,) tamém uma coordada m comum com a imagm do poto (,). úica maira d odcr a amas as rstriçõs é colocar tal imagm a liha ou colua dtrmiada plas outras duas imags. Caso cotrário, alguma das duas imags atriors ão tria uma coordada m comum com ssa imagm. No caso do xmplo qu stamos dsvolvdo, tm qu sr o poto (,):,,,,,, gora psmos a rspito da imagm do poto (,). Novamt como l compartilha uma coordada com o poto (,), sua imagm dv star a msma liha ou colua qu a imagm do (,). Not qu só soraram duas opçõs, a liha ou colua qu ão oi prchida atriormt. ssim, tmos:,,,,,, possiilidads. Por xmplo, supoha qu a scolha sja o poto (,): Portato, o úmro d ijçõs : S S é dado por: 9 4 7 ijçõs utomaticamt, sora apas uma possiilidad para a imagm do poto (,), qu tm sr (,): 7
(9) 5- O ELIE RESOLVE IME ISCURSIVS MEMÁIC Equip dsta rsolução Matmática arcy Garil ugusto d Camargo Cuha Flip Eoli Sotorilli Rodrigo do Carmo Silva Viício Mrço Poltroiri Rvisão ailo José d Lima Edso Villa Gadm Elil arosa da Silva Faiao Goçalvs Lops Marclo uart Rodrigus Ccchio Zaai igitação, iagramação Pulicação lla Moura Eduardo ixira yiama 8