1. (lterntiv D) Cinco volts n prç correspondem 5 = 0 ldos do qudrdo. Sueli ciu qundo fltvm 7 pr completr esse percurso, ou sej, depois de percorrer 5 5 100 98 1 = do trjeto totl. Isto equivle 0 = = + = 1 + ldos do qudrdo. 7 7 7 7 7 7 7 Como 1 = +, el deu volts complets n prç e ndou mis ldos, o que levou o ponto C. Depois disso el ind ndou 7 de um ldo; como 7 é menor que 1, el não chegou o próximo vértice do qudrdo. Logo el ciu no ponto D.. (lterntiv E) Vmos usr o símbolo pr indicr proximdmente igul ; ou sej, x y quer dizer que x é proximdmente igul y. Por exemplo, 0,899 0, 9 e 0,101 0,1. Em gerl, se em um operção ritmétic trocmos os números envolvidos por outros proximdmente iguis eles, o resultdo d operção deve ser um proximção do que terímos obtido com os números originis. No nosso cso, temos (0,899 0,101 ) 0,5 (0,9 0,1 ) 0,5 = (0,81 0,01) 0,5 = 0,8 0,5 = 0,. Outr mneir de resolver est questão é usr identidde b = ( b)( + b) pr escrever (0,899 0,101 ) 0,5 = (0,899 + 0,101)(0,899 0,101) 0,5 (0,9 + 0,1) (0,9 0,1) 0,5 = 1 0,8 0,5 = 0,. (lterntiv C) Como x = y = z temos xyz = ( z)(z) z = z, donde z = 86. 86 Logo z = = 16, e segue que z = 16 6 =. Obtemos então x+ y+ z = z+ z+ z = 5z = 5 6= 0.. (lterntiv B) Como o hexágono é regulr, sus digonis são iguis. Logo o triângulo ACE d figur I é equilátero, e segue que CÂE = 60 o. Além disso, como AD é um dos eixos de simetri do hexágono, o triângulo APQ é isósceles; como ele já tem um ângulo de 60 o segue que ele é equilátero. B O mesmo rciocínio mostr que o triângulo FRP tmbém é equilátero. Como o hexágono tem outro eixo de simetri que pss por P, os triângulos APQ e FRP são congruentes; como mbos são equiláteros todos os seus ldos são iguis, e em prticulr temos PQ = FP. Assim,
os triângulos AFP e APQ têm bses iguis e mesm ltur, que denotmos por h n figur II. Denotemos gor por áre do triângulo APQ; temos então 1 1 = áre( APQ) = PQ h = FP h = áre( AFP). Isso mostr que n figur III o hexágono está dividido em 18 triângulos de áre ; segue que 18 = 5, donde 5 = =,5 cm. 18 5. (lterntiv D) As instruções dizem que ovos e creme não podem estr juntos no bolo, bem como leite e lrnj; isso elimin s opções (B), (C) e (E). Els dizem tmbém que um bolo sem creme não pode ter leite, o que elimin opção (A) 6. (lterntiv D) A primeir etp d vigem do José só pode ter sido C E ou E C, pois + 9 = 1 é o único modo de percorrer 1 km entre ciddes ness estrd. Como tods s ciddes distm de C menos que 1 km, o percurso inicil foi C E. Percorrendo 1 km prtir de E levou José à cidde A e mis 1 km o levm à cidde D, que é onde mor su mãe. 7. (lterntiv A) Como os triângulos sombredos são congruentes, os segmentos AP e PC d figur medem mbos 1 cm. Logo os ctetos do triângulo ABC medem 1 cm e cm, e o teorem de Pitágors nos diz que AB = 1 + = 5. Segue que AB = 5 cm, donde o perímetro do triângulo ABC é 1+ + 5 = + 5cm. 8. (lterntiv A) Se o peso de um turmlin é o dobro do peso de outr, então seu peso é cinco vezes o preço d outr; isto equivle dizer que se um turmlin pes metde de outr, então seu preço é um quinto do preço d outr. Zit dividiu su turmlin em pedrs iguis, o que equivle primeiro dividí-l em turmlins iguis e depois dividir cd um desss em tmbém iguis. No primeiro psso, Zit ficrá com turmlins cd um de 1000 vlor = 00 reis. Depois do segundo psso, Zit terá turmlins, cd um vlendo 5 00 = 0 reis; esss turmlins junts vlem 0 = 160 reis. 5 Podemos esquemtizr solução d seguinte form, mostrndo como clculr o preço de um ds qutro turmlins menores: peso 1 peso 1 peso inicil do peso inicil do peso inicil vlor 5 vlor 5 vlor: 1000 vlor: 1000 5=00 vlor: 00 5=0
9. (lterntiv C) Usndo o ldo de um dos qudrdinhos do qudriculdo como unidde de comprimento, contgem diret n figur nos dá s áres e perímetros dos polígonos, conforme tbel bixo. polígono perímetro áre (em ) (em ) I 0 5 5 = 5 II 0 5 = III 0 5 7 = 18 IV 5 7 = 18 Desse modo, correspondênci é I (0,5), II (0,), III (0,18) e IV (,0). Os pontos correspondentes I e II têm mesm bsciss (perímetro), logo estão n mesm verticl no plno crtesino; como o ponto correspondente I tem ordend (áre) mior, ele é o que está mis cim, e segue que pr estes pontos correspondênci corret é I C e II B. Por outro ldo, os pontos correspondentes III e IV têm mesm ordend (áre), logo estão n mesm horizontl no plno crtesino; como o ponto correspondente IV tem bsciss (perímetro) mior, ele está mis à direit. Segue que pr esses pontos correspondênci corret é III D e IV A. 10. (lterntiv D) Consideremos s circunferêncis que determinm os dois semicírculos, como n figur. O segmento AD é um diâmetro d circunferênci mior e BC um diâmetro d menor. O centro d circunferênci menor é o ponto médio O de BC; como AB = CD esse ponto tmbém é ponto médio do segmento AD, ou sej, ele tmbém é o centro d circunferênci mior. Vmos denotr por r o rio d circunferênci menor; então o rio d mior é r + 1. Como o perímetro de um circunferênci é π rio, segue que primeir formiguinh ndou π(r + 1) cm e segund 1+ π r+ 1 = + π r cm. Logo diferenç entre os percursos é π ( r+ 1) ( + πr) = πr+ π πr = π cm. 11. (lterntiv B) Mnuel pode começr pintndo um ds predes de zul. Depois disso, sobrm escolhs de cor pr prede opost (verde ou brnco). Pr cbr, el pode pintr um ds predes ind não pintds com um ds cores não usds, e então pintr últim prede com cor que flt. O número de mneirs diferentes de efetur esse procedimento é = 16. 1. (lterntiv C) Vmos denotr por x o outro número. Como os números que precem em cd linh são todos diferentes, x é diferente de 5 e de 8. Como cd número prece um únic vez em cd linh, segue que esses números precem, cd um, extmente três vezes n tbel. Notmos que o 5 não pode precer n cs centrl. De fto, se ele estivesse ness cs então s css em cinz d tbel bixo não poderim conter outro 5; como os números em cd
linh são diferentes, únic possibilidde pr os outros dois números 5 seri preencher um ds dus digonis, o que não pode contecer pois 5 + 5 + 5 = 15 é ímpr. 5 5 5 5 ou 5 5 5 Vmos então tentr o 8 n cs centrl. Anlogmente, teremos que ter 8 em um ds digonis: 8 8 8 8 ou 8 8 8 Escolhendo primeir opção, podemos preencher o tbuleiro ds seguintes forms: ou 8 8 5 8 5 x 8 8 5 x 8 5 8 5 8 5 x 8 8 8 x 8 x 5 8 8 x 5 8 x 8 x 8 x 5 8 Pr stisfzer tods s condições do problem, s soms ns digonis devem ser iguis. Em mbs s forms cim isso lev = 5 + 8 + x = 1+ x, donde x = 11e os tbuleiros cim são 8 5 11 8 11 5 11 8 5 ou 5 8 11 5 11 8 11 5 8 A outr opção lev um resultdo nálogo, e vemos que em qulquer cso som ds digonis é. Rest ind nlisr o cso em que o x está n cs centrl. Como ntes, devemos ter um ds dus digonis preenchid com x: x x x ou x x x x Escolhendo primeir opção, podemos preencher o tbuleiro ds seguintes forms: x x 5 x 5 8 x x 5 8 x 5 x 5 x 5 8 x
ou x x 8 x 8 5 x x 8 5 x 8 x 8 x 8 5 x Ambs mostrm que x = 5+ x+ 8= 1+ x, donde x = 1. A segund opção lev à mesm equção; como el não tem solução pr x nturl, concluímos que x não pode estr n cs centrl. 1. (lterntiv E) Pr resolver ess questão, precismos sber qul é áre cobert de cd um dos três qudrdos de centros A, B e C. Pr isso, vmos considerr figur o ldo, onde representmos os qudrdos de centros A e B. A áre cobert no qudrdo de centro A é o polígono sombredo AQRT. Pelo ponto A trçmos s perpendiculres AP e AS os ldos do qudrdo. Como A é o centro do qudrdo, é imedito que APRS é um qudrdo; su áre é 1 d áre do qudrdo mior, ou sej, é 1 100 5 = cm. Além disso os ângulos PÂQ e SÂT, mrcdos n figur, são iguis; de fto, temos o PÂQ = PÂS QÂS = 90 QÂS = QÂT QÂS = SÂT. Segue que os triângulos APQ e AST são congruentes, pois são triângulos retângulos com um ldo e um ângulo comuns. Logo áre( AQRT ) = áre( AST ) + áre( AQRS) = áre( APQ) + áre( AQRS) = áre( APRS) = 5cm Do mesmo modo, s áres coberts nos qudrdos de centros B e C são iguis 5 cm. Logo áre d figur é 75 + 100 = 5 cm. 1. (lterntiv B) A decomposição de 50 em ftores primos é 50 = 5. Logo, dupl p desiguldde do enuncido pode ser escrit como ( 5 ) < 5 < ( 5 ), ou sej, 6 p 8 5 < 5 < 5. Dividindo todos os termos por 5 6 p 6, obtemos < 5 < 5, ou sej, p 6 8 < 5 < 00. As únics potêncis de 5 que estão entre 8 e 00 são 5 = 5 e 5 = 15; logo p 6 só pode ssumir os vlores e, donde p só pode ssumir os vlores 8 e 9. 15. (lterntiv E) Sej n um número de dois lgrismos, sendo seu lgrismo ds dezens e b o ds uniddes; então n= 10+ b. Se e b são mbos diferentes de zero, o contrário de n é 10b+. Desse modo, som de n e de seu contrário é. (10 + b) + (10 b+ ) = 11+ 11b= 11( + b) e portnto som de um número com seu contrário é sempre um múltiplo de 11. Bst gor notr que tods s opções são múltiplos de 11, com exceção de 181.
As outrs opções são tods soms de um número com seu contrário; de fto, = 1+ 1, 99 = 18 + 81, 11 = 9 + 9 e 165 = 69 + 96. Como form chds esss expressões? Tomemos, como exemplo, 165 = 11 15. O rciocínio inicil mostr que se escolhermos lgrismos não nulos e b de modo que su som sej 15, então 165 será som do número 10+ b e de seu contrário. Por exemplo, podemos tomr = 6 e b = 9 ; pr ess escolh obtemos expressão 165 = 69 + 96. Outrs escolhs são possíveis; por exemplo, = 8 e b = 7 lev 165 = 87 + 78. O mesmo rciocínio serve pr s outrs lterntivs. 16. (lterntiv C) O gráfico mostr que com um mistur contendo 0% de álcool o crro de Cristin rende 15 km/l. Pr primeir etp de 00 km, el gstou então 00 0 15 = litros de combustível, restndo no tnque 50 0 = 0 litros com 0% de álcool. Desses 0 litros 0 0%, ou sej, 0 = 9 litros erm de álcool e os restntes 0 9 = 1 litros, de gsolin. 100 Pr completr o tnque el colocou 0 litros de álcool; o tnque ficou então cheio com 9+ 0= 9 litros de álcool e os mesmos 1 litros de gsolin. Ness mistur o percentul de álcool er de 9 50 = 58 = 58%, que é proximdmente 60%. O gráfico mostr que com ess 100 mistur o crro de Cristin rende proximdmente 1,5 km/l. Como el chegou seu destino com o tnque prticmente vzio, el percorreu proximdmente 1,5 50 = 675 km. Logo, vigem de Cristin foi de proximdmente 00 + 675 = 975 km. 17. (lterntiv C) A flech que pont pr bixo n tbel pss pelos qudrdos dos números ímpres: 1 = 1, = 9, 5 = 5e ssim por dinte. 7 6 5 1 8 17 16 15 1 1 0 9 18 5 1 9 0 19 6 1 11 8 1 0 7 8 9 10 7 1 5 6 51 5 6 7 8 9 50 Vmos chmr de n o n-ésimo termo de noss seqüênci; por exemplo, 1 = 1, =, = 1 e = 1. Observndo tbel, vemos que
1 cs pr direit 1 cs pr cim 1 1 1 1 1 1 + = + + = = 1 cs pr direit css pr cim 1 10 1 1 + = + + = = 1 cs pr direit 5 css pr cim 5 5 + 1= 6 5 + 1+ 5= 1= e ssim por dinte. Vemos então que lei de formção d seqüênci, prtir de, é o o [1 ímpr] 1 1 ímpr = + + o o [ ímpr] 1 ímpr = + + o o [ ímpr] 1 ímpr = + + e, em gerl, = n + + n n o o [( 1) ímpr] 1 ( 1) ímpr Logo o o 0 = [9 ímpr] + 1+ 9 ímpr, e como o 9 o número ímpr é 57 segue que 0 = 57 + 1+ 57 = 07. Mis gerlmente, o n n n n n = ( ) + 1 + ( ) = 10 + 7. o ( n 1) número ímpr é ( n 1) 1 = n e segue que 18. (lterntiv B) Inicilmente notmos que função é decrescente, pois à medid que x cresce áre ( BCDP) decresce; isso elimin s lterntivs (A) e (D). Notmos tmbém que como os triângulos ACB e ACD são congruentes, sus lturs BQ e DR são iguis; vmos denotá-ls por h, como n figur. Então os triângulos BCP e DCP têm mesm bse CP e mesm ltur h, donde CP h áre ( BCP) = = áre ( DCP). Logo CP h áre ( BCDP) = áre ( BCP) + áre ( DCP) = = CP h. Vmos denotr por o comprimento d digonl AC. Então CP = x e temos áre ( BCDP) = ( x) h = h hx. Como h e h são constntes, segue que áre ( BCDP ) é um função liner de x, o que elimin s lterntivs (C) e (E). 19. (lterntiv B) Vmos denotr por u quntidde de rção que um vc come em um di. No início o fzendeiro tinh rção suficiente pr limentr 0 vcs por 0 dis; logo, ele tinh 0 0 = 600 u de rção. O gráfico indic que no di d vend ele já hvi gsto 0%
d rção, ou sej, 0 600 = 0 u. Como s 0 vcs comem 0 u de rção por di, vend 100 0 ocorreu no 1 o 0 = di. Vmos denotr por x o número de vcs que ele vendeu. Ele ficou então com 0 x vcs, e s 600 0 = 60 u de rção que ele tinh no momento d vend form suficientes pr limentr esss vcs por 6 1 = dis. Logo (0 x) = 60, donde 60 0 x = = 15, ou sej, x = 5. 0. (lterntiv E) Pr ir de A té B formiguinh tem que descer do nível 1 té o nível 6, conforme figur. O cminho que formiguinh segue é determindo pel escolh do segmento verticl que el vi usr pr pssr de um nível pr o seguinte, pois o cminho horizontl que lig dois segmentos verticis ligndo níveis consecutivos é único. Como exemplo mostrmos n figur, em trço mis forte, os segmentos que el escolheu pr fzer o cminho ilustrdo no enuncido. O número de segmentos que el pode usr pr pssr de um nível pr o outro está tbuldo seguir: 1 : segmentos 5: segmentos : segmentos 5 6: segmentos : 5 segmentos Segue que o número de mneirs que noss formiguinh tem pr ir de A té B é 5 70 =.