FORMULÁRIO Ivestimetos com Cláusulas de Correção Moetária, com pricipal e juros simples corrigidos S C i I Ivestimetos com Cláusulas de Correção Moetária, com apeas o pricipal corrigido e juros simples. Taxa de Iflação Acumulada S C i I I I I I Ivestimetos com Cláusulas de Correção Moetária, com pricipal e juros compostos corrigidos S C i I C i I Ivestimetos com Cláusulas de Correção Moetária, com apeas o pricipal corrigido e juros compostos. Aplicações em Caderetas de Poupaça S C I C i C I i S TR 0,005 00 S Empréstimos com Cláusula de Correção Moetária Plaos de correção uiforme 2 X I I I X I X j j sedo X : ˆ, ˆ, ˆ, ˆ S A R J Empréstimos com Cláusula de Correção Moetária Plaos de Correção Não-Uiforme SAC C R C i i,,, ˆ ˆ I R R,,, Iˆ 0 ˆ ˆ I S ˆ ˆ,, ˆ i S R I e ˆ ˆ ˆ ˆ A R J e ˆ I J ˆ ˆ i S. I Taxa Flutuate de Juros Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 4
, e i i i b p S i S R, para,2,..., ; com S0 C Iˆ i ib,,2,..., Iˆ Empréstimos o Sistema Fiaceiro de Habitação SAC A,0 C S,0 C J,0 i C C R,0 i A C A,,0 TR TR,,0 TR TR S S C J J C R R C i,,0 TR i TR,,0 TR TR Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 42
0.8 Exercícios Propostos ) Seja um empréstimo de R$ 600.000,00, cotratado à taxa de juros compostos de 8% a.a.c.m. e pelo prazo de 2 aos, que deve ser resgatado em 24 pagametos mesais. Supodo que ao logo dos 2 aos cosiderados, as taxas mesais de iflação, como medidas pela variação de um certo ídice de preços, tomado como idexador para fis de correção moetária, sejam as abaixo especificadas Semestre Taxa Mesal de Iflação º 0,5% 2º 0,7% 3º 0,4% 4º 0,3% mote o Quadro de Amortização do Empréstimo supodo correção moetária mesal e cosiderado : a) a Tabela Price b) o sistema SAC c) o sistema de amortização mista (f = 0,5) d) o sistema americao e) o sistema alemão Solução a) Tabela Price Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 43
b) SAC c) Misto (50%-50%) Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 44
d) Sistema Americao Capitulo 0 Resolução de Exercícios e) Sistema Alemão Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 45
2) Seja um empréstimo de R$ 300.000,00, cotratado à taxa de juros compostos de 6% a.a.c.m. e pelo prazo de 2 aos, que deve ser resgatado em pagametos mesais, o primeiro a ser pago 3 meses após a data do fiaciameto. Supodo que ao logo dos 2 aos cosiderados, as taxas mesais de iflação, como medidas pela variação de um certo ídice de preços, tomado como idexador para fis de correção moetária, sejam as abaixo especificadas Semestre Taxa Mesal de Iflação º 0,5% 2º 0,7% 3º 0,4% 4º 0,3% mote o Quadro de Amortização do Empréstimo supodo correção moetária mesal e cosiderado : a) Tabela Price b) o sistema SAC c) o sistema de amortização mista (f = 0,5) d) o sistema americao e) o sistema alemão Solução a) Tabela Price Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 46
b) SAC c) Misto Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 47
d) Sistema Americao Capitulo 0 Resolução de Exercícios e) Sistema Alemão Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 48
3) Seja um empréstimo de R$ 900.000,00, cotratado segudo a Tabela Price, pelo prazo de 2 aos e à taxa % a.a.c.m. a) Supodo que, ao logo dos 2 aos cosiderados, as taxas mesais de iflação, como medidas pela variação de um certo ídice de preços, tomado como idexador para fis de correção moetária, sejam as abaixo especificadas Semestre Taxa Mesal de Iflação º 0,3% 2º 0,5% 3º 0,4% 4º 0,5% mote o Quadro de Amortização do Empréstimo, se for especificado correção moetária mesal do saldo devedor e correção moetária aual da prestação ( com a primeira e úica, ficado efetiva somete quado do pagameto da 3ª prestação). b) Qual deve ser o valor do desembolso total, ao fim do prazo de 2 aos e por parte do tomador do empréstimo, para que a dívida seja liquidada? Solução a) Observado que, a preços da data zero 24 24 i i 0,0 0,0 R,0 C 900000 R$ 42.366,3 ;,2,...,24 24 24 i 0, 0 tem-se que, a preços corretes: R R R R... R R R$ 42.366,3,0, 2,2 3,3,, 3,3,0 R R I 42366,3, 049064 R$ 44.444, 78 3,3 4,4 5,5 23,23 24,24 R R R... R R R$ 44.444,78 S i I S R ; S R$ 900.000,00,,, 0,0 J i I S e A R J ;,2,...,24,,,,, do que decorre que se teha S24,24 R$ 30.690, Ou seja, mesmo após o pagameto da última prestação cotratual permaeceria um débito de R$ 30.690,. b) A 24ª prestação deve ser calculada de maeira a liquidar o saldo da dívida. Portato, tem-se: R i I S 0,0 0,005 74020,87 R$ 75.34,89 24,24 24 23,23 O quadro a seguir apreseta a evolução do estado da dívida, tato a preços da data do empréstimo (data zero), como a preços corretes, já cosiderado a 24ª prestação de maeira Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 49
que a dívida seja totalmete liquidada o fim do prazo de 2 aos. Note que o valor da última prestação passa a ser igual à soma 30690,+44444,78=R$ 75.34,89. 4) Recosidere o Exercício 3, supodo agora que a primeira correção aual das prestações ocorra quado do pagameto da ª prestação. Notado que, esta situação, teremos duas correções moetárias do valor da prestação, pedese: a) Costruir o Quadro de Amortização; b) Determiar o valor do desembolso total que, o fim do prazo de 2 aos, o tomador do empréstimo terá que pagar para liquidar o empréstimo. Solução a) Observado que, a preços da data zero 24 24 i i 0,0 0,0 R,0 C 900000 R$ 42.366,3 ;,2,...,24 24 24 i 0, 0 tem-se que, a preços corretes: R R R R... R R$ 42.366,3,0, 2,2 3,3,,,0 R R I 42366,3, 049064 R$ 44.444, 78, 3,3 4,4 5,5 23,23 R R R R... R R$ 44.444,78 24,24,0 24 R R I 42366,3,0735 R$ 46.905, 03 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 50
Capitulo 0 Resolução de Exercícios S i I S R ; S R$ 900.000,00,,, 0,0 J i I S e A R J ;,2,...,24,,,,, do que decorre que se teha S24,24 R$ 25.757,93 Ou seja, mesmo após o pagameto da última prestação cotratual permaece um débito de R$ 25.757,93. b) A 24ª prestação deve ser calculada de maeira a liquidar o saldo da dívida. Portato, tem-se: R i I S 0,0 0,005 7585,59 R$ 72.662,96 24,24 24 23,23 O quadro a seguir apreseta a evolução do estado da dívida, tato a preços da data do empréstimo (data zero), como a preços corretes, já cosiderado a 24ª prestação de maeira que a dívida seja totalmete liquidada o fim do prazo de 2 aos. Note que o valor da última prestação passa a ser igual à soma 25757,93+46905,03=R$ 72.662,96. 5) Supoha que a empresa Total Capital, ecessitado de levatar um empréstimo de R$ 5.000.000,00 reais, esteja cosiderado as duas seguites opções: a) sedo t 0 =,6 a taxa de câmbio em vigor, expressa em termos de R$/US$, tomar emprestado o equivalete em dolares, a praça de New Yor, devedo pagar, um ao depois, a quatia emprestada acrescida de juros à taxa aual fixa ia 5,4% a. a. ; Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 5
b) levatar o empréstimo em uma istituição brasileira que cobra a taxa aual ib,5% a. a., que icide sobre o valor moetariamete atualizado da quatia emprestada, de acordo com a taxa de variação de um dado ídice de preços I ˆB. Admita que a empresa Total Capital acredite que, para o prazo de ao, seja válida a chamada teoria da paridade do poder de compra ( purchasig power parity ), que implica em que a estimativa da taxa de câmbio t, em reais por dólar americao, seja dada pela relação. t t 0 I I A B ode I B 6,5% é a estimativa da taxa aual de variação do ídice de preços o Brasil I ˆB, e I,8% é a estimativa da taxa aual de variação de certo ídice de preços por atacado ( whole A price ídex ) americao I ˆA. Qual o maior valor da taxa de juros aual, o mercado de New Yor, para que aida seja iteressate levatar o empréstimo aquela praça? Solução Cosiderado a alterativa (a), terá que pedir um empréstimo de: C t 0 5000000,6 US$ 3.5.000,00 Tedo que pagar, o fim de um ao, a quatia de 35000 0,054 US$ 3.293.750,00 Para pagar US$ 3.293.750,00, terá que desembolsar, em reais, a quatia de: 3293750, 6 0, 065 0, 08 R$ 5.53.30,4 Levatado o empréstimo o mercado doméstico, espera pagar, o fim de ao, a quatia de: 5000000 0,5 0,065 R$ 5.937.375,00 Logo, as codições especificadas, é preferível a alterativa a. Por outro lado, cosiderado a relação de equilíbrio Veja-se, por exemplo, C. P. Kidleberger, Iteratioal Ecoomics, Irwi, Illiois, 968, pp. 474-476. Deve ser mecioado que tal teoria tem sido muito questioada, iclusive por ão levar em cota movimetos de capitais. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 52
i I A A i i I i B A A B tem-se que o maior valor de i A, tal que aida seja iteressate levatar o empréstimo a praça de New Yor, é: i A 0, 08 0,5 0,35070 ou 3,5070% a.a. 6) Seja o caso de um fiaciameto de R$ 0.000,00, cotratado pelo prazo de ao, com prestações mesais e taxa de juros de 24% a.a.c.m. Supodo que a TR fique costate e igual a % a.m. durate todo o prazo do empréstimo, pedese: a) costruir o Quadro de Amortização, a preços corretes, se for adotada a sistemática de juros flutuates, determiado a taxa aual com capitalização mesal que, em termos aparetes, foi cobrada. b) costruir o Quadro de Amortização, a preços corretes, se for adotada a sistemática do SFH, determiado a taxa aual com capitalização mesal que, em termos aparetes, foi cobrada. Solução a) Tedo em vista que a taxa mesal efetiva é 24%/=2%, temos que a taxa mesal flutuate é i 0,02 0,0 0,0302 ou 3,02% a. m.;,2,, A preços corretes, tem-se (para =, 2,...,): 0000 A, R $0.000,00 0000 R, 3 0,0302 0000 3 302 S, 0000 0000 com S 0,0 0.000 0000 J 0, 0302 302 3 e, Logo, o Quadro de Amortização, a preços corretes, é Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 53
Observação No caso particular em apreço, tato as prestações como as respectivas parcelas de juros, variam em progressão aritmética decrescete, com razão r 302. Assim, testado a validade da relação F 0000 p r 3624 302 como ela é verificada, segue-se que, em termos aparetes, a taxa mesal cobrada é: r 302 im 0,0302 ou 3,02% a. m. F 0.000 Ou seja, em termos aparetes, a taxa mesal sedo cobrada coicide com a taxa mesal costate de juros flutuates. Sedo que a taxa aual com capitalização mesal, em termos aparetes, é 3,02 36,24% b) No caso da adoção da sistemática do SFH, tem-se (para =,2,...,): 0000 R, 3 0,02 0,0 0000 3 0,02 0,0 0000 A, 0, 0 0000 0, 0 0000 S, 0,0 0000 0,0 com S 0,0 0000 e 0000 J, 0,02 0,0 200 3 0,0 Portato, teremos: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 54
Relativamete à taxa mesal aparete, que deotaremos por i, que está implícita o esquema cosiderado, lembremos que esta deve ser tal que R, i 0000 ou R,0 0,0 i 0000 ou R,0 0,0 i 0000 Por costrução, dado que a sistemática do SFH sigifica, a preços da época zero, a adoção do sistema de amortizações costates à taxa, o caso, de 2% a.m., tem-se que: R,0 0,02 0000 Por outro lado, fazedo-se i 0,02 0,0, tem-se 0,0 0,0 R,0 R,0 R,0 0 i 0,02 0,0 0,02 0000 Logo, tedo em vista a uicidade da taxa itera de retoro o caso de um projeto do tipo ivestimeto simples, segue-se que, em termos aparetes, a taxa mesal que foi cobrada é i 0,02 0,0 0,0302 ou 3,02% que coicide com a taxa mesal, costate, de juros flutuates. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 55
Caso ão tivéssemos atetado para o acima observado, teríamos que laçar mão da HP C, obtedo: [f][reg]0000[chs][g][cf 0]524[g][CF j]445.22[g][cf j]363.6[g][cf j] 279.3[g][CF j]9.72[g][cf j]0.33[g][cf j]007.92[g][cf j]9.42[g][cf j] 8.8[g][CF j]708.99[g][cf j]602.95[g][cf j]493.62[g][cf j][f][irr]3,099 Ou seja, a meos de erros de aproximação, seria cofirmada a taxa mesal aparete de 3,02%. O que implica a taxa aual, com capitalização mesal e em termos aparetes, de 3,02% 36,24% a. a. c. m. 7) Para o empréstimo de R$ 60.000,00, pelo prazo de 6 meses e à taxa de juros compostos de 2% a.m., comparar as evoluções do estado da dívida, respectivamete resultates a) da adoção do esquema de juros flutuates b) da sistemática do SFH Supoha que a TR a época, TR, ode deota o úmero de meses decorridos após a data do empréstimo (época zero), seja tal que: Solução TR %; TR2,5%; TR3 0,8%; TR4,2%; TR 5,6% e TR 6,%. a) Cosiderado o esquema de juros flutuates, sedo i a taxa de juros relativa ao -ésimo mês, isto é temos, a preços corretes: i 0,02 TR,,2,,6 60000 R, 7 i 6 A, 60000 6 0.000 60000 S, 6 0000 6 com S 0,0 0000 6 e 60000 J 6 i 0000 7 i 6, Deste modo, tomado a TR como idexador, para fis de expressar as prestações a preços da data do cotrato de fiaciameto (época zero), de tal forma que Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 56
R,0 R R,, TR TR teremos a evolução mostrada o quadro a seguir. Fazedo uso da HP C, obtemos, para a taxa mesal, em termos aparetes: [f][reg]60000[chs][g][cf 0]8[g][CF j]765[g][cf j]6.4[g][cf j] 0967.2[g][CF j]0726.4[g][cf j]03.2[g][cf j][f][irr]3,98 Ou seja, a taxa mesal, em termos aparete, cobrada o fiaciameto foi de 3,98%. Sedo que, para a determiação da taxa real, mesal, quado se cosidera a TR como deflator, tem-se: [f][reg]60000[chs][g][cf 0]695.05[g][CF j]476.37[g][cf j]0767.3[g][cf j] 0487.39[g][CF j]0095.59[g][cf j]9600.5[g][cf j][f][irr]2,0000 Ou seja, como previsto pela teoria, a taxa real, mesal, é exatamete igual à taxa especificada; isto é 2% a.m. b) Relativamete ao caso da adoção da sistemática do SFH, sedo a variação acumulada da TR os primeiros meses tem-se: e TR TR 60000 S, 6 TR 0000 6 TR, com S 0,0 60000 6 60000 A TR 0000 TR 6, 60000 J 7 0,02 TR 200 7 TR 6, Coforme mecioado a ota do rodapé da págia 484. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 57
com 60000 R 7 0,02 TR 0000 7 0,02 TR 6, R, R,0 0000 7 0, 02 TR Com a evolução de débito sedo como o Quadro a seguir. Fazedo uso da HP C, para a determiação da taxa mesal, em termos aparetes, que está implícita, temos: [f][reg]60000[chs][g][cf 0]3[g][CF j]76,65[g][cf j]60.9[g][cf j] 084,96[g][CF j]049.83[g][cf j]0956.54[g][cf j] [f][irr]3,926 Ou seja, em termos aparetes, a taxa mesal cobrada foi de 3,926%a.m.. Quato à taxa mesal, em termos reais, basta observar que o deflacioameto com base a TR, para efeito de expressar as prestações a preços da data do cotrato, meramete levou a que tivéssemos as prestações segudo o sistema de amortizações costates, calculadas à taxa de 2% a.m. Observações ) Embora, as codições cosideradas, as duas sistemáticas, em termos reais, sejam fiaceiramete equivaletes, as respectivas taxas aparetes ão são idêticas. 2) Para fis cotábeis, e isto tem importâcia para fis de apuração do lucro de pessoas jurídicas, as parcelas de juros o sistema de juros flutuates são sempre superiores às correspodetes o caso da sistemática do SFH. 8) A loja Compra Certa fiacia a aquisição de uma televisão, cujo preço à vista é R$ 6.000,00, as seguites codições: etrada de 20% do valor do preço à vista; prestações mesais, iguais e costates, a primeira vecedo-se 6 meses após a data da compra, calculadas cosiderado o regime de juros simples à taxa de 4% a.m.; precavedo-se cotra o efeito da iflação, que se estima ser da ordem de,5% a.m., ao logo de todo o prazo de fiaciameto, cobraça de um pagameto adicioal, o fim de 9 meses, de modo que se assegure a taxa real de juros compostos de 3% a.m. Pede-se determiar: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 58
a) o valor de cada uma das prestações mesais; b) o valor do pagameto fial. Solução a) Sedo cosiderado o regime de juros simples, à taxa de 4% a.m., o valor R das prestações mesais, costates e iguais, deve ser tal que, tedo em vista o diferimeto de 6 meses: 6000 0, 2 0, 046 R 0,04 ou 5952 R... 0, 04 0, 08 0, 0,6 0, 44 0, 48 5952 R R$ 67,38 9, 64070 b) Cosideradas a taxa real de juros compostos de 3%a.m., e a estimativa da taxa de,5% a.m., o valor do pagameto adicioal R, que deve ser efetuado ao fim de 9 meses, deve ser tal que satisfaça a seguite equação de valor (data focal época 9): 9 9 5 4800 0, 03 0, 05 67,38 0, 03 0, 05 R ou R, 045450, 045450, 045450 3 68, 7759 67,38, 04545 Logo R R$ 706,87 9) Nas codições do exercício 8, supoha que um dado comprador resolva liquidar seu débito o fim do 3º mês, cotado a partir da data da compra. Quato deverá ser cobrado, esta data, pela loja Compra Certa, se ão houver prestações em atraso e se tiver sido observado que: a) A taxa de iflação acumulada os primeiros 6 meses, após a data da compra, tiver sido de 7,22%; b) No -ésimo mês, após a data da compra, a taxa mesal de iflação, I, tiver evoluído como se segue: I,02% ; I 0,96% ; I,58% ; I,6% ; I,75% ; I,9% ; I 0,98%;? Solução 7 8 9 0 3 O valor do pagameto o fim do 3º mês, já icorporado o valor da prestação que aí se vece, que deotaremos por ˆR, deverá satisfazer a seguite equação de valor (data focal época 3): Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 59
3 3 4800 0, 03 0, 0722 67,38 0, 03 7 7 Logo, 3 7 I I 3 3 3 6 5 4 0, 03 I 0, 03 I 0, 03 I 8 9 0 3 3 3 2 0, 03 0, 03 0, 03 I I ˆ I3 R Rˆ R$ 2,570,29 0) Artur solicitou a Atoio um empréstimo de R$ 20.000,00, para pagar em duas prestações semestrais. Tedo sido acertada a taxa de juros de 2% a.m., e correção moetária plea somete da seguda prestação, pede-se determiar: a) O valor de cada uma das duas prestações semestrais, a preços da data do empréstimo; b) O fluxo de caixa a preços corretes, do poto de vista de Atoio, o fluxo de caixa a preços da data do empréstimo e a taxa real, mesal, de juros efetivamete obtida por Atoio, se as taxas de iflação observadas tiverem sido de 40% o primeiro semestre, passado a 60% o segudo semestre; c) Idem, se a taxa de iflação o primeiro semestre tiver sido de 60%, passado a 40% o segudo semestre; d) Comprove que, embora em ambos os casos, teha-se o mesmo fluxo de caixa a preços corretes, temos distitas taxas de reais de juros. Solução a) Sedo de 2% a.m. a taxa cobrada, segue-se que a taxa semestral é: 6 i 0,02 0,662 ou,662% a. s. Logo, fazedo-se o caso da HP C, tem-se: s [f][reg][g][end]20000[chs][pv].662[i]2[][pmt].929,86747 Portato, as duas prestações semestrais, a preços da data do empréstimo, serão de R$.929,87, cada uma. b) Tedo em vista o comportameto da iflação, o valor moetariamete corrigido da seguda prestação será: 929,87 0, 4 0,6 R$ 26.722,9 Portato, do poto de vista de Atoio, o fluxo de caixa, a preços corretes, que caracteriza a operação de empréstimo é: { 20000 ;929,87 ; 26722,8}. Deflacioado-se, temos que, a preços da data do empréstimo, o fluxo de caixa é: 929,87 26722,8 { 20000 ; 852,33574 ; 929,87} 0,4 0,4 0,6 Por coseguite, fazedo-se uso da HP C, para fis de determiação da taxa real semestral, efetivamete cobrada, tem-se: [f][reg]20000[chs][g][cf 0]852.33574[g][CF j]929.87[g][cf j][f][irr],420549 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 60
Logo, a taxa real mesal é: 6 R 0,0420549 0,002354 ou 0, 2354% a. m. m c) Na ova situação, como permaece sedo de R$ 26.722,9 o valor moetariamete corrigido da seguda prestação, ão há alteração o fluxo de caixa a preços corretes. Porém, a preços da data do empréstimo, teremos, agora: 929,87 26722,8 { 20000 ; 7456,68750 ; 929,87} 0,6 0,6 0,4 Cosequetemete, fazedo uso da HP C, teremos: [f][reg]20000[chs][g][cf 0]7456.6875[g][CF j]929.87[g][cf j][f][irr]-,908962 Ou seja, a taxa real semestral será egativa e igual a,908962%a.s. O que implica em que a taxa real mesal, R m, passe a ser: 6 R 0,09090 0,003207 ou 0,3207% a. m. m d) O exercício mostra que, muito embora a taxa aual de iflação seja a mesma em ambos os casos (4%a.a.), o comportameto da iflação em cada semestre pode iflueciar fortemete o desempeho de certas operações. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 6