MATEMÁTICA - 1 o ANO MÓDULO 60 ÁREAS: POLÍGONOS

b B h B b

a α b

l h l l

A B C a D E

Como pode cair no enem (ENEM) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizandose todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3. Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então a área da figura 3, que representa uma casinha, é igual a: a) 4cm 2 d) 14cm 2 b) 8cm 2 e) 16cm 2 c) 12cm 2

Fixação 1) (UNIRIO) A área da figura abaixo, hachurada, é: a) 100 m 2 b) 132 m 2 c) 140 m 2 d) 144 m 2 e) 156 m 2 14 10 6 2 y (em cm) 5 8 14 17 x (em cm)

Fixação F 2) (UFF) A figura abaixo representa um quadrilátero MNPQ 3 de diagonais perpendiculares. Se MP mede 20cm e NQ, h 18cm, a área do quadrilátero é igual a: e p N M P a) 90 b) 180 c) 240 d) 270 e) 360 Q a b c d

ixação ) (UERJ) O decágono da figura abaixo foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, dois exágonos regulares e dois triângulos equiláteros, todos com os congruentes aos do quadrado, mais 4 outros triângulos. Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, ode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: ) 14T + 3Q ) 14T + 2Q ) 18T + 3Q ) 18T + 2Q

Fixação 4) (MACKENZIE) Na figura, a circunferência de centro O tem raio 4 cm, os pontos C, M e D são de tangência e M é o ponto médio de AB. A área assinalada, em cm 2, vale: a) 12 b) 18 c) 36 O d) 16 C D e) 24 A M 6 cm B

Fixação 5) Uma área agrícola, próxima a um lago, precisa ser adubada antes do início do plantio de hortaliças. O esquema abaixo indica as medidas do terreno a ser plantado. Os dois lados paralelos distam 10 km e os três ângulos obtusos indicados são congruentes. igual a 2,16 m 3, que libera o adubo à vazão constante de 1.200 cm 3 /s. Esse conjunto, rebocado por um trator que se desloca à velocidade constante de 1 m/s, está representado na figura a seguir. A partir do início da adubação, a qualidade da água do lago passou a ser avaliada com regularidade. 10 km 10 km 45º 20 km lago Para corrigir a elevada acidez do solo, o produto recomendado foi o calcário (CaCO 3 ), na dosagem de 5 g/m 2 de solo. Para a adubação do terreno, emprega-se um pulverizador com 40 m de comprimento, abastecido por um reservatório de volume A área do terreno a ser plantada é, em km 2, igual a: a) 160 b) 165 c) 170 d) 175

Fixação F 6) A área da figura hachurada no diagrama a seguir, vale: a) 4 b) 3,5 c) 3 d) 4,5 e) 5 4 3 2 1 7 e 1 2 3 4

ixação ) (UFRJ) O hexágono ABCDEF é constituído de modo que MNP seja um triângulo equilátero AMPF, BCNM e DEPN sejam quadrados. _ A área do hexágono é igual a (3 + 3) cm 2. A M B F C P N E D Determine o comprimento, em centímetros, do lado do triângulo MNP.

Proposto 1) (UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40 cm. Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e AC, de modo que DÂE=45º e BÂC=30º, conforme ilustrado a seguir. Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que a área, em cm², do triângulo CAE equivale a: a) 80 b) 100 c) 140 d) 180

Proposto D M C 2) (UERJ) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10cm de largura e 15cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo. I) Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente: D M C A B = P B III) Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. 15 CM D M C A 10 CM B II) Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN: A B A área construída da bandeirinha APBCD, em cm², é igual a: a) 25 (4-3) c) 50 (2-3) b) 25 (6-3) d) 50 (3-3)

Proposto 3) (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras. A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calcada com concreto. Nessas condições, a área a ser calcada corresponde: B P M A N C a) a mesma área do triângulo AMC. b) a mesma área do triângulo BNC. c) a metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC.

Proposto 4) (ENEM) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir. Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m 2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m 2. De acordo com esses dados, qual e o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00 B A P Q C D

roposto P ) (UERJ) Uma folha de papel retangular, como a da figura 1, de dimensões 8 cm x 14 cm, é 6 obrada como indicado na figura 2. Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono ADCEB, e m cm 2, é igual a: fi ) 112 A B A D ) 88 ) 64 E ) 24 B D C D C figura 1 figura 2

roposto ) (UFRJ) Tangram é um antigo quebra-cabeça chinês formado por um quadrado decomposto m sete peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um quadrado, como mostra a figura A. A gura B é obtida a partir da figura A por meio de translações e rotações de seis dessas peças. etermine a razão da área da figura A para a área da figura B. figura A figura B

roposto P ) (FUVEST) Dois irmãos herdaram um terreno com a seguinte forma e medidas. AD = 20m AB = 60m BC = 16m D A E E C 8 d d Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular AB. Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metros, everá ser: ) 31 ) 32 ) 33 ) 34 ) 35

roposto ) (UFRJ) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em ois ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma as diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir: A B I II A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II. Calcule a distância entre os pontos A e B.

Proposto 9) (UFF) Na figura, MNPQ é um retângulo, MNUV é um paralelogramo, as medidas de MQ e MV são iguais e 0 < α < 45. Indicando-se por S a área de MNPQ e por S a área de MNUV, conclui-se que: O P a) S = S sen α b) S = S c) S = S cos α d) S = S cos α α V U e) S = S sen α M N

Proposto 10) (UFRJ) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 6. Q 1, Q 2, Q 3 e Q 4 são quadrados de lado x. A região hachurada tem área 16. Determine x. B A Q 1 Q 2 x 6 D Q 4 Q 3 C

roposto P 1) (UFRJ) Na figura abaixo, R é um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente 1 o lado AC. t Sejam b a medida de AC, C é a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS.Mostre ue a razão pq ntre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale -. bc B R A S C d

roposto 2) (UFRJ) Na figura a seguir, o círculo de raio 1cm rola na posição I para a posição F, sempre angenciando o cateto AC do triângulo retângulo ABC. B I F A C Na posição I o círculo também tangencia AB e na posição F ele é tangente de BC. Os lados o triângulo valem: AB = 6cm, AC = 8cm e BC = 10 cm. Determine a distância percorrida pelo centro do círculo.