LIMITE Aparentemente, a idéia de se aproimar o máimo possível de um ponto ou valor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo ite são usados com bastante freqüência. A produtividade máima teórica de uma máquina ou de uma fábrica é um ite, o desempenho ideal (ou itant que nunca é atingido na prática, mas que, teoricamente pode ser aproimado arbitrariamente. Para uma melhor compreensão de ite, vamos considerar a função f dada por ( + )( ) f ( ), definida para todos os valores reais, eceto, é claro, para. ( + )( ) Veja, também que podemos simplificar a epressão f ( ) e teremos f ( ) +. Queremos saber, para qual valor f() se aproima, quando se aproima de. Para isso, vamos considerar as seguintes tabelas de valores: Vamos aproimar de, para valores à esquerda de, ou seja, tomaremos valores bem próimos de, contudo, menores do que. Vamos aproimar de, para valores à direita de, ou seja, tomaremos valores bem próimos de, contudo, maiores do que. f(),,,7,7,8,8,9,9,99,99,999,999 f(), 4,, 4,, 4,, 4,, 4,, 4, Podemos perceber que quanto mais se aproima de, mas f() se aproima de 4. Assim, no estudo de ites, o que queremos saber, é qual será o valor de f() quando ( + )( ) se aproima de. Dizemos, então, que 4 é o ite de f ( ), quando ( + )( ) se aproima de, que podemos representar por f ( ) 4 ou 4 onde a seta ( ) indica que tende (se aproima) a. Note que jamais assumirá o valor ; estamos estudando as proimidades de e concluindo que f() se aproima de 4.
DEFINIÇÃO DE LIMITE Dada uma função f: IR IR dizemos que esta função tem por ite o número b, quando se aproima de a e a, se pudermos tornar os valores de f() tão próimos de b quanto quisermos, desde que esteja suficientemente próimo de a. Simbolicamente temos: f ( ) b ou f ( ) b quando a a Quando eiste o ite? Eiste f ( ), se e somente se: a. f ( ) b. f ( ) b. b b a a + O que queremos dizer é que, eiste o ite quando, os ites laterais, à esquerda e à direita, eistirem e se eles forem iguais. PROPRIEDADES Para facilitar os problemas que envolvem ites, podemos nos valer das seguintes propriedades:. O ite de uma constante é a própria constante. k k a. O ite da função identidade, isto é, da função f ( ), é o valor da tendência. a a. O ite de uma soma de funções é igual à soma dos ites dessas funções. f ( ) + g( ) f ( ) + g( a [ ] ) a a 4. O ite de uma diferença de funções, é igual à diferença dos ites dessas funções. f ( ) g( ) f ( ) g( a [ ] ) a a. O ite de um produto, é igual ao produto dos ites. f ( ) g( ) f ( ) g( a [ ] ) a a 6. O ite de um quociente, é igual ao quociente dos ites. f ( ) f ( ) a a g( ) g( ) a 7. O ite de uma potência é igual à potência dos ites. n n [ f ( ) ] f ( ) a a 8. O ite do logaritmo é igual ao logaritmo do ite. [ log ] k f ( ) log k f ( ) a a
CÁLCULO DE LIMITES Para calcular o ite de uma função, a maneira mais fácil é substituir a variável pelo número da tendência, lembrando que quando fazemos isso, é importante saber que, na verdade, não estará assumindo aquele valor substituído, mas sim, um número tão próimo dele quanto se queira. EXEMPLOS Calcular os ites: a) Note que é uma função constante ( f ( ) ) e conforme vimos, pelas propriedades, k k, logo, a Basta substituir por, que nesse caso, diremos passar o ponto, assim: ( + ) Passando o ponto, temos + + 4 NOTA: observe que quando passamos o ponto não devemos mais escrever, ou seja: ERRADO: ( + ) ( + ) 4 a partir do momento em que você começa a passar o ponto, não é preciso mais escrever. CERTO: ( + ) + + 4 ( ) ( ) + + + 4 4 4
EXERCÍCIOS Questão Calcule os ites: a) ( ) f) + + + 4 + + Questão Determine: a) 7 4 4 ( + ) 4 ( + ) f) ( + + ) Questão Calcule: a) 6 ( 4) + Questão 4 6 + Seja f ( ), calcule: + a) f ( ) f ( ) ( )(4 ) f) g) 4 + f ( ) Questão Determine: a) ( ) 6 ( + ) Questão 6 Ache o valor de: a) 4 4 8 4 4
INDETERMINAÇÕES ( + )( ) Se voltarmos ao nosso eemplo inicial f ( ), e se tentarmos resolver o ite dessa função, simplesmente passando o ponto, teremos uma situação que iremos chamar de indeterminação, veja: ( + )( ) ( + )( ) 4 (observe que não é possível efetuar a divisão por zero, e nesse caso, queremos dividir zero por zero, o que nos leva a uma situa- ção indeterminada) PRINCIPAIS INDETERMINAÇÕES Temos sete indeterminações usuais:... + 4.. 6. Onde é o símbolo de infinito. ± 7. Para sair dessas indeterminações devemos fazer uso de conhecimentos básicos de matemática, tais como fatoração de polinômios e racionalização. ± ± EXEMPLOS Calcular os ites: 4 a) 4 4 4 4 Ao passar o ponto, temos (que é uma indeterminação) 4 Para sair dessa indeterminação, podemos considerar a função e fatorá-la. Observe que 4 é uma diferença de dois quadrados, isto é, um produto notável da forma A B ( A + B)( A B), logo, 4 ( + )( ). Assim: 4 ( + )( ) + 4 Agora, temos que ( + ) 4 Veja que transformamos em ( + ) e agora, com muita facilidade, podemos passar o ponto ( + ) + 4
4 4 Passando o ponto, temos (indeterminação) 4 ( ) Colocando o em evidência no numerador, temos Assim, temos que + 6 + + 6 ( ) + ( ) 6 9 6 Passando o ponto, temos (que é + + uma indeterminação) Pelos eemplos anteriores, notamos que o ponto de indeterminação é a tendência, ou seja, nesse caso, é e que podemos passar o para o primeiro membro, assim +. Agora, é só dividir o numerador ( + 6) pelo fator de indeterminação ( + ) usando divisão de polinômios. + 6 + 6 + 6 Assim + 6 ( + )( ) + 6 ( + )( ) onde + + + 6 agora, temos ( ) + Ao passar o ponto chegamos numa indeterminação, então nesse caso, iremos usar a racionalização do denominador + ( )( + ) ( )( + + ( ) ( ) Agora, ( + ) + ) + 6
EXERCÍCIOS Questão 9 a) + + + 8 9 9 f) + 4 + + Questão Calcule: + a) + 4 4 4 Questão Calcule: 4 + a) 6 7 + 4 Questão 4 Calcule: + a) + + + + + 4 6 + 6 9 + 6 4 f) 6 6 6 + 4 + + a + a a a a a 4 + 6 + 4 + + + 6 8 4 + Questão Calcule: a) g) 8 + + 8 + 4 h) + + + f) i) + + 4 7
LIMITES INFINITOS Agora, vamos estudar ites em que a variável, ou a função f(), ou ambos, tomam valores absolutos arbitrariamente grandes. EXEMPLOS Calcular os ites: a) + Vamos considerar a tabela para f().... f ( ) A partir da tabela, percebemos que, quanto mais se aproima de, mais f() se aproima de, logo + Vamos considerar a tabela para f().... f ( ) A partir da tabela, percebemos que, quanto mais se aproima de, mais f() se aproima de, logo Vamos considerar a tabela para f().... f ( ) A partir da tabela, percebemos que, quanto mais se aproima de, mais f() se aproima de, logo 8
A partir dos eemplos dados, podemos concluir que dada uma função n IN, temos que: f n ( ),. f ( ). f ( ), se n for par. f ( ), se n for ímpar LIMITE INFINITO FUNDAMENTAL ± EXEMPLOS Calcular os ites: a) + + + + (que é uma indeterminação) Vamos dividir o numerador e o denominador por + + + + então e agora, aplicamos propriedades de ites + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Obs.: podemos usar de um raciocínio mais rápido para resolver essa questão, veja: basta tomar o termo de maior grau no numerador e no denominador, logo, + + + + 9
4 + + 4 + tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador, temos 4 + + 4 + + 4 + + + + tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador, temos + ( + ) + + + + + 4 + + 4 + tomando o termo de maior grau no numerador e no denominador, temos 4 + 4 4 4 4 + 4 + + + + + (4 + ) + Dessa vez, basta tomar o termo de maior grau do numerador (4 + ) (4 ) 4 4 + + f) + mas veja que +, pois assim, + +
EXERCÍCIOS Questão a) ( 4 ) + + + + + ( + ) + Questão a) + ( 6 ) + ( 6 ) Questão a) ( + ) + ( + ) Questão 4 a) + f) + 4 4 g) ( 8 ) + h) ( 8 ) 4 ( ) + 9 7 ( ) + 6 Questão a) ( + ) + ( 6 ) 4 ( + ) + ( 4 + ) Questão 6 6 + + a) 7 4 + + + + 4 6 + + + 7 + 4 + 4 + + + Questão 7 a) ( + ) + ( + + ) + ( + + ) +
O NÚMERO e Vamos considerar a função uma tabela de valores: f : IN * IR definida pela epressão f n ( ) e n n n f (n),,7 4,44,48 6, 7, 4, 6,699,748,77.,769 Podemos notar que, a medida que n tende para infinito ( ), f(n) tende para o número irracional,788884... Esse número irracional, será representado por e,7 (número de Euler) e diremos que n n n e EXEMPLOS Calcular os ites: a) Veja que logo + pode ser escrito como + e
vamos fazer assim, se, então logo e e + vamos fazer assim, se, então logo e ( ) vamos fazer assim, se, então logo ( ) ( ) 9 ( ) 9 e 9 9 e 9
EXERCÍCIOS a) + + + 4 6 4 f) + + 6 + g) ( ) + h) ( ) 4 i) ( 6 ) + LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL EXEMPLO e Calcular a ln a e e e passando o ponto, temos e e mas note que fazendo A e, então A logo e e A A ln e (indeterminado) EXERCÍCIOS Calcule os ites: a) e 6 4
LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL sen EXEMPLO sen Calcular sen sen sen (indeterminação) vamos usar o artifício de multiplicar o numerador e o denominador por sen sen sen EXERCÍCIOS a) sen 8 sen sen f) sen g) sen 4 sen 7 sen h) cos i) π sen π π tg sen tg
FUNÇÃO CONTÍNUA Consideremos o gráfico das funções f, f e f a seguir: f f (a) f (a) f a a f (a) f a Observe que a cada do domínio de f associamos um único valor de e também que o gráfico de f não é interrompido para a, isto é, o gráfico pode ser desenhado de uma só vez, sem levantar a ponta do lápis do papel. Mas, o mesmo não acontece com os gráficos de f e f que não podem ser desenhados sem se levantar a ponta do lápis do papel, isto é, os gráficos são interrompidos para a. A função f é denominada contínua e as funções f e f são chamadas descontínuas em a. O ponto a é chamado ponto de descontinuidade da função. Para que uma função f() seja contínua em a do seu domínio, as seguintes condições devem ser satisfeitas:. eiste f(a). eiste f ( ). f ( ) f ( a) a a EXEMPLOS Estude a continuidade ou descontinuidade de cada função: 4 a) f ( ) como a função f() não é definida para, então f() não é contínua neste ponto. 6
, se < f ( ), se devemos verificar as três condições:. f () f (). os ites laterais são: f ( ) ( ) + f ( ) + os ites laterais são iguais, logo f ( ). f ( ) f () Assim, a função é contínua em EXERCÍCIOS Questão Verificar se a função 4 f ( ) é contínua em. Questão Verificar se a função + 7 f ( ) é contínua em. Questão Determinar m IR de modo que a função em 4. + 6, se 4 f ( ) seja contínua m, se 4 Questão 4 Dada a função f ( ), diga se f() é contínua nos pontos: + a) Questão + Dada a função f ( ), diga se f() é contínua nos pontos: + a) 7
Questão 6 Determine, quando eistirem, os pontos de descontinuidade das funções: + 4 a) f ( ) f ( ) f ( ) 9 Questão 7 Mostre se a função +, se f ( ) é contínua ou descontínua em. 7, se Questão 8 Verifique se a função real, de variável real definida por contínua ou descontínua nos pontos: a) f ( ), 4,, se se se < <, é Questão 9 Sabendo que a função h() f() + g() é contínua e que g(m) e f ( ) 9, determine h(m). m 8