Segunda lista de exercícios 3 de abril de 2017 Docente Responsável : Prof. Dr. Antônio C. Roque Monitor: Renan Oliveira Shioura Os exercícios desta lista deve ser resolvidos e Matlab. Para a criação dos códigos, utilize o editor de texto e antenha boas práticas de prograação: indentação (recuo do texto e relação à arge), coentários sobre o que está feito no código, etc. A lista resolvida deverá ser enviada por e-ail ao docente e ao onitor da disciplina (contendo os gráficos pedidos e códigos utilizados) até o prazo de 19 de abril de 2017. Não se esqueça de colocar o seu noe na lista resolvida. 1 Bicicleta e terreno plano se atrito O oviento de u ciclista pedalando ua bicicleta e terreno plano se atrito 1 pode ser descrito pela segunda lei de Newton, dv = F, (1) onde v é a velocidade, é a assa do sistea "ciclista + bicicleta" e F é a força sobre a bicicleta gerada pelo ciclista. Deterinar F é coplicado, pois a força do ciclista é transitida às rodas por pedais, engrenagens, correia, etc. Ua abordage alternativa considera a potência P gerada pelo ciclista. A potência pode ser escrita coo, P = de, (2) onde de é a energia total do sistea "ciclista + bicicleta". Coo o oviento ocorre no plano, a energia do sistea é toda cinética. Portanto, P = dk = d ( ) 1 2 v2 = v dv, (3) ou, dv = P v. (4) Se P = const., a equação (4) pode ser resolvida analiticaente: vdv = P v = v 0 v dv = P t = v = v0 2 + 2P t/. (5) 0 Esta solução não pode corresponder à realidade física porque segundo ela a velocidade auenta co o tepo se liite. É necessário adicionar algu tero que liite o cresciento de v e esse tero é 1 Na realidade, se não houvesse atrito entre os pneus da bicicleta e o chão não haveria oviento da bicicleta. Os pneus da bicicleta apenas deslizaria e a bicicleta ficaria parada. O que estaos supondo aqui é que não existe resistência ao oviento de translação da bicicleta, por exeplo, por causa da resistência do ar. 1
justaente aquele devido à resistência do ar. A adição da resistência do ar fará co que seja necessário encontrar ua solução nuérica para o problea. Por causa disso, é conveniente coeçar pela solução nuérica da equação solúvel analiticaente. A aplicação do étodo de Euler à equação (4) resulta e, P v i, (6) onde é o taanho do passo de tepo e v i é a velocidade no tepo t i i. Coo já visto na aula passada, o tero doinante no erro ao fazer esta aproxiação é da orde de () 2. Resolva nuericaente a equação (6). Para a sua solução, considere que v 0 = 4 /s, = 70 kg e P = 400 W. Co relação ao valor de, ele deve ser suficienteente pequeno para que a variável dinâica do problea (a velocidade) varie uito pouco durante. O que é suficienteente pequeno? Ua boa dica é coeçar co u passo de tepo que seja da orde de 1% da escala de tepo do problea e depois repetir o cálculo para valores enores. A solução deve convergir para u valor único à edida que vai ficando enor. Poré, não se pode usar u uito pequeno porque isso auenta o custo da coputação. A escolha do passo de tepo final é ua escolha de coproisso entre precisão vs. custo. No caso desta questão, use dois valores de : =1 s e = 0, 1 s. Produza u gráfico de velocidade por tepo (coo o da Figura 2.1 do livro Coputational Physics) contendo a solução analítica e as soluções nuéricas para os dois passos de tepo utilizados. Faça co que cada curva tenha ua cor diferente. 2 Bicicleta e terreno plano co resistência do ar Para u ciclista pedalando a 10-15 k/h a energia perdida devido ao atrito nas engrenagens e pneus da bicicleta é desprezível e coparação co a perdida por causa da resistência do ar. Portanto, u odelo razoavelente realista precisa levar e conta apenas a resistência do ar. Modelar a resistência do ar é uito coplicado. Ua abordage cou é usar ua expansão e potências da velocidade v do sistea "ciclista + bicicleta", F res B 1 v B 2 v 2. (7) Para velocidades uito pequenas (próxias de zero), o tero linear doina sobre o quadrático, as para as velocidades do problea e questão o tero quadrático é doinante. Portanto, pode-se aproxiar: F res B 2 v 2. (8) Coo calcular B 2? Pode-se estiá-lo da seguinte aneira: O sistea "ciclista + bicicleta" epurra ua quantidade de ar à sua frente. A assa de ar ovientada no tepo é, ar ρav, (9) onde ρ é a densidade do ar, v é a velocidade do sistea e A é a área de contato frontal entre o sistea "ciclista + bicicleta" e o ar. Esta assa de ar recebe ua velocidade v, portanto sua energia cinética é, K ar = 1 2 arv 2. (10) Pelo teorea trabalho-energia, este é tabé o trabalho feito pela força de resistência do ar (é a assa de ar ovida que se opõe ao oviento) sobre o sistea no tepo : o que iplica e, Pode-se então escrever, W res = F res v = 1 2 arv 2 1 2 ρav3, (11) F res 1 2 ρav2. (12) F res = 1 2 CρAv2. (13) 2
A constante de proporcionalidade C é conhecida coo coeficiente de arrasto ou ainda coeficiente de resistência aerodinâica. Ela depende da aerodinâica do corpo que se ove e pode ser deterinada experientalente, por exeplo co edidas feitas e túneis de vento. Substituindo a expressão para F res na equação de solução nuérica do problea pelo étodo de Euler: ou, P F res, (14) v i P ρav2 i. (15) v i 2 Resolva nuericaente a equação (15) e produza u gráfico coo da Figura 2.2 do livro Coputational Physics (plote tabé a curva da solução analítica se resistência do ar). Para a sua solução, assua que A = 0, 33 2 e que a densidade do ar é 1,29 kg/ 3. Use coo passo de tepo = 0, 1 s. Qual é a velocidade terinal do sistea "ciclista + bicicleta"? 3 Bicicleta e terreno inclinado co resistência do ar Generalize o odelo anterior para o caso e que o ciclista está pedalando e u terreno ontanhoso. A inclinação do terreno é dada por tan θ, onde θ é o ângulo que a superfície do terreno faz co a horizontal. Quando se sobe ua ontanha, a inclinação do terreno é positiva e, quando se desce, a inclinação é negativa. Para equacionar este problea, lebre-se que quando u ciclista sobe ou desce por u terreno inclinado a força gravitacional faz sobre ele u trabalho dado por, W EP = gh = gs sin θ, (16) onde o índice EP indica energia potencial (quando o ciclista sobe ele ganha energia potencial gravitacional e quando ele desce ele perde energia potencial gravitacional), é a assa do sistea "ciclista + bicicleta", h é a altura subida ou descida e s é a distância percorrida. Para ontanhas co inclinações pequenas ( 10%), pode-se aproxiar sin θ tan θ. Para esses casos, portanto, e a potência associada é, W EP = gs tan θ, (17) P = gv tan θ, (18) onde v é a velocidade do sistea "ciclista + bicicleta". Adicione este tero à equação de solução nuérica do problea do ite anterior e a resolva para os casos e que tan θ = 0, 1 (subida) e tan θ = 0, 1 (descida). Quais são as velocidades áxias do ciclista nas duas situações? Deterine que condições (envolvendo a inclinação tan θ e a área frontal A) deve ser satisfeitas para que o ciclista atinja ua velocidade na descida igual a 115 k/h. 4 Moviento de u projétil se resistência do ar Neste exercício, você irá aplicar o étodo de Euler visto anteriorente a u problea de oviento e duas diensões. O problea é o do oviento de u projétil se resistência do ar visto nos cursos de física básica. Para tornar o problea ais concreto, considere ua bala atirada por u canhão. Se a resistência do ar for ignorada, as equações de oviento da bala são: d 2 x 2 = 0 d 2 y 2 = g, onde x e y são as coordenadas horizontal e vertical do projétil e g é a aceleração da gravidade. Para usar o étodo de Euler, pode-se transforar estas equações diferenciais de segunda orde e equações diferenciais de prieira orde: (19) 3
dx = v x dv x = 0 dy = v y dv y = g, onde v x e v y são as coponentes x e y da velocidade do projétil. Aplicando o étodo de Euler a estas equações: (20) x i+1 = x i + v x,i v x,i+1 = v x,i y i+1 = y i + v y,i v y,i+1 = v y,i g. Dados valores iniciais para x, y, v x e v y, pode-se resolver este sistea para obter ua aproxiação nuérica para a trajetória do projétil. Assi coo nos casos anteriores, se for usado u suficienteente pequeno será obtida ua boa aproxiação para a trajetória real. Resolva nuericaente as equações (21) pelo étodo de Euler. Para a sua solução, considere que o projétil é lançado da orige (x 0 = y 0 = 0) co velocidade inicial v 0 = 700 /s e ângulos de lançaento de 30, 35, 40, 45, 50 e 55. Considere que = 0, 01. Note que o seu prograa deve parar quando y i+1 0, pois a bala não pode ter coordenada y negativa. Produza gráficos das trajetórias da bala para todos os ângulos dados e coloque-os no eso gráfico coo na Figura 2.4 (esquerda) do livro Coputational Physics. Ua sugestão para fazer isto é criar dois loops no seu prograa, u loop interno que calcula a trajetória pelo étodo de Euler e u loop externo que define qual o valor do ângulo de lançaento usado. Usando interpolação linear, estie a coordenada x do ponto de colisão da bala co o solo e a velocidade da bala neste ponto. Coo este problea pode ser resolvido analiticaente, copare os seus resultados nuéricos co as soluções analíticas. 5 Moviento de u projétil co resistência do ar Neste exercício, você resolverá o eso problea do ite anterior para caso co resistência do ar. Assi coo no caso do oviento do ciclista, você verificará que a resistência do ar te u efeito uito iportante sobre o oviento do projétil. A resistência do ar será odelada por ua força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade do projétil, coo no caso da bicicleta: F res = B 2 v 2, (22) onde v é a velocidade da bala: v = vx 2 + vy. 2 A força de resistência do ar sepre é oposta à direção da velocidade doprojétil, de aneira que podeos decopô-la e coponentes coo ostrado na Figura 2.3 do livro Coputational Physics. A partir da figura, teos que: (21) Substituindo (22) e (23), F res,x = F res cos θ = F res v xv F res,y = F res sin θ = F res v y v. (23) F res,x = B 2 vv x F res,y = B 2 vv y. (24) Adicionando essas forças à equação (21) que dá a solução nuérica da trajetória da bala pelo étodo de Euler, ou x i+1 = x i + v x,i v x,i+1 = v x,i Fres,x y i+1 = y i + v y,i v y,i+1 = v y,i g Fres,y, (25) 4
x i+1 = x i + v x,i v x,i+1 = v x,i B2vivx,i y i+1 = y i + v y,i v y,i+1 = v y,i g B2vivy,i. (26) Adapte o seu prograa do exercício anterior para resolver nuericaente as equações (26). Use os esos valores de x 0, y 0, v 0 e do caso se resistência do ar e assua que B 2 / = 4 10 5 1. Produza u gráfico coo o da figura 2.4 (direita) do livro Coputational Physics. Assi coo no exercício anterior, use interpolação linear para estiar a coordenada x do ponto de colisão da bala co o solo e a velocidade da bala neste ponto. No caso co resistência do ar, o ângulo de lançaento que axiiza o alcance do projétil não é 45 coo no caso se resistência do ar. Usando seu prograa, tente estiar o ângulo de lançaento para o qual ocorre alcance áxio neste problea. 6 Moviento de u projétil co resistência do ar e variação na densidade do ar co a altitude Neste exercício, você irá adaptar o seu prograa do exercício anterior para incluir o efeito da variação da densidade do ar co a altitude. Coo a bala atinge altitudes elevadas durante sua trajetória, a redução da densidade do ar nessas altitudes (e relação à densidade do ar ao nível do ar) diinui a resistência do ar e a bala pode atingir alturas aiores e ter u alcance aior e coparação co os resultados do exercício anterior. Para investigar o efeito da redução na densidade do ar co a altitude é preciso ter u odelo de coo a densidade do ar varia co a altitude. Há vários odelos para isso e aqui será usada a chaada aproxiação adiabática (veja as páginas 29-30 do livro Coputational Physics). Segundo esta aproxiação, a dependência da densidade do ar co a altitude é dada por, ( ρ = ρ 0 1 ay ) α, (27) T 0 onde ρ 0 é a densidade do ar ao nível do ar (y = 0), a 6, 5 10 3 K/ e α 2, 5 são parâetros que ajusta be a função (27) aos dados experientais para o caso do ar e T 0 é a teperatura ao nível do ar e K. Considerando a variação da densidade do ar co a altitude, a força de resistência do ar é alterada para, F res (y) = ρ(y) ρ 0 F res (y = 0), (28) onde F res (y = 0) é a força de resistência do ar ao nível do ar. Para incluir este efeito nas equações do exercício anterior, basta substituir B 2 nas equações (26) por B 2 ρ/ρ 0. Faça isso no seu prograa do exercício anterior e resolva novaente as equações para obter as trajetórias da bala levando e conta a redução da resistência do ar devido à diinuiçào da densidade do ar co a altitude. Nos seus cálculos, considere que T 0 = 300 K. Produza curvas para a trajetória da bala co o efeito da redução da densidade do ar e se o efeito da redução da densidade do ar para ângulos de lançaento de 35 e 45 e gere u gráfico coo o da Figura 2.5 do livro Coputational Physics. 5