Aula 5 - Soluções dos Exercícios Propostos Trigonometria I Solução. : (a A cada um minuto completado, o ponteiro dos segundos percorre uma volta completa de π radianos. Isso se o ponteiro dos segundos medice cm. Como mede cm, a distância percorrida em uma volta é de.π 0π radianos. Para completar os min e 0 segundos, o ponteiro dos segundos terá que dar voltas e meia. Logo teremos.60 + 0 550 segundos percorridos. Então, se a cada 60 segundos, o ponteiro percorre uma distância de 6π radianos, quanto ele percorrerá em 550 segundos? Basta fazer uma regra de que encontraremos 55π radianos. 60 550 6π x x 55π ( (b Como o ponteiro das horas tem cm, podemos falar que em 60 minutos ele percorrerá.π π radianos. Então, em min e 0 segundos o ponteiro percorrerá quanto em radianos? Basta fazer uma regra de que encontraremos 7π 6 radianos. 60, 5 π x x 7π 6 ( Solução. Chamaremos AĈB α, AB x e BC x. (a Já temos o cateto oposto e a hipotenusa do ABC em relação ao ângulo α. Pelo teorema de pitágoras, encontramos o cateto adjacente AC. Assim AC x. Com isso, temos: senα x senα x cosα x cosα x tgα x x tgα
(b Chamaremos DÂC β. Analisando os triângulos ABC e ACD, os dois possuem um ângulo reto e o ângulo α. Logo esses dois triângulos são semelhantes. Assim, os terceiros ângulos são iguais. Esse ângulo é o próprio β. Portanto DÂC A ˆBC β. Agora basta usar trigonometria no ABC. senβ x senβ x cosβ x cosβ x tgβ x tgβ x Solução. Como uma volta completa equivale a 60, basta dividir os valores por 60 e a partir do resto encontrado definir em qual quadrante se localiza o determinado ângulo. (a 9 60. + 69. Entâo foi percorrido uma volta completa mais 69. Sabemos que um ângulo entre 0 e 90 pertence ao primeiro quadrante. 69 está nesse intervalo. Portanto 9 pertence ao primeiro quadrante. (b 678 60.7 + 58. Entâo foi percorrido sete voltas completas mais 58. Sabemos que um ângulo entre 90 e 80 pertence ao segundo quadrante. 58 está nesse intervalo. Portanto 678 pertence ao segundo quadrante. (c O sinal negativo significa apenas que o ângulo é percorrido no sentido horário. Então a maneira de encontrar o quadrante não mudará. Logo, -56 60.0 + (-56. Não foi percorrido nem uma volta completa. Ficou faltando para completar uma volta. Logo 56 equivale a. Portanto 56 pertence ao primeiro quadrante. (d -60 60.(- - 70. Entâo foi percorrido volta completa no sentido anti horário mais 70. 70 está entre o segundo e terceiro quadrantes, justamente em cima do eixo Y cartesiano. Então concluímos que o ângulo não pertence a nenhum quadrante, mas sim ao eixo Y. Solução. Basta utilizar a formúla para transformação: α π β, onde α 80 é o ângulo em radianos e β o ângulo em graus. (a β. Logo, α π 6π. α 80 5 (b β. Logo, α π 80 (c β 88. Logo, α π 80.( α π 80.88 α 7π 5
Solução 5. Basta utilizar a formúla para transformação: β 80 α, onde α π é o ângulo em radianos e β o ângulo em graus. (a α 9π (b α 7π 5. Logo, β 80 π. 9π β 80. Logo, β 80 π. 7π 5 β 88 (c α 5π 80. Logo, β. 5π 9 π 9 β ( 900 9 Solução 6. cos(x cos( x. Logo a função cosseno é par. sen(x sen( x. Logo a função seno é ímpar. tg(x tg( x. Logo a função tangente é ímpar.
Aula 6 - Soluções Trigonometria II Desenvolva as expressões: (a sen(x + y Basta desenvolver através da fórmula de adição do conteúdo teórico. sen(x + y sen(x cos(x + sen(y cos(x (b sen(m n Desenvolvendo através da fórmula temos: sen(m n sen(m cos( n + sen( n cos(m Mas o cosseno é uma função par (f(x f( x e seno é uma funçao ímpar (f( x f(x, com isso temos que cos( n cos(n e sen( n sen(n. Substituindo cos( n e sen( n. sen(m n sen(m cos(n+( sen(n cos(m sen(m cos(n sen(n cos(m (c sen( x + x Desenvolvendo. ( x sen + x [ ( x ( x ] [ ( x ( x ] sen cos + sen cos [ ( x ( x ] sen cos Mas sen( x + x sen(x, logo sen(x sen( x cos( x (d cos(x + y Desenvolvendo. cos(x + y cos(x cos(y sen(x sen(y Pronto. (e cos(m n
Desenvolvendo. cos(m n cos(m [cos( n] sen(m [sen( n] Do item (b, cosseno é par e seno é ímpar. cos( n cos(n sen( n sen(n cos(m n cos(m cos( n sen(m sen( n (f cos( a + a Desenvolvendo. ( a cos + a ( a ( a ( a ( a cos cos sen sen Assim ( a cos + a ( cos a ( sen a (g tg(π + x tg(x sen(x cos(x senπ 0 tg(π + x tg(π + x tg(π + x sen(π + x cos(π + x senπ cosx + senx cosπ cosπ cosx senπ senx cosπ 0 cosx + senx ( ( senx ( cosx 0 senx ( cosx senx cosx tgx tg(π + x tg(x (h tg(π x tg(π x senπ 0 cosπ sen(π x cos(π x senπ cosx + sen( x cosπ cosπ cos( x senπ sen( x cos( x cosx sen( x senx 0 cosx + ( senx ( ( cosx 0 ( senx senx ( cosx tgx (i tg(a + a
cos a sen a sena tg(a + a tg(a sen(a sena cos(a cos a sen a sena sena sena sena tga tg a sena sena sena sena sena sena sena (j sen(π x sen(π x senπ cos( x + sen( x cosπ senπ 0 cosπ cos( x cosx sen( x senx senπ cos( x + sen( x cosπ 0 cosx + senx ( senx (k cos(x cos(x cos(x + x cos(x cosx sen(x senx cos(x cos x sen x sen(x senx cosx [cos(x] cosx [sen(x] senx [ cos x sen x ] cosx [ senx cosx] senx cos x sen x cosx sen x cosx cos x sen x cosx (l sen(x sen(x sen(x + x sen(x cosx + senx cos(x cos(x cos x sen x sen(x senx cosx [sen(x] cosx+senx [cos(x] [ senx cosx] cosx+senx [cos x sen x ] senx cos x + senx cos x sen x sen x + senx cos x Calcule: (a cos(75 o cos(75 o cos(0 o + 5 o cos(0 o cos(5 o sen(0 o sen(5 o
sen(0 o sen(5 o cos(5 o cos(0 o cos(5 o sen(0 o sen(5 o (b cos(5 o cos(0 o 6 cos(5 o cos(5 o 0 o cos(5 o cos(0 o + sen(5 o sen(0 o sen(0 o cos(0 o sen(5 o cos(5 o cos(5 o cos(0 o + sen(5 o sen(0 o + 6 + (c sen(05 o sen(05 o sen(90 o + 5 o sen(90 o cos(5 o + sen(5 o cos(90 o cos(5 o + sen(5 o 0 cos(5 o 6 + Do exercício (b temos cos(5 o 6 + cos(5 o (d cos(5 o cos(5 o cos(90 o + 5 o cos(90 o cos(5 o sen(90 o sen(5 o cos(90 o 0 sen(90 o cos(5 o sen(5 o cos(90 o cos(5 o sen(90 o sen(5 o 0 (e cos(95 o cos(95 o cos(80 o + 5 o cos(80 o cos(5 o sen(80 o sen(5 o
cos(80 o 6 + cos(5 o 6 sen(80 o 0 sen(5 o 6 + 6 cos(80 o cos(5 o sen(80 o sen(5 o ( 0 6 + cos(95 o (f cos(65 o cos(80 o 5 o cos(80 o cos(5 o + sen(80 o sen(5 o cos(80 o 6 + cos(5 o 6 sen(80 o 0 sen(5 o 6 + 6 cos(80 o cos(5 o + sen(80 o sen(5 o ( + 0 6 + cos(65 o (g sen(5 o sen(5 o sen(80 o + 5 o sen(80 o cos(5 o + sen(5 o cos(80 o sen(80 o 0 cos(80 o cos(5 o sen(5 o sen(80 o cos(5 o + sen(5 o cos(80 o 0 + ( (h cos(5 o cos(5 o cos(80 o + 5 o cos(80 o cos(5 o sen(80 o sen(5 o 5
sen(80 o 0 cos(80 o cos(5 o sen(5 o cos(80 o cos(5 o sen(80 o sen(5 o ( 0 (i cos(00 o cos(00 o cos(60 o 60 o cos(60 o cos(60 o + sen(60 o sen(60 o cos(60 o cos(60 o sen(60 o 0 sen(60 o cos(60 o cos(60 o + sen(60 o sen(60 o + 0 (j sen(5 o sen(5 o sen(60 o 5 o sen(60 o cos(5 o sen(5 o cos(60 o sen(60 o 0 6 + cos(5 o 6 cos(60 o sen(5 o 6 + 6 6 sen(60 o cos(5 o sen(5 o cos(60 o 0 (k tg(5 o tg(5 o tg(5 o 0 o tg(5o tg(0 o + tg(5 o tg(0 o tg(5 o tg(0 o 6
tg(5 o tg(0 o + tg(5 o tg(0 o + + [ + ] 6 6 + 6 6 6 + 6 + ( ( (l tg(75 o tg(75 o tg(60 o + 5 o tg(60o + tg(5 o tg(60 o tg(5 o tg(60 o tg(5 o tg(60 o + tg(5 o + tg(60 o tg(5 o ( ( + + + + ( + Resolva: (a tg(x sen(x {0 x < π} (Sugestão: faça tg(x sen(x cos(x tg(x sen(x senx cosx sen(x x 0 é uma solução [x 0] [senx 0] tgx senx 0 0. Agora se senx 0 podemos multiplicar a equação por senx senx senx cosx senx senx cosx cosx As possíveis soluções para equação acima no intervalo [0, π são {60 o, 0 o } porque cos60 o cos0 o. Ou se preferir em radianos {π, π }. Portanto a solução geral da equação inicial é {0 o, 60 o, 0 o } e {0, π, π } em graus e radianos respectivamente. (b Sendo sen(x, calcule sen(x 7
Se é dado que senx temos que cosx 0. Desenvolvendo sen(x. sen(x senx cosx ( 0 0 sen(x 0 (c O conjunto solução (sen(x + cos(x no intervalo {0 x < π} Lembrando que sen x + cos x (sen(x + cos(x sen x + senx cosx + cos x [ sen x + cos x ] + senx cosx + senx cosx senx cosx 0 [ ] [ ] senx cosx 0 senx cosx 0 Observe que é um produto de dois números tem que ser 0 que é conteúdo da aula. Analisando os valores de senx e cosx nos quadrantes temos. Quadrante senx + + - - cosx + - - + senx cosx + - + - A solução está quando o x está no o quadrante e no o. Ou seja, ( π x π ( π x < π (d Dado sen(x /5, calcule cos(x sen x + cos x cos x sen x cosx ± sen x ( cosx ± 5 cosx ± cosx ± 8 9 5 5 9 5
6 cosx ± 5 6 cosx ± 5 cosx ± 5 É também possível achar por Pitágoras em um triângulo retângulo. (e Calcule x tg (a+ sec(a tg (a + sec a x sec(a sec(a Através da Aula sec a seca. sec a sec(a seca seca (f cos(x ( cos (x sen (x cos(x+sen(x cosx ( cos x sen x cosx + senx cosx Logo x 0 ou x π ( (cosx senx(cosx + senx senx cosx + senx cosx cosx cosx cosx senx cosx tgx (x sen (x cos(x (cos cos(x + sen(x tgx tgx 0 (g sen(x cos(x 0 {0 x < π} sen(x cos(x 0 sen(x cosx cos( π x cos(x π x x x π 6 9
( π Lembrando que cosseno é uma função par, cos x cos ( π + x o que implica que: cos ( π + x cos(x π + x x x π Concluindo que a equação possui duas soluções. (h Dê o conjunto solução sen(x cos(x > 0 {0 x < π} Idêntico ao exercício (c. Quadrante senx + + - - cosx + - - + senx cosx + - + - Solução: o e o quadrante. Assim (0 < x < π (π < x < π (i sen(x (sendo dado tgx + cotgx tgx + cotgx senx cosx + cosx senx sen x + cos x senx cosx senx cosx senx cosx [] senx cosx [] senx cosx sen(x (j cos (x {0 x < π} 0
cos (x sen x senx Ou seja, senx 0 senx senx senx < 0 senx senx 0 x π senx senx π < x < π senx senx Se 0 x π então senx senx x π 6, x 5π 6 Que é pertencente ao intervalo 0 x π. Se π < x < π então senx senx senx x 7π 6, x π 6 Que é pertencente ao intervalo π < x < π. (k cos(985 o Primeiro temos que dividir por 60 o e achar o resto já que cosseno é cíclico a cada 60 o. 985 o 60 o 8 + 05 o 6 cos(985 o cos(05 o + 8 60 o cos(05 o (l cos(x + sen x sen x {0 x < π} ( x cos(x + sen x sen ( x cos x sen x + sen x sen ( x cos x + sen x sen ( x sen
x π [] x π [] x π (m (cos( π 6 sen( π sen( π 6 cos π 6 sen π sen π 6 ( ( π ( sen( π π 6 ( cos sen 6 (n sen(x cos(x {0 x π } sen(x cos(x ( π cos x cos(x π x x 5x π x π 0 (o sen (x + cos (x 0 (Sugestão: faça cos (x sen (x sen (x + cos (x 0 sen x sen x 0 sen x(sen x 0 sen x 0 x {0, π} sen x 0 sen x senx ± x { π, π, 5π, 7π } Solução geral {0, π, π, π, 5π, 7π }