XI Enconto Nacional de Astonomia e Astofísica Univesidade da Madeia, Funchal - 6/7 de Julho de 001 Viagens Inteestelaes Hipe-ápidas em Relatividade Geal Fancisco Lobo 1 e Paulo Cawfod Cento de Astonomia e Astofísica da Univesidade de Lisboa Campo Gande, Ed. C8 1749-016 Lisboa, Potugal Resumo As enomes distâncias inteestelaes paticamente impossibilitam viagens de sees humanos a egiões longínquas da Via Láctea. A Relatividade Restita (RR) diz-nos que uma patícula mateial não pode atingi a velocidade da luz, c. Isto também é válido em Relatividade Geal (RG) mas apenas localmente. Assim, se a velocidade da luz é inatingível, é natual pensamos que ente dois pontos sepaados po uma distância pópia, D, seja impossível efectua uma viagem de ida e volta num intevalo de tempo infeio a D/c, medido po um obsevado em epouso no ponto de patida. Na RR, sabemos que um viajante podeá faze uma viagem num intevalo de tempo (pópio) eduzido se v se apoxima de c. Na RG, também é possível efectua a mesma viagem num intevalo de tempo abitaiamente pequeno, medido po um obsevado em epouso no ponto de patida, o que paece supeendente. Analisaemos algumas soluções das equações de Einstein que admitem viagens supeluminais. Ente elas, destacaemos os womholes, a solução de Alcubiee (wap dive), e uma solução conhecida po Tubo de Kasnikov. Todas estas soluções violam Condições de Enegia, fundamentais paa os teoemas das singulaidades, sendo po isso a geometia do espaço-tempo espectivo poduzida po matéia exótica. 1 E-mail: flobo@cosmo.fis.fc.ul.pt E-mail: cawfod@cosmo.fis.fc.ul.pt
Índice 1. INTRODUÇÃO...3. WORMHOLE TRANITÁVEI NO EPAÇO-TEMPO...4.1 PROPRIEDADE DO WORMHOLE TRANITÁVEL...6. A MÉTRICA DO EPAÇO-TEMPO...6.3 EQUAÇÕE DE ETRUTURA DO WORMHOLE...6.3.1 Os tensoes de Riemann e de Einstein...6.3. O Tenso de enegia-momento...8.3.3 As equações de campo de Einstein...8.4 A GEOMETRIA EPACIAL DO WORMHOLE: A MATEMÁTICA DO MERGULHO...9.5 FORÇA GRAVITACIONAI DE MARÉ E O TEMPO DE TRAVEIA NO WORMHOLE...10.5.1 Condições impostas nas estações...11.5. Condições impostas a uma tavessia...11.6 O TENOR DE ENERGIA-MOMENTO DO WORMHOLE...13.6.1 Restições impostas à tensão e à densidade de enegia na gaganta do womhole...13.6. Matéia exótica...14.7 UMA VIAGEM INTERETELAR HIPER-RÁPIDA UTILIZANDO UM WORMHOLE...15 3. WARP DRIVE...16 3.1 A MÉTRICA...16 3. A CURVATURA EXTRÍNECA E A EXPANÃO...17 3.3 VIAGEN INTERETELARE HIPER-RÁPIDA...18 3.4 A DENIDADE DE ENERGIA...19 3.5 ANÁLIE DE KRANIKOV...0 4. UM METROPOLITANO UPERLUMINAL: O TUBO DE KRANIKOV... 4.1 A MÉTRICA BI-DIMENIONAL... 4. A PROPRIEDADE DA MÉTRICA...3 4.3 UMA VIAGEM UPERLUMINAL ENTRE A TERRA E DENEB...4 4.4 UMA VIAGEM INTANTÂNEA...4 4.5 A GENERALIZAÇÃO QUADRI-DIMENIONAL...5 5. RETRIÇÕE IMPOTA PELA DEIGUALDADE QUÂNTICA...6 BIBLIOGRAFIA...8
1. Intodução O homem tem pocuado exploa a vastidão do cosmos nas últimas décadas. No entanto, no que espeita às viagens espaciais, tonou-se óbvio que os seus esfoços são seveamente limitados po duas fomidáveis baeias: a pópia vastidão do espaço e a lentidão das viagens espaciais. Po exemplo, uma viagem a Mate, com as actuais velocidades das naves espaciais, demoa váios meses e uma jonada à estela mais póxima, Alfa de Centauo, levaia centenas de milhaes de anos. As viagens até planetas de outos sistemas solaes podeiam dua milhões de anos. Viagens com velocidades póximas da da luz, caso fossem tecnicamente possíveis, também não esolveiam todas as dificuldades, devido às enomes distâncias inteestelaes. Po exemplo, a distância até à estela Pola é de 00pc, a Deneb é de 500pc e ao cento da Galáxia é de 10kpc. Não faz muito sentido lança uma expedição científica, ao sabemos que apenas daqui a milhaes de anos ecebeíamos algumas notícias. Tona-se patente que, com a tecnologia actual, não podemos satisfaze as aspiações humanas de exploa livemente o cosmos, na espeança de visita outas possíveis civilizações ou estuda de peto buacos negos, supe-novas e outas maavilhas. Paece que estamos paa sempe confinados à vizinhança imediata do istema ola, destinados à solidão cósmica. No pesente tabalho iemos aboda este poblema no contexto da Relatividade Geal (RG). abe-se que, em Relatividade Restita (RR), uma patícula mateial não pode atingi a velocidade da luz, c. Em RG, tal também é válido, mas apenas localmente. Assim, se a velocidade da luz é inatingível, é natual pensamos que ente dois pontos sepaados po uma distância pópia, D, seja impossível efectua uma viagem de ida e volta num intevalo de tempo infeio a D/c, medido po um obsevado em epouso no ponto de patida. Na RR, sabemos que um viajante podeá faze uma viagem num intevalo de tempo (pópio) eduzido se a sua velocidade, v, se apoxima de c. Na RG, também é possível efectua a mesma viagem num intevalo de tempo abitaiamente pequeno, medido po um obsevado em epouso no ponto de patida, o que paece supeendente. O ponto fundamental em RG, é que pode modifica-se o tempo necessáio paa efectua uma viagem alteando a distância a pecoe, ou então obte velocidades abitaiamente elevadas, sem no entanto atingi a velocidade da luz, localmente. De seguida, analisaemos algumas soluções das equações de Einstein que admitem velocidades supeluminais, úteis paa possíveis viagens inteestelaes hipe-ápidas. Destacaemos: os womholes tansitáveis, que são atalhos hipotéticos, unindo duas egiões distintas do espaço-tempo; a solução de Alcubiee, denominada wap dive, inspiada na fase inflacionáia do univeso, em que as enomes velocidades atingidas advêm de uma expansão do pópio espaço-tempo; uma solução de um espaço-tempo globalmente hipebólico, conhecida po tubo de Kasnikov, em que é possível a um viajante efectua uma viagem de ida e volta num tempo abitaiamente pequeno, tal como é medido po um obsevado em epouso no ponto de patida. Todas estas soluções violam Condições de Enegia, fundamentais paa os teoemas das singulaidades, sendo po isso a geometia do espaço-tempo espectivo poduzida po matéia exótica. 3
. Womholes Tansitáveis no Espaço-Tempo É muito fequente os escitoes de ficção científica utilizaem buacos negos paa viagens intestelaes ápidas. Imagina-se um viajante intépido a lança-se num buaco nego e subitamente a enconta-se numa egião distante do univeso. No entanto é possível enconta váias objecções às viagens intestelaes utilizando buacos negos e womholes de chwazschild. No hoizonte de acontecimentos de um buaco nego de massa M, as foças gavitacionais de maé poduzem aceleações elativas enomes num viajante, de altua L, da odem de L 4 ( GM ) 10g ( L 1m)( M 10 M ) ol, [1]. e o buaco nego apesenta uma massa meno do que 10 4 M ol e uma cicunfeência do hoizonte de 4πGM um viajante seá cetamente esmagado pelas foças de maé. O hoizonte do buaco nego é uma membana que pode se consideada como uma via de apenas um sentido no qual os objectos entam, mas estão impossibilitados de sai. Logo uma viagem em dois sentidos é estitamente poibida, a não se que o objecto de saída seja um buaco banco. Os buacos bancos possuem anti-hoizontes, que são supefícies das quais apenas emegem objectos e são instáveis face a pequenas petubações. Um pacote de onda de luz de baixa enegia sofe um desvio paa o azul e tona-se cada vez mais enegético ao incidi num anti-hoizonte. Devido ao aumento exponencial da enegia o pacote de onda convete o anti-hoizonte num hoizonte num tempo apoximado de 10GM (M/10 4 M ol ) s, []. Esta convesão que ocoe pouco depois da ciação do antihoizonte impede uma tavessia em dois sentidos. A mética de Ke, que desceve buacos negos em otação, possui no seu inteio túneis que ligam egiões assimptoticamente planas do espaço-tempo. e aceitamos a fomação dos túneis de Ke, estes não existiiam po muito tempo devido à pesença de hoizontes de Cauchy que são instáveis elativamente a pequenas petubações. Um pacote de onda incidente sofe um desvio paa o azul, com um aumento exponencial da enegia ao apoxima-se do hoizonte de Cauchy, e cia campos gavitacionais intensos que fecham os túneis, possivelmente convetendo-os em singulaidades físicas (este esultado é ainda inceto, pois apenas foi investigado em pimeia odem na teoia das petubações). Logo, o inteio de buacos negos de Ke possivelmente não possui túneis que ligam outas egiões do espaço-tempo, mas singulaidades que esmagaiam qualque viajante. e fosse possível a fomação e a estabilização dos túneis de Ke, estes possuiiam singulaidades em foma de anel. e a física fosse puamente clássica e o buaco nego suficientemente gande com uma otação elevada, um viajante facilmente atavessaia a singulaidade. No entanto, a teoia quântica do campo pevê que as singulaidades quebam o vácuo, iadiando um fluxo intenso de patículas de altas enegias que cetamente mataia qualque viajante. Os womholes ofeecem um método altenativo às viagens intestelaes ápidas. A fig..1 apesenta um diagama de um womhole que liga dois univesos difeentes; a fig.. apesenta duas egiões distantes do mesmo univeso. fig..1 Diagama de um womhole que liga dois univesos difeentes. Ambos os womholes são descitos pela mesma solução das equações de campo de Einstein, mas difeem nas suas topologias. É impotante salienta que as equações de campo não impõem estições à topologia das soluções. 4
fig.. Diagama de um womhole que liga duas egiões distintas de um espaço-tempo. Mas também existem uma séie de objecções às viagens intestelaes utilizando os womholes de chwazschild. As foças de maé de oigem gavitacional na gaganta do womhole de chwazschild têm a mesma odem de gandeza das do hoizonte do buaco nego de chwazschild [1]. Um womhole de chwazschild é dinâmico. Ao longo do tempo, expande-se a pati de uma cicunfeência nula (dois univesos desligados) a um valo máximo na gaganta, depois contai-se novamente paa um valo nulo. Esta expansão e contacção é tão ápida que é impossível efectua uma viagem sem se esmagado pela contacção. Tal como o buaco banco, o womhole de chwazschild também possui um anti-hoizonte que é altamente instável elativamente a pequenas petubações. Foi descobeta uma solução das equações de campo de Einstein po Kip Thone e Michael Mois [] que desceve um womhole que é tansitável no espaço-tempo. É uma solução elativamente simples, inspiada em pate po um desafio lançado po Cal agan sobe a possibilidade eal de viagens intestelaes ápidas, ideia que é utilizada no seu livo Contacto [3]. fig..3 O diagama de megulho do womhole tansitável utilizado no Contacto em que a pesonagem efectua uma viagem da Tea a Vega. A estante pate deste capítulo é dedicada ao tatamento matemático sucinto de womholes tansitáveis no espaço-tempo. fig..4 Tavessia de Kip Thone atavés de um womhole tansitável. 5
.1 Popiedades do womhole tansitável Como vimos acima, existem váias objecções a viagens intestelaes baseadas em buacos negos e womholes de chwazschild. As popiedades impostas aos womholes tansitáveis são: 1. A mética é esfeicamente simética e estática. É uma condição imposta paa simplifica os cálculos.. A solução deve obedece às equações de campo de Einstein. 3. Paa se um womhole, a solução implica a existência de uma gaganta (um esteito fagmento do espaço-tempo extemamente cuvo), que liga duas egiões assimptoticamente planas do espaçotempo. 4. A ausência de hoizontes pemite a viagem em dois sentidos. 5. As foças gavitacionais de maé sentidas po um viajante devem se pequenas. 6. Um viajante deve atavessa o womhole num tempo pópio azoável, tal como o tempo medido po um obsevado colocado numa egião plana do espaço-tempo, ou seja, muito afastado do campo gavítico. 7. A matéia e os campos que geam a cuvatua do espaço-tempo são descitas po um tenso de enegia-momento com significado físico. 8. A solução deve se estável face a pequenas petubações duante a passagem do viajante. 9. Deve se possível constui um womhole com uma quantidade de matéia finita num intevalo de tempo finito. Nas secções seguintes apesentamos um tatamento matemático geal dos womholes tansitáveis que gozam das popiedades acima estipuladas.. A mética do espaço-tempo A mética do espaço-tempo é expessa duma foma estática e esfeicamente simética, [1]: d b 1 Φ ds = e dt + + + ( dθ sen θ dφ ) (.1) Φ=Φ() e b=b() são duas funções abitáias da coodenada adial. Como veemos mais abaixo, b() detemina a foma do womhole, logo seá designada a função de foma; Φ() detemina o desvio paa o vemelho de oigem gavitacional, então seá designada como a função desvio paa o vemelho. A coodenada adial,, tem um significado geomético específico, em que π é a cicunfeência de um cículo centado na gaganta do womhole. Consequentemente, é não-monótona pois diminui de + a um valo mínimo, b o, na gaganta e aumenta novamente paa +. Num espaço-tempo estático e assimptoticamente plano, as supefícies não-singulaes em que g 00 = e Φ 0 são as que identificam os hoizontes. Po exemplo, o womhole de chwazschild possui um hoizonte pecisamente na gaganta, =GM. Logo, a condição do womhole não possui qualque hoizonte coesponde a Φ() se finita em qualque ponto do espaço-tempo..3 Equações de estutua do womhole.3.1 Os tensoes de Riemann e de Einstein Paa detemina as equações de campo de Einstein e avalia as foças de maé sentidas po viajantes que atavessam o womhole, é peciso calcula os tensoes de Riemann e Einstein da mética, eq. (.1). 6
A mética é escita da seguinte foma: ds =g 1 00 = e g11= 1 b, g =, x 3 Φ = φ e ( ) θ dx g, g = sen dx x =, =, x = θ, α β αβ com 0 1 ct x 33. Esta pemite detemina os 1 símbolos de Cistoffel (conexões), Γ ( ) α αλ βγ = λβ γ + λγ β βγ λ g g λβ γ = x λβ γ g g g g,,, em que,, e consequentemente o tenso de Riemann, utilizando a seguinte expessão: R α β γ δ = Γ Γ + Γ Γ Γ Γ α α α λ α λ β δ, γ β γ, δ λ γ β δ λ δ β γ θ φ θ φ Os vectoes de base utilizados são ( e, e, e, e ) ( t,,, ) t e estão associados ao sistema de coodenadas, (t,, θ, φ), de modo que a sepaação ente dois acontecimentos com uma sepaação de coodenadas ( t,, θ, φ) é s = t e + e + θ e + φ e φ. t t Os cálculos subsequentes e a espectiva intepetação física seão simplificados utilizando uma base de vectoes otonomados associada ao efeencial pópio de um conjunto de obsevadoes que se mantém em epouso no sistema de coodenadas com (,θ,φ) constante. Utilizando a seguinte tansfomação e β = Λ α e, temos: $ α $ β Φ e e e t$ = t 1 e$ = ( 1 b ) e 1 e$ = e θ θ 1 e$ = ( sen ) e θ φ φ β, com ( Λ α ) $ = e Φ ( b ) 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ( senθ) 1 Nessa base os coeficientes da mética tomam as suas fomas da elatividade estita: 1 0 0 0 0 1 0 0 g e e $ $ = $. α β α $ = η β $ α $ = β 0 0 1 0 0 0 0 1 Paa calcula o tenso de Ricci, R $ $ µν, e o escala de cuvatua, R, utilizamos as seguintes α µν contacções R = R µαν, R = g R, atavés das quais podemos detemina o tenso de $ µν$ $ $ $ $ $ $ Einstein que apaece nas equações de campo, G = R 1 R g tenso de Einstein são: $ µν$ $ µν $ $ µν $ $ µν$. As componentes não nulas do G G G tˆˆ t ˆ ˆ ˆ θθˆ b' = b = 3 = G ˆ φφˆ Φ b ' + 1 b b' b = 1 Φ'' Φ ' + ( b) ( Φ' ) Φ' b' b + ( b) (.) 7
.3. O Tenso de enegia-momento O teoema de Bikhoff [1] estipula que as equações de campo de Einstein apenas pemitem uma solução de vácuo de um womhole esféico, nomeadamente a de um womhole de chwazschild, que não é tansitável. Logo um womhole tansitável é constituído po um tenso de enegia-momento não-nulo. Visto que as equações de campo de Einstein equeem que o tenso de enegia-momento seja popocional ao tenso de Einstein, na base otonomada o tenso de enegia-momento, T $ µν $, tem a mesma estutua algébica do que G $ µν $ da eq.(.). As únicas componentes não-nulas são pois T, T, T = T. Atendendo ao facto de que os obsevadoes estáticos utilizam os vectoes de t$$ t $$ $ θθ$ $ φφ$ base otonomados, cada uma das componentes do tenso de enegia-momento tem uma intepetação física simples: ( ) Tt $$ = ρ t T$ $ = τ( ) T$ $ = T$ $ = p θ θ φ φ ( ) (.3) em que ρ() é a densidade de massa-enegia total; τ() é a tensão po unidade de áea medida na diecção adial (i.e., a pessão adial a menos de um sinal negativo); p() é a pessão medida nas diecções lateais (diecções otogonais à diecção adial)..3.3 As equações de campo de Einstein As equações de campo de Einstein são G (eq.(.)) e o tenso de enegia-momento (eq.(.3)), temos: = 8 π GT e atendendo ao tenso de Einstein $ α $ β $ α $ β b' ρ = 8π G τ = 8π G p = [ b ( b) Φ' ] (.4) (.5) [( ρ τ ) Φ' τ '] τ (.6) As equações de campo (.4)-(.6) são tês equações difeenciais elacionadas com cinco funções desconhecidas da coodenada adial, : Φ(), b(), ρ(), τ() e p(). A esolução convencional dessas equações seia considea uma espécie de campo ou matéia paa a fonte do tenso de enegiamomento, e atavés de uma análise física da fonte, deiva equações de estado paa a tensão adial e a pessão lateal em função da densidade de massa-enegia, τ() e p(), espectivamente. Como esultado teíamos um sistema solúvel de cinco equações (duas equações de estado e tês equações de campo) com cinco funções desconhecidas da coodenada adial,. A título de exemplo, se estivéssemos a analisa a estutua de estelas de neutões, consideávamos τ(ρ)=p(ρ) (a equação de estado deduzida da física nuclea). Um outo exemplo consiste no estudo de buacos negos electicamente caegados. Consideávamos τ(ρ)=p(ρ)=ρ de acodo com o tenso de enegia-momento de um campo eléctico adial, e atavés das eq.(.4)-(.6) obtínhamos a solução de Reissne-Nodstom das equações de campo de Einstein. Na análise de womholes tansitáveis, a filosofia na esolução das equações de campo (.4)- (.6) é outa. Obte soluções com deteminadas popiedades manipulando as funções Φ() e b(). A 8
nossa escolha de b() foneceá ρ() atavés da eq.(.4); Φ() e b() foneceão τ(), e consequentemente p(). Em alguns casos, admitimos que o tenso de enegia-momento que gea a cuvatua do espaçotempo do womhole se extenda até aios abitaiamente elevados. Em outos casos, podemos confinálo no inteio de uma esfea de aio =R s. Nesse último caso, a tensão adial, τ, é contínua e tende paa zeo no limite R s. A geometia do espaço-tempo exteio à egião =R s tem a foma de chwazschild, condição imposta pelas equações (.4)-(.6), i.e., b()=b(r s )=const=b e Φ()=1/log(1 B/) se >R s. e não houve um cut-off do tenso de enegia-momento que gea a cuvatua espaciotempoal do womhole temos que impo a condição de que o espaço-tempo é assimptoticamente plano no infinito, i.e., b/ 0 e Φ 0 se +..4 A Geometia Espacial do Womhole: a matemática do megulho Utilizam-se os diagamas de megulho paa demonsta que a mética, eq.(.1), desceve um womhole. A geometia do espaço ti-dimensional com a coodenada tempoal fixa é de um inteesse paticula. A geometia é esfeicamente simética [1], logo sem peda de genealidade, podemos confina a análise a um plano equatoial (θ = π/). O elemento de linha, com t=const. e θ = π/, atendendo à mética, eq.(.1), é: ds 1 b = 1 d + d φ (.7) O objectivo do megulho é o de constui uma supefície bi-dimensional, megulhada num espaço Euclideano ti-dimensional, com a mesma geometia do que o plano equatoial descito acima, i.e., queemos visualiza a camada equatoial emovida do espaço-tempo e megulhada no espaço Euclideano. fig..5 O diagama de megulho de um womhole que liga dois espaços-tempo difeentes. Utilizam-se as coodenadas cilíndicas z, e φ no espaço Euclideano de megulho. A mética Euclideana no espaço de megulho tem a seguinte foma: ds = dz + d + dφ A supefície de megulho apesenta uma simetia axial e pode se descita pela função z(). O elemento de linha é: 9
ds dz = 1+ d d + dφ que é a mesma da eq.(.7), se identificamos as coodenadas (,φ) do espaço de megulho com as coodenadas (,φ) do espaço-tempo do womhole. Logo, a função de foma z() satisfaz a seguinte elação: dz d = ± 1 b( ) 1 (.8) O que demonsta o modo como b() condiciona a foma do womhole. fig..6 O diagama de megulho de um womhole que liga duas egiões de um espaço-tempo. A distância adial é positiva acima (o univeso ou espaço-tempo supeio) e negativa abaixo (o espaço-tempo infeio) da gaganta. A supefície de megulho é assimptoticamente plana a distâncias dz d muito elevadas da gaganta, ( ) assimptoticamente planas que o womhole liga. l ± = 0, o que coesponde às duas egiões.5 Foças gavitacionais de maé e o tempo de tavessia no womhole Imaginemos uma viagem atavés do womhole, numa diecção adial, que se inicia em epouso numa estação espacial no univeso infeio, em l= l 1, e temina numa estação espacial no univeso supeio, em l=+l. Designemos po v() a velocidade adial de um viajante, medida po um 1, com β=v. Logo, em temos da distância pópia obsevado estático em e γ = ( 1 β ) pecoida, dl, o aio pecoido, d, o tempo de coodenada decoido, dt, e o tempo pópio medido pelo viajante, dτ T, temos: dl v = Φ = m e dt vγ = d ( 1 b ) 1 Φ e dt v dl d = = m β 1 τ 1 dτ ( 1 ) d T ( 1 b ) O sinal ( ) efee-se à pimeia pate da viagem (no univeso infeio); o sinal (+) efee-se à segunda pate da viagem (no univeso supeio). T 10
.5.1 Condições impostas nas estações Atendendo ao facto de que a viagem inicia e temina em estações em epouso, temos v=0 em l= l 1 e l=+l, tal como v>0 em l 1 < l<+l. As estações em l= l 1 e l=+l estão suficientemente afastadas de modo que os efeitos gavitacionais sejam pequenos. Intoduzimos as seguintes condições nas estações: (i) A geometia do espaço-tempo é assimptoticamente plana, i.e., b << 1 (ii) O desvio paa o vemelho gavitacional de sinais enviados das estações até ao infinito é pequeno [1, 4]: λ Φ Φ Φ λ = e 1 << 1 1 = Φ' Φ A aceleação gavítica medida nas estações l 1 e l é g ( 1 b ) meno ou igual à aceleação gavítica teeste, i.e., g g. Resumindo, as condições impostas são: b << 1, Φ << 1 e Φ' ' e é g em l= l 1 e l=+l. Atendendo à condição de que Φ << 1, o tempo pópio nas estações é igual à coodenada tempoal da mética t..5. Condições impostas a uma tavessia De modo a considea uma viagem conveniente paa sees humanos atavés do womhole, é peciso impo tês condições: (i) A viagem deve demoa pouco tempo, digamos menos do que um ano, que paa o viajante que paa os obsevadoes nas estações l 1 e +l. τ = l dl γ 1 ano l1 v l dl t = Φ 1 ano l1 ve (.9) (ii) A aceleação sentida pelo viajante não deve excede g (a aceleação gavítica teeste). Localmente, podemos intoduzi uma base otonomada no efeencial pópio do viajante, ( e, e, e, e ) 0 $ ' 1 $ ' $ ' 3 $ ' ( e e e e ) t $, $, $, θ $ φ U e = $ ', definida em temos da base otonomada dos obsevadoes estáticos,, pela tansfomação de Loentz e e v = Λ : e = U = m m γ e γ β e 0 t e$ ' = γ e$ + γ β e 1 t$ e$ ' = e $ θ e$ ' = e 3 $ φ $ ' $ $ $ $' µ $' µ $ ν com ( Λ $ $ ' ) γ m γ β 0 0 γ β γ ν µ = m 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 é o quadi-vecto velocidade do viajante. O quadi-vecto aceleação deste é a U U α$' α$'; $ β ' $ β ' =. Visto que o quadi-vecto aceleação é otogonal ao quadi-vecto velocidade, 11
temos 0 a U = 0 = a e = a = a = 0 $ ' 0$ ' 0$ '. Como o viajante se move adialmente, a sua aceleação tem apenas uma componente adial, i.e., a $ ' = a 3 $ ' = 0 e a = a e 1 $ ', em que a é a intensidade da aceleação. Paa detemina a, consideemos que U α é uma função da posição adial,, do viajante; α β α calcula a = U U = U U Γ t α U U nas coodenadas (t,,θ,φ); e nota que t t; α t, ( ) at = a et = a e 1 $ ' et = γ β e Φ a. O esultado final é: 1 b a = m 1 e ( γ e )' = e β Φ Φ Φ d Φ ( γ e ) A condição de que o viajante sente uma aceleação meno ou igual à aceleação gavítica teeste é dada po: dl a Φ Φ ( γ e ) d( γ e ) d Φ Φ = e g e g dl dl (.10) (iii) As aceleações de maé, a, ente as váias pates do copo do viajante não deveão excede a aceleação gavítica teeste g. Designemos po ξ a sepaação vectoial ente duas pates do copo do viajante (ex. a sepaação ente a cabeça e os pés). viajante, i.e., ξ U = 0 = ξ 0 $ ', em que ξ é puamente espacial no efeencial pópio do U é o quadi-vecto velocidade do viajante. A aceleação de maé ente duas pates do copo do viajante é dada po [1, Box $' $' 37.1]: a α R α $ β $ ' $' $ ' U ' $' γ δ$ = U ' β γ δ ξ, em que R $' $ ' $' $ ' α Visto que U $' α $' $ ' α β γ δ são as componentes do tenso de Riemann. 0 = δ 0 e ξ $ ' = 0 no efeencial do viajante e atendendo ao caácte antisimético nos α dois pimeios índices de R $' $ β ' $' γ δ $ ', a $ α ' é puamente espacial com as seguintes componentes: $' $' $ ' $ ' $ ' $ ' $' j 0 $ ' k $ ' 0 $ ' j a = j k R 0 k 0 ξ = R ξ Tansfomando as componentes do tenso de Riemann do efeencial dos obsevadoes estáticos ( e e e e ) t $, $, $, θ $ φ Loentz, vem: paa o efeencial do viajante ( e, e, e, e ) 0 $ ' 1 $ ' $ ' 3 $ ' k$ ', atavés de uma tansfomação de R ˆ '0ˆ 'ˆ '0ˆ ' b b' b R = R ˆˆ ˆˆ = 1 Φ'' + Φ' 1ˆ '0ˆ '1ˆ'0ˆ ' t t ( b) γ b = R = γ R ˆˆ ˆˆ + γ β R ˆ ˆ = β b' + b Φ' 3ˆ '0ˆ '3ˆ'0ˆ ' θ tθ t θ ˆ θ ˆ ( Φ' ) ( ) Como essas são as únicas componentes não-nulas de R j de maé tomam as seguintes fomas: $' 0 $ ' k $ ' 0 $ ' no efeencial do viajante, as aceleações a a a 1$ ' 1$ = R ' 1$ ' 0$ ' 1$ ' 0$ ' ξ $ ' $ = R ' $ ' 0$ ' $ ' 0$ ' ξ 3$ ' 3$ = R ' 3$ ' 0$ ' 3$ ' 0$ ' ξ 1
uponhamos que ξ m (a altua do viajante), com ξ oientado ao longo de qualque diecção espacial do efeencial do viajante tal que a g. Logo, temos as sguintes estições: R R 1ˆ'0ˆ '1ˆ'0ˆ ' ˆ '0ˆ 'ˆ '0ˆ ' b b' b = 1 Φ'' + γ = ( b) b b' β + Φ' ( b) ( Φ' ) g m g Φ' m 8 ( 10 m) 1 1 8 ( 10 m) (.11) (.1) A equação (.11) pode se consideada a estição imposta ao coeficiente Φ. A estição é facilmente satisfeita consideando Φ' = 0 em todos os pontos do espaço-tempo. A equação (.1) pode se consideada a estição imposta à velocidade, v, do viajante ao atavessa o womhole. É útil compaa as componentes da aceleação elativa com as componentes de chwazschild: ( a) ( a) = ξ GM = + ξ 3 GM 3 Veifica-se que um buaco nego de chwazschild de pequenas dimensões, da odem de GM<10 8 m e M<10 5 M ol, esmagaá um viajante antes de este atingi a singulaidade cental..6 O Tenso de enegia-momento do womhole.6.1 Restições impostas à tensão e à densidade de enegia na gaganta do womhole As estições impostas à função de foma, b(), do womhole implicam que atavés das equações de campo de Einstein (.4)-(.6) existem estições das densidade de massa-enegia, ρ, da tensão adial, τ, e da pessão lateal, p, que geam a cuvatua espacio-tempoal. As estições mais seveas ocoem na gaganta do womhole. O facto de que =b=b 0 e ( b)φ 0 na gaganta (pois b é finito atavés da eq.(.4)), e devido à ausência do hoizonte (pois Φ é finito) implica, atavés da equação de campo (.5), que: τ 0 (tensão adial na gaganta) 1 8π Gb o 5 10 40 N 10m m b o que é uma tensão enome. e b 0 3km, τ 0 é da odem de 10 37 N/m, o que é a pessão no cento das maioes estelas de neutões. Paa analisa as tensões na gaganta e a sua vizinhança definimos a seguinte função adimensional, que designaemos po função de exoticidade, utilizando as equações de campo (.4) e (.5) e substituindo as funções τ e ρ pelas funções b e Φ : o τ ρ ζ = ρ ( b ) b' ( b) Φ' b' (.13) 13
A condição de que o womhole liga dois espaços-tempo assimptoticamente planos implica que a supefície de megulho na gaganta obedece a uma condição de espalhamento. Matematicamente, a condição de espalhamento na gaganta significa que o inveso da função de megulho, =(z) satisfaça d dz > 0 na vizinhança da gaganta, =b. Paa analisa as consequências dessa estição, utilizase: d dz = ± b( ) 1 1 Difeenciando em odem a z, obtém-se uma vesão de espalhamento: na gaganta ou na sua vizinhança. d dz b b = ' > 0 b (.14) Uma segunda vesão obtém-se combinando (.13) e (.14). Podemos edefini ζ paa qualque valo da coodenada adial, : ζ = b b ' d Φ ' ( b) dz b ' Esta elação, com o caácte finito de b (atendendo à eq.(.4)) e o facto de que ( b)φ 0 se veifica na gaganta, possibilita-nos esceve a condição de espalhamento (.14) como: na gaganta ou nas suas vizinhanças. τ0 ρ0 ζ = > ρ 0 0 em = b = b 0.6. Matéia exótica A condição τ 0 >ρ 0 é bastante poblemática, pois estipula que a tensão adial na gaganta exceda a densidade de massa-enegia, ρ 0. À matéia que goza dessa popiedade, τ 0 >ρ 0 >0, designaemos po matéia exótica. A natueza exótica dessa matéia, τ 0 >ρ 0 >0, é especialmente poblemática devido às implicações paa as medições efectuadas po obsevadoes que se movem atavés da gaganta com uma velocidade adial póxima da velocidade da luz, i.e., γ >>1. Um tal obsevado mediá uma densidade de massa-enegia (a pojecção do tenso enegia-momento, eq.(.3), com o seu vecto de base tempoal, e = γ e m γ β e ) dada po: 0 $ ' t$ $ T = γ T m γ β T + γ β T 0$ ' 0$ ' t$$ t t$ $ $ $ ( 0 0 ) ( ) γ ρ β τ γ ρ τ τ = = 0 0 + 0 e a velocidade fo suficientemente elevada, o viajante obsevaá uma densidade de massa-enegia negativa, ρ<0. É possível pova que qualque womhole não-estático e que não goza da popiedade de simetia esféica, é constituido po matéia cuja densidade de enegia é negativa, medida po deteminados obsevadoes. Uma análise qualitativa é a seguinte: Um feixe luminoso (geodésicas nulas) que enta numa boca e emege na outa, tem uma áea de secção eficaz que inicialmente diminui, depois aumenta ao atavessa a gaganta. A convesão do decéscimo paa o acéscimo da áea da secção eficaz apenas pode se poduzida pela epulsão gavitacional da matéia que constitui o womhole, o que coesponde à existência de densidades de massa-enegia negativas. 14
A desigualdade τ >ρ viola algumas condições de enegia, nomeadamente, as condições de enegia nula, faca, fote e dominante que são as bases fundamentais paa alguns teoemas impotantes. Mas existem campos quânticos em que o valo de expectação enomalizado do tenso de enegiamomento viola todas as condições de enegia. Logo, não devemos impo, sem alguma cautela, a impossibilidade da existência de matéia exótica. É possível que as leis fundamentais da física poíbam a existência da matéia exótica à escala macoscópica necessáia paa a constução de womholes. Mas é impotante salienta que as actuais consideações de τ ρ a nível macoscópico também seão supeadas quando tivemos uma maio e melho compeensão das leis da física, nomeadamente uma teoia da gavitação quântica..7 Uma viagem inteestela hipe-ápida utilizando um womhole uponhamos que temos um womhole com um túnel extemamente cuto e com ambas as bocas, em epouso, póximas da Tea. uponhamos, também, que podemos move qualque das bocas sem modifica a geometia intena do túnel. fig.5.7 O compimento do túnel do womhole mantém-se fixo, enquanto que as duas bocas estão animadas com um movimento elativo no univeso exteio. Cada figua epesenta um diagama de imesão de um womhole. Relativamente ao hipeespaço, a pate infeio do univeso desliza paa a dieita, enquanto que o womhole na pate supeio mantém-se em epouso Um obsevado, a bodo de uma nave, efectua uma viagem até Deneb com uma das bocas a uma velocidade muito póxima da da luz. eja τ o intevalo de tempo decoido nessa viagem. Duante a mesma, elógios que se encontem em epouso nas espectivas bocas pemaneceão sinconizados, tal como obsevado no inteio do womhole, pois o túnel mantém-se fixo. Uma vez chegado a Deneb, se o obsevado egessa imediatamente à Tea atavés do womhole, então o tempo de ida e volta seá dado po τ t τ. Temos, aqui, uma viagem supeluminal, pois t t <D. Uma vez estabelecido este posicionamento das espectivas bocas, uma em Deneb e outa na Tea, seá possível efectua viagens paticamente instantâneas ente estes dois pontos, com τ 0, devido ao túnel extemamente cuto do womhole. 15
3. Wap Dive Alcubiee demonstou [5], atavés de uma modificação do espaço-tempo, que é possível atingi velocidades abitaiamente elevadas. Estas velocidades podeão supea a velocidade da luz apesa dos obsevadoes estaem contidos nos seus cones de luz [6]. A enome velocidade de sepaação advém da expansão do pópio espaço-tempo, tal como ocoe na fase inflaçionáia do univeso. Podeíamos utiliza uma expansão do espaço-tempo paa nos afastamos de um objecto a uma velocidade abitaiamente elevada. De modo análogo, uma contacção do espaço-tempo apoximanos-ia de um objecto. É esta a base do modelo de Alcubiee paa viagens inteestelaes hipe-ápidas. O modelo consiste em cia uma distoção local do espaço-tempo que poduz uma expansão na pate taseia da nave espacial, e uma contacção na pate fontal. Deste modo a nave seá afastada da Tea e apoximada de um destino distante pelo pópio espaço-tempo. 3.1 A mética O espaço-tempo, no fomalismo 3+1 da Relatividade Geal [1], é descito po uma folheação de hipesupefícies espaciais com uma coodenada tempoal constante. A geometia do espaço-tempo é dada em temos da: mética ti-dimesional, g ij, das hipesupefícies espaciais; função de lapso, α, que fonece o intevalo de tempo pópio ente hipesupefícies vizinhas, tal como medido po obsevadoes Euleianos 3 ; um vecto shift, β i, que elaciona sistemas de coodenadas espaciais em hipesupefícies difeentes. Atendendo a essas condições, a mética do espaço-tempo é dada po: α ds = dτ = g dx dx i ( ) i i = α β β dt + β dx dt + γ dx dx i αβ uponhamos que a nave espacial move-se ao longo do eixo do 0x num sistema de coodenadas catesiano. A mética que empua uma nave espacial ao longo desta tajectóia, descita po uma função abitáia do tempo, x (t), tem as seguintes popiedades: β i ij j em que: α = 1 x β β y ( ) = v ( t) f ( t ) z = β = 0 = δ (3.1) g ij ( t) = x x ( t) + y + z ij dx ( ) t v ( t) = dt [( ) ] 1 e a função f, que po vezes designaemos po função de foma, é dada po: ( ) f ( σ( + )) σ( ) tgh( σ R) ( ) tgh R tgh R = (3.) em que R>0 e σ>0 são paâmetos abitáios. Note-se que paa elevados valoes de σ a função f() apoxima-se de uma função chapéu : 3 Um obsevado Euleiano tem uma quadi-velocidade nomal à hipesupefície. 16
( ) lim f σ 1 = 0 se se [ R, R] [ R, R] Na fig.3.1 está epesentada a função de foma, com σ= e R=6: fig.3.1 A função de foma de Alcubiee com σ= e R=6. Qualque foma da função f() é suficiente desde que tenha um valo apoximadamente igual a um numa egião s <R, e atinge apidamente o zeo no exteio da bolha, de modo que, no limite, s, se ecupea o espaço-tempo de Minkowski. A mética simplifica-se paa: ds = dt + ( dx v ( t) f ( ( t) ) dt) + dy + dz (3.3) Atendendo à elação (3.1) veifica-se que a geometia ti-dimensional das hipesupefícies é plana. A elação α=1, implica que as cuvas tempoais nomais às hipesupefícies são geodésicas, i.e., os obsevadoes Euleianos estão em queda live. Todavia, visto que o vecto de shift anula-se paa >>R, o espaço-tempo é essencialmente plano excepto numa egião com um aio de R centado em (x (t),0,0). O espaço-tempo também é plano no inteio da bolha, na egião em que f( s (t))=1, visto que um efeencial de inécia local é obtido atavés da seguinte tansfomação: x = x x ( t) s. Logo, um objecto comóvel com o cento da bolha, cuja tajectóia seja dada po x = 0, enconta-se em queda live 4. 3. A cuvatua extínseca e a expansão A infomação do espaço-tempo está contida no tenso de cuvatua extínseca, K ij, que desceve o modo como as hipesupefícies ti-dimensionais são imesas no espaço-tempo quadidimensional [1]: K 1 gij = + α β β t ij j i i j 4 Aplicando uma tansfomação x =x x s (t) e substituindo na eq. (3.3), a mética toma a seguinte foma: ds = dt + dx + dy + dz. Temos um efeencial de inécia local, logo, um objecto que se move com o cento da bolha, cuja tajectóia é dada po x =0, estaá em queda live. 17
e atendendo à foma de α e g ij, eduz-se a: ( ) 1 β β K ij = i j + j i A expansão, θ, dos elementos de volume associado aos obsevadoes Euleianos é dada em temos de K ij : θ = α T K = v x df d A figua epesenta o gáfico de θ em função de x e de ρ = ( y + z ) 1, no caso paticula em que σ= e R=4 e v =1. O cento de petubação coesponde à posição da nave, x (t). Veifica-se que os elementos de volume estão em expansão na taseia da nave, e em contacção na pate fontal. fig.3. Expansão dos elementos de volume da bolha de Alcubiee. Paa pova que a tajectóia da nave é ealmente uma cuva tempoal, independentemente do valo de v (t), substituimos x=x (t) em (3.3), logo: atendendo a v ( t) dx ( t) dt dτ=dt (3.4) = e à eq.(3.). A elação (3.4) implica que o tempo pópio iguala ao tempo das coodenadas. Visto que a coodenada tempoal, t, iguala ao tempo pópio de obsevadoes distantes, na egião plana do espaço-tempo, concluímos que a nave espacial não sofe qualque dilatação do tempo, apesa do seu movimento. É possível pova que as foças de maé na vizinhança imediata da nave são despezáveis, enquanto que na egião =R são enomes. 3.3 Viagens inteestelaes hipe-ápidas Paa demonstamos que é possível efectua uma viagem de ida e volta a uma estela distante num intevalo de tempo abitaiamente pequeno, consideemos o seguinte cenáio. Duas estelas, A e B, estão sepaadas po uma distância de D no espaço-tempo plano. No intevalo t 0, a nave inicia o seu movimento utilizando os motoes, afastando-se de A a uma velocidade de v<1. A uma distância d de A a nave efectua uma paagem. uponhamos que: 18
R << d << D (3.5) É neste instante que a petubação do espaço-tempo, centada na posição da nave, se inicia. A petubação é tal que empua a nave de A com uma aceleação de coodenadas que vaia apidamente de zeo a um valo constante de a. A meio caminho ente A e B, a petubação é modificada de modo que a aceleação vaia apidamente de a a a. A nave finalmente enconta-se-á em epouso a uma distância d de B, em que a petubação desapaeceá. A nave efectua um movimento até B com uma velocidade v. A viagem de etono a A efectua-se de um modo análogo. e as vaiações de aceleação são extemamente ápidas, o tempo de coodenadas total, T, decoido apenas na ida é dado po: T d = + v D d a O tempo pópio de ambas as estelas iguala o tempo das coodenadas, poque estas se encontam no espaço-tempo plano. O tempo pópio medido na nave é dado po: com γ = ( 1 v ) 1 d τ = + γ v D d a. A dilatação do tempo apenas suge na ausência da petubação do espaçotempo, na altua em que a nave se move com os seus motoes ligados. Atendendo à eq. (3.5), vem: τ T D a Veifica-se que T diminui com o acéscimo de a. A nave podeá viaja mais apidamente do que a velocidade da luz. No entanto, como já se veificou, esta mantém-se numa tajectóia tempoal, contida no seu cone de luz, pois a pópia luz também sofe a mesma distoção do espaço-tempo. Daí a denominação de wap dive do mecanismo. 3.4 A densidade de enegia Veifica-se que a mética descita acima, utilizando as equações de Einstein viola todas as condições de enegia [7, 8]. Utilizando as quadi-velocidades dos obsevadoes Euleianos: a densidade de enegia obsevada po estes seá: U µ = 1 1 µ = 0 α (, i β ), U ( α, ) µν T U U T G G v ρ df 00 1 00 1 µ ν = α = = 8π 8π G 4 d (3.6) em que ρ = ( y + z ) 1 é a distância adial pependicula ao eixo 0x, tal como definido acima. Na fig.3.3, veifica-se que a distibuição de enegia negativa está concentada numa egião tooidal pependicula à diecção do movimento. 19
fig.3.3 Distibuição da enegia negativa numa egião pependicula à diecção do movimento. 3.5 Análise de Kasnikov Kasnikov levantou uma questão inteessante no tocante às viagens supeluminaes segundo o mecanismo poposto po Alcubiee [9]. O ponto fundamental é que um obsevado não podeá influencia acontecimentos no exteio do seu cone de luz do futuo. Em paticula, isto significa que um astonauta a bodo de uma nave não podeá cia nem contola uma bolha de Alcubiee, que se move com v>c, em tono dessa nave. Esta conclusão advém do seguinte agumento: os pontos assentes na pate exteio fontal da bolha têm uma sepaação espacial em elação ao cento da mesma. Veificase esta afimação consideando a tajectóia de um fotão emitido a pati da nave na diecção positiva do eixo 0x [10]. Temos, então, ds =dy=dz=0 e a mética toma a seguinte foma: donde vem: ( ( ) ) ds = 0 = dt + dx v f dt dx dt ( ) = v f + 1. s s Ao faze uma análise no pópio efeencial de um obsevado que se desloca no cento da, a mética da eq. (3.3) toma a seguinte foma: bolha, efectuando a tansfomação x = x x ( t) s ( ( 1 ( )) ) ds = dt + dx + f v dt + dy + dz (3.7) Consideando uma cuva nula, teemos: 0
dx = 1 ( 1 f ) v dt s. e a nave se enconta em epouso no cento da bolha, então o fotão apesenta, inicialmente, dx/dt=v+1 ou dx /dt=1. Esta última condição veifica-se poque as novas coodenadas definem, localmente, um efeencial de inécia. No entanto, num dado ponto x = x c, com x c < R, tal que 0<f<1, veifica-se que dx/dt=v ou dx /dt=0. e dx/dt=v+1 no cento da bolha, temos, po continuidade, dx/dt=v paa alguns fotões que se movem na diecção +x no inteio da bolha e dx/dt=1 na egião exteio à bolha. Isto implica que os fotões que atingem o ponto x c pemanecem em epouso elativamente à bolha e são simplesmente aastados po esta. Os fotões emitidos no sentido positivo do eixo 0x, nunca chegam à supefície exteio da bolha, a qual, po esta azão, se enconta no exteio do cone de luz do futuo da nave. Logo, a bolha não podeá se ciada nem contolada po qualque acção da tipulação da nave, excluindo a utilização de sinais taquiónicos. Esta análise não significa que uma bolha de Alcubiee, se fosse possível a sua ciação, não pudesse se utilizada como um meio de tanspote supeluminal. Apenas significa que as acções necessáias paa a modificação da mética, e a consequente ciação da bolha, têm que se ealizadas po um obsevado, cujo cone de luz inclui a tajectóia da bolha. A fim de efectua viagens supe-luminais, uma nave colocada apopiadamente no caminho da tajectóia da bolha entaia no seu inteio, pemanecendo em epouso, sendo depois aastada até ao seu destino final. No entanto, Kasnikov popôs uma nova mética, em que um obsevado a bodo duma nave consegue efectua uma viagem de ida e volta, pelas suas pópias acções, num tempo abitaiamente cuto, medido po obsevadoes distantes. Esta mética seá apesentada e analisada no póximo capítulo. 1
4. Um Metopolitano upeluminal: o Tubo de Kasnikov A mética do wap dive, poposta po Alcubiee, apesenta o poblema de um obsevado no cento da bolha que se enconta causalmente sepaado da pate extena da supefície da mesma. Logo, um tal obsevado não conseguiá contola a bolha depois da sua ciação. A mética bi-dimensional oiginalmente poposta po Kasnikov não sofe desse poblema [9]. Esta mética tem a popiedade inteessante do tempo de uma viagem completa de ida e volta a uma estela distante, tal como ele é medido po elógios teestes, pode se abitaiamente cuto, emboa o tempo de ida não possa se diminuído. Na genealização quadi-dimensional de Eveett e Roman [10], é constuído um tubo ao longo da tajectóia de uma nave que liga a Tea à estela distante. No inteio do tubo, o espaço-tempo é plano, mas os cones de luz estão suficientemente inclinados paa pemiti uma viagem supeluminal num único sentido. Veifica-se que os tubos de Kasnikov, tal como as bolhas do wap dive e os womholes tansitáveis, envolvem densidades de enegia negativa. Apesa das suas difeenças, as méticas de Alcubiee e de Kasnikov têm em comum algumas popiedades impotantes. Em paticula, ambas implicam a existência de cuvas tempoais fechadas e os tensoes de enegia-momento espectivos violam a condição de enegia faca (WEC). 4.1 A mética bi-dimensional Kasnikov popôs uma nova mética bi-dimensional, em que se tona possível a um obsevado, manipulando o espaço-tempo, efectua uma viagem de ida e volta num intevalo de tempo abitaiamente cuto, dada po: com ds = = ( dt dx) ( dt + k( x, t) dx) dt + ( 1 k( x, t) ) dxdt + k( x, t) dx [ ] (, ) 1 ( δ ) θ ( ) θ ( ) θ ( + ε ) k x t t x x x D (4.1) ε ε ε. (4.) θ ε é uma função monótona e suave que satisfaz: ( ) θ ξ ε = 1 se ξ > ε 0 se ξ < 0 em que δ e ε são paâmetos positivos abitaiamente pequenos. A mética eduz-se à mética bidimensional de Minkowski se k=1. As duas funções θ ε ente paêntesis ectos anulam-se paa x<0 e cancelam-se se x>d, asseguando k=1 paa qualque t, excepto os valoes compeendidos ente x=0 e x=d. Quando se combina este compotamento com o efeito do facto θ ε (t x), veifica-se que a mética da eq.(4.1) se eduz ao espaço-tempo de Minkowski paa t<0, e quaisque valoes de t no exteio de 0<x<D. Paa t>x e ε<x<d ε, as pimeias duas funções θ ε na eq.(4.) igualam-se à unidade, enquanto θ ε (x+ε D)=0, e consequentemente, k=δ 1 na egião consideada. Existem duas fonteias espaciais ente estas duas egiões, com k constante; uma ente x=0 e x=ε paa t>0, e a outa ente x=d ε e x=d paa t>d.
4. As popiedades da mética Imaginemos que esta mética é poduzida pela tipulação de uma nave que pate da Tea (x=0) em t=0, e viaja ao longo do eixo 0x paa Deneb (x=d), com uma velocidade apoximadamente igual à da luz, de modo que o tempo de chegada seja t D. A tipulação pode modifica a mética, alteando o valo de k de 1 paa δ 1 ao longo do eixo 0x, na egião compeendida ente x=0 e x=d, deixando uma egião de tansição de lagua ε em cada extemidade, paa assegua a continuidade. A continuidade no tempo implica também que a modificação de k equeia um intevalo finito de tempo, cuja duação assumimos se ε, po simplicidade. No entanto, visto que a fonteia do cone de luz do futuo da nave, situada em t=0, é dada po x = t, um obsevado não pode modifica a mética em x antes do instante t=x. Esta análise justifica a pesença do facto θ ε (t x) na mética. Logo, existe uma egião de tansição tempoal ente os dois valoes de k, com a duação de ε, ao longo da linha de univeso da nave, dada po x t. A geometia esultante no plano (x,t) está indicada na fig.4.1, na qual as egiões sombeadas epesentam as duas egiões de tansição espacial 0<x<ε e D ε<x<d, e a egião de tansição tempoal x<t<x+ε. Na egião inteio do diagama, k tem o valo constante de δ 1, enquanto que k=1 nas egiões exteioes. A linha de univeso da nave está epesentada pela ecta AB. fig.4.1 O espaço-tempo de Kasnikov epesentado no plano. As linhas veticais E e D são as linhas de univeso da Tea e de Deneb, espectivamente. A linha de univeso da nave é apoximadamente epesentada pela cuva AB. As popiedades da mética modificada com δ 1 k 1 podem se analisadas pela foma factoizada da eq.(4.1) paa cuvas nulas, ds = 0. Os declives do cone de luz do futuo são dt dx = 1 e dt dx = k. O compotamento do cone de luz está indicado na fig.4., com k=1, k=0 e k=δ 1. fig.4. Os cones de luz do futuo paa k=1, k=0, k=δ 1, espectivamente. 3
Veifica-se que na egião inteio da fig.4.1, onde k=δ 1, o espaço-tempo é plano, visto que a mética dada pela eq.(4.1) pode se eduzida à de Minkowski pelas seguintes tansfomações de coodenadas: δ dt = dt + 1 dx dx = dx δ (4.3) Note-se que a amificação da esqueda na egião inteio é dada po dx dt = 1. A tansfomação é singula em δ=0, i. e., k= 1. Das equações (4.3) obtemos: dt dx dt = + δ 1 δ dt (4.4) Paa um objecto que se popague no inteio do seu cone de luz do futuo, teemos d t >. e 0<δ, um tal objecto popaga-se no sentido positivo de x (e de x), d x dt < 1 e 0 veificando-se que dt>0. No entanto, paa δ<1, um objecto que se mova suficientemente póximo da amificação esqueda do cone de luz, dada po dx /dt = 1, veifica-se dt/dt <0 e consequentemente, ele apaenta uma popagação paa tás no tempo, tal como é medida po obsevadoes na egião exteio, com δ= e k=1, da fig.4.1. Estas popiedades de movimento, na mética de Kasnikov, com δ<1, podem se deduzidas a pati dos cones de luz da fig.4.. 4.3 Uma viagem supeluminal ente a Tea e Deneb Imaginemos que a nave, que patiu da Tea e chegou a Deneb no instante t D, tenha modificado a mética de modo que k 1 (i.e. δ 0) ao longo da sua tajectóia. Imaginemos, agoa, que a nave egessa à Tea, novamente a uma velocidade póxima da da luz (medida no seu efeencial de inécia local), i.e., ao longo da amificação esqueda do cone de luz, com dx dt = 1. Logo, das dx 1 1 eqs.(.3) etia-se a seguinte elação: v = 1 e dt<0 (visto que dx<0). dt k 1 δ O egesso da nave à Tea desde Deneb efectua-se num intevalo de tempo ( 1) t = D v = D δ. O tempo total de ida e volta, medida na Tea seá t E =D+ t =Dδ. Po simplicidade, consideemos a espessua ε negligível. Numa viagem supeluminal está implicito, pois, que t < D (se δ>0) e que o intevalo ente a patida de Deneb e a chegada à Tea é espacial. Note-se que t E >0, o que significa que a chegada à Tea pecede necessaiamente a sua patida. Mas t E podeá toma um valo paticamente nulo, atendendo a uma escolha apopiada do paâmeto δ. Esta mética, po si só, não gea cuvas tempoais fechadas, visto que t E >0, i.e. a nave não viaja paa o seu passado. O apaecimento de cuvas tempoais fechadas é possível apenas na genealização ao caso quadi-dimensional. 4.4 Uma viagem instantânea Existe uma outa popiedade inteessante da mética de Kasnikov, em que a viagem é instantânea, dt/dt =0, quando vista po obsevadoes nas egiões exteioes da fig.4.1. Em conceto, se 4
δ<1, existe um deteminado valo de dx /dt paa o qual se veifica dt/dt =0. Esta obsevação também pode se deduzida da fig.4.. Então, da eq.(4.4), obtemos a seguinte elação: que está compeendida ente 0 e 1 paa 0<δ<1. dx dt = δ δ 4.5 A genealização quadi-dimensional A quato dimensões, a modificação da mética inicia-se ao longo da tajectóia da nave, que se move segundo o do eixo 0x. A modificação da mética ocoe na posição x, e no instante t x, que é o tempo de passagem da nave em x. uponhamos que a petubação da mética se popaga adialmente a pati do eixo 0x, de modo que a causalidade implica que no instante t a egião em que a mética foi modificada não podeá estende-se além de ρ=t x, com ρ = ( y + z ) 1. Reque-se, também, que a modificação não se estenda além de uma distância adial máxima, ρ máx <<D, do eixo dos 0x. Logo, num espaço-tempo quadi-dimensional podemos substitui a eq.(4.) po: (,,ρ) ( δ ) θε ( ρmax ρ) θε ( ρ) [ θε ( ) θε ( + ε )] k x t 1 t x x x D (4.5) e a mética em coodenadas cilíndicas, seá dada po: ( 1 (,, )) (,, ) ds = dt + k x t ρ dx dt + k x t ρ dx + dρ + ρ dφ. (4.6) Consideemos, po simplicidade, que todos os paâmetos, ε, nas funções θ ε, são iguais. Paa t>>d+ρ máx, temos um tubo de aio ρ máx centado no eixo 0x, dento do qual a mética foi modificada. Esta estutua é designada po tubo de Kasnikov. Em contaste com a mética de Alcubiee, a de Kasnikov é estática a pati do momento da sua ciação. Paa ρ máx >>ε, o tubo consiste de uma egião cental plana, com o aio de ρ máx ε, ao longo de ε<x<d ε e k=δ 1=constante. Esta egião cental é envolvida po camadas finas e extemidades de espessua ε, com k a vaia ente k=δ 1 e k=1. Esta análise está epesentada na fig.4.3, que mosta secções tansvesais de uma egião do tubo em que ε<x<d ε e de uma das extemidades. fig.4.3 ecções tansvesais espaciais do tubo de Kasnikov, com x=c te e t=c te. O pimeio diagama é uma secção tansvesal de um plano em ε< x<d ε. O segundo é uma secção tansvesal de uma das extemidades. 5