MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade do que tem, ficará com uma quantia igual a um terço do que possui Maria. Quanto possui cada uma das meninas Amélia, Lúcia e Maria? Se, m e a são as quantias em reais que Lúcia, Maria e Amélia possuem, então + 3 = a 3 a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 8 3 a m 3a m = 0 = 3 a = 6 3a m = 0 m = 36 = 8 m = 36 a = Resposta: Amélia possui reais, Lúcia possui 8 reais e Maria possui 36 reais. FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
Na figura abaixo, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo O ^AB mede 0, AO = 3 e AB =. Sabendose ainda que a área do triângulo OCD vale 6003, a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD. a) A área do triângulo AOB é: AB. AO. sen 0 3 3 3 S = =.. 3. = b) Sendo x = CO e y = CD, da semelhança dos triângulos AOB e DOC, tem-se: 3 x = y= x y 3 Por outro lado, a área do triângulo COD é igual a 600 3. Assim:. x. y. sen 0 = 600 3 x 3. x.. = 600 3 3 x = 3600 x = 60, pois x > 0. 60 e y = = 0 3 3 3 Respostas: a) unidades de área b) CO = 60 unidades de comprimento e CD = 0 unidades de comprimento FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
3 Em uma progressão aritmética a, a,..., a n,... a soma dos n primeiros termos é dada por S n = bn + n, sendo b um número real. Sabendo-se que a 3 = 7, determine a) o valor de b e a razão da progressão aritmética. b) o 0 termo da progressão. c) a soma dos 0 primeiros termos da progressão. Admitindo que S n = bn + n, qualquer que seja n *, e sendo r a razão da PA, temos: a) a 3 = S 3 S = (b. 3 + 3) (b. + ) = 6 = b + = 7 b = a = S S = (b. + ) (b. + ) = 6 3 = 3b + = 3. + = A razão r é tal que: 3 r = a 3 a = 7 = b) a 0 = S 0 S 9 = (b. 0 + 0) (b. 9 + 9) = 6 39 = 39b + = 39. + = 6 c) S 0 =. 0 + 0 = 00 6 Respostas: a) b = e r = 39 b) a 0 = c) S 0 = 00 FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB =, CD = e AC = 3. a) Determine a altura do trapézio. b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência. a) Seja h a medida da altura do trapézio. No triângulo retângulo AHC, temos: h + 3 = (3) h = 9 h = 3 b) Seja r a medida do raio da circunferência. Dos triângulos retângulos AMO e DNO, temos: r = x + r = x + r = + (h x) r = + (3 x) r = x + r = + 9 6x + x r = x + x + = 0 6x + x c) Sendo S a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência, temos: S = S círculo S trapézio = = π. ( ) = π 9 Respostas: a) h = 3 ( + ). 3 x = r =, pois r > 0 b) r = c) S = π 9 FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação cosx + 3senx =. Determine os valores de senx e cosx. º). cos(x) + 3. sen x =. (. sen x) + 3. sen x = 0. sen x 3. sen x = 0 sen x = (pois x pertence ao 3º quadrante) º)Se sen x = cos x = cos x = 6 Resposta: sen x = e cos x = sen x, temos = (pois x pertence ao 3º quadrante) e cos x = 6 FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
6 Na figura abaixo, os pontos A, A, A 3, A, A, A 6 são vértices de um hexágono regular de lado 3 com centro na origem O de um sistema de coordenadas no plano. Os vértices A e A pertencem ao eixo x. São dados também os pontos (B =,0) e C = (0,). Considere a reta que passa pela origem O e intersecta o segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e OPC tenham a mesma área. Nessas condições, determine a) a equação da reta OP. b) os pontos de interseção da reta OP com o hexágono. A partir do enunciado, e considerando a figura a seguir, temos: a) º). A OBC = = A OPB = A OPC A OPB = A OPC = º) Se P(x P, y P ), temos OB. y. y A OPB = = P P y P = OC. x. x A OPC = P = P x P = Portanto: P ; FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
3º) A equação da reta OP, que passa pela origem e tem y coeficiente angular m = P =, é y =. x b) º) A equação da reta A A, que passa pelo ponto A (3; 0) e tem coeficiente angular m = tg 0 = 3, é: y 0 = 3. (x 3) y = 3. (x 3) º) O ponto Q é a intersecção das retas OP e A A, então x 6. 6 3 y = y = 3. (x 3) 6. 6 3 6. 6 3 Portanto: Q ; x P x = 6. 6 3 y = 3º)O ponto R, intersecção da reta OP com a reta A A, é o ponto simétrico de Q em relação à origem, resultando as coordenadas 6. 6 3 6. 6 3 R ; Respostas: a) y =. x 6. 6 3 6. 6 3 b) Q ; 6. 6 3 6. 6 3 R ; FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
7 Uma urna contém bolas brancas e 3 bolas pretas. Três bolas são retiradas ao acaso, sucessivamente, sem reposição. Determine a) a probabilidade de que tenham sido retiradas bolas pretas e bola branca. b) a probabilidade de que tenham sido retiradas bolas pretas e bola branca, sabendo-se que as três bolas retiradas não são da mesma cor. A urna tem exatamente bolas brancas e 3 pretas. Assim, a) a probabilidade de se obter, em 3 extrações sem reposição, duas bolas pretas e uma branca é: 3 3... = 8 7 6 6 b) º) a probabilidade de se obter, de modo análogo, duas brancas e uma preta é: 3... 3 = 8 7 6 30 6 º) a probabilidade de se obter duas brancas e uma preta, sabendo-se que as bolas não têm a mesma cor, é: 6 = = 30 3 + 6 6 Respostas: a) b) 6 3 Obs: Para o item (b), outra maneira de resolver é: O número de maneiras de retirar bolas pretas e uma branca é: C 3,. C, = 3. = O número de possibilidades de retirar 3 bolas não da mesma cor é: C 8,3 C,3 C 3,3 = 6 0 = A probabilidade pedida é = 3 FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
8 Um castelo está cercado por uma vala cujas bordas são dois círculos concêntricos de raios m e m. A profundidade da vala é constante e igual a 3 m. O proprietário decidiu enchê-la com água e, para este fim, contratou caminhões-pipa, cujos reservatórios são cilindros circulares retos com raio da base de, m e altura igual a 8 m. Determine o número mínimo de caminhões-pipa necessário para encher completamente a vala. ) Sejam: V o volume, em m 3, do cilindro circular reto de raio m e altura 3m, V o volume, em m 3, do cilindro circular reto de raio m e altura 3m, V v o volume, em m 3, da vala e V c o volume, em m 3, do reservatório de cada caminhão. ) V = π.. 3 = 03π V = π.. 3 = 607π V c = π. (,). 8 = 8π 3) V v = V V = 607π 03π = 03π ) O número mínimo de caminhões necessários e suficientes é o menor inteiro n tal que V 03π n v = 7,3. Portanto, 8 caminhões. 8π V c Resposta: 8 caminhões FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
9 a) Represente, no sistema de coordenadas desenhado na folha de respostas ao lado, os gráficos das funções f(x) = x x + 7 e g(x) =. b) Resolva a inequação x x + 7. a) O gráfico de h(x) = x é do tipo e, portanto, o gráfico de f(x) = x resulta O gráfico de g(x) = x + 7 é As abscissas dos pontos de intersecção dos dois gráficos são as soluções da equação f(x) = g(x) x x + 7 = Para x ou x, temos: + x x + 7 = 8 + x = x + 7 x x = 0 x = ou x = 3 Para x, resulta FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
x x + 7 = 8 x = x + 7 x x + = 0 x = ou x = Representando os dois gráficos num mesmo sistema de coordenadas, resulta: b) Analisando os gráficos esboçados no item anterior, com as correspondentes abscissas dos pontos comuns, concluímos que x f(x) g(x) x ou x 3 Respostas: a) gráfico b) S = x x ou x 3 x + 7 FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
0 O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta AE e AM = 3. ME. Calcule: a) O volume do tetraedro BCGM. b) A área do triângulo BCM. c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento CM. Sendo AM + ME = a e AM = 3. ME, tem-se: 3a a AM = e ME = a) O volume V do tetraedro BCGM é dado por um terço do produto entre a área do triângulo BCG e a distância a, do ponto M ao plano que contém o triângulo BCG. a. a Assim: V =.. a V = 3 a 3 6 b) (BM) = a + BM = a 3a (BM) = a 6 Assim, a área S do triângulo retângulo BCM é: a. a BM. BC S = S = S = a 8 FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007
c) (CM) = (BM) + (BC) (CM) = a + a CM = a A distância d entre o ponto B e a reta CM é a medida da altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo BCM. a a Assim: CM. d = BM. BC. d =. a a d = d = a a 3 a Respostas: a) b) c) 6 8 a COMENTÁRIO E GRÁFICO Matemática Com quatro questões de álgebra, quatro de geometria, uma de trigonometria e uma de geometria analítica, todas muito bem enunciadas, a banca examinadora formulou uma excelente prova de Matemática. FUVEST (ª Fase) - Janeiro/007