Universidade Federal do Rio de Janeiro Escola Politécnica Programa de Projeto de Estruturas

Unversdade Federal do Ro de Janero Escola Poltécnca Programa de Projeto de Estruturas André Pmenta Celeste MODELO DO PAINEL FISSURADO APLICADO A VIGAS DE CONCRETO ARMADO

UFRJ André Pmenta Celeste MODELO DO PAINEL FISSURADO APLICADO A VIGAS DE CONCRETO ARMADO Dssertação de Mestrado apresentada ao Programa de Projeto de Estruturas, Escola Poltécnca, da Unversdade Federal do Ro de Janero, como parte dos requstos necessáros à obtenção do título de Mestre em Projeto de Estruturas. Orentador: Sergo Hampshre de Carvalho Santos Ro de Janero 2015

Celeste, André Pmenta Modelo do panel fssurado aplcado a vgas de concreto armado / André Pmenta Celeste 2015. 97: 30 cm. Dssertação (Mestrado em Projeto de Estruturas) Unversdade Federal do Ro de Janero, Escola Poltécnca, Programa de Projeto de Estruturas, Ro de Janero, 2015. Orentador: Sergo Hampshre de Carvalho Santos 1. Panel fssurado, 2. Concreto armado, 3. Aplcações. I. Santos, Sergo Hampshre de Carvalho II. Unversdade Federal do Ro de Janero. Escola Poltécnca. III. Título.

UFRJ MODELO DO PAINEL FISSURADO APLICADO A VIGAS DE CONCRETO ARMADO André Pmenta Celeste Orentador: Sergo Hampshre de Carvalho Santos Dssertação de Mestrado apresentada ao Programa de Projeto de Estruturas, Escola Poltécnca, da Unversdade Federal do Ro de Janero, como parte dos requstos necessáros à obtenção do título de Mestre em Projeto de Estruturas. Aprovada pela Banca: Prof. Sergo Hampshre de Carvalho Santos, D. Sc., UFRJ Prof. Henrque Innecco Longo, D. Sc., UFRJ Prof. Júlo Jerônmo Holtz Slva Flho, D. Sc., PUC-RJ Dr. Dego Orlando, D. Sc., ENGEVIX. Ro de Janero 2015 v

AGRADECIMENTOS Ao Professor Sergo Hampshre de Carvalho Santos pelo apoo, pacênca e atenção dada para a conclusão deste trabalho, além do seu empenho em desenvolver o Programa de Projeto de Estruturas para dssemnar o conhecmento da Engenhara para os menos experentes. Ao Professor Henrque Innecco Longo, pelos ensnamentos e pela partcpação nesta Banca. Ao D.Sc. Dego Orlando, pelo ncentvo ao longo da elaboração deste trabalho e pela partcpação nesta Banca. Ao Professor Júlo Jerônmo Holtz Slva Flho, pela partcpação nesta Banca. Ao Professor Plácdo Barbosa, pela enorme contrbução e ncentvo ao longo da elaboração deste trabalho. À mnha famíla, pelo apoo ncondconal e necessáro para que eu concluísse a graduação. Em especal ao meu Pa, Sergo Celeste, engenhero cvl que me nsprou profssonalmente e pelo exemplo de vda. À mnha mãe, Fátma pelos bons conselhos e por sempre me ncentvar. À mnha esposa Bruna que sempre me apoou, esteve ao meu lado e sofreu com mnhas prvações para a conclusão deste trabalho. Aos amgos que sempre acredtaram, me ncentvaram e torceram por mm. A todos que, de alguma forma, contrbuíram para a realzação deste trabalho. v

RESUMO Celeste, André Pmenta. Modelo do Panel Fssurado Aplcado a Vgas de Concreto Armado. Ro de Janero. 2015. Dssertação (Mestrado) Programa de Projeto de Estruturas, Escola Poltécnca, Unversdade Federal do Ro de Janero. Ro de Janero. 2015. Este trabalho desenvolve métodos raconas, baseados no modelo de panel fssurado, para que seja consderada a nfluênca do esforço cortante acoplado ao dmensonamento de vgas de concreto armado submetdas à flexão-composta, consderando o efeto da não-lneardade físca. O modelo do panel fssurado se basea numa generalzação da trelça de Mörsch, com varação dos ângulos de nclnação das belas de compressão ao longo da altura da seção, admtndo-os guas ao ângulo de nclnação das fssuras. A Teora do Campo de Compressão pode ser consderada como o estado da arte no dmensonamento do concreto estrutural, mas a sua utlzação não é ntutva e nem prátca para o cálculo usual. Para consegur manusear essa teora, sem que seja necessáro fazer smplfcações grosseras, é precso obter-se soluções automatzadas, como as dsponíves no programa RESPONSE-2000. O método de seção equvalente é uma adaptação do modelo de panel fssurado às regras usuas de dmensonamento à flexão, sendo uma manera prátca de se obter o fluxo de csalhamento ao longo da altura da seção. O programa FNL-CORTE fo aqu desenvolvdo para automatzar a aplcação deste método. A comparação entre resultados obtdos pelo método da seção equvalente e a Teora do Campo de Compressão é feta com relação a resultados de dmensonamento usual segundo a teora de trelça e as defnções fetas para o dmensonamento à flexão e ao csalhamento da NBR6118:2014. Palavras-chave: concreto armado; força cortante; csalhamento; flexão composta; nãolneardade. v

ABSTRACT Celeste, André Pmenta. Compressve Feld Model Appled to Renforced Concrete Beams. Ro de Janero. 2015. Dssertação (Mestrado) Programa de Projeto de Estruturas, Escola Poltécnca, Unversdade Federal do Ro de Janero. Ro de Janero. 2015. Ths thess presents ratonal methods, based on the compressve feld model, for the consderaton of the nfluence of the shear forces jontly wth the flexural desgn of renforced concrete beams, consderng physcal non-lnearty effects. The compressve feld model s based on the varaton of the nclnaton angles n the Mörsch truss along the beams heght, assumng them as equal to the nclnaton angle of the cracks. The Compresson Feld Theory can be regarded as the state-of-the art n the structural concrete desgn, but ts use s nether ntutve nor practcal for usual calculatons. For usng ths theory wthout assumng rough smplfcatons, t s necessary to obtan automatzed solutons, as the ones avalable n the computer program RESPONSE-2000. The equvalent secton method s an adaptaton of the compresson feld model to the usual flexural desgn rules, beng a practcal way of obtanng the stress flux throughout the heght of the secton. The program FNL-CORTE has been heren developed for automatzng the applcaton of ths method. Comparsons between results obtaned wth the equvalent secton method and the compresson feld theory are done wth relaton to desgn results obtaned followng the truss model and the shear and flexural desgn rules defned by NBR6118:2014. Key-words: renforced concrete, shear, eccentrc compresson, non-lnearty. v

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO... 1 2. ESFORÇO CORTANTE E TENSÕES DIAGONAIS... 4 2.1. Tensão dagonal em vgas homogêneas e elástcas... 4 2.2. Modelo de Trelça... 8 2.2.1. Teora de Belas e Trantes... 10 2.3. Dmensonamento à força cortante segundo a NBR 6118:2014... 12 2.3.1. Verfcação da compressão dagonal do concreto... 13 2.3.2. Cálculo da armadura transversal... 14 2.3.3. Decalagem da armadura no banzo traconado.... 15 2.3.4. Condções Geras.... 16 2.3.5. Condções relatvas às cargas próxmas aos apoos.... 17 3. TEORIA DO CAMPO DE COMPRESSÃO MODIFICADA... 19 3.1. Teora do Campo de Compressão Modfcada... 19 3.1.1. Equações de Equlíbro Interno... 20 3.1.2. Equações de Compatbldade... 23 3.1.3. Relações consttutvas.... 24 3.2. Abordagem Geral do Programa RESPONSE-2000... 31 3.2.1. Entrada de dados.... 31 4. MODELO ACOPLADO PARA ANÁLISE NÃO-LINEAR DE FLEXÃO- COMPOSTA E ESFORÇO CORTANTE... 42 4.1. Modelo para Análse Não-Lnear de Flexão-Composta... 42 4.1.1. Fundamentos Teórcos... 42 4.1.2. Defnção da Seção Transversal de Concreto Armado... 46 4.1.3. Relações Consttutvas do Concreto e do Aço.... 49 4.2. Método teratvo de Newton-Raphson para determnação não-lnear da confguração deformada... 51 4.2.1. Concetos báscos... 51 4.2.2. Determnação não-lnear da confguração deformada... 53 4.3. Método da Seção Equvalente.... 57 4.4. Abordagem Geral do Programa FNL-CORTE... 67 4.4.1. Dados Geométrcos... 67 4.4.2. Dados Consttutvos... 70 v

4.4.3. Carregamentos... 71 4.4.4. Análse... 72 4.4.5. Resultados... 73 5. EXEMPLOS... 74 5.1. Exemplo 1... 74 5.1.1. Dmensonamento da Flexão Smples e do Esforço Cortante (NBR)... 75 5.1.2. Dmensonamento por belas e trantes (Trelça)... 76 5.1.3. Dmensonamento pelo Método da Seção Equvalente (MSE)... 77 5.1.4. Dmensonamento pela Teora de Campo de Compressão (RSP)... 77 5.1.5. Comparação de resultados... 77 5.2. Exemplo 2... 83 5.3. Exemplo 3... 87 5.3.1. Dados Geras... 87 5.3.2. Resultados... 87 6. CONCLUSÃO... 94 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 96 x

ÍNDICE DE FIGURAS Fgura 2-1 - Vga Lamnada Homogênea [2].... 4 Fgura 2-2 Trajetóra de tensões em vga retangular homogênea [2].... 6 Fgura 2-3 - Pesqusa sobre esforço cortante de MÖRSCH [3].... 8 Fgura 2-4 Modelo de trelça para vga com armadura na alma [2]... 9 Fgura 2-5 Dagrama do modelo de trelça para análse de belas e trantes [14]... 10 Fgura 2-6 Carregamentos e esforços em uma vga b-apoada genérca [14].... 11 Fgura 2-7 Dagrama de corpo lvre [14]... 11 Fgura 3-1 - Vga fssurada sujeta ao esforço cortante, momento fletor e esforço normal.... 20 Fgura 3-2 - Tensões nos Panés de Concreto, Armadura e Concreto Armado.... 21 Fgura 3-3 - Círculo de Mohr das tensões médas no concreto.... 22 Fgura 3-4 Deformações médas em elementos fssurados.... 23 Fgura 3-5 Crculo de Mohr das específcas médas.... 24 Fgura 3-6 - Curva Tensão-Deformação para concreto fssurado à compressão. [6]... 25 Fgura 3-7 - Curva proposta para a tensão máxma de compressão. [6]... 26 Fgura 3-8 - Dagrama tensão-deformação médos, para fenômenos de tração no concreto fssurado. [6]... 27 Fgura 3-9- Detalhe dos esforços localzados nas fssuras e entre fssuras.... 28 Fgura 3-10 Transmssão das tensões de csalhamento através de uma fssura pelas lgações das partículas de agregado [6]... 29 Fgura 3-11 Janela de defnção de preferêncas do Programa RESPONSE-2000.... 32 Fgura 3-12 Barra de ferramentas Defne do Programa RESPONSE-2000... 32 Fgura 3-13 Janela de Defnções Geras do Programa RESPONSE-2000.... 33 Fgura 3-14 Esquema das grandezas utlzadas para o cálculo do espaçamento automátco das fssuras, segundo o programa RESPONSE2000.... 34 Fgura 3-15 Curva segmental do concreto à compressão [1].... 35 Fgura 3-16 Janela de Defnções do Concreto do Programa RESPONSE-2000.... 35 Fgura 3-17 Janela de Defnções da Armadura do Programa RESPONSE-2000... 36 Fgura 3-18 Dagramas Tensão-Deformação do concreto e do aço, gerados pelo Programa RESPONSE-2000.... 36 Fgura 3-19 Janela de Defnção da Seção de Concreto do Programa RESPONSE- 2000.... 37 x

Fgura 3-20 Janela de Defnção da Armadura Transversal do Programa RESPONSE- 2000.... 37 Fgura 3-21 Janela de Defnção da Armadura Longtudnal do Programa RESPONSE- 2000.... 38 Fgura 3-22 Barra de Ferramentas Loads do Programa RESPONSE-2000... 38 Fgura 3-23 Janela de Defnção das Ações em uma Seção Transversal do Programa RESPONSE-2000.... 39 Fgura 3-24 Janela de Defnção da Analse Longtudnal da Vga do Programa RESPONSE-2000.... 39 Fgura 3-25 Quadro de Resumo dos Dados da Seção Transversal do Programa RESPONSE-2000.... 40 Fgura 3-26 Barra de ferramentas Solve do Programa RESPONSE-2000... 41 Fgura 4-1- Exos locas do elemento estrutural lnear, submetdo à flexão.... 42 Fgura 4-2 - Deformação longtudnal de um elemento submetdo à flexão pura.... 43 Fgura 4-3 -Tensões e deformações em uma seção transversal à flexão... 45 Fgura 4-4 - Deformações em uma seção transversal submetda à flexão-composta.... 46 Fgura 4-5 - Deformações em uma seção transversal de concreto armado, submetda à flexão-composta.... 47 Fgura 4-6-Dagrama tensão-deformação dealzado para [1]... 49 Fgura 4-7- Dagrama tensão-deformação para aços de armaduras passvas [1].... 50 Fgura 4-8 - Representação gráfca do Método de Newton-Raphson com duas varáves.... 52 Fgura 4-9 Fluxograma para flexão composta.... 56 Fgura 4-10 - Plano de tensões de csalhamento em uma vga: (a) esforços em uma vga;... 58 Fgura 4-11 - Determnação do Fluxo de Csalhamento pelo Método da Área Equvalente.... 59 Fgura 4-12 Tensões decorrentes de força normal, momento fletor e força cortante atuantes em vgas de concreto armado.... 60 Fgura 4-13 - Círculo de Mohr das tensões no concreto fssurado que não resste aos esforços de tração.... 61 Fgura 4-14 - Seção resstente a solctações normas e à força cortante.... 63 Fgura 4-15 - Esforço cortante aplcado nas faxas, [16].... 63 Fgura 4-16 Fluxograma para o método da seção equvalente.... 66 x

Fgura 4-17 - Seção transversal de concreto e dstrbução da armadura longtudnal, FNL-CORTE.... 70 Fgura 4-18 - Referênca de orentação das solctações, FNL-CORTE.... 71 Fgura 5-1 - Esquema longtudnal de carregamento e armaduras. [14]... 75 Fgura 5-2 - Esquema de trelça dscreta para o método de belas e trantes. [14]... 77 Fgura 5-3 Dagrama qualtatvo de deformações longtudnas nas seções analsadas, Exemplo 1.... 78 Fgura 5-4 Dagrama de Força na Armadura Longtudnal, Exemplo 1.... 80 Fgura 5-5 Dagrama de Força na Armadura Transversal, Exemplo 1.... 81 Fgura 5-6 - Esquema geométrco e estrutural da vga V1, Exemplo 2. [15]... 83 Fgura 5-7 - Dagrama de Esforços Cortantes, Exemplo 2. [15]... 84 Fgura 5-8 - Dagrama de Momentos Fletores, Exemplo 2. [15]... 84 Fgura 5-9 Deformações Longtudnas, Exemplo 3.... 90 Fgura 5-10 - Ângulo de Inclnação das Fssuras, Exemplo 3.... 90 Fgura 5-11 - Tensões Longtudnas e Tensão Dagonal, Exemplo 3.... 91 Fgura 5-12 - Tensão Csalhante e Tensão Vertcal, Exemplo 3.... 92 x

ÍNDICE DE TABELAS Tabela 4-1 - Dados da Seção de Concreto.... 68 Tabela 4-2 Dstrbução da Armadura Longtudnal.... 69 Tabela 4-3 Característcas Pertnentes ao Concreto e ao Aço,.... 71 Tabela 4-4 Dados de Entrada dos Esforços de Cálculo.... 72 Tabela 4-5 - Controle Incal dos Resultados.... 72 Tabela 5-1 Deformações longtudnas, Exemplo 1.... 78 Tabela 5-2 - Deformação longtudnal na armadura nferor em razão dos valores de (NBR), Exemplo 1.... 79 Tabela 5-3 Força na Armadura Longtudnal, Exemplo 1... 79 Tabela 5-4 Força na Armadura Longtudnal em razão dos valores de (NBR), Exemplo 1.... 80 Tabela 5-5 Força na Armadura Transversal, Exemplo 1.... 81 Tabela 5-6 - Força na Armadura Transversal em razão dos valores de (NBR), Exemplo 1.... 82 Tabela 5-7 Determnação da força na armadura longtudnal, NBR6118 [1], Exemplo 2.... 85 Tabela 5-8 - Deformações, Tensões e Forças nas armaduras, FNL-CORTE, Exemplo 2.... 85 Tabela 5-9 - Comparação da Força Cortante Resstda pela Armadura Transversal, Exemplo 2.... 86 Tabela 5-10 - Resultados Pertnentes a Seção de Concreto, Exemplo 3.... 88 Tabela 5-11 - Resultados Pertnentes à Armadura Longtudnal, Exemplo 3.... 89 x

1. INTRODUÇÃO Apesar de décadas de nvestgação expermental e o uso de ferramentas analítcas altamente sofstcadas, os mecansmos de ruptura dos elementos lneares de concreto armado, submetdos a esforços cortantes até o colapso, anda não estão totalmente compreenddos. Quando uma vga de concreto armado, subarmada longtudnalmente, é carregada progressvamente até seu esgotamento, sob a nfluênca da flexão, se nca o processo de abertura e propagação de fssuras na face traconada e de escoamento do aço da armadura prncpal acompanhado por grandes e sucessvos deslocamentos até que ocorra o colapso. Entretanto, a falha devdo ao csalhamento é dfícl de ser prevsta com precsão e seu colapso pode ocorrer de manera abrupta, sem qualquer avso prévo. Devdo a estas dferenças de comportamento, as vgas de concreto armado devem ser projetadas com especal atenção ao esforço cortante, pos deve-se garantr que a falha devdo à flexão ocorra antes da falha devda ao csalhamento, se o elemento for severamente sobrecarregado. Sabe-se que, porém a análse do csalhamento e o seu dmensonamento não estão dretamente relaconados com o fenômeno do csalhamento em s, pos as tensões de csalhamento, na maor parte dos casos, stuam-se muto abaxo dos valores da resstênca dreta ao csalhamento do concreto. A preocupação real enquadra-se nas tensões de tração dagonas, pos tas resultam da combnação das tensões de csalhamento com as tensões de flexão. Com o objetvo de melhor se aproxmar do comportamento real de seções solctadas ao esforço cortante, alguns métodos raconas de dmensonamento são propostos na lteratura. O modelo de panel fssurado se basea na varação do ângulo da trelça de Mörsch ao longo da altura das vgas e a partr deste conceto admte-se que o ângulo de nclnação das belas de compressão é gual ao ângulo de nclnação das fssuras, na Teora do Campo de Compressão e no método de seção equvalente. 1

A Teora do Campo de Compressão fo desenvolvda a partr de estudos dos Professores COLLINS e VECCHIO [6], entre outros, para formular um modelo consstente, a partr de um programa expermental extensvo, envolvendo testes de panés de concreto armado, sujetos a estados de tensão em duas dmensões bem defndas, nclundo o csalhamento. Apesar de ter sdo desenvolvda em panés de concreto armado, a Teora do Campo de Compressão é bastante utlzada para estudar a alma de uma vga, representada como um conjunto de dagonas fssuradas comprmdas, costuradas por estrbos e pela armadura de pele. Os esforços, que provocam tensões normas e csalhantes de forma ntegrada, dstrbuídos ao longo da altura da alma, são representados de acordo com uma dstrbução em elementos dscretos. A utlzação da Teora do Campo de Compressão se tornou uma ferramenta de grande utldade, uma vez que a consderação do comportamento mecânco unaxal na análse e no dmensonamento de peças lneares de concreto armado é afetada pela presença de tensões de csalhamento. Nos modelos unaxas, as solctações longtudnas e transversas são tratadas ndependentemente e o acréscmo de tensões na armadura longtudnal devdo ao esforço cortante é consderado separadamente, através do artfíco da decalagem. Posterormente, julgou-se necessáro consderar as tensões de tração exstentes entre as fssuras como uma manera de consderar a contrbução da tensão do engrenamento entre os agregados através das fssuras nclnadas. Então, a teora sofreu uma modfcação e passou a ser chamada de Teora do Campo da Compressão Modfcada. O valor destas tensões de tração é função da abertura das fssuras e da separação entre os estrbos e fssuras. Esta teora é mportante, porque contempla a contrbução de mecansmos complementares na resstênca ao esforço cortante V c. Devdo ao alto grau de dfculdade na utlzação da Teora do Campo de Compressão Modfcada, sua utlzação, sem o auxílo computaconal, se torna nvável, a menos que sejam fetas smplfcações que não representam o comportamento real das vgas ao longo de toda a altura da sua seção. O programa RESPONSE-2000, crado por BENTZ e colaboradores ([7] e [8]), permte analsar vgas e plares de concreto armado, contemplando o comportamento do 2

panel fssurado. Através de dversos ensaos expermentas, foram cradas e nserdas no programa curvas, que representam de manera mas realsta o comportamento dos elementos sujetos a tensões de tração e compressão, smultaneamente. O Método da Seção Equvalente fo apresentado por DIAZ [11] e desenvolvdo por SHULZ [12] e CUNHA [13]. Trata-se de uma adaptação do modelo de panel fssurado às regras usuas de dmensonamento à flexão, sendo uma manera prátca de se obter o fluxo de csalhamento ao longo da altura da seção. Sendo o procedmento drgdo para cálculos prátcos de dmensonamento de peças usuas de concreto armado. Para a utlzação do Método da Seção Equvalente, fo desenvolvdo, nesta Dssertação, o programa FNL-CORTE. Através deste programa é possível realzar a análse secconal de uma vga de concreto armado, submetda a força normal e momento fletor, consderando o acoplamento do esforço cortante. 3

2. ESFORÇO CORTANTE E TENSÕES DIAGONAIS. 2.1. Tensão dagonal em vgas homogêneas e elástcas O desenvolvmento das tensões de csalhamento em uma vga pode ser fáclmente vsualzado na Fgura 2-1 [2], onde é aepresentada uma vga lamnar, composta por duas peças retangulares de materal homogêneo, lgadas uma a outra ao longo da superfíce de contato, sob a ação de uma carga vertcal. Se o adesvo for sufcentemente forte, o elemento rá deformar-se como uma únca vga, como mostrado na Fgura 2-1a. Por outro lado, se o adesvo é fraco, as duas peças vão se separar e deslzam uma em relação a outra, como mostrado na Fgura 2-1b. Fgura 2-1 - Vga Lamnada Homogênea [2]. Entretanto, quando o adesvo é efcaz, exstem forças ou tensões que atuam e prevnem o deslzamento ou o csalhamento. Estas tensões longtudnas de csalhamento, apresentadas na Fgura 2-1c, atuam separadamente na parte nferor e superor das peças. As mesmas tensões ocorrem em planos horzontas em cada uma das vgas, mas possuem dferentes ntensdades em dferentes dstâncas da lnha neutra. 4

A Fgura 2-1d mostra a seção transversal de uma vga retangular, que é solctada por uma força de cortante V. O equlíbro deste esforço vertcal é garantdo pelas tensões de csalhamento vertcas "v". Relatvamente às tensões tangencas que atuam em vgas homogêneas, compostas de materal em regme elástco (tensões proporconas às deformações), são obtdas pela fórmula: V S v = I b (2.1) onde: V - Força cortante total na seção. S - Momento estátco em relação ao exo neutro da porção da seção transversal stuada entre a lnha através do ponto em questão, paralela ao exo neutro, e a face, superor ou nferor, da vga. I - Momento de nérca da seção transversal em relação à lnha neutra. b - Largura da vga no ponto dado. Para uma vga de seção retangular composta de materal homogêneo e elástco, a ntensdade da tensão csalhante ao longo da altura da seção transversal, vara em forma de parábola. A ntensdade é gual a zero nas fbras externas da vga e máxma na lnha neutra. 2 3 Para uma altura h, em relação a lnha neutra S = b h 8 e I = b h 12. Substtundo estes valores na equação (2.1), o valor máxmo da tensão csalhante será: v max 3 V (2.2) = 2 b h A Fgura 2-2 [2] apresenta uma vga de seção transversal retangular, composta por materal homogêneo e elástco, semelhante a uma vga de concreto armado no Estádo I (não fssurado), submetda a carregamentos vertcas. 5

Se um pequeno elemento quadrado está localzado na altura da lnha neutra desta vga, conforme apresentado na Fgura 2-2b (stuação 1), suas tensões csalhantes vertcas serão guas e opostas nas duas faces em razão do equlíbro, Entretanto, duas tensões csalhantes, de mesma magntude e snas opostos são necessáras nas faces horzontas para manter o equlíbro. Se na mesma posção, o elemento for cortado a 45, estas tensões se combnam de forma que o seu efeto é o mostrado na Fgura 2-2c. Isto é, a ação dos dos pares de tensão de csalhamento nas faces vertcal e horzontal são as mesmas que a dos dos pares de tensões normas, uma de tração e outra de compressão, atuando nas faces a 45 e de valor numérco gual às tensões de csalhamento. Fgura 2-2 Trajetóra de tensões em vga retangular homogênea [2]. Se um pequeno elemento quadrado de vga está localzado dstante da lnha neutra e das faces, conforme apresentado na Fgura 2-2d (stuação 2), as faces vertcas estão sujetas não apenas às tensões csalhantes, mas também às tensões devdas à flexão, cuja magntude é dada pela equação (2.3). f = M I z (2.3) 6

Onde: f - Tensão devda à flexão na dstânca z da lnha neutra. M - Momento fletor na seção. I z - Momento de nérca da seção transversal em relação à lnha neutra. - Dstânca da fbra consderada até a lnha neutra. As tensões que atuam no elemento podem novamente ser combnadas como um par de tensões de compressão e um par de tensões de tração, nclnadas, que atuam em angulo reto entre s. Essas tensões, apresentadas na Fgura 2-2e, são conhecdas como Tensões Prncpas, o valor é dado por: 2 f f t = ± + v 2 4 2 (2.4) Já, seu ângulo de nclnação em relação à dreção horzontal é dado por: tg ( 2α ) v = 2 f (2.5) As nclnações destas tensões prncpas para uma vga de seção retangular unformemente solctada é apresentada na Fgura 2-2f. Estas trajetóras de tensão são lnhas que, em qualquer ponto, são desenhadas na mesma dreção em que as tensões prncpas (de tração ou de compressão) atuam. Portanto, pelas consderações fetas neste tem, se as tensões combnadas devdas ao csalhamento e à flexão não forem tratadas adequadamente, ao longo da seção da vga, a ntegrdade desta pode estar seramente comprometda. As tensões dagonas, conhecdas como tração dagonal e compressão dagonal, devem ter atenção especal durante o dmensonamento dos elementos lneares de concreto. 7

2.2. Modelo de Trelça A pesqusa sobre o mecansmo de resstênca ao csalhamento de vgas de concreto armado remonta ao fnal do século 19 com o aparecmento de elementos de aço, como estrbos, nas construções. Fo depos das obras e pesqusas de RITTER [4] e MÖRSCH [3], ver Fgura 2-3, que uma proposta para a determnação da capacdade de carga e do entendmento do comportamento das estruturas de concreto sob o efeto de csalhamento apareceu, com o modelo de trelça mostrado na Fgura 2-4. Este modelo explca o mecansmo de csalhamento em uma vga por meo de uma analoga com uma trelça de concreto. O fluxo de tensões é dealzado como uma sére de belas de concreto dagonas em compressão e os trantes representam a tração nas armaduras; as componentes da força em cada elemento são determnadas através de uma análse estátca. Esta aproxmação é a base dos métodos atuas de dmensonamento à flexão e csalhamento. Fgura 2-3 - Pesqusa sobre esforço cortante de MÖRSCH [3]. A Teora do Campo de Compressão, de forma geral, pode ser concebda como um modelo de Trelça de MÖRSCH [3], ncorporando o conceto de que o ângulo de nclnação das belas pode ser varável, entre 25º e 65º, o que generalza os concetos de Belas e Trantes de SCHLAICH [5]. 8

A Fgura 2-4, adaptada da Fgura 4.19 de NILSON [2], apresenta: (a) Vga unformemente carregada, (b) Modelo smplfcado de trelça; (c) Modelo mas realsta de trelça. Fgura 2-4 Modelo de trelça para vga com armadura na alma [2]. 9

2.2.1. Teora de Belas e Trantes Utlzando o desenvolvmento da Teora de Belas e Trantes, conforme apresentado por SANTOS [14], em uma zona não perturbada de uma vga, onde se caracterzam os campos de compressão dagonal, temos o desenvolvmento a segur. z cotg θ z V -V/sen θ V V θ z cos θ u θ t z θ θ w Fgura 2-5 Dagrama do modelo de trelça para análse de belas e trantes [14]. onde: θ Ângulo de nclnação da bela z Braço de alavanca entre o centro de gravdade das armaduras e a resultante da força de compressão. V Esforço cortante na seção avalada. Temos a projeção horzontal da dstânca entre as belas: w = z cotgθ (2.6) A dstânca entre as belas: t = z cosθ (2.7) 10

E a força na dreção da bela: f c2 = V senθ (2.8) Para melhor compreender esta teora, estuda-se o equlíbro em uma trelça contínua de uma vga b-apoada genérca, sujeta a carregamentos e esforços conforme apresentado na Fgura 2-6. Serão analsadas duas seções próxmas, seções 1 e 2. q 1 q 2 Q q Cargas Aplcadas M 1 M 2 Dagrama de Momentos Fletores V 1 V 2 Dagrama de Forças Cortantes Fgura 2-6 Carregamentos e esforços em uma vga b-apoada genérca [14]. Portanto, será analsado o equlíbro, secconando da seção 1 para a 2, na dreção do ângulo θ de nclnação das belas, ver Fgura 2-7. q = q 1 = q 2 (adotado, sem perda de generaldade) M 1 V 1 θ 1 2 C 2 z w T 1 Y = z cotgθ Fgura 2-7 Dagrama de corpo lvre [14]. 11

Por equlíbro de forças na dreção vertcal, tem-se a força por metro nos estrbos: w = V Y 1 q (2.9) nferor: Por equlíbro de momentos no nó 2, tem-se a força de tração na armadura T M = z V + 2 1 1 1 cotgθ (2.10) superor: Por equlíbro de momentos no nó 1, tem-se a força de compressão no banzo C M = z V 2 2 2 2 cotgθ (2.11) 2.3. Dmensonamento à força cortante segundo a NBR 6118:2014 No tem 17.4 da NBR6118:2014 [1] é apresentado o dmensonamento no Estado Lmte Últmo de elementos lneares sujetos à força cortante, de acordo com as prescrções abaxo reproduzdas. As condções fxadas por esta Norma para elementos lneares admtem dos modelos de cálculo que pressupõem a analoga com modelo em trelça, de banzos paralelos, assocado a mecansmos resstentes complementares desenvolvdos no nteror do elemento estrutural e traduzdos por uma componente adconal V C. O modelo I admte dagonas de compressão nclnadas de θ = 45 em relação ao exo longtudnal do elemento estrutural e admte anda que a parcela complementar VC tenha valor constante, ndependente de V Sd. O modelo II admte dagonas de compressão nclnadas de θ em relação ao exo longtudnal do elemento estrutural, com θ varável lvremente entre 30 e 45. Admte anda que a parcela complementar V C sofra redução com o aumento de V Sd. Em ambos os modelos, o ângulo de nclnação da armadura transversal, α, em relação ao exo longtudnal do elemento estrutural, pode ser tomado na faxa de 45 α 90. 12

A resstênca do elemento estrutural, em uma determnada seção transversal, deve ser consderada como satsfatóra, quando verfcadas smultaneamente as condções expressas a segur. Condção de Resstênca à Compressão Dagonal do Concreto: VSd V Rd2 (2.12) Condção de Resstênca da Armadura Transversal: V V 3 = V + V (2.13) Sd Rd C Sw onde: V Sd - Força cortante solctante de cálculo, na seção; VRd2 - Força cortante resstente de cálculo, relatva à ruína das dagonas comprmdas de concreto; V Rd3 - Força cortante resstente de cálculo, relatva à ruína por tração dagonal; V C - Parcela de força cortante absorvda por mecansmos complementares ao de trelça; V Sw - Parcela resstda pela armadura transversal. 2.3.1. Verfcação da compressão dagonal do concreto Tanto o modelo de cálculo I quanto o II, compartlham da mesma equação, sendo que o modelo I consdera a smplfcação de se supor o ângulo de nclnação das belas θ = 45. ( cotgα cotgθ) 2 VRd 2 = 0, 54 αv 2 fcd bw d senθ + (2.14) onde: ( 1 f 250) α = (2.15) V 2 ck 13

A parcela 0,54 vem da multplcação da relação entre o braço de alavanca e a altura útl z d = 0, 9 e o coefcente 0,6 é o defndor da resstênca f cd2 do concreto nesta stuação. 2.3.2. Cálculo da armadura transversal A parcela V Sw referente à resstênca da armadura transversal é compartlhada tanto pelo modelo de cálculo I quanto pelo II, sendo que o modelo I consdera a smplfcação de se supor o ângulo θ = 45. V Sw ( A s), d f ( cot gα + cot gθ ) senα = 0 9 (2.16) Sw ywd A parcela V C, que se refere à força cortante absorvda por mecansmos complementares ao de trelça, no modelo de cálculo I é defnda por: V = 0 - Lnha neutra se stua fora da seção; C V C = V C0 - Lnha neutra cortando a seção; onde : VC 0 = 0, 6 fctd bw d (2.17) com: f ctd = f ctk,nf γ C 0,7 f = γ C ctm (2.18) Quando ocorrem solctações de flexo-compressão a parcela segunte equação: Vc VC 0 1+ 0 onde: ( M M ) Sd,máx V C é dada pela = (2.19) M 0 - Momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (traconada por M Sd, máx ), provocada pelas forças normas de dversas orgens 14

concomtantes com V Sd, sendo essa tensão calculada com valores de γ e f γ guas a p 1,0 e 0,9 respectvamente; os momentos correspondentes a essas forças normas não podem ser consderados no cálculo dessa tensão, pos são consderados em ser consderados apenas os momentos sostátcos de protensão [1]. No modelo de cálculo II, parcela VC é defnda por: M Sd ; devem V = 0 - Lnha neutra se stua fora da seção; C V C = V C1 - Lnha neutra cortando a seção; V C1 = VC0 - Quando Sd V C 0 V ; V = 0 C1 - Quando V Sd = V Rd 2 ; Quando a força cortante solctante estver no ntervalo VC 0 VSd VRd2, deve ser feta uma nterpolação lnear para se encontrar o valor ntermedáro de V C1. 2.3.3. Decalagem da armadura no banzo traconado. A NBR 6118 permte duas maneras para se consderar a decalagem. A prmera defne o cálculo de um deslocamento do dagrama de momentos fletores, paralelo ao exo da peça, a l. Esse deslocamento é calculado dferentemente nos modelos de cálculo I e II, como apresentado a segur. Calculo de a l para o modelo de cálculo I: a l V = d α 2 Sd,máx c Sd,máx ( ) ( 1+ cot g α ) V V cot g d (2.20) onde: a l = d, para VSd,máx VC a l 0, 5 d, no caso geral; 15

a l 0, 2 d, para estrbos nclnados a 45. Calculo de a l para o modelo de cálculo II: a l ( cotgθ cotgα ) = 0, 5 d (2.21) onde: a l a l 0, 5 d, no caso geral; 0, 2 d, para estrbos nclnados a 45. A segunda manera, que é a que mas nos nteressa neste trabalho, é a decalagem do dagrama de forças no banzo traconado. Seu cálculo é quantfcado pela soma das forças de tração na armadura devdas à flexão e devdas à força cortante, aplcando-se a expressão: F Sd,cor M = z Sd + V Sd ( cot gθ cot gα ) 1 2 M Sd,máx z (2.22) Onde, M Sd, máx é o momento fletor de cálculo no trecho em análse. 2.3.4. Condções Geras. O tem 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2014 [1] contém algumas condções geras para o dmensonamento, que são apresentadas a segur. a) Armadura transversal mínma: Todos os elementos lneares submetdos à força cortante, com exceção dos casos ndcados em 17.4.1.1.2 [1] (bascamente lajes), devem conter armadura transversal mínma, consttuída de estrbos, com taxa geométrca defnda por: ρ SW SW = 0, 2 b W A s senα f f ct,m ywk (2.23) 16

onde: A SW - Área da seção transversal dos estrbos; s - α - b W - Espaçamento dos estrbos, meddo segundo o exo longtudnal do elemento estrutural; Inclnação dos estrbos em relação ao exo longtudnal do elemento estrutural; Largura méda da alma, medda ao longo da altura útl da seção, para elementos estruturas com b W < 5 d (em que d é altura útl da seção); f - Resstênca característca ao escoamento do aço da armadura ywk transversal; f ct,m - Resstênca à tração do concreto, dada por: f f ct,m ct,m 2 3 0, 3 f ck = (concretos até Classe C50) (2.24) ( 1+ 0, f ) = 2, 12 ln 11 (concretos de C50 até C90) (2.25) ck b) Composção da armadura transversal A armadura transversal pode ser consttuída de estrbos, ou pela composção de estrbos e barras dobradas. Na utlzação de barras dobradas, estas não devem suportar mas do que 60% do esforço total resstdo pela armadura. Barras vertcas soldadas também podem ser utlzadas, combnadas com os estrbos, respetando a proporção anteror e requstos de ancoragem do tem 9.4.6.2, [1]. 2.3.5. Condções relatvas às cargas próxmas aos apoos. Quando a carga e a reação de apoo forem aplcadas em faces opostas do elemento, comprmndo a alma, valem as seguntes prescrções para o cálculo da armadura transversal [1]: 17

a força cortante orunda de carga dstrbuída pode ser consderada, no trecho entre o apoo e a seção stuada à dstânca d / 2 da face do apoo, constante e gual à desta seção ; a força cortante devda a uma carga concentrada aplcada a uma dstânca a 2d do trecho teórco do apoo pode, nesse trecho de comprmento a, ser reduzda multplcando-a por a / 2 d. As reduções ndcadas se aplcam somente para a determnação das armaduras transversas, não se aplcando à verfcação da resstênca à compressão dagonal do concreto. 18

3. TEORIA DO CAMPO DE COMPRESSÃO MODIFICADA 3.1. Teora do Campo de Compressão Modfcada Consdera-se o esquema resstente de um elemento de concreto armado formado por belas de concreto (dagonas comprmdas) undas por armaduras. As característcas, hpóteses e consderações fetas nesta teora são: A teora permte nclur nos elementos estruturas, esforços secconas de forma ntegrada, ou seja, esforços que provocam tensões normas e tensões tangencas. A resstênca do concreto das belas comprmdas é menor que a resstênca do concreto no ensao de compressão unaxal e seu dagrama tensão-deformação é mas abatdo. Exstem tensões de tração entre as fssuras, que podem contrbur com sua resstênca. As tensões nas armaduras varam ao longo da altura da alma e junto às fssuras são maores. É consderando o estado plano de tensão no equlíbro das tensões atuantes e resstentes do concreto fssurado e da armadura em todos os elementos dscretzados da vga. As equações de equlíbro, que relaconam as tensões do concreto e da armadura com o carregamento aplcado, são expressas em função de tensões médas, as quas são meddas no sentdo paralelo à separação entre as fssuras. As equações de compatbldade, que relaconam as deformações específcas no concreto com as deformações específcas na armadura, são defndas em função de deformações médas. A Fgura 3-1 mostra um trecho em vsta longtudnal e em seção transversal de uma vga sujeta a esforço normal, momento fletor e esforço cortante, para uma regão de esforço cortante constante. 19

Fgura 3-1 - Vga fssurada sujeta ao esforço cortante, momento fletor e esforço onde: normal. f c1 - Tensão prncpal méda de tração no concreto, normal à dreção das fssuras; f c2 - Tensão prncpal méda de compressão no concreto, paralela à dreção das fssuras; ε 1 ε 2 θ - Deformação específca prncpal méda de alongamento; - Deformação específca prncpal méda de encurtamento; - Ângulo de nclnação médo das fssuras. 3.1.1. Equações de Equlíbro Interno No caso de elementos de concreto fssurado e com armaduras horzontas e/ou vertcas, para se determnar as tensões atuantes σ x, σ z e τ xz, e determnar o tensor de tensões no estado plano, é necessáro consderar a contrbução da resstênca de todos os materas da vga. A Fgura 3-2 mostra um panel de concreto armado fssurado. As 20

belas de concreto têm nclnação θ e as armaduras estão posconadas perpendcularmente, na dreção dos exos x-z. Fgura 3-2 - Tensões nos Panés de Concreto, Armadura e Concreto Armado. Para este caso específco, onde as armaduras estão dspostas ortogonalmente na dreção dos exos x-z, as tensões prncpas atuantes nas armaduras f sx e f sz têm valores guas às tensões devdo às armaduras na dreção dos exos x-z, σ sx e σ sz. Geralmente, tem valor gual à tensão de escoamento de cálculo do aço, f yd. serão: Consderando a soma nos panés de concreto e na armadura, as tensões totas σ x = σ cx + ρ sx σ sx ; σ z σ cz + ρsz σ sz = ; τ xz = τ cxz = τ (3.1) czx Para se obter as componentes das resstêncas do concreto e da armadura, utlzase o círculo de Mohr. 21

Fgura 3-3 - Círculo de Mohr das tensões médas no concreto. A partr do Círculo de Mohr, apresentado na Fgura 3-3, são obtdas geometrcamente as expressões que relaconam as tensões na dreção dos exos globas com as tensões prncpas médas. Tensões no concreto: σ σ cx cz = f c 1 τ (3.2) cxz tgθ = f 1 τ tgθ (3.3) c cxz τ cxz ( f f ) c1 c2 = 1 tgθ + tgθ (3.4) Tensões resultantes no concreto armado: σ σ x z τ (3.5) cxz = ρsx σ sx + f c1 ; tgθ = ρ σ + f 1 τ tgθ ; (3.6) sz sz c cxz τ xz = τ cxz (3.7) 22

3.1.2. Equações de Compatbldade No caso de um elemento da alma da vga de concreto armado fssurado e costurado por estrbos, consderando que não há deslzamento entre o concreto e a armadura, as deformações do concreto e da armadura devem ser as mesmas. A Fgura 3-4 apresenta as deformações específcas lneares de um elemento do concreto fssurado. Fgura 3-4 Deformações médas em elementos fssurados. Como não ocorrem deformações relatvas entre a armadura e o concreto que a envolve, podemos admtr que: ε = ε = ε ; (3.8) x z sx sz cx ε = ε = ε (3.9) cz Se as três componentes de deformação ε x, ε z e γ xz são conhecdas, a deformação em qualquer outra dreção pode ser encontrada por geometra. O círculo de Mohr das deformações específcas médas, apresentado na Fgura 3-5, resume as transformações envolvdas. 23

Fgura 3-5 Crculo de Mohr das específcas médas. Dversas dentdades geométrcas podem dervar desta geometra, onde ε 1 é a deformação prncpal de alongamento e ε 2 a deformação prncpal de encurtamento. e γ xz ( ε ε ) 2 x 2 = ; tgθ (3.10) ε x + ε z = ε 1 + ε 2 ; (3.11) 2 tan ε x ε ε ε ε ε 2 1 z 1 y ε x ε 2 θ = = = = ε ε ε ε ε ε ε ε z 2 1 x y 2 1 x (3.12) 3.1.3. Relações consttutvas. O prncípo mas mportante deste modelo é que, quando o concreto atnge o estado de fssuração, pode ser tratado como um materal novo, com um novo comportamento tensão deformação, defndo emprcamente. Este comportamento pode dferr da tradconal curva tensão deformação dos materas, pos os valores das deformações utlzados pela Teora do Campo da Compressão Modfcada são valores médos, sto é, são valores que englobam conjuntamente os efetos combnados de deformações locas nas fssuras, deformações entre fssuras, deformações mpeddas e deformações devdas à formação de fssuras. As tensões calculadas são também tensões médas que mplctamente ncluem tensões entre fssuras, tensões nas fssuras e na nterface de csalhamento nas fssuras. 24

3.1.3.1. Comportamento da armadura Será assumdo que a tensão axal na armadura depende apenas de sua deformação axal, assm: f f sx sz = E ε f ; (3.13) s s x z yd = E ε f (3.14) yd E, anda, que as armaduras não resstam às tensões csalhantes médas nos planos a elas normas, ou seja: τ τ = 0 (3.15) sx = sz 3.1.3.2. Comportamento do concreto à compressão A dreção prncpal das deformações do concreto desva um pouco da dreção prncpal das tensões; entretanto, assumr que estes ângulos são concdentes é uma smplfcação razoável. A tensão de compressão prncpal do concreto f c2 deformação prncpal de encurtamento ε 2, não é função uncamente da, mas também da coexstente deformação prncpal de alongamento ε 1. Assm, o concreto fssurado, sujeto a altas tensões de tração na dreção normal à dreção de compressão, tem sua curva tensão-deformação abatda, quando comparada aos resultados obtdos em ensaos de compressão axal em corpos de prova de clíndrcos, ver Fgura 3-6, [6]. Fgura 3-6 - Curva Tensão-Deformação para concreto fssurado à compressão. [6] 25

Para tanto, tem-se as equações sugerdas por VECCHIO e COLLINS [6] para consderar a perda de resstênca do concreto à compressão são as seguntes: f c 2 = f c onde: 2,max ε 2 ε 2 2 ε ' c ε ' c 2 (3.16) f f ' c c2,max = 0,8 0,34 ε1 ε' c f ' c (3.17) A deformação específca de encurtamento do concreto no níco do patamar plástco ε' c e a deformação de tração na dreção prncpal ε 1 terão sempre snas contráros, e quanto maor essa relação, maor será a redução de f. A Fgura 3-7 c2, max apresenta a redução da resstênca à compressão máxma do concreto f de acordo c2, max com a varação da relação ε ε' 1 c Fgura 3-7 - Curva proposta para a tensão máxma de compressão. [6] 3.1.3.3. Comportamento do concreto à tração O concreto quando se encontra sujeto à tração, apresenta um comportamento lnear até que seja aberta a prmera fssura ( ε 1 ε cr ). Até então, a resstênca do concreto a tração será: f (3.18) c 1 = E c ε 1 26

A equação proposta por VECCHIO e COLLINS [6] para resstênca a tração do concreto após a abertura da prmera fssura ( ε 1 ε cr ) é: f c1 fcr = 1+ 500 ε 1 (3.19) onde f cr (em MPa) pode ser estmado pela segunte equação: f cr = 0,33 f ' (3.20) c Se a deformação prncpal de alongamento ε 1 for elevada, a abertura de fssuras aumenta, e o valor da tensão prncpal de tração dmnu mas rapdamente. A Fgura 3-8, apresenta o dagrama de tensão méda - deformação méda, para fenômenos de tração no concreto fssurado. Fgura 3-8 - Dagrama tensão-deformação médos, para fenômenos de tração no concreto fssurado. [6] 3.1.3.4. Comportamento do concreto entre duas faces de fssuras sujetas ao fenômeno de csalhamento. Até agora, as formulações de tensão e deformação consderam valores médos, ou seja, não estão consderadas as varações que possam ocorrer localmente. Na seção fssurada, as tensões de tração na armadura assumrão valores superores aos médos, enquanto que no meo da dstânca entre fssuras, as mesmas tensões serão menores do que a méda. As tensões de tração no concreto, por outro lado, assumrão valor zero na nterface da fssura e terão valores superores à méda a mea dstânca entre fssuras. Essas varações locas de tensão são mportantes, pos a capacdade últma dos 27

elementos tensonados baxalmente será regda pela capacdade da armadura de transmtr as tensões através das fssuras. A Fgura 3-9 compara as tensões médas calculadas, seção S1, com as reas tensões locas na fssura, seção S2. A dreção fssurada crítca é assumda como normal à dreção prncpal de tração. Enquanto o valor da tensão csalhante méda é zero na seção S1, no plano prncpal de tensões médas, pode haver tensões csalhantes locas na seção S2. Essa tensão csalhante local τ c, pode ser acompanhada por uma pequena tensão de compressão σ c através da fssura. Fgura 3-9- Detalhe dos esforços localzados nas fssuras e entre fssuras. As equações de equlíbro da seção S1 já foram apresentadas nas equações (3.5) e (3.6). As equações de equlíbro das tensões locas na fssura, com as tensões externas σ x, σ e τ xz serão apresentadas a segur: z σ σ sxfss szfss τ τ (3.21) xz c = σ x + + + σ c senθ tgθ tgθ = σ + τ tg θ τ tgθ σ cos θ (3.22) z xz c c Substtundo as equações (3.5) e (3.6) nas equações (3.21) e (3.22) respectvamente, temos: σ σ sxfss szfss = ρ σ + f 1 sx sx = ρ sz σ sz + f c1 c τ (3.23) c + + σ c senθ tgθ τ c tgθ σ c cos θ (3.24) 28

Mesmo que não exstam tensões csalhantes e de compressão nas faces da seção fssurada, anda assm é possível se obter o equlíbro: σ sxfss ρ sx σ sx σ ρ σ szfss sz sz = f (3.25) c1 = Entretanto, a tensão na armadura na seção fssurada não pode exceder a tensão de escoamento do aço de cálculo. Sendo assm: σ sxfss f yd, x szfss (3.26) σ f (3.27) yk,z Para a maora dos tpos de concreto, a fssuração rá ocorrer ao longo da nterface da pasta de cmento e das partículas de agregado. As fssuras resultantes deste processo podem fazer a transferênca do csalhamento pela lgação do agregado, tal como mostrado na Fgura 3-10: Fgura 3-10 Transmssão das tensões de csalhamento através de uma fssura pelas lgações das partículas de agregado [6]. As relações entre o csalhamento que ocorre ao longo da fssura, τ c, a abertura das fssuras, w, e a tensão de compressão na fssura, σ c, foram estudadas expermentalmente por dversos pesqusadores e se chegou à segunte formulação: 29

τ σ 0 τ σ 0 82 τ c =, 18 c max + 1, 64 c, 2 c c max (3.28) onde, τ c max ' f c = 0,31+ 24 w ( a + 16) (3.29) Sabendo-se que a tensão de compressão na fssura fc é bastante pequena em relação à tensão csalhante na fssura, τ c, adota-se a segunte smplfcação: τ c 018, f = 0, 31+ 24 w ' c ( a + 16) (3.30) Em que a é o tamanho máxmo das partículas de agregado em mm e as undades das tensões nas equações (3.28) a (3.30) são MPa. A abertura das fssuras utlzada na equação (3.30) deverá ser a largura méda das fssuras exstentes na superfíce fssurada e pode ser tomada como o produto da deformação prncpal de alongamento pelo espaçamento das fssuras, s θ, ou seja: w = ε 1 s θ (3.31) s θ = 1 senθ cosθ + s mx s mz (3.32) Onde smx e smz são os ndcadores das característcas do controle da fssuração nas dreções de armadura em x e y, respectvamente. 30

3.2. Abordagem Geral do Programa RESPONSE-2000 Conforme já menconado, a utlzação manual da Teora do Campo de Compressão Modfcada é muto complexa. Para vablzar o seu uso, dversas aproxmações são sugerdas e com sso, mutas vezes o propósto de se utlzar um método tão completo acaba se perdendo. O programa RESPONSE-2000, desenvolvdo BENTZ e colaboradores [9], se basea nos prncípos da Teora do Campo da Compressão Modfcada e permte a análse de vgas e colunas submetdas a combnações arbtráras de cargas axas, momentos fletores e forças cortantes. Suas hpóteses báscas são de que as seções planas permanecem planas (Hpótese de Naver-Bernoul) e que a seção estudada está localzada em uma zona lvre de concentração de tensões. RESPONSE-2000 fo comparado com uma base de dados de 534 vgas e faz a prevsão de tensões csalhantes em relação à méda expermental com a razão de 1,05 e com um coefcente de varação de 12%. Isto é, se compara favoravelmente com as proporções de predção do códgo ACI 318, que têm uma méda de 1,20 e um coefcente de varação de 32%., afrma BENTZ [8]. Nos tens a segur serão apresentadas a entrada de dados e a análse de resultados do programa RESPONSE-2000, de manera a estabelecer relações com as prátcas usuas de dmensonamento. Para se obter mas nformações sobre o método de processamento e parâmetros de análse é recomendado consultar [8] e [9]. 3.2.1. Entrada de dados. O programa RESPONSE-2000 tem a nterface bastante amgável e possu dversos tpos de seções e materas gravados em seu banco de dados nterno. Através da barra de ferramentas Opton\Preferences é possvel escolher o sstema de undades que será utlzado na análse e os coefcentes de mnoração que serão utlzados para as resstêncas dos materas. 31

Fgura 3-11 Janela de defnção de preferêncas do Programa RESPONSE-2000. A barra de ferramentas Defne, contém a opção Quck Defne, onde em quatro passos são defndos os materas, a geometra, a armadura longtudnal e a armadura transversal. Como não são oferecdas opções avançadas, como veremos a segur, esta opção é a únca manera de se ncar o processo, mesmo que todos os dados defndos ncalmente sejam alterados posterormente. Fgura 3-12 Barra de ferramentas Defne do Programa RESPONSE-2000 Acessando a opção Edt General, podemos adconar título e comentáros sobre a análse, defnr um espaçamento das fssuras em cada dreção e os exos de referênca. 32

Fgura 3-13 Janela de Defnções Geras do Programa RESPONSE-2000. Se marcada a opção de espaçamento automátco das fssuras, o programa rá consderar a segunte equação: Sm = 2 c + 0, 1 ρ (3.33) d b onde: c - é a dstânca da barra mas próxma a partr da altura corrente. d b - é o dâmetro da barra mas próxma ρ - é porcentagem de armadura na altura corrente, em relação a área de concreto equvalente a ±, 5 7 db. A Fgura 3-14 apresenta o esquema das grandezas utlzadas para o cálculo do espaçamento automátco das fssuras, segundo o programa RESPONSE2000. 33

Fgura 3-14 Esquema das grandezas utlzadas para o cálculo do espaçamento automátco das fssuras, segundo o programa RESPONSE2000. Acessando-se a opção Materal Propertes, são dadas as opções para detalhar as característcas dos materas do concreto e da armadura. Na aba de característcas do concreto, podemos escolher entre a curva base defnda pelo programa ou utlzar uma curva base segmental, como por exemplo, a curva base apresentada no capítulo 8.2.10.1 da NBR 6118:2014 [1]. É mportante lembrar que os fatores de redução de resstênca dos materas devem ser consderados nesta etapa. A defnção Cylnder Strengh se refere à resstênca à compressão do concreto no ensao de compressão axal clíndrco. Essa resstênca quando medda aos 28 das de dade do corpo de prova é denomnada f ck ou quando medda em outra dade j, f. cj A defnção Tenson Strenght se refere à resstênca à tração máxma no concreto e é calculada automatcamente. Para um concreto que não ressta à tração seu valor será zero. A defnção Peak Stran refere-se ao valor da deformação em que o concreto atnge a sua resstênca máxma. 34

A defnção Aggregate Sze refere-se ao valor do tamanho do agregado em mlímetros e está relaconada dretamente com a equação (3.30). As defnções Tenson Stff Factor e Tenson Stffenng se referem à equação (3.19). Para o caso do concreto não resstr à transmssão de esforços entre as faces fssuradas, as duas prmeras defnções devem ser tomadas gual a zero e na tercera deve ser escolhda a opção None. Fgura 3-15 Curva segmental do concreto à compressão [1]. Fgura 3-16 Janela de Defnções do Concreto do Programa RESPONSE-2000. 35

Na aba de característcas das armaduras Fgura 3-17, pode ser ntroduzdo o valor do módulo de elastcdade, da tensão característca de escoamento do aço, f yk, o valor da deformação em que o aço atnge a tensão máxma, a deformação de ruptura do aço e a tensão últma. Fgura 3-17 Janela de Defnções da Armadura do Programa RESPONSE-2000. Os dagramas tensão deformação do concreto e do aço gerados pelo programa são apresentados a segur, na Fgura 3-18. Fgura 3-18 Dagramas Tensão-Deformação do concreto e do aço, gerados pelo Programa RESPONSE-2000. Acessando a opção Concrete Secton, Fgura 3-19, pode ser defnda a seção de concreto que deve se manter constante ao longo de toda a extensão da vga. 36

Fgura 3-19 Janela de Defnção da Seção de Concreto do Programa RESPONSE- 2000. Acessando-se a opção Transverse Renforcement, Fgura 3-20, será defndo o espaçamento longtudnal dos estrbos, a área da seção transversal de uma perna do estrbo e o cobrmento. Para a análse de seções onde exste esforço cortante e não é consderada a resstênca do concreto à tração, o programa recomenda que os estrbos sejam consderados como contínuos da face superor até a nferor. É possível escolher dversos tpos de estrbos. Porém, sendo a análse feta apenas em duas dmensões, a únca dferença na escolha do tpo sera na quantdade de pernas. O modelo não consdera esforços de torção. Fgura 3-20 Janela de Defnção da Armadura Transversal do Programa RESPONSE-2000. 37

Acessando a opção Longtudnal Renforcement, Fgura 3-21, são defndas as armaduras longtudnas em forma de camadas relatvas à dstânca em que cada uma se encontra do fundo da vga. A dstrbução das barras de armadura na seção transversal tem grande nfluênca nas respostas do modelo quando se consdera a flexão juntamente com o esforço cortante. Fgura 3-21 Janela de Defnção da Armadura Longtudnal do Programa RESPONSE-2000. A barra de ferramentas Loads, Fgura 3-22, contém dversas opções de carregamentos. Não serão abordados neste trabalho os carregamentos devdo a efetos reológcos do concreto, Tme Dependente Effects, varação térmca e deformações de retração, Detaled Thermal and Shrnkage Strans, e descontnudades de deformação, Stran Dscontnuty. Fgura 3-22 Barra de Ferramentas Loads do Programa RESPONSE-2000 38

O carregamento Loads, Fgura 3-23, consdera um conjunto de solctações M, N e V, ao qual uma seção da vga está submetda. Seus ncrementos devdos à varação dos esforços entre uma seção e outra dm, dn e dv também são consderados. Fgura 3-23 Janela de Defnção das Ações em uma Seção Transversal do Programa RESPONSE-2000. Seleconando-se a opção Full Member Propertes, Fgura 3-24, é possível defnr a dmensão longtudnal da vga, as condções de apoo e a dstrbução de esforços no sentdo longtudnal da vga. Fgura 3-24 Janela de Defnção da Analse Longtudnal da Vga do Programa RESPONSE-2000. 39

Assm defndos os materas, geometra, armadura longtudnal, armadura transversal e carregamentos, obtemos o quadro resumo apresentado na Fgura 3-25, de uma seção transversal. Fgura 3-25 Quadro de Resumo dos Dados da Seção Transversal do Programa RESPONSE-2000. A barra de ferramentas Solve, Fgura 3-26, apresenta dversas opções de análse do modelo matemátco. Cabe ao usuáro escolher o tpo de resposta que melhor atenda a suas necessdades. 40

Fgura 3-26 Barra de ferramentas Solve do Programa RESPONSE-2000 Exstem bascamente quatro tpos de análse. São elas: Análse da seção transversal a partr de solctações, loads, pré-defndas. Estão nesse grupo a análse do tpo Sectonal Response que faz terações momento-curvatura a partr do carregamento ncal até a ruptura da seção e o tpo One Load que analsa a seção estudada apenas para a carga prédefnda. Análse da seção longtudnal Member Response, consderando a dmensão longtudnal, as condções de apoos e formato do dagrama de solctações defndos em Full Member Propertes. A seção é carregada até o seu esgotamento e é montado um gráfco com dversos pontos de pares de esforços M e V. Análse da seção transversal a partr das deformações longtudnas. Não se consdera a nfluênca do esforço cortante. Na opção 2 Stran é possível fornecer a deformação no topo e na face nferor da vga e obter as tensões que são geradas. Na opção 1 Stran é possível fornecer a deformação na altura da armadura e o programa encontra uma confguração que equlbre a seção. Análse por terações de pares de esforços M-N, M-V e N-V. A seção é calculada para os pares de esforços e o tercero esforço é tdo como consequênca. O cálculo se desenvolve para todas as stuações dos pares de esforços máxmos. 41

4. MODELO ACOPLADO PARA ANÁLISE NÃO-LINEAR DE FLEXÃO-COMPOSTA E ESFORÇO CORTANTE 4.1. Modelo para Análse Não-Lnear de Flexão-Composta 4.1.1. Fundamentos Teórcos Seja uma seção transversal de formato arbtráro de um elemento estrutural de exo reto submetdo à flexão pura, como apresentado na Fgura 4-1 Fgura 4-1- Exos locas do elemento estrutural lnear, submetdo à flexão. Hpóteses admtdas: O plano XZ é um plano de smetra da seção do elemento estrutural. As ações atuantes e os deslocamentos ocorrem no plano XZ. Um segmento de comprmento dx, tomado entre duas seções transversas muto próxmas ab e cd, submetdas ao momento fletor M, tem seu exo fletdo em um arco de círculo, como mostrado na Fgura 4-2. Sob a hpótese de lneardade geométrca, consderam-se pequenos deslocamentos e pequenas deformações específcas. Admte-se anda, a hpótese de que as seções planas de uma vga, tomadas normalmente a seu exo, permanecem planas após a vga ser submetda à flexão (Vga de Naver-Bernoull) e que as tensões longtudnas são lnearmente proporconas às deformações. 42

Esta hpótese é válda quando o materal se comporta elastcamente ou plastcamente, desde que a relação entre a altura e o comprmento da vga seja pequena. Fgura 4-2 - Deformação longtudnal de um elemento submetdo à flexão pura. Após a deformação, os planos das duas seções transversas ab e cd se nterceptam no ponto O, chamado de centro de curvatura do exo longtudnal do elemento, formando um ângulo dθ entre as seções. Da análse geométrca da Fgura 4-2, tem-se: dθ κ = 1 = (4.1) r dx onde : κ - Curvatura; dx - Comprmento do segmento entre duas seções transversas; dθ - Ângulo entre os planos das seções consderadas; r - Rao de curvatura O comprmento de uma fbra alongada (l m ) stuada a uma dstânca z da superfíce neutra ss, onde a deformada é nula, é dado por: z r ( r + z) d = + dx l ' m ' = θ 1 (4.2) 43

Consderando o comprmento ncal da fbra dx e o comprmento fnal dado pela expressão (4.2), o alongamento correspondente à parcela dados por: dx z e a deformação ε x são r ε x z dx r z = = = κ z dx r (4.3) onde : ε x - Deformação específca na dreção do exo x; z - Dstânca do centro de gravdade vertcal da seção transversal à fbra consderada. De acordo com a orentação do exo z, dada na Fgura 4-2 e na equação (4.2), a deformação ε x é negatva quando a fbra estver comprmda e postva quando estver traconada. A deformação ε x é obtda exclusvamente em função da geometra do elemento deformado, e consequentemente, é ndependente das propredades e do comportamento do materal. Admtndo-se um materal que apresente um comportamento lnear, as tensões normas na peça são dadas por: σ = E ε = E κ z (4.4) x x A tensão σ x vara lnearmente com a dstânca z a partr da lnha neutra. No caso do momento fletor postvo, ocorre tração nas fbras nferores e compressão nas fbras superores. Admte-se o snal do momento fletor atuante (M) postvo quando as fbras abaxo da lnha neutra são traconadas e as fbras acma da lnha neutra são comprmdas. A resultante das tensões normas faz equlíbro com a solctação do momento fletor atuante (M). 44

Fgura 4-3 -Tensões e deformações em uma seção transversal à flexão. Seja um elemento de área da, com altura dz e largura méda b, da seção transversal, mostrada na Fgura 4-3, stuada a uma dstânca z a partr do exo de referênca. da = b dz (4.5) A força atuante no elemento de área é dada por: df = σ x da = κ E z da (4.6) A força total atuante na seção transversal é dada pela ntegral da força elementar df ao longo da área: F = df = κ E z da (4.7) por: O momento provocado pela força elementar df em relação à lnha neutra é dado dm = z df = κ E z z da (4.8) A ntegral dos momentos elementares dm ao longo de toda a seção transversal é gual ao momento fletor atuante M: M 2 = dm = κ E z da (4.9) Temos que o momento de nérca da seção transversal em relação ao exo Y é: 2 I y = z da (4.10) 45

De acordo com as equações (4.9) e (4.10) podemos escrever a expressão da curvatura κ em função do momento fletor M: κ = M E I y (4.11) Assm, a tensão em uma fbra qualquer dstante z da lnha neutra, em função do momento fletor atuante M, é dada por: M z σ x = I y (4.12) A Fgura 4-4 apresenta o caso da flexão-composta, caracterzado pela atuação de um esforço normal N e de um momento fletor M. Fgura 4-4 - Deformações em uma seção transversal submetda à flexão-composta. Para o caso de flexão-composta, de acordo com a Fgura 4-4, a deformação ε x de uma faxa stuada a uma dstânca z da lnha neutra é dada por: ε ε 0 + κ z (4.13) = 0 Onde ε 0 é a deformação longtudnal na altura do centro de gravdade da peça. 4.1.2. Defnção da Seção Transversal de Concreto Armado Seja uma seção transversal de concreto armado, de formato arbtráro, dscretzada em elementos retangulares de concreto, com largura b e altura dz, cujo centróde está localzado à uma dstânca z do exo de referênca. 46

Há elementos dscretos pontuas que representam os centródes das barras de aço longtudnas, com área específca As, localzados à uma dstânca zs do exo de referênca, conforme apresentado na Fgura 4-5(a). Fgura 4-5 - Deformações em uma seção transversal de concreto armado, submetda à flexão-composta. Para cada um dos elementos dscretzados é possível atrbur uma relação consttutva do materal empregado, permtndo que cada elemento seja consderado em um estado de tensão-deformação unaxal. Logo, a partr das solctações de forças normas e momentos fletores apresentados na Fgura 4-5(b), obtemos suas respectvas deformações, apresentadas na Fgura 4-5(c). A hpótese de vga de Naver-Bernoull é consderada como le cnemátca, as superfíces planas permanecem planas após a deformação e consequentemente é mantda após a soma das deformações, Fgura 4-5 (d). Para a defnção dos esforços resstentes de uma seção transversal são consderadas as seguntes hpóteses: A seção transversal deve ter como exo de smetra a lnha perpendcular à dreção do momento fletor, tanto para seção de concreto quanto para a dstrbuíção das barras de aço. É consderada a perfeta aderênca entre o concreto e o aço, logo deformações longtudnas relatvas entre ambos, localzadas à mesma profunddade z, serão consderadas nulas. 47

As seções transversas planas permanecem planas após a deformação, conforme a hpótese da vga de Naver-Bernoull. As tensões são proporconas às deformações, de acordo com a relação consttutíva de cada materal. Os esforços resstentes de uma seção transversal devem satsfazer às condções de equlíbro, onde: N M R R = ( ε ) = A σ da (4.14) A ( ε ) σ z da (4.15) Portanto, para a seção transversal de um elemento lnear de concreto armado, os esforços resstentes devem ser dados pela ntegração das tensões normas no concreto e no aço: N M R R = = AC ( ε C ) da + [ σ S ( ε S ) σ C ( ε S )] σ A (4.16) AC C nb ( ε C ) z da + [ σ S ( ε S ) σ C ( ε S )] σ z A (4.17) C nb s s onde: ε C - Deformação longtudnal no concreto ε S - Deformação longtudnal no aço σ C( ε C ) - Tensão normal no concreto em função de sua deformação σ S ( ε S ) - Tensão normal no aço em função de sua deformação σ C( ε S ) - Tensão normal no concreto em função da deformação do aço nb - Número de barras de aço A tensão de concreto contablzada na área preenchda pela seção de aço deve ser descontada da tensão do aço, ( ε ) σ ( ε ) σ. S S C S 48

4.1.3. Relações Consttutvas do Concreto e do Aço. A determnação do comportamento das curvas tensão-deformação do concreto e do aço, de um elemento estrutural, tem tantas varáves quanto necessáro. Dversos casos e partculardades já foram estudados e publcados sobre esse assunto. No método apresentado neste trabalho podem ser utlzadas as curvas tensãodeformação mas adequadas ao modelo estrutural que se deseja estudar. Assm, todas as smplfcações fetas aqu, tem apenas a ntenção de dar maor objetvdade ao estudo. 4.1.3.1. Relações Consttutvas do Concreto. Para análse no estado lmte últmo de uma peça de seção retangular de concreto armado, com resstênca característca do concreto f ck 50MPa e onde o concreto possu resstênca apenas à compressão, pode ser empregado o dagrama tensãodeformação dealzado mostrado na Fgura 4-6, defndo na NBR 6118:2014 [1]. Fgura 4-6-Dagrama tensão-deformação dealzado para [1]. No caso partcular de concretos com f ck 50MPa: σ c onde: ( ε ) c 2 f = ck ε c 0, 85 1 1 γ c ε c2 (4.18) ε c - Deformação específca de encurtamento do concreto. ε c2 - Deformação específca de encurtamento do concreto no níco do patamar plástco. 49

ε cu - Deformação específca de encurtamento do concreto na ruptura. São adotados valores com snas negatvos para a compressão, para manter a notação estabelecda no trabalho e defndos a segur: ε c2 = - 2,0 ; (4.19) ε cu = - 3,5 ; (4.20) O módulo de deformação longtudnal tangente do concreto pode ser defndo como a dervada da curva tensão-deformação em função da deformação específca de encurtamento do concreto, como apresenta a equação (4.21). σ c ( ε c ) = Ec ( ε c ) (4.21) ε c 4.1.3.2. Relações Consttutvas do Aço. Segundo a NBR 6118:2014 [1], para o cálculo nos estados lmtes de servço e últmo pode-se utlzar o dagrama smplfcado mostrado na Fgura 4-7, para os aços da armadura passva com ou sem patamar de escoamento. Fgura 4-7- Dagrama tensão-deformação para aços de armaduras passvas [1]. Os valores adotados para o aço CA50 são apresentados a segur. Resstênca característca do aço no escoamento: f yk = 500 MPa (4.22) 50

Resstênca de cálculo do aço no escoamento: f yk 500MPa f yd = = = 435MPa γ 1,15 s (4.23) Módulo de deformação longtudnal do aço: E s = 210GPa (4.24) Deformação do aço no níco do escoamento: ε yd = f E yd s = 2,07 (4.25) Deformação últma do aço à tração: ε = 10, (4.26) yu 0 Deformação últma do aço à compressão: ε = 3,50 (4.27) yu 4.2. Método teratvo de Newton-Raphson para determnação não-lnear da confguração deformada 4.2.1. Concetos báscos O método de Newton-Raphson é um método de otmzação, sem restrção, teratvo de segunda ordem utlzado para resolução de equações não-lneares e aplcável no caso da determnação da confguração deformada (ε 0, κ) de uma seção transversal. Admte-se a hpótese de que o elemento está submetdo a pequenos deslocamentos e pequenas deformações específcas, que as seções planas de uma vga, tomadas normalmente a seu exo, permanecem planas após a vga ser submetda à flexão (Vga de Naver-Bernoull) e que as tensões longtudnas são lnearmente proporconas às deformações. São desprezados efetos de não-lneardade geométrca. A aplcação do método no presente estudo tem como objetvo partr de valores ncas da confguração deformada (ε 0, κ) e teratvamente chegar a uma stuação em que o par de esforços resstentes (N R, M R ) seja próxmo o sufcente do par de esforços 51

solctantes (N S, M S ). Quando a proxmdade entre os esforços solctantes e resstentes se torna satsfatóra, a deformada da seção transversal desejada é atngda. Fgura 4-8 - Representação gráfca do Método de Newton-Raphson com duas varáves. Notação vetoral do método de Newton-Raphson de acordo com a Fgura 4-8: ( ) O S = N S, M (4.28) S ( ) O R = N R, M R (4.29) RS = OS OR (4.30) R S + 2 2 = dn dm (4.31) O S = N S + M S 2 2 (4.32) RDM = RS OS (4.33) A cada teração o parâmetro de controle utlzado é a razão dstânca-módulo (RDM), onde o resultado é consderado satsfatóro quando a RDM é menor ou gual à tolerânca matemátca desejada. 52

4.2.2. Determnação não-lnear da confguração deformada Admte-se que as tensões no concreto σ C ( ε ) e no aço σ S ( ε ) são determnadas a partr das relações consttutvas não-lneares de cada materal como apresentado no tem 4.1.3. Assm temos: C ( ε ) σ ( ε 0 + κ z ) = C 0 σ (4.34) S ( ε ) σ ( ε 0 + κ z ) = S 0 σ (4.35) Consderando a dscretzação da seção transversal, como apresentado no tem 4.1.2, temos as expressões para a determnação dos esforços resstentes ( N, M R R ), conforme as equações (4.14) e (4.15), transformando a ntegração de tensões ao longo da seção transversal em um somatóro de pequenas parcelas. N M R R = = n = 1 n = 1 σ σ C C nb ( ε ) b dz + [ σ S ( ε ) σ C ( ε )] = 1 nb A ( ε ) ( z ) b dz + [ σ S ( ε ) σ C ( ε )] As ( z ) As equações do par de esforços resstentes ( N, M R R ) = 1 s (4.36) (4.37) podem ser escrtas em função da relação consttutva dos materas aplcando-se as equações (4.34) e (4.35) nas equações (4.36) e (4.37). Desta forma: N M R R = = + n = 1 nb σ ( ε + κ z ) [ σ S ( ε0 + κ0 z ) σ C ( ε0 + κ 0 z )] = 1 = 1 + n σ nb C 0 0 b dz ( ε + κ z ) ( z ) A [ σ S ( ε0 + κ0 z ) σ C ( ε0 + κ 0 z )] ( z ) = 1 C 0 0 b dz s A s (4.38) (4.39) No processo teratvo utlzam-se parcelas dferencas d ε 0 e d κ 0 denomnadas ncrementos controlados. Sendo N R e dm são dadas por: M funções de duas varáves ( ε, ) R 0 κ 0, as parcelas dferencas dn e 53

54 0 0 0 0 κ κ ε ε d N d N dn R R + = (4.40) 0 0 0 0 κ κ ε ε d M d M dm R R + = (4.41) A dferencação de R N e R M como funções de duas varáves ( ) 0 κ 0 ε,, depende exclusvamente da dferencação das tensões ( ) ε σ em relação a estas varáves. Assm: ( ) ( ) ( ) 1 0 0 = = E ε ε ε ε ε σ ε ε σ (4.42) ( ) ( ) ( ) z E = = ε κ ε ε ε σ κ ε σ 0 0 (4.43) E portanto, as dervadas parcas são dadas por: ( ) ( ) ( ) [ ] = = + = nb s C S n C R A E E dz b E N 1 1 0 ε ε ε ε (4.44) ( ) ( ) ( ) [ ] nb s C S n C R z A E E dz z b E N + = = = 1 1 0 ε ε ε κ (4.45) ( ) ( ) ( ) [ ] nb s C S n C R z A E E dz z b E M + = = = 1 1 0 ε ε ε ε (4.46) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 1 1 2 0 nb s C S n C R z A E E dz z b E M + = = = ε ε ε κ (4.47) Escrevendo as equações (4.40) e (4.41) em forma matrcal: = 0 0 0 0 0 0 κ ε κ ε κ ε d d M M N N dm dn R R R R (4.48) Desta forma, os ncrementos controlados ( ) 0, κ 0 ε d d podem ser expressos por:

55 = dm dn M M N N d d R R R R 1 0 0 0 0 0 0 κ ε κ ε κ ε (4.49) Expandndo a matrz das dervadas parcas nversa: = dm dn M N M N M M N N d d R R R R R R R R 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ε κ κ ε κ ε κ ε κ ε (4.50) Desta forma os ncrementos controlados calculados ( ) 0, κ 0 ε d d serão somados à deformação plana da seção ( ) z + 0 0 κ ε. Este processo deve se repetr até que a razão dstanca-módulo (RDM) tenha o resultado consderado como satsfatóro. O fluxograma da Fgura 4-9 apresenta o processo para a determnação da confguração deformada, da seção transversal de uma peça de concreto armado, submetda à flexão composta, consderando a não-lneardade físca dos materas.

Fgura 4-9 Fluxograma para flexão composta. 56

4.3. Método da Seção Equvalente. O método utlzado aqu, conforme já apresentado por DIAZ [11] e desenvolvdo por SHULZ [12] e CUNHA [13], trata-se de uma adaptação do modelo de panel fssurado às regras usuas de dmensonamento à flexão, sendo uma manera prátca de se obter o fluxo de csalhamento ao longo da altura da seção. Esta teora não consdera a compatbldade de deformações, como fo desenvolvdo na Teora do Campo de Compressão apresentada no tem 0. O procedmento é drgdo para cálculos prátcos de dmensonamento de peças usuas de concreto armado. Serão adotadas as seguntes hpóteses: A seção transversal do concreto deve ser constante ao longo da vga. A seção transversal deve apresentar smetra em relação ao exo Z. Para smplfcar os cálculos, os estrbos devem ser vertcas, sto é, sempre paralelos ao exo Z. A armadura longtudnal pode varar ao longo da peça e sua dstrbução ao longo da altura é consderada dscreta. O trecho analsado deve estar fora da zona de ntrodução de forças concentradas. As solctações de forças normas e cortantes devem ser constantes ao longo do comprmento do trecho estudado. Essa restrção não lmta o uso de casos usuas, apenas fo feta para que sejam obtdas expressões analítcas mas smples. Não são admtdos deslocamentos entre as barras de armaduras e o concreto que as envolve. Não são consderadas a resstênca do concreto a tração e mecansmos resstentes complementares V C. Com a hpótese de vga com seção plana (Vga de Naver-Bernoull) se obtém uma relação satsfatóra entre tensões e deformações, quando a seção transversal é submetda apenas a solctações normas. No entanto, quando as forças tangencas são aplcadas, esta hpótese dexa de ser válda, devdo ao aparecmento de dstorções na seção transversal. A real dstrbução de tensões e deformações tangencas na seção 57

transversal é complexa e depende da dstrbução das fssuras na seção e da dstrbução das armaduras. A presença de esforço cortante em uma vga gera a varação dos momentos fletores ao longo do seu exo. Devdo a este aumento de flexão, em um trecho longtudnal de uma vga, sua seção transversal é submetda a um ncremento de esforços axas, que varam de acordo com sua altura e são equlbrados por tensões transversas, conforme a Fgura 4-10. (a) (b) Fgura 4-10 - Plano de tensões de csalhamento em uma vga: (a) esforços em uma vga; (b) equlíbro de tensões em uma fbra. A equação de equlíbro das tensões nas fbras é dada por: σ x τ (4.51) xz + = 0 x z A tensão de csalhamento em qualquer ponto da seção ( z) τ xz pode ser escrta como: τ xz = 1 b σ 0 x z x ( z) b dz w w (4.52) No caso de materal sotrópco elástco, a solução para a equação anteror é smples e bem conhecda: τ xz ( z) 1 z V b = b 0 I w w z V S dz = I b ( z) w (4.53) Sendo : 58

S (z) - Momento estátco dos elementos de área equvalentes ntegrados em relação ao centro de gravdade da seção equvalente. I - Momento de nérca da seção equvalente. bw - Largura da alma da vga. As áreas equvalentes nada mas são do que o somatóro das forças resstentes dos materas de uma vga em resposta a uma deformação mposta ao longo da altura da peça. Sua representação gráfca em forma de áreas torna sua utlzação mas ddátca e ajuda a ncorporar concetos da Mecânca Clássca, como centro de gravdade, momento de nérca e momento estátco. O conceto de seção equvalente é defndo como sendo a seção obtda pelo somatóro da multplcação das áreas das fbras das seções de concreto b( z) dz pelo módulo de deformação longtudnal do concreto ( ) das áreas de aço longtudnal do aço. A por [ E ( ε ) E ( ε )], sendo ( ) S s x c x E ε e o somatóro da multplcação c x E ε o módulo de deformação A Fgura 4-11 apresenta o esquema representatvo deste cálculo, para uma deformação longtudnal com a lnha neutra dentro da seção; o concreto não resste à tração e sua tensão máxma ocorre à ε = 2, ; a deformação no aço não é sufcente 0 para atngr o escoamento. A confguração da deformada longtudnal da seção é ( ε 0 + κ ) = 0 z ε, conforme a equação (4.13). s x Fgura 4-11 - Determnação do Fluxo de Csalhamento pelo Método da Área Equvalente. 59

A prncpal smplfcação ntroduzda corresponde a admtr que as tensões tangencas τ xzobtdas através das expressões (4.51) a (4.53), a partr das componentes horzontas das tensões de compressão σ x, podem ser aproxmadas por uma dstrbução de tensões σ xn, expressa de acordo com as regras usuas de dmensonamento à flexão, conforme a Fgura 4-12. Assm, a expressão (4.51), é substtuída pela equação (4.54): σ xn τ (4.54) xz + = 0 x z Então, de acordo com a Fgura 4-12, pode-se ntroduzr o conceto de tensões longtudnas complementares σ xt, devdas ao esforço cortante V solctante na seção, que em conjunto com as tensões longtudnas de flexão σ xn, obtdas através dos esforços solctantes N e M ncrementados por N e M (ver Fgura 4-11), reproduzem a dstrbução de tensões longtudnas σ x, correspondentes aos esforços solctantes N e M. Assm: x Fgura 4-12 Tensões decorrentes de força normal, momento fletor e força xn xt cortante atuantes em vgas de concreto armado. σ = σ + σ (4.55) O fato dos esforços de tração no concreto ser totalmente desprezados ( σ = 0 1 ), e a compatbldade das deformações não ser consderada como na Teora do Campo de Compressão Modfcada (tem 0), smplfca bastante as condções de equlíbro e as equações consttutvas do método, facltando o seu manuseo prátco. 60

A Fgura 4-13 apresenta círculo de Mohr para as tensões no concreto fssurado, que não resste a esforços de tração. Fgura 4-13 - Círculo de Mohr das tensões no concreto fssurado que não resste aos esforços de tração. Conhecdas as tensões longtudnas de flexão σ xn e as tensões tangencas τ xz, obtemos o ângulo θ, que correspondera à nclnação das fssuras se elas se orentassem de acordo com a dreção das tensões prncpas de compressão σ 2. Assm, obtemos o ângulo θ : θ = 1 1 tg 2 2 τ σ xn xz (4.56) Conhecdo o ângulo θ e as tensões tangencas τ xz, por equlíbro de tensões em cada nível, obtemos as tensões na dreção vertcal σ z, as tensões longtudnas σ x e as tensões na dreção da bela comprmda σ 2. σ x τ xz = tgθ (4.57) Aplcando a equação (4.57) à equação (4.55), obtemos os valores das tensões longtudnas complementares σ xt : 61

σ = σ xt xn + τ xz tgθ (4.58) Como já mostrado, para o dmensonamento das armaduras longtudnas da seção solctada pelos esforços N, M e V, a armadura nstalada também deve resstr ao ncremento de esforços N e M. Isto sgnfca que o dmensonamento no sentdo longtudnal pode ser feto pelo par de esforços N R e M R, defndos da segunte forma: N R = N + N (4.59) M R = M + M (4.60) Admte-se que a relação tensão-deformação do concreto à compressão σ C ( ε c ) possa ser utlzada para o cálculo de σ xn, a partr da deformação longtudnal ε, ou seja: xn C ( ε ) σ = σ (4.61) As equações globas de equlíbro passam a ser: N M R R = N + N = = M + M = n = 1 σ n = 1 xn σ nb ( ε ) b dz + [ σ S ( ε ) σ xn ( ε )] xn = 1 nb A ( ε ) ( z ) b dz + [ σ S ( ε ) σ xn ( ε )] As ( z ) = 1 s (4.62) (4.63) É mportante lembrar que no caso de vgas tpo "I" ou "T", a porção do flange que não resste ao esforço cortante é desprezada para o cálculo do fluxo csalhante τ xz, sendo somente a largura constante da alma, fxada como b w, consderada ao longo da altura. Para o cálculo dos esforços resstentes devdos a solctações normas, é consderada a seção completa como seção resstente, conforme apresentado na Fgura 4-14. 62

Fgura 4-14 - Seção resstente a solctações normas e à força cortante. A Fgura 4-15, adaptada do trabalho desenvolvdo por FERREIRA [16], mostra o equlíbro das tensões longtudnas, na regão não resstente ao csalhamento, (a), e o equlíbro das tensões longtudnas, transversas e vertcas com a força na armadura transversal, na regão resstente ao csalhamento, (b). Fgura 4-15 - Esforço cortante aplcado nas faxas, [16]. É convenente para o cálculo do fluxo csalhante τ xz, que o processo seja realzado em relação ao centro de gravdade da área equvalente, dstante z do topo da cg seção. As dervadas parcas da força normal resstente, N R N e R ε 0 κ 0, são calculadas para a largura fxa da alma, b w. Então, a dstânca z pode ser obtda da segunte cg forma: 63

z cg = M R N R ε 0 ε 0 (4.64) Com as dervadas parcas dos momentos resstentes, M R M e R ε 0 κ 0, calculadas em relação ao centro de gravdade z e da largura fxa da alma b cg w, serão obtdos o momento estátco dos elementos de área equvalentes S ( z ) e o momento de nérca da seção equvalente I, da segunte manera: I = M R κ 0 (4.65) S M ( z ) = R 1 ε0 (4.66) Conhecdas as grandezas S (z ) e I, o fluxo de csalhamento τ xz ( z ) é calculado em cada ponto da altura da peça z, aplcando as equações (4.65) e (4.66) na equação (4.53). As tensões longtudnas σ x ( ε ) são encontradas a partr da equação (4.57) e os esforços N, M e V são obtdos através das seguntes equações: N = M = V = n = 1 n = 1 n = 1 σ τ σ x xz nb ( ε ) b dz + [ σ S ( ε ) σ x ( ε )] x = 1 nb A ( ε ) ( z ) b dz + [ σ S ( ε ) σ x ( ε )] As ( z ) b w dz = 1 s (4.67) (4.68) (4.69) As dferenças entre esforços solctantes e resstentes ( dn,dm ), são fetas em função do conjunto ( N,M ), da segunte manera: dn = N N (4.70) S dm = M M (4.71) S 64

Substtundo-se as equações (4.70) e (4.71), juntamente com as dervadas parcas, equações (4.44) a (4.47), calculadas em relação ao centro de gravdade z e da largura cg varável da alma, b, na equação (4.49), os ncrementos controlados de deformação longtudnal da próxma teração ( ε d ) d, κ 0 0 são encontrados. A cada teração, os ncrementos controlados de deformação longtudnal ( d ε d ), serão somados à confguração deformada plana ncal da seção ( ) 0, κ 0 ε 0 + κ 0 z. Este processo deve se repetr até que a razão dstânca-módulo (RDM) seja nferor à tolerânca matemátca consderada satsfatóra. Partndo das hpóteses de que não são admtdos deslocamentos entre as barras de armaduras e o concreto que as envolve e que o esforço cortante deva ser constante ao longo do comprmento do trecho estudado, podemos dzer que a força nas armaduras vertcas é dada pela segunte equação: ρ SW σ = σ (4.72) SW z onde: σ = τ tgθ (4.73) ρ z SW xz A = b W SW s (4.74) A tensão nas armaduras dos estrbos σ SW devem ser nferores ao valor da tensão de projeto de escoamento do aço utlzado, f. yd equação: As tensões de compressão na bela podem ser determnadas com a segunte σ 2 = τ xz 1 tgθ + tgθ (4.75) nferor a Para ângulos entre 30º θ 45º, o valor da tensão de compressão na bela deve ser f 0 f. Para ângulos θ < 30º, admte-se que a tensão de cd2 =, 6 αv2 compressão na bela deva ser nferor a 0,85 f cd. cd 65

O fluxograma da Fgura 4-16 apresenta o processo para a determnação da confguração deformada, da seção transversal de uma peça de concreto armado, submetda à flexão composta e força cortante, pelo método da seção equvalente. Fgura 4-16 Fluxograma para o método da seção equvalente. 66

4.4. Abordagem Geral do Programa FNL-CORTE Os fundamentos teórcos apresentados até aqu foram utlzados para a elaboração do programa FNL-CORTE, que automatza as verfcações em vgas de concreto armado pelo método da seção equvalente, através de um processo teratvo de flexãocomposta, não-lnear, consderando o acoplamento do esforço cortante. As fguras deste tem tem a função apenas de lustrar a apresentação do programa. Complementando, no tem 5.3 é apresentado um exemplo completo de dmensonamento. 4.4.1. Dados Geométrcos O programa não admte varação de seção ao longo do seu comprmento. As seções acetas devem ter geometra retangular ou composta por faxas retangulares ao longo de sua altura, smétrcas em relação ao exo z. A seção é composta por vnte elementos de faxas dscretas, com largura b e altura dz, onde a únca restrção é que o somatóro das alturas dos elementos seja gual à altura total da seção. É necessáro que a largura da seção resstente ao csalhamento, b w, também seja defnda para o cálculo das tensões csalhantes. As armaduras longtudnas têm dezenove posções possíves de dstrbução de suas camadas, sendo o seu posconamento, ao longo da altura, em relação ao centro de gravdade das barras. É consderado que as barras longtudnas dscretas têm comprmento sufcente, além da posção da seção analsada, para garantr a sua ancoragem. As armaduras transversas devem ter dstrbução unforme ao logo do trecho longtudnal analsado e da altura da seção. Não é admtda a nclnação da armadura transversal em valores dferentes de α = 90. O programa consdera que as armaduras transversas estão presentes ao longo de toda a altura da seção, caso contráro não sera possível chegar ao equlíbro das forças vertcas, uma vez que o concreto não resste à tração. Os erros causados devdo a essa aproxmação são mnmzados pela tensão csalhante quase nula nas extremdades. 67

São apresentadas a segur as tabelas dos dados de entrada do programa FNL- CORTE. Apenas as células marcadas de azul precsam ser preenchdas. As demas células são calculadas automatcamente. Os dados apresentados na sequênca serão utlzados no tem 5.3, onde será analsado o Exemplo 3. A Tabela 4-1 nsere no programa os dados de entrada da seção de concreto. Onde: z sup e z nf - são as posções superores e nferores das faxas dscretas da seção de concreto, em relação ao topo da seção. b - largura da faxa, resstente as solctações normas. Tabela 4-1 - Dados da Seção de Concreto. GEOMETRIA DO CONCRETO ELEM. z sup z nf zm b dz Ac zm Ac I cg CONC. m m m m m m² m³ m 4 1 0.000 0.030 0.015 1.35 0.0300 0.041 6.1E-04 4.9E-03 2 0.030 0.060 0.045 1.35 0.0300 0.041 1.8E-03 4.1E-03 3 0.060 0.090 0.075 1.35 0.0300 0.041 3.0E-03 3.4E-03 4 0.090 0.120 0.105 1.35 0.0300 0.041 4.3E-03 2.7E-03 5 0.120 0.181 0.151 0.20 0.0613 0.012 1.8E-03 5.6E-04 6 0.181 0.243 0.212 0.20 0.0613 0.012 2.6E-03 2.9E-04 7 0.243 0.304 0.273 0.20 0.0613 0.012 3.3E-03 1.1E-04 8 0.304 0.365 0.334 0.20 0.0613 0.012 4.1E-03 1.5E-05 9 0.365 0.426 0.396 0.20 0.0613 0.012 4.8E-03 1.6E-05 10 0.426 0.488 0.457 0.20 0.0613 0.012 5.6E-03 1.1E-04 11 0.488 0.549 0.518 0.20 0.0613 0.012 6.3E-03 2.9E-04 12 0.549 0.610 0.579 0.20 0.0613 0.012 7.1E-03 5.7E-04 13 0.610 0.671 0.641 0.20 0.0613 0.012 7.8E-03 9.4E-04 14 0.671 0.733 0.702 0.20 0.0613 0.012 8.6E-03 1.4E-03 15 0.733 0.794 0.763 0.20 0.0613 0.012 9.3E-03 2.0E-03 16 0.794 0.855 0.824 0.20 0.0613 0.012 1.0E-02 2.6E-03 17 0.855 0.916 0.886 0.20 0.0613 0.012 1.1E-02 3.3E-03 18 0.916 0.978 0.947 0.20 0.0613 0.012 1.2E-02 4.2E-03 19 0.978 1.039 1.008 0.20 0.0613 0.012 1.2E-02 5.1E-03 20 1.039 1.100 1.069 0.20 0.0613 0.012 1.3E-02 6.1E-03 68

A Tabela 4-2 nsere no programa os dados de entrada da dstrbução da armadura longtudnal. Onde: zs ϕ QUANT. - é a posção dscreta da camada de armadura longtudnal, em relação ao topo da seção. - é o dâmetro das barras da camada de armadura longtudnal. - é quantdade de barras na camada de armadura longtudnal. Tabela 4-2 Dstrbução da Armadura Longtudnal. DISTRIBUIÇÃO AsL ELEM. zs As zs As I cg ϕ QUANT. AÇO m m² m 3 m 4 mm UNIT. 1 0.05 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 2 0.11 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 3 0.16 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 4 0.21 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 5 0.26 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 6 0.32 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 7 0.37 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 8 0.42 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 9 0.47 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 10 0.53 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 11 0.58 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 12 0.63 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 13 0.68 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 14 0.74 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 15 0.79 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 16 0.84 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 17 0.89 0.00E+00 0.0E+00 0.00E+00 18 0.95 6.28E-04 5.9E-04 7.85E+03 20.0 2 19 1.00 9.42E-04 9.4E-04 7.85E+03 20.0 3 A Fgura 4-17 apresenta grafcamente o formato gerado pelos dados de entrada da seção de concreto, a partr da Tabela 4-1, e a dstrbução da armadura longtudnal, conforme a Tabela 4-2. 69

Fgura 4-17 - Seção transversal de concreto e dstrbução da armadura longtudnal, FNL-CORTE. 4.4.2. Dados Consttutvos São utlzados os dagramas tensão-deformação dealzados, apresentados na NBR 6118:2014 [1], para o dmensonamento no estado-lmte últmo. Nos dados de entrada para o concreto temos: resstênca característca do concreto, f ck ou f cj ; coefcente de ponderação de resstênca do concreto, γ c ; parâmetro de redução da resstênca do concreto na compressão, α c, ver tem 17.2.2e [1]; as deformações específcas de encurtamento no níco do patamar plástco e de ruptura, ε c2 e ε cu. Nos dados de entrada para o aço das armaduras longtudnas, temos: a resstênca característca do aço ao escoamento, f yk ; o coefcente de ponderação de resstênca do aço, γ s ; o módulo de elastcdade, E s ; a deformação específca de alongamento máxmo, ε yk, máx. 70

aço. A Tabela 4-3 nsere no programa as característcas pertnentes ao concreto e ao Tabela 4-3 Característcas Pertnentes ao Concreto e ao Aço,. SEÇÃO DE CONCRETO AÇO LONGITUDINAL f ck 30 MPa f yk 500 MPa γ c 1.4 γ s 1.15 α c 0.85 E s 210 GPa E c 30672.5 MPa ε sy,máx 0.01000 m/m ε c2-0.0020 m/m ε syk 0.00207 m/m ε cu -0.0035 m/m ρ mín. 0.437 % b w 0.2 m As xmín 9.61E-04 cm² h 1.10 m d 1.02 m A c 0.358 m² CG 0.36 m I 0 0.043 m 4 Além de característcas referentes aos materas, deve ser fornecda também: b w - largura da alma da seção de concreto resstente a tensões csalhantes. 4.4.3. Carregamentos O programa trabalha com o tro de solctações de projeto, Força Normal, Momento Fletor e Força Cortante (Ns d, Ms d, Vs d ), segundo a referênca de orentação apresentada na Fgura 4-18. Fgura 4-18 - Referênca de orentação das solctações, FNL-CORTE. 71

A Tabela 4-4 nsere no programa os valores dos esforços solctantes de cálculo. Tabela 4-4 Dados de Entrada dos Esforços de Cálculo. ESFORÇOS DE CÁCULO N sd 0 kn M sd 588 kn.m V sd 146 kn 4.4.4. Análse Prmeramente é encontrado o equlíbro do modelo de análse não-lnear para flexão-composta, consderando que o materal que consttu a seção tem deformação não-lnear, através de um processo teratvo de Newton-Raphson, que converge em até três terações. Em seguda, com a confguração deformada obtda apenas para a flexãocomposta, ε = ε 0 + κ0 z, é calculado o fluxo de tensões de csalhamento ao longo da altura da seção, τ xz, e o acréscmo de tensões normas que por ele é causado, σ xt. Através do acréscmo de tensões normas, normal e momento fletor, N e M. σ xt, é obtdo o acréscmo de força Um segundo processo teratvo é ncado até que seja encontrada uma confguração deformada que ressta às solctações e seus acréscmos, N R = N + N e M R = M + M. Este processo se repete durante sete terações pré-defndas. O prmero tem a ser verfcado é a condção de convergênca do processo teratvo, feta pela razão dstânca-módulo RDM, que deve ser um valor bastante pequeno, como apresentado na Tabela 4-5. Tabela 4-5 - Controle Incal dos Resultados. CONTROLE DE RESULTADOS RDM 4.39E-13 V Rd 147.9 kn V Rd /V Sd 1.01 72

Por motvos de smplfcação do processo, conforme já menconado, não é feta a compatblzação de deformações. Essa smplfcação não permte que seja feto o equlíbro de forças vertcas. Desta forma um pequeno erro é notado no somatóro das forças cortantes resstentes, V Rd, em relação à força cortante solctante V Sd. Esse valor só se torna sgnfcatvo quando a seção está na mnênca de ruptura, quando então deve ser observado. Caso esses dos fatores de verfcação apresentem valores consderados como não acetáves, uma nova confguração geométrca e/ou de dstrbução de armaduras deve ser estudada. 4.4.5. Resultados Os resultados são apresentados em forma de tabelas, com valores atrbuídos a cada nível dos elementos dscretos ao longo da altura. Para a seção de concreto são apresentados resultados das deformações longtudnas ε x, tensões longtudnas σ xn, σ xt e σ x, tensões csalhantes τ xz, ângulo de nclnação das fssuras θ, tensões vertcas σ t, tensões de compressão dagonas σ 2. Para as armaduras longtudnas são apresentados resultados das deformações longtudnas exstente F sx. ε x, tensões longtudnas σ sx e a força em cada nível da armadura A partr destes dados são crados gráfcos que ajudam a vsualzar a progressão do dmensonamento ao longo da altura da seção. A análse das tabelas e gráfcos dos resultados é apresentada no tem 5.3. 73

5. EXEMPLOS 5.1. Exemplo 1 O exemplo a segur compara os resultados do dmensonamento de uma vga de concreto armado, submetda a esforços de flexão e csalhamento, por quatro métodos dstntos: (NBR) - Dmensonamento smples da flexão e do cortante separadamente, consderando a correção da força na armadura prncpal devdo ao cortante, conforme proposto pela NBR6118 [1]. (TRELIÇA) - Dmensonamento pelo método de belas e trantes, utlzando um modelo de trelça, com ângulo de nclnação das belas fxado em θ = 45. (MSE) - (RSP) - Dmensonamento acoplado da flexão e do cortante, pelo método da seção equvalente. Dmensonamento pela teora do campo de compressão, utlzando o programa RESPONSE-2000. Propredades da vga: L = 8, 00m; b = 0, 20m; h = 1, 20m; d' = 0, 10m; d = 1, 10m Propredades dos materas: Concreto C 25 ; γ = 1,40 = C Aço CA 50 ; γ = 1,15 = S Coefcente de ponderação das solctações: γ f = 1,40 74

A Fgura 5-1 apresenta o esquema longtudnal de carregamento e a dstrbução das armaduras. É mportante lembrar que neste exemplo, as armaduras longtudnas e transversas são consderadas constantes e o peso própro da vga fo desconsderado. 200 kn 5ϕ20 ϕ6,3 c 15 z = 1m V=100 kn L=8m V=100 kn 1m 1m 1m 1m 4m 1 2 3 4 Fgura 5-1 - Esquema longtudnal de carregamento e armaduras. [14] 5.1.1. Dmensonamento da Flexão Smples e do Esforço Cortante (NBR) Prmeramente é feto o dmensonamento da força necessára na armadura para obter o equlíbro da seção solctada apenas por esforços de flexão, F Sd. Então é calculada a correção desta força para contablzar a nfluênca do esforço cortante, F, conforme a equação (2.22), para θ = 45. Sd,cor Como a armadura longtudnal já está defnda, a confguração deformada da seção transversal será estabelecda em função da deformação da armadura longtudnal ε Sd, para a força F Sd, cor. A tensão na armadura transversal será defnda através da equação (2.16), para θ = 45 e α = 90. A parcela V C não está sendo levada em conta nestes cálculos, que tem apenas o objetvo de comparar resultados com os outros métodos. 75

5.1.2. Dmensonamento por belas e trantes (Trelça) O dmensonamento pelo método de belas e trantes utlza uma trelça com ângulo fxo em θ = 45 e o braço de alavanca z = 1,0m fxo referente à M d, Máx, conforme já fo apresentado por SANTOS [14]. Para se encontrar o braço de alavanca z mínmo, ou seja, em função do momento fletor máxmo, são calculados os coefcentes admensonas κ Md, κ x e κ z : M κ = 0130 ; d Md =, 2 ( bw d fck γ C ) 0, 5 2 κ Md 1 1 0, 85 κ x = = 0, 208; 0, 80 κ = 1 0 4 κ 0, 916; z, x = z = d κ z = 1, 00m As forças na bela comprmda, no banzo comprmdo, nos banzos horzontal e vertcal traconados, já obtdos com as equações (2.8) a (2.11) respectvamente, e seus valores avalados, para esforços característcos, com θ = 45 e z = 1,0m. O cálculo da força na armadura transversal, O método da trelça modfcada consdera a varação do braço de alavanca z em função do momento fletor analsado. M d no local A Fgura 5-2 apresenta o equlíbro de forças no modelo de trelça dscreta para o método de belas e trantes. 76

200 kn 0-100 -200-300 0 100 100 100 0-100 2-100 2-100 2-100 2 z = 1m 100 200 300 400 V=100 kn L=8m V=100 kn Fgura 5-2 - Esquema de trelça dscreta para o método de belas e trantes. [14] 5.1.3. Dmensonamento pelo Método da Seção Equvalente (MSE) O dmensonamento fo realzado pelo programa FNL-CORTE, para uma seção transversal de concreto armado, subdvdda em vnte faxas horzontas de concreto e uma posção dscreta de camada de armadura, conforme apresentado no tem 4.4. O processo teratvo fo realzado para dez terações pré-defndas, onde se obteve, para todos os casos calculados, o valor de RDM 10 7, consderado como satsfatóro. 5.1.4. Dmensonamento pela Teora de Campo de Compressão (RSP) Fo utlzado o programa RESPONSE 2000, para concreto que não resste à tração e nem a mecansmos complementares de resstênca ao cortante, conforme apresentado no tem 3.2. 5.1.5. Comparação de resultados Foram analsadas quatro seções transversas, espaçadas a cada metro, a partr do apoo até a seção central. A seção central será utlzada para calcular os parâmetros apenas relação ao momento fletor máxmo M Sd, máx e não sofre nfluênca do esforço cortante. 77

A Tabela 5-1 e a Fgura 5-3 apresentam as deformações da seção no nível da armadura, ε sd, e as deformações no topo da seção, ε cd, para esforços de cálculo em cada uma das seções, calculadas por cada método dstnto. Tabela 5-1 Deformações longtudnas, Exemplo 1. x NBR --------Trelça MSE - - - -RSP ε s ε cd ε s ε cd ε s ε cd ε s ε cd m mm/m mm/m mm/m mm/m mm/m mm/m mm/m mm/m 1 0.606-0.031 0.637-0.187 0.626-0.203 0.725-0.080 2 1.016-0.112 1.062-0.312 1.067-0.487 1.140-0.438 3 1.445-0.259 1.486-0.437 1.513-0.781 1.569-0.748 4 1.684-0.442 1.699-0.500 1.745-1.076 1.786-1.128 Fgura 5-3 Dagrama qualtatvo de deformações longtudnas nas seções analsadas, Exemplo 1. A Tabela 5-2 apresenta as deformações das armaduras longtudnas, cálculadas pelos métodos (TRELIÇA), (MSE) e (RSP), nas seções S1 a S4, em razão dos valores valores cálculados pelo método (NBR). 78

Tabela 5-2 - Deformação longtudnal na armadura nferor em razão dos valores de (NBR), Exemplo 1. Seção Trelça MSE RSP S1 1.05 1.03 1.20 S2 1.04 1.05 1.12 S3 1.03 1.05 1.09 S4 1.01 1.04 1.06 Apesar das deformações longtudnas das armaduras terem valores semelhantes, em cada seção, a não-lneardade do materal, consderada nos modelos de seção equvalente (MSE) e do campo de compressão (RSP), fornece maor curvatura, κ, em relação os modelos lneares, (NBR) e (Trelça). A Seção S4, sem a nfluênca do cortante, tem valores muto próxmos entre (MSE) e (RSP) e entre (NBR) e (Trelça). A Tabela 5-3 e a Fgura 5-4 apresentam as forças de tração na armadura longtudnal, F Sd, para esforços de cálculo em cada uma das seções, calculadas por cada método dstnto. Tabela 5-3 Força na Armadura Longtudnal, Exemplo 1. x NBR ---Trelça MSE - RSP F Sd F Sd F Sd F Sd m kn kn kn kn 1 200 210 207 240 2 335 350 352 376 3 477 490 499 518 4 555 560 576 589 79

Fgura 5-4 Dagrama de Força na Armadura Longtudnal, Exemplo 1. A Tabela 5-4 apresenta os valores das forças as armaduras longtudnas, cálculadas pelos métodos (TRELIÇA), (MSE) e (RSP), nas seções S1 a S4, em razão dos valores valores cálculados pelo método (NBR). Tabela 5-4 Força na Armadura Longtudnal em razão dos valores de (NBR), Exemplo 1. Seção Trelça MSE RSP S1 1.05 1.03 1.20 S2 1.04 1.05 1.12 S3 1.03 1.05 1.09 S4 1.01 1.04 1.06 Segundo a lógca apresentada na Tabela 5-1 e na Fgura 5-3, onde as deformações nas armaduras são bastante parecdas, para cada seção analsada, a Tabela 5-3 e a Fgura 5-4, apresentam valores de forças nas armaduras bastante próxmos. A 80

Teora de Campo de Compressão fornece os maores resultados na regão onde a força cortante é consderada no dmensonamento da armadura longtudnal. transversal, A Tabela 5-5 e a Fgura 5-5 apresentam as forças de tração na armadura F Sw, para esforços de cálculo em cada uma das seções, calculadas por cada método dstnto. É mportante lembrar que não esta sendo consderada a resstênca à tração do concreto e a resstênca devda aos mecansmos complementares V c Tabela 5-5 Força na Armadura Transversal, Exemplo 1. NBR ---Trelça x MSE RPS F Sw F Sw F Sw F Sw m kn kn kn kn 1 141 140 141 133 2 141 140 146 128 3 141 140 148 147 Fgura 5-5 Dagrama de Força na Armadura Transversal, Exemplo 1. 81

A Tabela 5-6 apresenta os valores das forças as armaduras transversas, cálculadas pelos métodos (TRELIÇA), (MSE) e (RSP), nas seções S1 a S3, em razão dos valores valores cálculados pelo método (NBR). Tabela 5-6 - Força na Armadura Transversal em razão dos valores de (NBR), Exemplo 1. Seção Trelça MSE RSP S1 0.99 1.00 0.94 S2 0.99 1.04 0.90 S3 0.99 1.04 1.04 Nos resultados apresentados na Tabela 5-5 e na Fgura 5-5, o método da seção equvalente tem os maores valores de forças na armadura transversal e os métodos de belas e trantes (Trelça) e de dmensonamento smples (NBR), tem valores de forças próxmos. No modelo baseado na Teora de Campo de Compressão (RSP), devdo à compatblzação de deformações vertcas, nas regões de menores momentos fletores, seções S1 e S2, as forças de tração nas armaduras transversas sãos nferores às obtdas nos demas métodos. 82

5.2. Exemplo 2 O Exemplo 2, desenvolvdo por EBOLI [15], trata do dmensonamento de uma vga T, de dos vãos, smétrca, que em cada um dos vãos recebe uma carga concentrada devdo a uma vga secundára e carregamentos unformemente dstrbuídos de cargas permanentes e varáves, como apresentado na Fgura 5-6. Fgura 5-6 - Esquema geométrco e estrutural da vga V1, Exemplo 2. [15] Três combnações foram analsadas levando em conta ou não a exstênca de carga varável no lado dreto (F q,ld ) ou no lado esquerdo (F q,ld ), da vga smétrca, desta forma: C1 = 1, 4 F g C2 = 1, 4 F C3 = 1, 4 F g g + 1, 4 F + 1, 4 F + 1, 4 F q,le q,le q,ld + 1, 4 F q,ld 83