7.3. Potencial Eléctico e Enegia Potencial Eléctica de Cagas Pontuais Ao estabelece o conceito de potencial eléctico, imaginamos coloca uma patícula de pova num campo eléctico poduzido po algumas cagas fonte não descitas. Po uma questão de simplificação foi suposto anteiomente que o campo ea unifome paa fixa a ideia do potencial eléctico em nossas mentes. Vamos agoa focaliza nossa atenção nas cagas pontuais, que sabemos que poduzem campos elécticos que não são unifomes. Considee uma caga pontual positiva isolada q (Figua 7.3). Recode que tal caga é uma fonte de um campo eléctico que está dieccionado adialmente paa foa da caga. Paa enconta o potencial eléctico a uma distância da caga, começamos com a expessão geal paa a difeença de potencial, a equação 7.3: V B V A B E ds A 2 Como o campo eléctico devido à caga pontual é dado po E = k qˆ e /, onde ˆ é um vecto unitáio diigido da caga paa o ponto do campo, a gandeza E ds pode se expessa como E ds = k e q 2 ˆ ds Figua 7.3. A difeença de potencial ente os pontos A e B devida a uma caga pontual q depende apenas das coodenadas adiais inicial e final A e B. Os dois cículos tacejados epesentam secções tansvesais das supefícies equipotenciais esféicas. O poduto escala ˆ ds = ds cosθ, onde θ é o ângulo ente ˆ e ds como na Figua 7.3. Além disso, obseve que ds cosθ é a pojecção de ds em, de modo que 2 ds cosθ = d. Com essas substituições, descobimos que E ds = ( keq / )d, de tal foma que a expessão paa a difeença de potencial se tona 116
(7.10) A integal de linha E ds é independente da tajectóia ente A e B como tem de se, poque o campo eléctico de uma caga pontual é consevativo 1. Além disso, a equação 7.10 expessa o impotante esultado de que a difeença de potencial ente quaisque dois pontos A e B depende somente das coodenadas adiais A e B. Como já vimos é habitual defini o potencial de efeência como sendo zeo em A =. Com essa escolha, o potencial eléctico devido a uma caga pontual a qualque distância da caga é (7.11) A pati disso, vemos que V é constante sobe uma supefície esféica de aio centado na caga pontual. Assim, concluímos que as supefícies equipotenciais paa uma caga pontual isolada consistem numa família de cascas esféicas concênticas com a caga, como mostado na Figua 7.3. Obseve que as supefícies equipotenciais são pependiculaes às linhas de foça eléctica, como é o caso paa um campo eléctico unifome. O potencial eléctico de duas ou mais cagas pontuais é obtido aplicando-se o pincípio da supeposição. Isto é, o potencial total em algum ponto P em decoência das cagas pontuais múltiplas é a soma dos potenciais das cagas individuais. Paa um gupo de cagas, podemos esceve o potencial total em P na foma (7.12) onde o potencial novamente é consideado como zeo no infinito e i é a distância do ponto P à caga q i. Obseve que a soma na equação 7.12 é uma soma algébica de gandezas escalaes em vez de uma soma vectoial (que é utilizada paa calcula o campo eléctico de um gupo de cagas). Assim, é muito mais fácil calcula V paa muitas cagas do que calcula E. Consideaemos agoa a enegia potencial eléctica de inteacção de um sistema de patículas caegadas. Se V 1 fo o potencial eléctico no ponto P devido à caga q 1, o tabalho necessáio paa taze uma segunda caga q 2 do infinito ao ponto P sem aceleação seá q 2 V = q2v1. Po definição, esse tabalho iguala a enegia potencial U do sistema das duas patículas (Figua 7.4) quando as patículas estão sepaadas po uma distância 12 o agente exteno mudou a enegia do sistema fazendo tabalho sobe ele. Podemos, consequentemente, expessa a enegia potencial como 1 Um campo consevativo é aquele que exece uma foça consevativa sobe um copo colocado nele. Tanto os campos gavitacionais quanto os elécticos são consevativos. 117
(7.13) Figua 7.4. Se duas cagas pontuais estão sepaadas po uma distância 12, a enegia potencial eléctica do pa de cagas é dada po. Obseve que, se as cagas foem do mesmo sinal, U é positiva. Isso é consistente com o facto de que cagas de mesmo sinal se epelem e, dessa foma, tabalho positivo deve se feito sobe o sistema paa apoxima as duas cagas, e a enegia potencial do sistema aumenta po causa desse tabalho. Se as cagas foem de sinais opostos, a foça é atactiva e U é negativa, o que significa que tabalho negativo é feito quando se apoximam cagas de sinais opostos. Como a foça é atactiva, as patículas se apoximaão natualmente. Neste caso, o sistema ealiza tabalho sobe o agente exteno (ou o agente exteno faz tabalho negativo) enquanto as patículas se apoximam. Isso epesenta enegia saindo do sistema e a enegia potencial do sistema diminui. Se o sistema consiste em mais de duas patículas caegadas, a enegia potencial eléctica total pode se obtida calculando-se U paa cada pa de cagas e somando se os temos algebicamente. A enegia potencial eléctica total de um sistema de cagas pontuais é igual ao tabalho necessáio paa taze as cagas, uma de cada vez, de uma distância infinita até suas posições finais. Exemplo 7.1. Potencial devido a duas cagas pontuais (esolvido na aula teóica). 7.4. Obtenção do Campo Eléctico pelo Potencial Eléctico O campo eléctico E e o potencial eléctico V estão elacionados pela equação 7.3. Ambas as gandezas são deteminadas po uma distibuição específica de cagas fonte. Mostaemos agoa como calcula o campo eléctico se o potencial eléctico fo conhecido numa deteminada egião. A pati da equação 7.3 podemos expessa a difeença de potencial ente dois pontos a uma distância ds um do outo como sendo E ds (7.14) 118
Se o campo eléctico tive somente uma componente, E x, po exemplo, então E ds =Ex dx. Consequentemente, a equação 7.14 tona-se = E x dx, ou E x (7.15) dx Isto é, o campo eléctico é igual ao negativo da deivada do potencial eléctico com espeito a alguma coodenada. A vaiação no potencial é nula paa qualque deslocamento pependicula ao campo eléctico. Isso é consistente com a noção de que as supefícies equipotenciais são pependiculaes ao campo, como mosta a Figua 7.5a. Figua 7.5. Supefícies equipotenciais (linhas tacejadas) e linhas do campo eléctico (linhas contínuas). As supefícies equipotenciais são pependiculaes às linhas do campo eléctico em todos os pontos. 119
Se a distibuição de caga tem simetia esféica, de tal foma que a densidade de caga dependa apenas da distância adial, o campo eléctico é adial. Neste caso, E ds = E d, e podemos expessa como = E d. Consequentemente E (7.16) d Po exemplo, o potencial de uma caga pontual é V = keq/. Como V é uma função somente de, a função potencial tem simetia esféica. Aplicando a equação 7.16, descobimos que a magnitude do campo eléctico devido à caga pontual é E = k e q/ 2, um esultado familia. Obseve que o potencial muda somente no sentido adial, não numa diecção pependicula a. Assim, V (como E ) é uma função somente de. Novamente, isso é consistente com a ideia de que as supefícies equipotenciais são pependiculaes às linhas do campo. Neste caso, as supefícies equipotenciais são uma família de cascas esféicas concênticas com a distibuição esfeicamente simética da caga (Figua 7.5b). As supefícies equipotenciais paa o dipolo eléctico são esquematizadas na Figua 7.5c. Em geal, o potencial eléctico é uma função de todas as tês coodenadas espaciais. Se V é dado em temos de coodenadas ectangulaes, as componentes do campo eléctico E x, E y e E z podem se encontadas a pati de V (x, y, z) como deivadas paciais E x dx E y dy E z dz Po exemplo, se V = 3x 2 y + y 2 + yz, então 2 2 ( 3x y + y + yz) xy V E x 6 x x 7.5. Potencial Eléctico devido a Distibuições Contínuas de Caga O potencial eléctico devido a uma distibuição contínua de caga pode se calculado de duas maneias. Se a distibuição de caga fo conhecida, podemos começa com a equação 7.11 paa o potencial de uma caga pontual. Consideamos, então, o potencial devido a um pequeno elemento de caga dq, tatando esse elemento como uma caga pontual (Figua 7.6). O potencial em qualque ponto P devido ao elemento de caga dq é (7.17) onde é a distância do elemento de caga a P. Paa enconta o potencial total em P, integamos a equação 7.17 paa inclui contibuições de todos os elementos da distibuição de caga. Como cada elemento está, em geal, a uma distância difeente de P e como k e é uma constante, podemos expessa V como 120
(718) onde substituímos a soma na equação 7.12 pela integal. Figua 7.6. O potencial eléctico no ponto P devido a uma distibuição contínua de caga pode se calculado dividindo-se a distibuição de caga em segmentos de caga dq e somando-se as contibuições paa o potencial de todos os segmentos. O segundo método paa calcula o potencial de uma distibuição contínua de caga empega a equação 7.3. Esse pocedimento é útil quando o campo eléctico já é conhecido a pati de outas consideações, tais como a lei de Gauss. Neste caso, substituímos o campo eléctico na equação7.3 paa detemina a difeença de potencial ente dois pontos quaisque. Escolhemos, então, V como zeo em algum ponto conveniente. 7.6. Potencial Eléctico dum Conduto Caegado Já vimos que, quando um conduto sólido em equilíbio electostático tem uma caga líquida, a caga fica na supefície extena do conduto. Além disso, mostamos que o campo eléctico na face extena de um conduto em equilíbio é pependicula à supefície, enquanto o campo dento do conduto é nulo. Devemos agoa demonsta que todo ponto na supefície de um conduto caegado em equilíbio electostático está no mesmo potencial eléctico. Considee dois pontos A e B na supefície de um conduto caegado, como na Figua 7.7.Ao longo de uma tajectóia de supefície conectando esses pontos, o campo E sempe é pependicula ao deslocamento ds ; consequentemente, E ds = 0. Usando esse esultado e a equação 7.3, concluímos que a difeença de potencial ente A e,b é necessaiamente zeo. Assim 121
Figua 7.7. Um conduto de fomato abitáio com um excesso de caga positiva. Quando o conduto está em equilíbio electostático, toda a caga pemanece na supefície, E = 0 dento do conduto e o campo eléctico na face extena do conduto é pependicula à supefície. O potencial é constante dento do conduto e é igual ao potencial na supefície. A densidade supeficial de caga não é unifome. Esse esultado se aplica a quaisque dois pontos na supefície. Desse modo, V é constante em todo luga na supefície de um conduto caegado em equilíbio e, assim, tal supefície é uma supefície equipotencial. Além disso, como o campo eléctico é zeo dento do conduto, concluímos que o potencial é constante em todo luga dento do conduto e igual a seu valo na supefície. Conclui-se que nenhum tabalho é necessáio paa move uma caga de pova do inteio de um conduto caegado paa sua supefície. Figua 7.8. (a) O excesso de caga na supefície de uma esfea condutoa de aio R está unifomemente distibuído em sua supefície. (b) Potencial eléctico em função da distância a pati do cento da esfea condutoa caegada. (c) Intensidade do campo eléctico em função da distância a pati do cento da esfea condutoa caegada. Po exemplo, considee uma esfea metálica maciça de aio R e caga total positiva Q; como indicado na Figua 7.8a. Como temos um conduto esféico a distibuição de caga é unifome. O campo eléctico foa da esfea tem magnitude k e Q/ 2 122
e aponta adialmente paa foa. Vemos que o potencial no inteio e na supefície da esfea deve se k e Q/R em elação ao infinito. O potencial foa da esfea é k e Q/. A Figua 7.8b é um gáfico do potencial em função de e a Figua 7.8c mosta as vaiações do campo eléctico com. Uma cavidade dento de um conduto em equilíbio Agoa considee um conduto de fomato abitáio contendo uma cavidade como na Figua 7.9. Vamos pessupo que não há cagas dento da cavidade. Figua 7.9. Um conduto em equilíbio electostático contendo uma cavidade vazia. O campo eléctico na cavidade é nulo. Independentemente da caga no conduto. Demonstaemos que o campo eléctico dento da cavidade tem de se zeo, independentemente da distibuição de caga na supefície extena do conduto. Além disso, o campo na cavidade é nulo, mesmo que exista um campo eléctico do lado de foa do conduto. Paa pova este ponto, usaemos o fato de que todo ponto no conduto está no mesmo potencial e, dessa foma, quaisque dois pontos A e B na supefície da cavidade têm de esta no mesmo potencial. Agoa imagine que um campo E existe na cavidade e calcule a difeença de potencial V B V A, definida pela expessão Se E é difeente de zeo, podemos invaiavelmente enconta um caminho ente A e B paa o qual E ds é sempe um númeo positivo (uma tajectóia ao longo da diecção de E ) e, assim, a integal tem de se positiva. Contudo, como V B V A = 0, a integal também tem de se zeo. Essa contadição pode se esolvida apenas se E =0 dento da cavidade. Assim, concluímos que uma cavidade odeada po paedes condutoas é uma egião live de campo enquanto não houve cagas dento da cavidade. Esse esultado tem algumas aplicações inteessantes. Po exemplo, é possível blinda um equipamento electónico ou até mesmo todo um laboatóio dos campos extenos cecando-o com paedes condutoas. A blindagem fequentemente é necessáia duante a ealização de medidas elécticas altamente sensíveis. Duante uma tempestade com aios, a localização mais segua é dento de um automóvel. Mesmo que um aio atinja o cao, o copo de metal gaante que você não iá ecebe um choque dento dele, onde E =0. 123