Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira ÓPICOS Matriz iversa. U 6 Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar pelo aluo resolvedo os problemas apresetados a bibliografia, sem cosulta prévia das soluções propostas, aálise comparativa etre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição juto do docete de todas as dúvidas associadas. Método de codesação. Matriz ortogoal. Propriedades da álgebra matricial. 6. Matriz iversa. 6.. Matriz iversa. odo o úmero real ão ulo, a, possui iverso, isto é, existe um real b tal que ab ba. O iverso é úico, usado-se a otação b a. Nem todas as matrizes,, quadradas ão ulas, possuem iversa, ou seja, em sempre existe uma matriz tal que I. Uma matriz quadrada diz-se ivertível (ou regular, ou ão sigular, se existir uma matriz tal que I, em que I é a matriz idetidade de ordem. Se é ivertível, a sua iversa é úica e deota-se por. é ivertível sse car(. Uma matriz que ão tem iversa diz-se uma matriz sigular (ou ão regular, ou ão ivertível. Exemplos. Seja a matriz iversa de é, como podemos verificar: 5 3 3 5 5 3 5 3 5 5 5 0 3 3 3 5+ 3 0 I + Prof. José maral G 06-0-04-009
M R I Z I N V E R S 6.. Método de codesação. Se é uma matriz quadrada de ordem ivertível, car(, pelo que, efectuado operações elemetares sobre lihas, é possível trasformar a matriz [ I] a matriz [ I ]. edo em cota a resolução de sistemas de equações lieares, facilmete se coclui que. Este método de determiação da iversa de uma matriz é desigado por método de codesação. Exemplo. Seja a matriz: 4 3 3 Recorredo ao método de codesação, podemos calcular a iversa de ogo 0 0 I3 4 0 0 3 3 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 3 3 0 0 0 0 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 9 3 5 0 0 5 3 0 0 I 3 9 3 5 5 3 3 3 3 3 + 3 3 3 33 + 3 Cálculo da iversa, iv(, >> [ 5; 3]: Prof. José maral G 06-0-04-009
M R I Z I N V E R S >> iv( as 3-5 - >> [ -; 4; 3-3] ; >> iv( as 9.0000 -.5000-5.0000-5.0000.0000 3.0000 -.0000 0.5000.0000 Podemos ver o resultado a forma racioal com o comado format rat >> format rat >> iv( as 9-3/ -5-5 3 - / Para restabelecer o formato decimal usamos o comado format short Poderíamos calcular a iversa pelo método de codesação (embora ão seja ecessário dada a existêcia da fução iv >> D[ eye(3] D - 0 0 4 0 0 3-3 0 0 >> Drref(D D.0000 0 0 9.0000 -.5000-5.0000 0.0000 0-5.0000.0000 3.0000 0 0.0000 -.0000 0.5000.0000 >> DD(:,4:6 D 9.0000 -.5000-5.0000-5.0000.0000 3.0000 -.0000 0.5000.0000 Prof. José maral G 06-3 0-04-009
M R I Z I N V E R S 6.3. Matriz ortogoal. Uma matriz quadrada trasposta ou seja Exemplos 3. Seja a matriz: trasposta de C é Dado que diz-se ortogoal sse a sua iversa for igual à sua I 3 C 3 3 C 3 3 3 CC 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 I, a matriz C é uma matriz ortogoal 3 C C 3 >> C[/ sqrt(3/; sqrt(3/ -/] C 0.5000 0.8660 0.8660-0.5000 >> C*C.' as.0000 0 0.0000 Prof. José maral G 06-4 0-04-009
M R I Z I N V E R S 6.4. Propriedades da álgebra matricial dição Sempre que as expressões estejam defiidas, são demostráveis as seguites propriedades: + + (comutativa + ( + C ( + + C (associativa + 0 (elemeto eutro + ( 0 (elemeto simétrico Multiplicação por escalar α ( β ( αβ ( α + β α + β α ( + α + α Multiplicação ( C ( C (associativa I I m (elemeto eutro ( + C + C ( + C + C (distributiva α ( ( α ( α 0 0 0 (elemeto absorvete rasposição Iversa ( ( + + ( α α ( k ( ( ( ( k ( α α, ( α 0 ( ( 0 / ( 0 0 (só se ou for ivertível C / C (só se for ivertível Prof. José maral G 06-5 0-04-009
M R I Z I N V E R S Exercícios. 6.. Dada a matriz Determie a matriz iversa. 0 3 0 emos, pelo que 0 0 0 I3 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 5 0 3 0 5 0 0 0 0 0 0 7 6 3 0 5 0 0 0 0 0 0 6 7 3 7 7 0 0 4 7 7 5 7 0 0 5 7 6 7 7 0 0 6 7 3 7 7 47 7 57 4 5 57 67 7 5 6 7 67 37 7 6 3 >> [0 ; - ; 3 0 -]; >> format rat >> iv( as 4/7 /7 5/7 5/7-6/7 /7 6/7 3/7 -/7 3 + 3 3 + 6 + 3 3 7 3 3 3 + 5 + 3 Prof. José maral G 06-6 0-04-009
M R I Z I N V E R S 6.. Cosidere o sistema de equações lieares a forma matricial, x b, 0 0 x 0 Calcule a iversa da matriz simples do sistema, solução do sistema., e, com base esta, determie a Recorredo ao método de codesação temos, pelo que 0 0 I3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + 3 3 + 3 3 3 + + Cohecida a iversa da matriz simples do sistema, temos x b x b 3 Ix b x b 0 0 0 0 0 Prof. José maral G 06-7 0-04-009
M R I Z I N V E R S >> [ ; - ;- 0]; >> b[0 0 ]'; >> format rat >> iv( as / -/ - / -/ 0 0 >> xiv(*b x - 0 6.3. Sedo, e C matrizes quadradas quaisquer, diga se as proposições seguites são verdadeiras ou falsas (admite-se que as operações idicadas estão defiidas.. (. C + C C( + 3. 0 0 0 4. ( C C 5. + ( + 3 4 5 6 Verdadeira X X Falsa X X X X 6. 3 5. (. Pode demostrar-se, isso sim, que (. Não esquecer que o produto de matrizes ão é comutativo. Podedo verificar-se em particular que C + C C( +, caso as matrizes C e ( + sejam permutáveis, em geral, isto é, para quaisquer matrizes quadradas, e C, temos C + C ( + C C( + 3. 0 0 0 apeas os casos em que ou for ivertível. emos esses casos que 0 0 I 0 0 0 0 I 0 0 5. eha-se em ateção que + ( + I ( +. +, a soma de uma matriz com um escalar, é uma operação ão defiida. Prof. José maral G 06-8 0-04-009
M R I Z I N V E R S 6.4. Sedo, e C matrizes quadradas quaisquer, diga se as proposições seguites são verdadeiras ou falsas (admite-se que as operações idicadas estão defiidas. ( + C + C + + I ( + ( + ( C C 3 4 5 6 Verdadeira X X Falsa X X X X 6.5. dmitido que e são matrizes de ordem, é regular, e e são permutáveis, mostre que e também são matrizes permutáveis. emos ( ( ( ( I ( I ( ( ( 6.6. dmitido que e são matrizes ortogoais de ordem, mostre que emos ( I + 0 Sedo uma matriz ortogoal, ( ( ( I + 0 I + 0 I + 0, pelo que ( ( I + 0 I + 0 ( I + I 0 Sedo uma matriz ortogoal, I, pelo que ( I + I 0 ( I + I 0 ( 0 0 Prof. José maral G 06-9 0-04-009
M R I Z I N V E R S 6.7. Determie a matriz real X tal que (( X C I, sedo 0 0 ; 0 ; C Multiplicado à direita ambos os membros da equação por C, temos: (( X C C I C (( X I C (( X C, e atededo a que a trasposta da soma é igual à soma das traspostas, temos: Sedo, e, pelo que temos (( X C (( ( X C (( X C X C(( ( (( X C 0 0 0 0 0 0 0 0 ( I 0 0 I 0 ( e, fialmete 0 (( 0 ( (( X C X 0 0 0 Prof. José maral G 06-0 0-04-009
M R I Z I N V E R S 6.8. Supodo que, e C são matrizes quadradas de ordem ivertíveis simplifique a expressão matricial (( C ( CC tededo a que a iversa da trasposta é igual à trasposta da iversa, temos tededo a que (, temos (( C ( CC (( C ( CC (( C ( CC ((( C C C (( CC CC (( I I (( Fialmete, atededo a que a trasposta da soma é igual à soma das traspostas, temos: (( ( 6.9. Sejam e matrizes quadradas de ordem, com ortogoal. Mostre que ( I + tededo a que a trasposta da soma é igual à soma das traspostas e a que a iversa da trasposta é igual à trasposta da iversa, temos: Sedo ortogoal, etão ( ( I + (( I + (( I + (( I + I + I + +, pelo que + + Prof. José maral G 06-0-04-009
M R I Z I N V E R S 6.0. Cosidere o seguite sistema de equações lieares, as icógitas reais x, y e z, ode a e b são parâmetros reais: x + y + 3z 0 x + ay + ( a 3 z a + b ( a + y (a + 3 z a b 3 a Resolva o sistema para a b 0. b Sedo a matriz simples do sistema dado para a b 0, mostre que é regular e determie a iversa. c Utilize para cofirmar o resultado obtido em b. d Discuta o sistema, em fução dos valores dos parâmetros reais a e b. a Para a b 0 temos o sistema, a forma matricial, 3 x 0 0 3 y 0 0 3 z 3 Recorredo ao método de Gauss-Jorda, temos: 3 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 b 0 3 3 0 0 edo portato como solução x 3 y 0 z b Vimos a alíea aterior que car( 3, logo é ivertível. emos 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 I I 0 3 0 0 0 0 3 3 3, logo 0 3 3 3 c emos x b x b Prof. José maral G 06-0-04-009
M R I Z I N V E R S 0 3 x 0 0 0 3 3 3 3 Cofirmado o resultado obtido em a. d Escrevedo a matriz completa do sistema, temos: 3 0 a a 3 a b b + 0 ( a + (a + 3 a b 3 3 0 0 ( a a a b + + 0 ( a + a 3 a b 3 3 0 0 ( a a a b + + 0 0 3( a + 3( b + Para ( a + 0, ou seja, a, podemos dividir a a e 3 a liha por ( a +. emos portato aqui uma primeira codição a a + 3 3 3 0 0 0 b b 3 3 0 0 0 0 3( b + a a+ b b 0 ( a+ ( a+ 3( b + 0 0 3 ( a + O sistema é possível e determiado. Para a, temos b b 3 0 0 0 b 0 0 0 0 O sistema é possível e (simplesmete idetermiado. 3 0 0 0 b b 0 0 0 b 0 O sistema é impossível. Resumido a O sistema é possível e determiado b O sistema é possível e (simplesmete idetermiado a b O sistema é impossível Prof. José maral G 06-3 0-04-009