Reisão de Pré-Cálclo NÚMEROS REAIS E OPERAÇÕES Prof Dr José Ricardo de Rezede Zei Departameto de Matemática, FEG, UNESP Lc Ismael Soares Madreira Júior Garatigetá, SP, Otbro, 2016 Direitos reserados Reprodção atorizada desde qe citada a fote
Números Reais e Reta Real Para represetar os úmeros reais, começamos com ma reta horizotal e marcamos o úmero real zero com o alor 0, a origem Números positios estão à direita da origem e úmeros egatios, à esqerda, como mostrados a figra Ordem dos úmeros reais - Desigaldades Sejam a e b dois úmeros reais qaisqer Símbolo Defiição Leitra a<b a b é egatio a é meor qe b o a está à direita de b a b a b é egatio o zero a é meor o igal a b De maeira similar se defie > (maior qe) e (maior o igal a) 2
Aritmética Sejam a, b e c úmeros reais, ariáeis o expressões algébricas 1 Comtatia Adição: a b b a Mltiplicação: ab ba 2 Associatia Adição: (a b) c a (b c) Mltiplicação : (ab)c a(bc) 4 Elemeto Ierso Adição: a ( a ) 0 Mltiplicação: a (1/a) 1, a 0 6 Distribtia Mltiplicação com relação à adição: a(b c) ab ac 3 Elemeto Netro Adição: a 0 a Mltiplicação: a1 a JRRZ & ISMJ 3
Aritmética Sbtração é a adição com o oposto (ierso aditio) a b a (- b) Diisão é a mltiplicação pelo ierso mltiplicatio (b 0) a b a (1/b) Assim, a sbtração e a diisão são casos particlares da adição e da mltiplicação, ão sedo portato oas operações שׁ 4
PRODUTOS NOTÁVEIS Qadrado da soma de dois termos: (x y)² (x y)(x y) x² 2xy y² Prodto da soma pela difereça de dois termos (x y)(x y) x² y² Cbo da soma de dois termos: (x y)³ (xy)(xy)(xy) x³ 3x²y 3xy² y³ Qadrado da difereça de dois termos: (x y)² (x y)(x y) x² 2xy y² Cbo da difereça de dois termos: (x y)³ (x y)(x y)(x y) x³ 3x²y 3xy² y³ JRRZ & ISMJ 5
PRODUTOS NOTAVEIS 1) A expasão para (x y) 2 pode ser obtida da expasão para (x y) 2 sbstitido y por y 2) Expasão do biômio (x y) k0 ( k) x k y k ( k)! ( k )! k! coeficietes biomiais 6
PRODUTOS NOTAVEIS - ÁLGEBRA GEOMÉTRICA (x y)² x² 2xy y² JRRZ & ISMJ 7
8 Fatoração 8 ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ²) ² )( ( ³ ³ ²) ² )( ( ³ ³ )² ( ² 2 ² )² ( ² 2 ² ) )( ( ² ² m m m m m m m m m m
ÁLGEBRA - EXEMPLOS Simplifiqe as expressões abaixo (fatore o expada) 1) 2) 3) 4) 5) x 2 bx b 2 /4 x 3 7x (xh) 2 x 2 (xh) 3 x 3 (x y) 4 JRRZ & ISMJ 9
10 Frações 10 w z w z z w z w z w z w z z w w w / 4 3 2 1 Sejam,, w e z úmeros reais, ariáeis o expressões algébricas Todos os deomiadores são cosiderado como diferetes de zero
1 x 2 ÁLGEBRA - EXEMPLOS Simplifiqe as expressões abaixo 1) (xh) 2 x 2 h x x3 2) (coloqe sob o mesmo deomiador ) 1 x1 x ( x1) 2 3) (idem) 2x3 x 1 4) (separe as frações) JRRZ & ISMJ 11
Poteciação Sejam e úmeros reais, ariáeis o expressões algébricas Cosidere m e úmeros iteiros positios Defiição (prodto de fatores igais a ) Prodto de potêcias a mesma base m m Distribtia () Potêcia de ma potêcia ( ) m m Obseração ( ) m (m ) (obsere a posição dos parêteses) 12
Poteciação - Exercícios Proe as propriedades da poteciação a partir da defiição 13
Poteciação Expoetes Negatios Expoete Zero 0 1 Expoete Negatio 1/ Diisão a mesma base m m Distribtia ( ) JRRZ & ISMJ 14
Radicais Sejam > 0, > 0 e m iteiro positio Defiição y se y Operações iersas Distribtia Raiz de ma Raiz ( ) m m Raiz de ma potêcia m ( ) m Cosideração > 0 para >0 15
Radicais argmeto egatio Se < 0 etão existe (os reais) apeas para ímpar Defiição é a mesma e as propriedades cotiam álidas Obsere qe se < 0 e é par etão >0 e existe Neste caso Se < 0 e < 0 etão > 0 e positio mas a distribtia só é álida para ímpar existe para todo iteiro 16
Radicais e Poteciação Expoetes Fracioários Sejam m e iteiros e cosidere qe a raiz eésima de exista (se for par, etão dee ser 0) Notação 1/ m/ ( m ) 1/ m m/ ( 1/ ) m ( ) m Deste modo, as propriedades dos radicais são eqialetes as propriedades das potêcias 17
Radicais e Poteciação Exemplos 1) Elimie as raízes do deomiador Dica: mltipliqe e diida por 2 e 3) Faça as sbstitições idicadas e reescrea as expressões em termos da ariáel 2) x x 3 sbstita x 3 3) x x 2 1 sbstita x^2 1 4) Cosidere > 0 Mostre qe Dica: se as propriedades dos radicais e das potêcias para deseoler o lado direito a b 2ab a b m m m 18