nirsidad dral do Paraná Stor d Ciências da Trra Dpartamnto d Gomática Toria das Distorçõs, Concito d Distorção d scala Propridads das Projçõs Cartográicas Sbsídio para alas d Projçõs Cartográicas, basado no Capítlo 3 do liro Map Projctions or Godsists, Cartographrs and Gographrs d Richar, P. Adlr, R. Critiba Março 004 1.03.04
Toria das Distorçõs da Gomtria Dirncial 1 Introdção ma projção cartográica consist d ma rprsntação d posiçõs rridas a ma spríci m otra spríci. As sprícis nolidas nst procsso são dnominadas d spríci d rrência SR spríci d projção SP. O stdo d sprícis rprsntadas por mio d cras paramétricas prtnc ao domínio da Gomtria Dirncial. A abordagm ao tma projçõs cartográicas qando sg st caminho proporciona m conhcimnto gral q prmit stablcr rlaçõs ntr das sprícis. Para o âmbito da cartograia a rramnta gomtria dirncial ailia no stablcimnto das nçõs bi-níocas q prmitirão ar a transormação d spaços ntr a spríci d rrência SR a spríci d projção SP. stas nçõs bi-níocas são stablcidas partindo-s d condiçõs iniciais d propridads q caractriarão a noa spríci. Dss modo, pod-s scolhr ma spríci d rrência, ma spríci d projção ma caractrística dsjál ntão dsnolr as nçõs. Além disso as nçõs bi-níocas q raliam as transormaçõs ntr as sprícis contém inormaçõs q prmitm aaliar o comportamnto dos lmntos transormados. Cras Paramétricas Sgmnto d Arco nma Spríci ma posição pod sr dtrminada nma spríci qalqr por mio d cras paramétricas o cras d rrência. S stas cras são dnominadas por, ntão qalqr ponto dsta spríci pod sr dado m coordnadas cartsianas,, como nçõs d igra 1. 1 p p 3 4 5 1 3 4 5 p igra 1. Spríci prssa m trmos d cras m m sistma spacial d rrência,,.
A posição d m ponto qalqr, m trmos d coodnadas cartsianas, é dada por: p, 1 p, p, Isto é, as coordnadas cartsianas, d cada ponto são nçõs p 1, p p 3 das ariáis. As nçõs p 1, p p 3 são dnominadas qaçõs paramétricas da spríci, rlacionam as cras às coordnadas,. ma otra spríci qalqr pod sr dinida d orma análoga, porém com cras nm sistma d coordnadas d ios, Y, igra. 3 1 1 Y Yp Yp 3 4 5 1 3 4 5 p igra. Spríci prssa m trmos d cras m m sistma spacial d rrência, Y,. A posição do ponto ica caractriada, m trmos d coordnadas cartsianas, como sg: P1, Y P, P3, Isto é, as coordnadas cartsianas, Y d cada ponto são nçõs P 1, P P 3 das ariáis. Do msmo modo como no caso da spríci d cras, as nçõs P 1, P P 3 são dnominadas qaçõs paramétricas da spríci, rlacionam as cras às coordnadas, Y. É possíl rlacionar as cras com as cras por mio d q 1 q, isto é, istm nçõs q 1 q tais q ma cra sja dada por m rlacionamnto ntr ma cra sja dada por otro rlacionamnto também ntr. É possíl também q istam as nçõs q -1 1 q -1, d tal modo q sjam prssos como nçõs d. Para o caso 3
da cartograia o sistma,, pod sr o sistma d rrência da spríci d rrência SR o sistma, Y, pod sr o sistma d rrência da spríci d projção SP. As cras dm s rlacionar às cras para q s possa ligar a SR à SP. isto é ito da sgint orma: D sr satisita, ainda, a condição d rrsibilidad da nção: q1, q, 3 q q 1 1 1,, Pod-s, ntão, scrr as órmlas grais a partir das 3 nas : r Y r r 1 3,,, Nas 5 tm-s a sgnda spríci como nção das cras paramétricas da primira spríci. O conjnto das qaçõs 1 rprsnta a spríci no rrncial,, o conjnto 5 no rrncial,y, m nção das msmas cras. O grpo d qaçõs 1 5 prmitm dtrminar a posição d pontos m dois spaçõs sando os msmos argmntos. Nos trmos da cartograia srá possíl, ntão, rprsntar a spríci d rrência,,, o part dla, na spríci d projção,y,. No stdo d projçõs cartográicas procram-s as qaçõs tal como dado plas 5, dsconsidrando a granda pois as rprsntaçõs são itas sobr o plano o sobr igras dsnolíis no plano con cilíndro. Até st ponto alo-s apnas m rprsntação das sprícis por mio d cras ditas paramétricas. Passa-s agora a dsnolr o stdo d ma spríci qalqr rprsntada por sas cras paramétricas. 4 5 1.3 Primiras Qantidads ndamntais d Gass Da igra 3, q mostra o comprimnto ininitsimal d m arco sobr ma spríci qalqr, pod-s scrr: d d d 6 4
5 sta prssão mostra q o qadrado do comprimnto ininitsimal d m arco sobr ma spríci qalqr pod sr dado pla soma dos qadrado das sas componnts cartsianas igra 3. igra 3. Arco lmntar sobr ma spríci sas componnts cartsianas. Como a spríci é ormada por cras as componnts d, d d são nçõs tanto d como d. Portanto pod-s scrr: d d d d d d d d d 7 Sbstitindo as 7 na 6 rslta: 8 d d d d d d Dsnolndo-s os qadrados dsta última chga-s a: d d d d 9 1 1 1 1
Os coicints d d, dd d são chamados d Primiras Qantidads ndamntais d Gass, são normalmnt nominados por, g rspctiamnt. g A qação 8 pod sr scrita ntão como: d d d g d sta é a prssão q rprsnta o comprimnto d m arco ininitsimal d ma spríci qalqr, basta q s conhçam os alors, g q são nção da orma dssa spríci do rlacionamnto q as cras q a dinm tm ntr si. A sprssão é álida para o caso do plano, sra, lipsóid otra spríci qalqr qando dscrita por m par d cras paramétricas. As Primiras Qantidads ndamntais d Gass QG rprsntam a métrica da spríci. Indicam o comportamnto das cras paramétricas d ma dada spríci. Por mplo, para ma spríci ond as cras paramétricas são prpndiclars ntr si tm-s 0, st pod sr o caso do plano qando dscrito por coordnadas rtanglars,y o por coordnadas polars ρ, θ. As qantidads g atam como nidad d mdida ao longo da cras na spríci. 10 11 1.4 Primiras Qantidads ndamntais d Gass para o plano, para a sra para o lipsóid A dtrminação das Qantidads ndamntais d Gass para ma dada spríci é ita pla dirnciação das qaçõs paramétricas m rlação às cras paramétricas dscritoras da spríci. Para tanto d-s satisar às qaçõs 9 o 10. A sgir são aprsntadas as qaçõs paramétricas as QG para o plano, para a sra para o lipsóid. a Plano No plano o sistma d coordnadas mais ácil d s rprsntar pontos o cras é o sistma cartsiano. Nst sistma as cras podriam s as cras d ma spríci d projção são rprsntadas por ma abcissa ma ordnada, Y. 6
O comprimnto d m arco ininitsimal nsta spríci é dado pla prssão: ds d, nst caso as qantidads ndamntais d Gass para o plano rsltam: 1 0 G 1 dy 1 13 Prcb-s q a scala ao longo d ma cra é a msma q ao longo d ma cra Y igal a 1, q as cras são indpndnts o prpndicclars ntr si pois 0. Qando s tilia m sistma cartsiano não s a so d ator d scala ao longo dos ios, a prssão q rprsnta o comprimnto podria sr a 11, q prê os lmntos, g. b sra Na sra o sistma d coordnadas séricas é adotado m ponto é localiado pla latitd ϕ pla longitd λ stas são associadas às cras tilia-s minúsclas por tratar-s d spríci d rrência do sgint modo: ϕ λ. 14 As qaçõs paramétricas da sra, d raio R, são: R cos ϕ cos λ R cos ϕ sin λ R sin ϕ 15 As qantidads ndamntais d Gass para a sra rsltam, pla aplicação das 10: R 0 g R 16 cos ϕ Prcb-s q o alor d é constant, porém g não é pois é dado m nção da latitd ϕ. Isso qr dir q sobr a sra todos os pontos d msma latitd trão o msmo alor para g. Os alors das QG srão dirnts apnas para pontos com dirnts longitds λ. O arco lmntar o m sgmnto ininitsimal sobr sta spríci srá dado por: dϕ R R cos ϕ dλ 17 7
Obsra-s q g, isto signiica q qando s introd igais ariaçõs dϕ dλ m ϕ λ obtém-s dirnts comprimntos d arco. No caso d ma sra, dada ma posição qialqr q não sja o qador, ao s prodir ma ariação d dϕ 0,5 apnas m latitd, s prod m rsltado dirnt m comprimnto d arco s sta msma ariação 0,5 or prodida apnas m longitd. Dirntmnt do plano dscrito por coordnadas rtanglars, nma sra dscrita por cras d latitd d longitd o arco prodido pla aplicação d ariaçõs m latitd longitd dpnd da posição da sra m q isso s ralia. c lipsóid No lipsóid as cras paramétricas q rprsntam a posição d m único ponto são a latitd godésica Φ associada à cra a longitd godésica Λ associada à cra. As qaçõs paramétricas para a spríci do lipsóid bi-aial são: N cos Φ cos Λ N cos Φ sin Λ N 1 sin Φ com: a N 1 sin Φ 1/ a b a 18 19 0 As grandas nolidas nas qaçõs paramétricas do lipsóid d rolção são: a N raio d cratra do primiro rtical o grand normal; b primira cntricidad; c a smi-io qatorial do lipóid; d b smi-io polar do lipsóid. Após a dirnciação das qaçõs 18 sgndo as qaçõs 9 o 10 obtém-s: M 0 g N ond M, q é o raio d cratra d ma sção mridiana, é dado por: a 1 M 1 sin Φ 1 cos Φ 3 / 8
Noamnt g stas qantidads são nção somnt da latitd, o q qial dir q s or dinida a latitd Φ d m parallo, não importa o alor da longitd, os arcos prodidos a partir do msmo par d alors dφ dλ srão igais. O comprimnto d m arco ininitsimal prtncnt à spríci do lipsóid srá dado por: M dφ N cos Φ dλ 3 1.5 prssõs Anglars As prssõs anglars q srão aprsntadas podm sro obtidas da igra d m parallogramo dirncial considrado plano com os lados crtos o sicint para a sa aproimação por sgmntos d rta sja possíl. d d d ν 1 ν g d igra 4. Parallogramo dirncial rprsntando o arco ininitsial ntr os pontos, d, d. Aplicando a li dos cossnos ao parallogramo dirncial considrado plano igra 4, tm-s a prssão: d g d g d d cos Tm-s das 6 a 10 : cos ω g 4 5 cos ν cos ν 1 d g d g d cos ω d cos ω 1 1 g d d d d g 6 9
sinω g g 7 sin ϑ1 g sin ω d g d sin ϑ sin ω d g g d 8 1.6 Ára do Parallogramo Dirncial Considrando plano o parallogramo dirncial, pod-s scrr a sgint prssão para o cálclo d sa ára ininitsimal. ad g d d sin ω 9 Nsta prssão prcb-s q a igra trá alor d ára máimo qando ω 90, nlo qando ω 0. Pod-s sbstitir sinω d acordo com a 7, o q rslta na prssão: ad g d d 30 com g - > 0 ainda, para cras ortogonais 0 ω 90. 1.7 Matri d Transormação Dtrminant Jacobiano Das qaçõs 3 por dirnciação chga-s a: d d d d d d 31 Das qaçõs por dirnciação chga-s a: d d d. 3 Igalmnt por dirnciação das 5 obtém-s: d d d. 33 Igalando as das últimas obtém-s: 10
11 34 d d d d Introdindo as 31 chga-s a: 35, d d d d d d q oprada rslta m : 36 d d d d d d Agrpando os trmos m d d obtém-s: 37 D orma análoga obtém-s as driadas parciais Y/, Y/, / /. m ma dada spríci é possíl dinir mais do q m par d cras paramétricas, o q como consqência acarrta mais do q m conjnto d QG para a spríci. Assim sndo é ncssário conncionar-s o q sg: a para a spríci d rrência dada m nção d sas próprias, tal como nas qaçõs 1, sam-s, g. b para a spríci d projção cilíndro, con o plano dada m nção d sas próprias cras, como nas qaçõs, sam-s, G. c do msmo modo, para a spríci d projção cilíndro, con o plano dada m nção das cras paramétricas da spríci d rrência, como o sgndo grpo das qaçõs 5, sam-s, G. As sgints prssõs para as Qantidads ndamntais d Gass podm sr scritas para os ítns c b acima: Y G Y Y Y 38
1 Y G Y Y Y 39 Sbstitindo as 37 sas análogas para Y/, Y/, / / nas prssõs d, G tm-s após algmas opraçõs: 40. G G sta orma matricial rcb o nom d Matri d Transormação, prmit dtrminar m conjnto d primiras qantidads ndamntais d Gass,, G a partir d m sgndo conjnto d QG,, G a partir do rlacionamnto dpndência ntr as cras. A matri d transormação assm ndamntal importância no dsnolimnto d projçõs cartográicas q tnham a propridad d conormidad. ainda pod-s chgar a: 41 G G o o q é o msmo q: 4,, G G
stas últimas das prssõs contém o Dtrminant Jacobiano, /,, s constitm na condição d qialência, isto é, ma transormação d spaços q tnha a propridad d qialência d satisar às condiçõs prssas m 41 4. Do msmo modo como para a condição d conormidad, a condição d qialência é tiliada ao longo do procsso d dsnolimnto das prssõs d transormação d ma rprsntação qialnt d ma spríci m otra. 1.8 Distorção d scala Qando s tilia ma projção cartográica como mio d rprsntação d algm modlo da Trra, é ncssário stablcr ma scala d rprsntação. A scala é ma rlação ntr dois comprimntos, m dls considrado como rrência, normalmnt m sgmnto d arco prtncnt à spríci d rrência otro comprimnto considrado como prtncnt à spríci d rprsntação. st alor d scala é rdadiro apnas para pontos m q as das sprícis, SR SP, têm contato. No caso particlar das sprícis tiliadas m projçõs cartográicas, sta scala rprsnta a scala rdadira apnas nos pontos o linhas d tangência o ainda nas linhas d scância. A scala álida para os pontos comns ntr as das sprícis, SR SP, é dita scala nominal da rprsntação. Para todos os otros pontos d ma projção cartográica a scala d rprsntação é dirnt da scala nominal. A istência d alors distintos d scala cond ao trmo distorção d scala pois torna possíl plicar a istência da distorção m ma rprsntação d ma spríci m otra torna possíl qantiicar sta distorção. A distorção d scala é dinida pla raão ntr m arco d comprimnto ininitsimal na spríci d projção plo s homólogo na spríci d rrência, isto qr dir: m ds 43 ond m é a distorção d scala ds rprsnta o comprimnto do arco ininitsimal na spríci d projção SP rprsnta o comprimnto do arco ininitsimal na spríci d rrência SR. A qantidad m assm apnas alors positios podm ocorrr os sgints casos: 13
m 1 m > 1 m < 1 44 As possíis sitaçõs d m como mostrado plas 44 são plicadas como sg: - Qando m1 os sgmntos ds são igais não ho distorção naql ponto o rgião a scala nominal é álida para rlacionar o comprimnto mdido com o s corrspondnt original. - Qando m > 1 o sgmnto ds rslta maior do q o sgmnto, isso indica q o comprimnto do sgmnto rprsntado, s atado da scala nominal, prodirá m comprimnto maior do q o comprimnto original sobr a spríci d rrência. - Qando m < 1 o sgmnto ds rslta mnor do q o sgmnto, isso indica q o comprimnto do sgmnto rprsntado, s atado da scala nominal, prodirá m comprimnto mnor do q o comprimnto original sobr a spríci d rrência. Contorna-s stas das sitaçõs modiicando o alor do comprimnto rprsntado pla aplicação da qantidad m d acordo com a prssão 43. Nsta sitação conhcm-s os alors d m d ds, por consqüência, calcla-s. A prssão 44 pod sr scrita d orma a plicitar o signiicado d ds, com sg: m d d d G d d d d g d 45 o, o q é o msmo: m d d d d G d d d g d. 46 Os nmradors das prssõs 45 46 são igais isto q ma spríci qalqr admit a possibilidad d sr dscrita por mais do q apnas m par d cras paramétricas. A ariação das qantidads d d prmit ariar a orintação do sgmnto, por consqüência ariar o alor d m. sta dpndência q m aprsnta m rlação aos 14
alors d d pod sr ista na prssão 47, q é obtida pla diisão do sgndo mmbro por d. m d d d d d d d d G g 47 1.9 Distorção d scala sobr as cras paramétricas A distorção d scala é dpndnt da orintação do sgmnto, isto é, para dirnts alors d d d s obtém dirnts alors para m. Dntr as ininitas orintaçõs q s pod dar ao arco pla ariação dos incrmntos ininitsimais d d stão as dirçõs das cras paramétricas. O arco ininitsimal obtido a partir d m par d incrmntos ininitsimais d 0 d 0 consist d m sgmnto d cra, o arco ininitsimal obtido a partir d m par d incrmntos ininitsimais d 0 d 0 consist d m sgmnto d cra. stas das sitaçõs caractriam os alors d distorção d scala para as cras paramétricas. sts alors particlars d distorção d scala são dnominados m 0 m 90 o m ϕ m λ rspctiamnt. A prssão para m ϕ é obtida da prssão 46 ando d 0: m ϕ a prssão para m λ também é obtida da prssão 46, no ntanto, ando d 0: 48 m λ G g 49 Obsra-s q nas prssõs 48 49 os alors dos incrmntos oram simpliicados as qantidads m ϕ m λ rsltam como nçõs apnas d,, G g, da posição do ponto dado m alors implícitos nas QG. 1.10 Comportamnto da distorção d scala m caso d: conormidad; qüialência; qüidistância A rprsntação d ma spríci m otra spríci implica so d ma transormação. A aplicação d transormaçõs ntr os dados no âmbito das projçõs 15
cartográicas implica m modiicaçõs d grandas gométricas como orma, comprimntos, orintaçõs áras. A distorção d scala assm comportamntos particlars para os casos d conormidad, qüialência qüidistância. a Conormidad A propridad d conormidad é caractriada pla mantnção da orma d pqnas igras, o, pla mantnção d ânglos. S os qatro pontos q dinm m qadrado na SR orm obsrados na SP d-s ncontrar a igra d m qadrado, isto signiica a prsração dos ânglos da igra. Conormidad, com bas no concito d distorção d scala, signiica a istência d m único alor d distorção d scala por posição na SP. m otras palaras, a distorção d scala indpnd da orintação do sgmnto como oi dito ao s comntar as prssõs 46 47. Por ssa raão a distorção d scala q ata a dirção da cra tm o msmo alor da distorção d scala q ata da dirção da cra, nst caso pod-s scrr: scrita como: m ϕ m λ m sta igaldad prssa nas 50, q mostra a igaldad ntr m ϕ m λ, pod sr m G g 50 51 Para o caso spcíico das sprícis da sra do lipsóid, considradas como sprícis d rrência tratadas m projçõs cartográicas, sab-s q a qantidad 0 d acordo com as prssõs das QG para sra para o lipsóid 16 1, tm s como como consqüência 0. b qüialência Nm a rprsntação qialnt d ma spríci m otra ist ma rlação constant ntr os alors nméricos ntr as áras das das sprícis. Nst caso o alor nmérico rprsntatio da ára A d d ma igra qalqr da spríci d projção rprsnta o alor nmérico da ára a d da msma igra na spríci d rrência. Assim pod-s rcprar a prssão 30: ad g d d adicionar ma prssão análoga para ma sgnda spríci, q pod sr ma spríci d projção álida m projçõs cartográicas: 16
Ad G d d. 5 Como spra-s ma igaldad ntr stas áras as das prssõs podm sr igaladas rsltar m: g d d G d d. 53 Concli-s q para q haja qüialência na rprsntação d ocorrr: g G 54 O dsnolimnto d ma projção cartográica q tm a propridad d qüialência part da prssão 41 considrando a 54, isto é: g G 55 Nsta prssão g rprsntam as QG da SR,, G rprsntam as QG do rrência da SP as driadas parciais do dtrminant primm as dpndências d m rlação às cras. c qüidistância A qüidistância signiica q ocorr a mantnção d ma rlação constant ntr ma amília d linhas da SR qando obsradas na SP. Nss caso o alor da distorção d scala para as cras dsta amília assm o alor 1. A gnraliação do concito d distorção d scala é raliada no stdo da lips Indicatri d Tissot. 17