RELATIVIDADE ESPECIAL AULA N O ( Quadriveores - Velocidade relaivísica - Tensores ) Vamos ver um eemplo de uma lei que é possível na naureza, mas que não é uma lei da naureza. Duas parículas colidem no espaço de referência dado pelos eios e, conforme o diagrama abaio: 4 A lei é que duas parículas irão colidir e omar rajeórias não usuais odas as vezes que elas iverem a mesma coordenada. Não há nada maemaicamene inconsisene com esa lei. No enano ela parece violar alguma caracerísica das leis físicas, indo conra a nossa inuição. Ela viola a ISOTROPIA do universo, ou seja, ela vai conra o fao de que as leis físicas são independenes da orienação do sisema de referência. Se nós roacionarmos o sisema acima por no senido horário, enão, para observarmos os mesmos comporamenos, a lei eria que mudar, definindo que a colisão somene sucederia quando as parículas ivessem a mesma ordenada. Para roações inermediárias, a lei se complicaria ainda mais. Assim, esa lei quebra o princípio de que as leis físicas são independenes da orienação dos sisemas de referência, sendo que segundo ese princípio, ambém não é necessário nos assegurarmos de que os eios sejam perpendiculares enre si, pois é possível epressar as leis físicas em qualquer sisema de coordenadas! Porém, na grande maioria dos casos, ais leis se simplificam com a uilização de sisemas orogonais. Podemos dizer que a lei acima não é invariane segundo a roação do sisema. Se nós modificarmos a lei, dizendo que duas irão colidir quando iverem as mesmas coordenadas e, enão a regra agora é que elas colidem apenas no mesmo pono do espaço. Nese caso a lei é independene da orienação do sisema, sendo assim invariane em relação à roação do sisema no plano. Nós podemos reescrever esa lei, uilizando veores, agora para o caso ridimensional:. Esa é uma equação veorial, porano é composa de rês equações. Traa-se de uma equação invariane segundo uma roação. É um fao que, se um veor é zero em um sisema, ele será zero em odos os ouros sisemas. Iso significa que, se odas as componenes de um veor são nulas em um sisema de referência, enão elas serão nulas em odos os sisemas de referência. Por eemplo, se ivermos anulada apenas a componene de um veor num sisema, ela poderá ser diferene de zero em ouro sisema, como eemplificado na figura abaio: V V V V 4 No enano, se odas as componenes forma nulas, enão nenhuma roação pode alerar ese fao! Esa é a razão pela qual nós epressamos as leis da naureza aravés de veores! Se dois veores são iguais em um sisema, enão eles serão iguais em qualquer sisema. Com isso, obemos leis que são independenes da orienação do sisema.
Vejamos agora como ficam as coisas quando acrescenamos o empo, supondo que a lei se aplique para a condição de empos iguais:. Segundo a eoria da relaividade, esa lei não seria possível, pois o conceio de simulaneidade é um conceio relaivo, de modo que uma colisão ocorreria num sisema, mas não ocorreria em ouro, onde a hisória se complicaria. A Física funciona com a ransformação de Lorenz, segundo a qual as leis da física são invarianes, permanecendo as mesmas em odos os sisemas em movimeno relaivo enre si. Vejamos o que iso significa para o caso de uma colisão simples enre parículas. Segundo as leis da física, a colisão somene pode ocorrer quando as parículas se enconrarem no mesmo pono do espaço-empo. Assim, somene quando as parículas esiverem no mesmo EVENTO do espaço-empo e que elas poderão colidir. Desse modo, não impora qual o sisema de referência, pois a colisão se dará no mesmo pono do espaço-empo. Temos assim uma lei válida segundo a eoria da relaividade. Iso udo pode ser represenado ambém veorialmene. Nese caso, eríamos um veor com quaro dimensões, de modo que a lei esabeleceria a colisão quando, ou seja: ; ; ;. Da mesma forma como já vimos para os sisemas no espaço normal, se o veor no espaço-empo em apenas algumas componenes nulas, iso não significa que elas serão nulas nos demais sisemas! Por eemplo: Nese caso,, mas Porano nós epressamos as leis da física aravés de quadriveores (4-veores), ou por meio de objeos que se ransformam de um modo V coerene com as de um 4-veor. Algumas vezes podemos epressar as leis da física por uma equação que iguala uma quania a zero; ouras vezes podemos epressá-la por uma equação que iguala uma quania a oura: ou. Os 4-veores, nauralmene, ransformam-se de acordo com a ransformação de Lorenz, ou seja, da mesma maneira como se ransformam as coordenadas. Enão um 4-vror é um objeo com quaro componenes, sendo rês relaivas ao espaço e uma relaiva ao empo. Transformação significa que, se conhecemos as componenes em um sisema, nós podemos deerminar, de acordo com a ransformação de Lorenz, as componenes em qualquer ouro sisema. Sabemos como a posição se ransforma (uilizaremos e ), de modo que as equações de Lorenz para a posição ficam assim: ' V ' V ' ' z ' z z ' z ' V ' V Oura ransformações podem envolver roações. Por eemplo, no caso de uma roação em orno do eio :
' cos sen z ' sen cos z z ' z ' z Podemos epressar ese conjuno de equações lineares, uilizando índices: ' L, onde e,, z, ou e,,, Desse modo eremos: V L V Para a roação em orno de, obemos: R cos sen sen cos Podemos assim compor ransformações. Por eemplo, para um sisema que não esá se movendo na direção do eio em relação a ouro sisema, nós primeiramene fazemos uma roação al que o novo eio fique na mesma direção da velocidade de ranslação do sisema, para em seguida aplicar a ransformação de Lorenz: z z θ '' L ' ' R '' LR O processo ambém pode ser realizado de forma inversa, pois não impora a sequência das ransformações para a invariância das leis físicas. A equação ' L pode ser escria na forma maricial, como uma relação enre um veor coluna e o produo de uma mariz por ouro veor coluna, ou seja, como um veor que é função linear de veor. Assim, por eemplo, a emperaura é um escalar, pois não se modifica mediane roações. Um escalar não em componenes, sendo composo apenas por um número. Ainda nese caso de roação no espaço, a disância enre dois ponos independe da orienação do sisema, sendo, porano, um escalar. As componenes de um veor não são quanias escalares, pois elas se modificam de um sisema para ouro, conforme a orienação do sisema! Nós poderíamos supor (apesar de absurdo), para efeio de esclarecimeno do conceio de escalar, que a disância enre dois ponos no espaço fosse dada pela diferença de emperaura enre eles (a primeira medida em meros e a segunda em graus Celsius). Uma vez que ambas quanias são escalares, esa relação não dependeria da orienação dos eios, de modo que esa seria uma relação invariane mediane qualquer roação do sisema.
4 Volando à quesão do 4-veor velocidade, sabemos que a velocidade própria é dada pela derivada da velocidade em relação ao empo próprio : d d. Normalmene a velocidade relaivísica é chamada de, porém vamos generalizar o conceio de velocidade para um 4-veor genérico : A A, A, A, A A vanagem de uilizarmos os 4-veores esá no fao de que eles se ransformam do mesmo modo como a posição se ransforma, ou seja: A' L A. A definição de um 4-veor esá, como já falamos, baseada no fao de que, se um 4-veor é zero em um dado sisema, enão ele é zero em qualquer sisema, dando-se o mesmo para qualquer igualdade enre quadriveores. Iso é basane úil para descrever as leis da física de uma forma igual para odos os sisemas de referência. A forma de índices dada por A A, A, A, A é chamada de CONTRAVARIANTE. Eise oura forma para epressar o 4-veor, que é chamada de COVARIANTE, sendo dada por:,,, Porano: A,,, A A A A A A A A A, na qual emos Diso resula que: A A, de modo que: A A A A A A A 4 A A ; A A ; A A ; A A. A A razão para uilizarmos esa noação esá no fao de que iso facilia basane o rabalho com escalares. Por eemplo: A A A A A A A A A A A A A A A A Esa forma é idênica à do empo próprio ou disância própria, que é dada por: d d d d dz Porano a quanidade AA não se alera mediane a ransformação de Lorenz ou a ransformação de roação. Desse modo, a quania AA é um escalar, o que demonsra a uilidade da noação empregada. O comprimeno do eveno, empregando esa noação, é dado por. Oura forma de escrever AA é: A A A A. Suponhamos que emos dois 4-veores: A e B. Enão: A B A B A B A B A B A B A B A B A B AB A B A B Vejamos se esa nova quania AB ambém é invariane. Se é um 4-veor e é um 4-veor, enão é um 4-veor. Porano: invariane invariane Se subrairmos a segunda da primeira, eremos: AA AB BA BB AA AB AB BB AB BA 4AB AB ambém é um invariane. Vamos considerar alguns 4-veores específicos.
5 No espaço-empo, quando emos um pequeno deslocameno de posição, obemos um 4-veor: d d, d, dz, d Sabemos, porém, que o empo próprio é dado por: d d d d dz Definimos enão: d u ( velocidade própria ou 4-velocidade ). d d d d. Noe-se que há quaro componenes para a velocidade, Iso é esranho. Pensamos que, quando conhecemos as res componenes espaciais da velocidade, enão sabemos udo sobre a velocidade. Mas iso não é verdade! A razão para isso é que a quara componene da velocidade é deerminada em função das rês componenes espaciais. Iso aconece porque esa velocidade obedece a uma resrição que nos permie calcular a quara componene, em função da ouras rês. Vejamos como isso aconece. O 4-veor u é um veor uniário, pois: d d d d d dz d u u u u u é uniário d d d d Assim, uma vez que a 4-velocidade é uniária, as quaro componenes não são independenes. Temos como consequência que, para as componenes da 4-velocidade: d d d u d d d d d d d u u V, onde e se referem apenas às componenes espaciais da 4-velocidade. d d d d z dz dz d u d d d d d d d dz Como V, enão, dividindo por d, eremos: d d d d d d d v d d v u v v v Para a quara componene da 4-velocidade emos: u du d d d v OBS: A epressão u v v é a relação enre a velocidade ordinária da parícula e as rês componenes espaciais da 4-velocidade, cuja quara componene é v. Iso nos leva agora ao conceio de momeno relaivísico. Todo objeo que em cera massa de repouso, a qual chamamos de m, em um momeno 4-veor. Para podermos er um momeno que enha significado em odos os sisemas de referência o que não ocorre com a definição newoniana de massa vezes a velocidade ordinária enão devemos er um momeno dado pelo produo da massa pela velocidade relaivísica: p mu. Enão esa é a definição relaivísica do momeno de um objeo de massa, movendo-se com velocidade. Porano o momeno relaivísico, ou simplesmene momeno, em quaro componenes, sendo as rês primeiras muio parecidas com o momeno ordinário, quando a velocidade é pequena em
6 comparação com a velocidade da luz, e a quara componene é a energia, que, conforme já vimos, é dada pela epressão mc mv para baias velocidades. Vamos nos aer agora a uma lei física na sua forma não relaivísica, para enar como ela deveria ser modificada, a fim de se adapar à relaividade, ornando-se um invariane segundo as leis do movimeno. Esa lei que iremos esudar refere-se ao movimeno de uma parícula carregada aravés de um campo eleromagnéico. A decomposição do campo eleromagnéico em campo elérico e campo magnéico não é uma decomposição invariane. Aquilo que em um sisema de referência é um campo magnéico pode se ornar um campo elérico combinado a um campo magnéico em ouro sisema de referência, e vice-versa. Veremos enão as equações do movimeno de uma parícula carregada, epressas na forma pré- Einsein, movendo-se num campo eleromagnéico, para descobrirmos como esas leis devem ser modificadas para se ornarem equações válidas segundo a eoria relaivísica, conservando-se invariane em odos os sisemas. Da forma como as escreveremos agora, elas não serão as mesmas em odos os sisemas, porque esarão epressas com base na física pré-einsein. Na verdade, foi ese fao que levou Einsein a pensar que havia algo errado com a cinemáica ordinária de uma parícula carregada. Segundo Newon,, de modo que, para sabermos a aceleração de uma parícula, basa deerminarmos a força que aua sobre ela. Num campo eleromagnéico, esa força é deerminada pelo campo elérico e pelo campo magnéico, ambos, nese caso, dados por apenas rês componenes apenas, al como a aceleração Newoniana. Esa força é denominada de Força de Lorenz e é dada por: F ma qe v B O primeiro ermo da força,, é chamado de ermo independene da velocidade, enquano o segundo, qv B, é denominado ermo dependene da velocidade. Se nós supusermos que não haja um campo elérico, enão, se a parícula esiver se movendo, haverá uma força auando nela, devida ao segundo ermo. Mas iso é algo ineressane, porque em algum ouro sisema de referência, a velocidade da parícula pode ser nula. Nese caso, não haveria conribuição para a força advinda do segundo ermo, qv B. No enano há uma força auando sobre a parícula, pois, se a parícula acelera em um sisema, enão ela acelera em odos os sisemas! Concluímos enão que, se num sisema há apenas o campo magnéico, em algum ouro sisema, no qual a velocidade da parícula seja zero, deve eisir um campo elérico. Ese fao é suficiene para nos mosrar que os campos eléricos e magnéicos devem-se misurar um com o ouro quando submeidos a uma ransformação de Lorenz. Qual é enão esa coneão enre campos eléricos e magnéicos? A coneão se dá enre os dois aravés de um novo objeo, que nós chamamos de TENSOR. Temos um objeo dado por seis componenes ( e ), que ceramene não é um escalar ( e em rês componenes cada um) e que ambém não é um quadriveor. Traa-se de algo novo, que esabelece como esas componenes se ransformam. A fim de escrevermos o que é o campo eleromagnéico do pono de visa relaivísico, nós precisamos enender o conceio de ensor. Tensor é ese novo objeo para lidar com o campo eleromagnéico. Nós iremos represená-lo pela lera. Um escalar é um ensor de ordem zero, ou seja, é um ensor que não em índices, uma vez que um escalar não em componenes. Assim um escalar é o eemplo mais simples de um ensor. Um veor (por eemplo, um 4-veor) é um ensor, mas é um ensor de primeira ordem, o que significa um objeo que em apenas um índice, o qual pode assumir, no caso do 4-veor, quaro valores:, cada um correspondendo a uma componene. O ermo ensor é usualmene empregado para ensores com dois ou mais índices. O ensor mais simples é aquele formado por dois veores. Vejamos um eemplo de um ensor AB e,,,. formado por dois 4-veores: Traa-se nese caso de um objeo com 6 componenes, que é represenado por uma mariz 44 :
7 4 A A A A 4 A A A A A B 4 A A A A 4 4 4 44 A A A A Nós poderíamos omar rês veores, obendo assim um ensor de ordem 64. Nese caso nós eríamos que represená-lo por uma mariz cúbica. O que caraceriza um ensor é a sua propriedade de se ransformar, em relação à mudança do sisema de referência, sempre da mesma maneira na forma do produo de veores (no caso acima o produo de dois veores). Vejamos como o produo de dois veores se ransforma. Suponhamos que conhecemos as componenes do 4-veor, enão as suas componenes em um novo sisema de referência, no qual eremos agora, serão dadas por: A' L A. Da mesma forma, a ransformação para o 4-veor será dada por: ' Vemos enão que a lei de ransformação para o produo ' ' A B L A L B L L A B é dada por: B L A. Assim, seja lá o que for um ensor, ele se ransforma de acordo com um objeo que é composo por dois, um para cada índice: A' B' L L A B. Temos enão a lei geral para a ransformação de um ensor de segunda ordem: T ' L L T. Assim, se sabemos as componenes de em um sisema, enão omamos os (as marizes de ransformação de Lorenz) e as aplicamos a cada índice, obendo assim as componenes (ou índices) do ensor no novo sisema de referência. Ese padrão de ransformação se repee para ensores de ordem maior que dois. É imporane lembrar que, de maneira geral: A' B' B' A'. Há dois ensores especiais de segunda ordem. Eles são chamados de ensores siméricos e anissiméricos. Tensor simérico: T T. Tensor anissimérico: T T. Em ermos de marizes, eles correspondem a marizes siméricas e anissiméricas, onde as componenes inferiores (fora da diagonal) são iguais ou de sinal oposo às das componenes superiores. Nosso ineresse agora será em relação ao ensor anissimérico, que deve er zeros na diagonal, pois T T T. T T T T T T T T T T T T T e,,, Vemos enão que um ensor simérico possui dez componenes relevanes, dadas pelos elemenos da diagonal e por um dos conjunos (superior ou inferior) de elemenos siuados fora da diagonal. Por ouro lado, o ensor anissimérico em apenas seis elemenos relevanes (os elemenos fora da diagonal, siuados acima ou abaio dela). Ese é o mesmo número de componenes do campo eleromagnéico ( e ). Tal ipo de ensor é o único objeo, com seis componenes, que se ransforma segundo a lei geral dos ensores. Iso não aconece, por eemplo, com um objeo formado por seis escalares ou pelo conjuno de um 4-veor e dois escalares. Assim o campo eleromagnéico consiui um ensor anissimérico, o qual coném seis componenes. É em função desse ensor que queremos ver como funciona a força de Lorenz e como ela se ransforma segundo a ransformação de Lorenz.
8 Vamos escrever agora a relação eaa enre o ensor anissimérico e as componenes do campo eleromagnéico, sendo que, mais arde, iremos deduzir esa relação. B B E B B E B B E z E E E Ou seja: B B E B B E F B B E E E E Ese ensor ou mariz é chamado comumene de F (alvez, para lembrar Farada...). Bz B Vamos nos concenrar apenas nas componenes magnéicas: Bz B, deiando de lado as B B componenes emporais ( ). Temos enão um ensor com apenas rês componenes relevanes, ou seja, um ensor ridimensional. F B F B Assim: F B F B F B F B Nesa segunda forma de escrever os ermos dese ensor, podemos ver um padrão nos índices. Todos eles são uma sequência cíclica dos números no senido horário: Com relação ao campo elérico emos algo diferene: F E; F E; F E. Ou seja, o índice do campo corresponde ao primeiro do ensor, manendo-se o ouro consane no empo. Vemos que o campo magnéico, viso como um veor no espaço ridimensional, em uma idenidade com um ensor anissimérico ou com um veor ridimensional. Esa coneão enre ensores anissiméricos e veores ridimensionais somene é verdadeira em rês dimensões, e não em ouras! Iso significa que apenas um ensor anissimérico, de segunda ordem, em rês componenes independenes, que podem ser associadas a um veor ridimensional. No enano, se ivermos um ensor 44, ele não poderá ser associado a um 4-veor! A parir dese ensor anissimérico, do 4-veor velocidade e do 4-veor aceleração, escreveremos uma equação para a força de Lorenz, que se ornará invariane para odos os sisemas de referência.