Itrodução à Computação Gráfca Radosdade Cláudo Esperaça Paulo Roma Cavalcat Modelos Locas de Ilumação Somete a luz dreta ou a prmera reflexão uma superfíce são cosderadas (modelos de prmera ordem). Modelo de Phog. Completamete empírco. Modelo de Cook e Torrace. Esquema híbrdo que usa um modelo físco baseado a rugosdade das superfíces para calcular a tesdade da reflexão e um modelo de odas para certos efetos de cor. Modelo de Cabral. Baseado completamete uma smulação físca da rugosdade de superfíces. Modelo de Kaya. Completamete baseado a teora de odas (the rederg equato). Modelos Globas de Ilumação Traçado de raos. Usa um aspecto partcular da teração luzobeto: reflexão especular. Radosdade. Favorece a teração de superfíces dfusas em detrmeto da reflexão especular. Baseado a teora de trasmssão de calor (Egehara Mecâca). A) Problemas com o Ray-tracg B) / /6 /8 /64 /3 /4
Defções e Propredades Cosdere-se um rao ou um fexe de eerga cdete um corpo: α fração de eerga cdete absorvda: absorção. ρ fração de eerga cdete refletda: reflectâca. τ fração de eerga cdete trasmtda: trasmssão. Balaço de Eerga G αg + ρg + τg α + ρ + τ. G (eerga cdete) ρg (eerga refletda) αg (eerga absorvda) τg (eerga trasmtda) Materas Para maora dos sóldos em egehara τ 0. Para líqudos a mesma suposção pode ser feta (mas depede da espessura). Para gases a reflexão é muto pequea e cosdera-se ρ 0. Modelos de Reflexão A reflexão da eerga radate por uma superfíce é descrta em termos de dos modelos deas: refletores dfusos e especulares. Rugosdade da superfíce tem uma grade fluêca sobre as propredades térmcas dos materas.
Comportameto em fução da rugosdade. Se os elemetos de rugosdade da superfíce são muto pequeos comparados ao comprmeto de oda da radação a superfíce é especular. Se os elemetos de rugosdade da superfíce são muto grades comparados ao comprmeto de oda da radação a superfíce é dfusa. Corpos Negros A superfíce deal para o estudo da radação térmca é o corpo egro. absorve toda a eerga cdete em todos os comprmetos de oda (reflectâca 0). Corpo egro é uma dealzação que pode ser magado como uma cavdade uma superfíce com 0 < α < (buraco de fechadura). G (- α) G 0. G 0 Emssvdade A eerga total emtda por um corpo por udade de área por udade de tempo é chamada de rradâca (potêca emssva). Toda superfíce ão egra terá uma rradâca E meor do que a de um corpo egro à mesma temperatura. ε E/E b (emssvdade). Emssvdade x Temperatura Para codutores, emssvdades altas correspodem a altas temperaturas. O mesmo ão é váldo para ão codutores. Pela le de Krchhoff, α ε. 3
Área Aparete (Vsta de uma dada dreção d) d Âgulo Sóldo É a área determada pela terseção de um coe com a esfera utára. A α A A A cos(α) Âgulos Sóldos Elemetares Gradezas Radométrcas Irradâca: dφ da 4
Eerga Total Irradada A eerga total rradada por um elemeto de superfíce da é terceptada por um hemsféro magáro cetrado o elemeto emssor. Sea q - a eerga que sa do emssor e atge o sesor e I a radâca do emssor Etão: dq - I cos(φ) da dω O âgulo sóldo utáro ω é defdo por: dω da /r. Irradâca Itegrado sobre todo o hemsféro: da r dφ (r s(φ) dθ). Logo, rdφ( r s( φ) dθ ) d ω r s( φ) dφ dθ q da π π 0 0 Irradâca que para um emssor dfuso perfeto (corpo egro) Ic te resulta em: q E I da π I cos( φ)s( φ) dφ dθ Iteração etre Dos Elemetos de Superfíce Potêca emssva (rradâca) de um corpo egro é gual a π vezes a tesdade da radação (radâca). 5
Fator de Forma Fator de Forma é a parcela de eerga que dexa um elemeto de superfíce e atge um outro elemeto. F A A eerga radateatgdo A vdo de A eerga radatetotal dexado A em todas as dreções Troca de Eerga A eerga rradada por da que cde em da é: dq - I cos(φ )da dω - ode dω - é a área de da vsta por da. dω - cos(φ )da /r A eerga total rradada por da é: dq Iπ da Assm, a troca de eerga etre dos elemetos ftesmas é depedete somete da geometra: φ da F da π dq cos( φ )cos( ) da dq r Fator de Forma Supodo que um emssor ftesmal trasmte eerga para uma superfíce fta: F I cos( φ) da cos( φ) da / r A da A π I da Como I e da são depedetes de da F cos( φ )cos( φ ) da A da π r A Fator de Forma No caso da troca de eerga etre duas superfíces Lambertaas ftas: F A A F A A I cos( φ) da cos( φ) da / A π I da A A da da π A A A r cos( φ )cos( φ ) r 6
Teorema da Recprocdade Soma dos fatores de forma um ambete fechado é. F A A Teorema da recprocdade (A F - A F - ). A F A A.0 cos( φ)cos( φ) da da π r Propredades de Subdvsão Natureza adtva (quado o receptor é dvddo): FdA ( ) A F da da da Subdvsão do emssor. A F ) da A A ( F da A A A Reflectâca B-drecoal BRDF ρ(λ,θ r,φ r,θ,φ ) I λ, I Radâca que sa em uma dreção Irradâca que chega de outra dreção λ, r ( λ, θ φ θ, φ ) r, r, ( λ, θ, φ )cos( θ ) dω Superfíces Lambertaas Reflexão é dêtca em todas as dreções BRDF: ρ(d,d ) costate /π d Ω Smetra: ρ(d,d ) ρ(d,d) L (/π). E (/π). C. cosθ da E dp / da K. d Ω / da K. (da cosθ / R ) / da (K / R ) cosθ C. cosθ 7
Radosdade Clássca Todas as superfíces são opacas. Todas as superfíces são refletores dfusos perfetos (ρ c te ). Superfíces são dscretzadas em retalhos pequeos (patches). Radosdade costate os retalhos. Irradâca costate os retalhos. Coceto Método de relaxação. Trata a lumação global como um sstema lear. Requer BRDF costate (superfíces dfusas). Resolve equação de lumação como um problema matrcal. Processo Subdvde em retalhos. Calcula fatores de forma. Resolve radosdade. Exbe retalhos. Corell Program of Computer Graphcs Hemcubo para Computar Fatores de Forma a) 45 retalhos b) 0 retalhos c) refameto de b) por subdvsão adaptatva com 036 sub-retalhos ρf ρf ρf Sstema Lear B A E A + ρ ρ F B E + ρ A F A F F B A F B ρ F B E B E B E 8
Um Exemplo Fatores de Forma: g b/a ( + g g ) + g g + + g g F A, B + F A, C F B, C Pratelera Ifta Só A emte e ão reflete. A emte e reflete. K ρbf ρcf B, A C, A A C A, B C, B A B A, C B, C Só B emte e ão reflete. A e B emtem e refletem. Cálculo dos Fatores de Forma Necessdade de avalar uma tegral de superfíce dupla. Ivável computacoalmete para ambetes complexos. Iefcete computacoalmete. Método Numérco Coverte tegral de superfíce dupla uma tegral de lha dupla (teorema de Stokes). Aproprado para ambetes smples. Método empregado o paper de 984 de Goral. 9
Método do Hemcubo Aaloga de Nusselt Itroduzdo em 985 pelo grupo de Corell. Dstâca etre dos retalhos é grade comparada a área do retalho. Itegral tera ão vara muto em relação a tegral extera. Itegral área-área é aproxmada pela tegral dferecalárea. cos( φ )cos( φ) FA A F da da A π r A Fator de forma é equvalete a fração do círculo utáro correspodete a proeção do retalho sobre o hemsféro, seguda pela proeção sobre a base do círculo. N da φ N r φ A Dscretzação do Hemcubo Hemcubo Qualquer retalho que teha a mesma proeção sobe o hemsféro tem o mesmo fator de forma. Pode-se proetar sobre um hemcubo ao vés de um hemsféro. Faces do hemcubo são dvddas em pxels. Cada pxel é cosderado um retalho. Fatores dferecal-área são pré-calculados (fatores delta) e armazeados em uma tabela de busca. 0
Oclusão Soma dos Fatores Delta Todo retalho de superfíce é proetado o hemcubo. Se o mesmo pxel cotver a proeção de dos retalhos, usa-se aquela correspodedo ao retalho mas próxmo (aálogo ao z-buffer). Itegração dos Fatores Delta Por fm teremos coutos coexos de pxels que são proeções dos retalhos mas próxmos. Executa-se etão a soma para cada F (q é o couto de pxels sobre o qual A se proeta. F ΔF q q Pré-cálculo dos Fatores Delta Na superfíce o topo do hemcubo: cos( φ )cos( φ ) Fq ΔA π r π ( x + y + ) Δ q q Na superfíce lateral perpedcular a x: zq ΔFq ΔA π y q + z + ( ) q ΔA
Geometra para Cálculo dos Fatores Delta x Proeção dos Retalhos Cetro de proeção é o cetro do hemcubo. Cada face do hemcubo defe um frustrum de vsão. Arestas do hemcubo defem plaos de recorte. Retalhos são proetados sobre cada face do hemcubo. Traçado de Raos Pode-se usar uma esfera dscretzada em elemetos de área com fatores delta précalculados. Raos são laçados através de cada elemeto de área da esfera. Cosdera-se a terseção com um retalho mas próxma do cetro da esfera. Troca-se a complexdade do códgo hemcubo pela do códgo de traçado de raos. Acumulação Resolve Ax b como um sstema lear MB E Solução de uma lha provê a solução de um úco retalho. Itesdade de cada retalho é atualzada de acordo com sua posção a matrz. Jacob B (k+) E Σ M B (k) Radosdade Emssão mas outras radosdades refletdas Gauss-Sedel B E Σ M B Cálculo o local. Sobre-relaxação B (k+) 0% B (k+) 0% B (k) Gauss-Sedel é muto coservatvo ρ F ρ F B ρf B E ρ F B E B E
Refameto Progressvo A magem tera é atualzada a cada teração, ao vés de um úco retalho. B devdo a B ρ B F, Ivertedo a relação: A B devdo a B ρ B F, A Requer um úco hemcubo cetrado em. Um úco retalho atra luz a cea e as radosdades de todos os retalhos são atualzadas smultaeamete. Fatores de forma são calculados o the fly. Algortmo Um retalho é escolhdo por vez para dsparar luz. O retalho dspara ΔB, a radosdade que recebeu desde a últma teração. Dsparam prmero os retalhos que fluecam mas a cea (ΔB A maor). Icalmete, B ΔB E, para todo retalho. Pseudo-Códgo Selecoe retalho ; Calcule F para cada retalho ; Para cada retalho faça { ΔRad ρ ΔB F A /A ; ΔB ΔB + ΔRad; } B B + ΔRad; ΔB 0; Dsparo Refameto Progressvo Dstrbu radosdade extra ΔB pelos outros retalhos B (k+) B (k) + ρ F ΔB Radosdade extra ão dsparada é o que recebemos da últma teração ΔB B (k) B (k-) Eerga parte dos emssores Dstrbu progressvamete pela cea Pode usar um termo ambete durate o processameto da cea, que é dmuído a medda que a radosdade progressva coverge ρ F ρ F B ρ F ρ F ρ F ρ F IBM B E B E B E 3
Calculado Radosdade os Vértces Uma vez obtdas as radosdades os retalhos, precsamos extrapolá-las para os vértces. Radosdades os vértces almetam etão um vsualzador tpo Gouraud. d a b c e 3 4 f B e B +B +B 3 +B 4 (B b +B e )/(B +B )/ (B a +B e )/ B Problemas da Solução por Iversão O sstema MB E pode ser resolvdo vertedo-se a matrz M. O tamaho de M é eorme e acarreta problemas de armazeameto e de versão. M é quadrada ( x, úmero de retalhos.) Dobrar quadruplca o úmero de elemetos de M. g h Métodos de Relaxação Város métodos teratvos foram desevolvdos que cam o vetor B com uma solução cal e etão a refam até que o erro estea detro de uma tolerâca pré-defda. Radosdade utlza métodos de relaxação. Um Pouco de Teora Sea um sstema lear Kx b, ode K é uma matrz x, x e b são vetores colua de dmesão. Será gerada uma sére de soluções aproxmadas x que devem covergr para a solução real. x (g) é a aproxmação o passo g. 4
Erro da Aproxmação Covergêca e (g) x x (g) é o erro. r (g) b K x (g) K e (g) é o resíduo. Métodos de relaxação usam o resíduo para refar a aproxmação e gerar o sucessor x (g+). A estratéga é olhar para um elemeto r (g) do vetor de resíduo e aplcar uma trasformação ao elemeto correspodete x (g) de forma a que r (g) 0. Outros elemetos de r podem crescer, mas espera-se que a tedêca geral sea a dreção de valores meores para todos os elemetos do resíduo. k K ( g ), ( K x K x, ( g + ), k ) x ( g ) k b r K ( g ) b, k k + x K ( g ), k x ( g ) k r ( g ) + K x ( g ), Parada Iteração de Jacob Austar um elemeto até que seu resíduo vá para zero é chamado de relaxameto do elemeto. Crtéros de parada são baseados uma tolerâca t: max( r ) < t x (g) x (g+) < t 5
Método de Gauss-Sedel Iteração de Gauss-Sedel Iteração de Gauss-Sedel é smlar a de Jacob. Jacob calcula o resíduo a partr do x (g) correte e os próxmos elemetos são computados a partr dele. Não se usam os ovos valores x (g+) até que todos os elemetos teham sdo computados. Gauss-Sedel atualza os valores o local e calcula o resíduo de ovo para cada elemeto. Método de Southwell Iteração de Southwell Gauss-Sedel atualza os elemetos em ordem. Se o resíduo é grade para um elemeto e pequeo para os outros, o elemeto grade será processado uma úca vez por teração. Southwell usa uma heurístca gulosa para relaxar os elemetos de maor magtude prmero. Um mesmo elemeto pode ser austado repetdamete em detrmeto dos outros de meor magtude. 6
Sobre-relaxação Iteração com Sobre-relaxação. Pode ser usada com qualquer método. Ao vés de subtrar apeas a quatdade ecessára de cada elemeto para levar seu resíduo para zero, subtra-se a mas. Esta é uma estratéga agressva, que atecpa o futuro por um fator ω. x x r ( g+ ) ( g+ ) ( g+ ) x x ( g) ( g) + Δx ( ω ) r ( g) + ω Δx ( g), ( g) ao vés usa -se Iterpretação dos Dversos Métodos Jacob Emssão é a prmera estmatva para radosdade dos retalhos. Resíduo mede a dfereça etre a emssão e a radosdade refletda. Duas parcelas: radosdade emtda (dsparada) e ão dstrbuída (ada). Resíduo mede quata radosdade a mas devera estar sedo emtda mas ada ão fo. Jacob atualza todos os elemetos do vetor de uma vez. A radosdade de cada retalho é cremetada para represetar a eerga ão dstrbuída. Este método ão é muto usado. Um úmero pequeo de retalhos fluecam a cea o íco. É um desperdíco atualzar todos os retalhos a cada passo se eles ão cotrbuem muto a luz da cea. 7
Gauss-Sedel Atualza a solução tera a cada passo, mas usa os ovos valores computados para ser mas efcete. A equação de radosdade é a soma da potêca emtda e a refletda, acumulada de todos os outros retalhos da cea. Southwell Relaxa-se o elemeto com o maor resíduo. Sgfca que se usa o retalho com a maor radosdade ão dstrbuída para dsparar a sua eerga a cea. Começa com a maor fote de luz e dstrbu a sua eerga para as outras superfíces. Refameto progressvo usado por Cohe em 995 emprega uma varate deste método. Um Exemplo Real Refameto progressvo depos de,, 4 e 00 passos. 500 retalhos, 7000 sub-retalhos. Radosdade ambete estmada fo adcoada. 8