ESTUDOS COMPARATIVOS DE FREQÜÊCIAS ATURAIS DE PLACAS TRIAGULARES E RETAGULARES MOTADAS EM BALAÇO Américo Teuo Miazima Araildo Lima da Silva Faculdade de Engenharia de Guaraingueá, Deparameno de Mecânica, 1500-000, Av. Aribero Pereira da Cunha 333, Guaraingueá, SP, Brasil. E-mail:americo@iem.efei.br Paulo Shigueme Ide Escola Federal de Engenharia de Iaubá, Deparameno de Mecânica, 35700-000, Av. BPS 1303, Iaubá, MG, Brasil. RESUMO O presene rabalho é um esudo de uma placa riangular e oura reangular em balanço, de comporameno linear, a fim de se compararem as freqüências naurais obidas pelo méodo de elemenos finios via resíduos ponderados com resulados eperimenais. Para se realizar os ensaios eperimenais foram consruídas bancadas numa base de concreo para impor a condição de engasameno rígido e indeslocável. As placas em esudo possuem dimensões: riangular, no eio 0,80 m, eio 0,70 m e espessura 0,003 m; reangular, no eio 0,7 m, eio 0,70 m e espessura 0,003 m. O maerial da placa uilizada é de aço. Fiando-se a placa riangular em balanço na base de concreo, e uilizando um analisador de freqüência inerligado a um acelerômero e com a eciação feia com uso de um marelo apropriado, foram levanadas as freqüências naurais. Repeiu-se o ensaio ambém para a placa reangular o mesmo procedimeno. Os resulados obidos pelo méodo de elemenos finios em esudo, foram comparados com resulados obidos pelos ensaios. Comparou-se ambém com resulados obidos pelo sofware comercial ASYS, os dois casos de placas apresenaram ecelenes resulados. Palavras-chave: Elemenos finios, Freqüências naurais, Placas 1. ITRODUÇÃO O Méodo dos Elemenos Finios é um procedimeno para discreização dos conínuos da Física Maemáica. A solução analíica de equações diferenciais é subsiuída por uma aproimação consiuída de uma superposição de funções coordenadas, cuos parâmeros são deerminados e aplicando-se o Méodo dos Resíduos Ponderados. Para que o esudo de méodo numérico enha confiabilidade em seus resulados, comparou-se com resulados obidos aravés de ensaios eperimenais e ambém com o sofware comercial ASYS para mosrar a eficiência do méodo uilizado e do programa desenvolvido em linguagem Pascal.
. EQUAÇÃO DIFERECIAL DO MOVIMETO DAS PLACAS.1 Hipóeses o desenvolvimeno da equação diferencial do movimeno serão admiidas as seguines hipóeses: a - Pequenas deformações e deslocamenos; b - Reas normais ao plano médio da placa permanecem normais a esse plano após a deformação; c - O valor da ensão σz - ensão normal ao plano da placa - é desprezível quando comparado aos valores de σ e σ; d - Carregamenos somene normais ao plano médio da placa indeformada.. Relações deslocamenos-deformações Da eoria da elasicidade linear, em-se: u v ε, ε e γ.3 Esforços solicianes u v (1) Figura 1 mosra um elemeno de placa de espessura h e de dimensões d e d, onde os eios e esão siuados no plano neuro da placa. O carregameno dinâmico q(,,) presene na figura considerada é ransversal à placa e possui dimensão de força por unidade de área. Figura 1. Carregameno dinâmico de um elemeno de placa. Fazendo-se o equilíbrio, obém-se: w w M D ν, w w M D ν, w M D( 1 ν ) e w M D( 1 ν ) onde 3 Eh D () 1( 1 ν )
Figura. Esforço corane e momenos auando sobre um elemeno de placa..4 Equilíbrio de um elemeno de placa Εquilíbrio dos esforços na direção z, M M M w q(,, ) hρ (3) Subsiuindo a Eq. () na Eq. (3), resula-se: w 4 4 q(,, hρ w w 4 D 4 ) w 4 (4).5 Condições de conorno da placa Figura 3. Condições de conorno para uma placa em balanço. 3. MÉTODO DOS ELEMETOS FIITOS VIA RESIDUOS PODERADOS 3.1 Méodo dos resíduos ponderados A aplicação do méodo dos elemenos finios eige, como condição prévia, a ransformação da equação diferencial do movimeno em uma equação inegral equivalene. Para isso considerando a função γ γ(,), arbirária no espaço e no empo, conínua e duas
vezes derivável no domínio da placa e al que, ao longo de Cd, em qualquer insane, ocorra: γ γ0 e 0 n γ γ ; donde 0em Cd. Muliplicando ambos lados da Eq. (3) pela função γ e inegrando no domínio da placa resula: M M M w γ q(,, ) hρ dd 0 (5) Inegrando na região de conorno, resula: M M M dd γvnds γ γ γ Cσ Cσ γ Mnds n w γ h ρ q(,, ) dd (6) Supondo-se uma solução aproimada para o deslocameno da placa w (,), os esforços M, M e M poderão ser calculados aravés da Eq. (). Adoando-se a solução aproimada w, a Eq. (3), não será saisfeia: M M M q(,, ) onde R resíduo no pono de coordenadas (,). 3. Discreização da função peso e hipóese de Galerkin w hρ R 0 (7) Aplicando-se uma discreização pelo Méodo dos Elemenos Finios e adoando uma solução aproimada ( w ) para o deslocameno ransversal da placa (w(,,)), da seguine forma: w "" n n ( w 1 α β 3) ( w 1 α β 3) "" 1 n 1 (8) onde w é o deslocameno ransversal, α e β são roações nos ponos nodais, e são funções de inerpolação. A hipóese de Galerkin, é quando, as funções de ponderação serão as mesmas uilizadas para funções de forma.
3.3 Formulação maricial Subsiuindo a Eq. (8) na Eq. (), e por sua vez na Eq. (6), resula: F M X KX.. (9) onde { D K γ dd } ) (1 ν (10) ρ dd h M (11) σ Cσ C Mnds n Vnds qdd F (1) 4. ELEMETOS FIITOS PARA PLACAS 4.1 Elemeno riangular A numeração nodal é ani-horária e a espessura (h) é consane ao longo do domínio do elemeno. Figura 4. Sisema de coordenadas e numeração de nós. 4. Mariz de rigidez A obenção da mariz de rigidez demanda um rabalho considerável, Joseph e al (1979), por meio de manipulação algébrica obeve-se a epressão da mariz de rigidez. Uilizou-se a propriedades do maerial E 1010 9 Pa e ν 0,3. Q UQ A K e 3 13 8 1 4.3 Mariz de massa Subsiuindo-se o veor de inerpolação, na Eq. (10), obém-se a mariz de massa do elemeno riangular em esudo. Uilizou-se a propriedade do maerial ρ 7830 Kg/m 3.
5. MODOS ATURAIS DE VIBRAÇÃO Um modo naural de vibração é aquele onde odos os ponos do domínio do problema considerado eecuam um movimeno harmonico simples de mesma freqüência e fase, na ausência do corregameno eerno. Logo: γ γ M M M dd ω γhρvdd (13) γ a forma maricial: K X ω MX 0 (14) As freqüências naurais foram obidas uilizando o méodo de Jacobi. 6. ESQUEMA DOS ESAIOS EXPERIMETAIS Uma placa riangular (geomeria riangulo reangulo) é fiada numa base de concreo para impor a condição de fiação rígida e indeslocável. Aplicou-se o mesmo procedimeno para placa reangular. Um aparelho que medem as freqüências naurais foi insrumenado como se mosra na Figura 5, e eciou-se a placa uilizando um marelo de impaco. Após alguns segundos o aparelho regisra freqüências naurais que esão ciadas nas Tabelas 1 e 3. Figura 5. Esquema para ober freqüências naurais eperimenalmene. 7. AÁLISE DOS RESULTADOS Os resulados de freqüências naurais obidos pelo Méodo de Elemenos Finios (M.E.F.) uilizou-se divisão de malhas 44 em casos de placas riangular e reangular, foram comparados com fones de Leissa (1969), ASYS, e ensaio eperimenal. Tabela 1. Freqüências naurais - Placa riangular Freqüências (Hz) ω1 ω ω3 ω4 ω5 ω6 Leissa 6,88 9,69 - - - - ASYS 7,0 8,4 38,64 71,17 93,70 13,69 M.E.F. 7,31 9,39 40,11 74,50 94,39 18,65 Eperimenal 6,80 8,00 34,40 74,80 93,0 131,00
Hz 140 10 100 80 60 40 0 0 Leissa ASYS M.E.F. Eperimenal ω 1 ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 Freqüências Figura 6. Freqüências naurais de Placa riangular em balanço. Tabela. Desvio percenual Placa Triangular (%) ω1 ω ω3 ω4 ω5 ω6 M.E.F. Leissa 7,50 1,0 - - - - M.E.F. ASYS 1,50 3,91 3,66 4,47 0,73 3,86 M.E.F. Eper. 6,98 4,73 14,4 0,40 1,6 1,83 Tabela 3. Freqüências naurais - Placa reangular Freqüências (Hz) ω1 ω ω3 ω4 ω5 ω6 Leissa 5,0 1,7 31,98 40,96 46,49 - ASYS 5,17 13,01 31,93 4,41 47,15 83,59 M.E.F. 5,17 13,03 3,6 4,06 47,1 8,05 Eperimenal 5,0 13,0 3,40 41,0 46,00 80,40 Hz 90 80 70 60 50 40 30 0 10 0 ω 1 ω ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 Freqüências Leissa ASYS M.E.F. Eperimenal Figura 7. Freqüências naurais de Placa reangular em balanço.
Tabela 4. Desvio percenual Placa Reangular (%) ω1 ω ω3 ω4 ω5 ω6 M.E.F. Leissa 0,58,38 0,87,6 1,34 - M.E.F. ASYS 0,00 0,15 1,0 0,83 0,06 1,88 M.E.F. Eper. 0,58 1,30 0,43,04,38,01 8. COCLUSÕES O presene rabalho eve a preocupação de mosrar que o méodo de elemenos finios (via resíduos ponderados), aplicado numa placa em balanço, possuem uma precisão muio boa de freqüências naurais como se mosram nas Tabelas e 4. O maior desvio percenual apresenado no caso de placa riangular foi na primeira e erceira freqüências em relação Leissa e Eperimenal. Em relação ASYS apresenaram desvios bem comporados ficando abaio de 5%. O desvio percenual para o caso de placa reangular, apresenaram de uma forma mais uniforme, ficando abaio de 3%. Em paricular com relação ao ASYS, ficaram abaio de %. Porano o méodo de elemenos finios em esudo apresenaram freqüências naurais eremamene confiáveis principalmene para o caso de placa reangular. 9. REFERÊCIAS Bahe, K. J., 198, Finie Elemen Procedures in Engineering Analisis., Englewood Cliffs,.J., Prince Hall. Caughe, T. K., 1960, Classical ormal Modes in Damper Linear Dnamic Ssems., J. Applied Mechanics, vol. 7, 69-71 p. Clough, R. W. & Penzien, J., 1975, Dnamics of Srucures., McGraw-Hill, London. Cosa, H. B., 1986, Elemenos Finios (via resíduos ponderados) na Resolução do Problema de Segunda Ordem das Placas., Tese de Douorado, EPUSP, São Paulo, Brasil. Garzeri, F. J., 1991, Elemenos Finios (via residuos ponderados) na Análise Dinâmica de Placas de Comporameno Linear., EPUSP, São Paulo. Gorman, D. J., 198, Free Vibraion Analsis of Recangular Plaes., Elsevier orh Holland, ew York. Joseph, K. T. & Rao, S., 1979, A Fas Algorihm for Triangular Plae Bending Elemen., In. J. um. Meh. Eng., vol. 14, 1100-1103 p. Leissa, A. W., 1969, Recangular Plaes in Vibraion of Plaes, ASA SP-160, Washingon, 41-160 p. Timoshenko, S. P. & Woinowsk-Krieger, S., 1959, Small Deflecions of Laerall Loaded Plaes in Theor of Plaes and Shells., McGraw-Hill, London, 79-104p. Zienkiewicz, O.C.,1977, Bending of Thin Plaes, In: The Finie Elemen Mehod. 3 ed. McGraw-Hill, London, 6-67p.