. TURBUÊNCIA E DISPERSÃO DE CONTAMINANTES NA CAMADA IMITE PANETÁRIA IV Escola de Prmavera de Transção e Turbulênca Unversdade Federal do Ro Grande do Sul Pontfíca Unversdade Católca do Ro Grande do Sul Porto Alegre, RS, 7 de setembro a o de outubro de 4 Gerváso A. Degraza Unversdade Federal de Santa Mara, Departamento de Físca, Santa Mara, RS. degraza@ccne.ufsm.br Antono G. O. Goulart Unversdade Federal de Santa Mara, Programa de Pós-Graduação em Físca, Santa Mara, RS. agoulart@ursan.tche.br. Introdução Incalmente, consdera-se neste capítulo um campo turbulento geofísco caracterzado por um 7 número de Reynolds muto elevado (Re. Em um período de vnte e quatro horas este tpo de turbulênca é um fenômeno predomnante na Camada mte Planetára Atmosférca (CP. Neste partcular estado de um sstema físco, onde todas as smetras possíves permtdas pelas equações de conservação (e as condções de contorno são recuperadas em um senso estatístco, a turbulênca pode ser consderada completamente desenvolvda. No estudo da dspersão em um campo turbulento bem desenvolvdo, é mportante dscutr o conceto de partícula de fludo. Por partícula de fludo entende-se um volume de controle muto pequeno (do campo de escoamento turbulento, com dmensões característcas muto maores do que as escalas espacas moleculares, porém com dmensões menores do que a mcroescala de Kolmogorov. O meo contínuo formando tal partícula de fludo permanece ntacto no mínmo durante um ntervalo de tempo sufcentemente grande comparado ao ntervalo de tempo assocado ao processo de transporte turbulento. Qualquer troca com o seu ambente é de natureza puramente molecular. A dmensão da partícula de fludo mplca que ela pode ser observada como parte do fludo contínuo e responde a todas as escalas do movmento turbulento. A dspersão turbulenta é dstnta da dfusão molecular por duas razões: Em prmero lugar, as nterações ntensvas entre as partículas de fludo promovem uma troca contínua da propredade que está sendo transferda; em segundo, exste uma correlação temporal entre as propredades de uma partícula de fludo em nstantes subseqüentes. Um dos objetvos deste capítulo é apresentar e dscutr algumas característcas geras da turbulênca bem desenvolvda. A análse consderada é baseada em hpóteses plausíves, observadas expermentalmente, e que foram expressas matematcamente por Kolmogorov. Característcas fenomenológcas (assocadas a uma turbulênca bem desenvolvda, conhecdas como auto-smlardade, nvarânca de escala,
nterações locas e o espectro de energa turbulenta serão assumdas e utlzadas na dervação de parâmetros turbulentos. Com base nestas dscussões e no modelo de dfusão estatístco de Taylor derva-se, como um exemplo, coefcentes de dfusão turbulentos para uma Camada mte Convectva (CC. Adconalmente, estuda-se neste capítulo dos fenômenos partculares assocados à turbulênca e que nfluencam freqüentemente a dspersão de contamnantes na CP. Um destes fenômenos dz respeto ao decamento da turbulênca na CC. Este processo dnâmco, que ocorre no período de transção da-note é responsável, durante o período de aproxmadamente uma hora, pela presença de turbulênca na Camada Resdual (CR. Mutas fontes de contamnantes (chamnés são localzadas nestas CR e, conseqüentemente, estmar a magntude da dspersão neste ambente de turbulênca decando é de fundamental mportânca na escolha de parametrzações dos termos turbulentos presentes em modelos matemátcos analítcos e numércos de polução do ar. O segundo fenômeno ocorre em stuações caracterzadas por velocdades baxas do vento horzontal médo. Nestas stuações de vento calmo, a dreção de transporte dos contamnantes lberados por fontes pontuas contínuas (chamnés não pode ser smulada com satsfatóra precsão e desta forma os modelos de dspersão tradconas, baseados na equação de dfusão-advecção, não podem ser aplcados para calcular a concentração de poluentes na CP. Responsável por esta ndetermnação na dreção da pluma de contamnantes são osclações de baxa freqüênca na dreção do vento horzontal. Uma vez que este fenômeno ocorre com bastante freqüênca em todas as épocas do ano (e prncpalmente a note compreendê-lo e descrevê-lo é de fundamental mportânca na modelagem do transporte e da dfusão de contamnantes na baxa atmosfera. Partndo-se da hpótese fundamental que as equações de Naver-Stokes (N-S descrevem a multtude de fenômenos assocados à turbulênca, a nvestgação de ambos os fenômenos (turbulênca decando na CC e osclações de baxa freqüênca na dreção do vento horzontal será realzada empregando-se estas equações de conservação. No caso de decamento da CC empregam-se as equações de N-S na dervação de coefcentes de dfusão turbulentos. No caso de calma de vento utlzam-se as equações de N-S na explcação e descrção das osclações na dreção do vento horzontal.. Dervação de parâmetros de dspersão para uma turbulênca não-homogênea na CP.. O espectro de energa turbulenta Devdo à complexdade do campo turbulento, que pelo efeto da não lneardade do fenômeno possu um ntervalo de escalas de movmento todas acopladas entre s, faz-se necessáro o desenvolvmento de uma parametrzação que permta modelar este estado caracterzado por um número ggantesco de graus de lberdade. Em um senso, uma parametrzação sgnfca uma
representação dealzada (baseada em argumentos heurístcos do fenômeno de transporte turbulento. Neste sentdo, quando parametrza-se os processos de troca turbulenta ntroduz-se nas equações, que descrevem as les de conservação (modelos físcos, relações matemátcas aproxmadas, que em prncípo, são usadas como substtutas dos termos desconhecdos presentes no fenômeno natural. A confabldade de cada modelo depende fortemente da manera na qual os parâmetros turbulentos são calculados e relaconados à compreensão da físca da CP. O ngredente fundamental na obtenção destes parâmetros turbulentos, que são formulados a partr de uma fenomenologa aplcada em uma turbulênca bem desenvolvda, resde na seleção (escolha de escalas típcas de velocdade e comprmento. Neste aspecto, o comportamento observado do espectro de energa turbulenta pode auxlar decsvamente na determnação destas escalas típcas. A forma geral do espectro de energa de uma turbulênca bem desenvolvda é representada na fgura abaxo. E( k grandes turblhões de caráter permanente turblhões contendo a maor energa ntervalo de equlbro unversal k Fgura Forma do espectro de energa para uma turbulênca bem desenvolvda. Grandes Turblhões de caráter permanente: São os maores turblhões de caráter permanente que não possuem a maor parcela da energa turbulenta total. Turblhões contendo a energa prncpal: Turblhões que possuem a maor parcela da energa turbulenta total; nfluencam fortemente o processo dspersvo e, como conseqüênca, na parametrzação dos fluxos turbulentos será mportante obter uma escala de comprmento e em termos das característcas destes turblhões mas energétcos. Intervalo nercal: neste ntervalo os turblhões não mudam a sua energa, porém a quantdade de energa transferda através dos turblhões é grande. A dsspação é desprezível em confronto com o fluxo de energa transferdo por efetos nercas.
Intervalo de equlíbro unversal: o caráter da turbulênca, nestes números de onda, é nteramente determnado pelo fluxo de energa e pela razão de dsspação ε, onde ε é a dsspação méda de energa por undade de tempo e por undade de massa do fludo. O fluxo de energa mas a dsspação é gual à energa total fornecda para este ntervalo. Da forma do espectro observa-se que esta energa é provenente dos turblhões que possuem o maor conteúdo de energa. Desta manera, embora a dsspação é provocada pela vscosdade a ordem de magntude de ε é determnada apenas por aquelas quantdades que caracterzam os turblhões mas energétcos... Grandezas caracterzando o processo de dspersão Do ponto de vsta fenomenológco e descrtvo, dentfca-se um fluxo turbulento como consttuído por uma superposção de turblhões. Todos estes turblhões, que compõem o movmento turbulento, possuem uma certa energa cnétca quantfcada pela magntude das flutuações de velocdade assocadas a certas freqüêncas. Estes turblhões nteragem contnuamente com os mecansmos geradores da turbulênca (os forçantes, dos quas eles extraem a sua energa, e também uns com os outros. Uma questão nteressante, que dz respeto à descrção físca da turbulênca, pode ser colocada da segunte manera: Como a energa cnétca é dstrbuída entre as váras escalas (freqüêncas do movmento turbulento? Do ponto de vsta prátco, torna-se fundamental a dentfcação das escalas (freqüêncas assocadas aos turblhões contendo a energa prncpal do fluxo turbulento (os turblhões mas energétcos. Estes partculares vórtces possuem a maora da energa cnétca e são responsáves pelo transporte de espéces escalares e vetoras na CP. Neste contexto será usada a transformada ntegral de Fourer e a teora da dfusão estatístca de Taylor (TDET para dervar a partr do espectro de energa cnétca, grandezas que expressam a capacdade de dspersão de uma turbulênca bem desenvolvda. Incalmente se deve dzer que um espectro mede a dstrbução da varânca de uma certa quantdade entre as dferentes freqüêncas ou comprmentos de onda. Se a varável é uma componente da velocdade turbulenta de uma partícula de fludo, o espectro descreve a dstrbução da energa cnétca entre as dstntas freqüêncas. Uma transformada de Fourer é um tpo de transformada ntegral que pode representar um estado de um sstema com um número nfnto de graus de lberdade por um conjunto contínuo de freqüêncas. Usando-se este tpo de transformada pode-se defnr Φ π + ωτ ( ω = R ( τ e dτ com = u, υ, w, onde a transformada nversa será a segunte função de auto-correlação: ( R + ωτ ( τ = Φ ( ω e dω (
ou de modo que ( ω freqüênca Hertz. Φ R = dω + ( Φ ( ω mostra como a energa cnétca turbulenta é dstrbuída com respeto a π ω = = πn, onde T é o período de uma osclação senodal e n é a freqüênca em T As equações ( e ( defnem o teorema de Wener-Khnchn e estabelecem um resultado fundamental que relacona a transformada de Fourer da função de autocorrelação com o espectro de energa. Consderando se a turbulênca estaconára, pode-se escrever R ( τ = R ( τ ; sto é, ( τ uma função par. Desta propredade e da equação ( obtém se: R é + Φ ( ω = R ( τ( cos ωτ + snωτ dτ = R ( τ cos ωτ dτ desde que sn ωτ é uma função π π ímpar. Isto mostra que Φ ( ω = Φ ( ω, de modo que e R ( τ = Φ ( ω cos ωτ dω R ( = Φ ( ω dω. A transformada de R ( τ, a saber ( ω Φ, é chamada a Função Densdade Espectral de Energa em analoga com o espectro de luz estudado na Físca. O produto contrbução para a varânca feta por flutuações no ntervalo de largura ( ω dω Φ é a d ω centrado em ω. Agora, mudando de freqüênca ω, expressa em radanos por segundo, para freqüênca expressa em cclos por segundo, uma nova densdade espectral S ( n = πφ ( πn ntroduzda, de modo que ω n =, π pode ser R Para τ =, a equação acma torna-se ( τ = Φ ( πn cos ( πnτ πdn = S ( n cos ( πnτdn ( ( = π Φ ( πn dn = S ( ndn = R (4 onde = υ é a varânca de uma componente da velocdade turbulenta. Isto confrma que duas vezes a energa cnétca por undade de massa é obtda se o espectro é ntegrado sobre todas as freqüêncas.
Por outro lado, em termos da freqüênca n, pode-se escrever e resulta em π Φ S ( πn = 4 R ( τ cos πnτ dτ ( n 4 R ( τ cos πnτ dτ = Defnndo-se a função de autocorrelação como e a escala de tempo ntegral agrangeana Conclu-se que para n = R S ( τ = υ ( t υ ( t' +τ = υ ρ ( τ (5 ' (6 ( τ T = ρ dτ (7 ( 4 R ( τ dτ = 4 υ T = (8 O produto T υ é um coefcente de dfusão turbulento expresso aqu pelo espectro de energa calculado na freqüênca n, ou seja, em termos dos grandes turblhões. Esta consderação ergue a questão de como as dferentes freqüêncas contrbuem para a dfusão turbulenta de partículas de fludo. De modo a responder esta questão apresenta-se o modelo de dfusão de Taylor, que expressa o parâmetro de dspersão turbulenta generalzado em termos da varânca e da função de autocorrelação na segunte forma: X t ( τ = υ ( t τ ρ dτ (9 Substtundo-se ρ ( τ em (9 por sua transformada de Fourer (, resulta X X t = υ ( t τ F ( n cos πn dn dτ τ = X X υ t τ = υ ( t τ cos πnτ d F ( n dn F = υ t ( n ( n cos πn t ( nπ ( nπt ( nπt sn F dn dn (
onde F ( n S = υ ( n velocdade. A quantdade, é o espectro de energa agrangeano normalzado pela varânca da ( nπt ( nπt sn a medda que o tempo passa age como um fltro passa-baxa, ou seja, ele remove ou atenua altos harmôncos na nossa decomposção de Fourer. Defne-se um operador fltro passa-baxa como (Frsch, 995 P k < : f ( r f ( r Este operador elmna todas as componentes de Fourer com números de onda maores que k, onde k = k. Fgura (a Um snal com altos e baxos harmôncos. (b Um snal onde os altos harmôncos foram removdos. Extraído do lvro Turbulence (Frsch, 995. A equação ( possu o segunte sgnfcado: para um ntervalo de tempo curto após o nstante de lberação da partícula de fludo, todas as escalas (altas e baxas freqüêncas contrbuem para o crescmento de X ; a medda que o tempo de dfusão aumenta o fltro passa-baxa remove ou atenua as altas freqüêncas na decomposção espectral de Fourer; altas freqüêncas progressvamente perdem a habldade de expandr X. Uma formulação de grande aplcação em dferentes modelos de dspersão pode ser obtda quando se derva em relação ao tempo a relação (. Neste caso obtém-se: d dt ( n sn ( nπt ( nπt υ F cos X = π n dn = = υ sn ( n t dn F ( n π π n (
"! "! Anda mas nteressante é analsar o comportamento de ( quando consderando-se que ( n e sn ( n t / n Defnndo-se F Introduzndo-se o lmte para d dt t. Desta forma, π são funções pares de n ( pode ser escrta como ( n sn ( nπt dn υ F X = 4 πn g = πn, a equação acma pode ser reescrta na forma d dt d dt g F sn υ π X = 4 πg t pode-se escrever g F sn υ π X = lm 4 t πg Assumndo-se que as condções necessáras para a troca entre o lmte e a operação de ntegração são preenchdas, resulta: lembrando-se que d dt ( gt X υ = 4 F g π lm t ( gt sn dg ( gt πg dg ( gt dg sn lm é uma representação bem conhecda da função delta de Drac t πg obtém-se: d dt X υ = 4 F g π δ( g dg onde δ ( g é a função delta de Drac. υ F ( = ( 4 A fórmula ( representa uma parametrzação para os coefcentes de dfusão turbulentos em termos do espectro de energa na orgem. Neste caso pode-se escrever α = x, y, z em termos das característcas dos turblhões mas energétcos. Consderando-se agora K α υ = F 4 (, com resulta K α υ = F 4 ( T = υ (
onde T e desenvolvda. F ( T = e 4 υ F ( = (4 4 são escalas de tempo e comprmento característcas para uma turbulênca bem As relações acma mostram que os dferentes parâmetros, que quantfcam o processo de dspersão, são expressos em termos do espectro de energa turbulenta. As fórmulas de parametrzação apresentadas acma, aladas a suposção de nteração local entre turblhões de escalas próxmas, permte capturar os efetos físcos dos turblhões mas energétcos gerados pela turbulênca mecânca e convectva... Relações entre estatístcas Euleranas e agrangeanas O espectro e a função de autocorrelação nas equações acma são descrtas em um sstema de referênca agrangeana. Em uma descrção agrangeana nvestga-se a posção (x, y, z de uma partícula de fludo em um tempo t relatvo a sua posção (x, y, z em um tempo de referênca ncal t (Rodean, 996. Como na prátca este tpo de observação é dfícl de ser realzada, os parâmetros estatístcos turbulentos são quase sempre meddos em um sstema de referênca Eulerano, ou seja, em uma posção fxa no espaço, por exemplo, um anemômetro nstalado em uma torre mcrometeorológca. Em problemas de dspersão turbulenta descreve-se o processo de dfusão agrangeana em termos de meddas Euleranas. Desta manera, uma questão fundamental em problemas de turbulênca é o estabelecmento de relações entre os sstemas de referênca Eulerano e agrangeano (Hanna, 98. Em um campo turbulento homogêneo e estaconáro as varâncas das velocdades Euleranas e agrangeanas são consderadas dêntcas (Corrsn, 96. Esta hpótese é normalmente feta e basea-se no fato da energa cnétca turbulenta (uma grandeza escalar ser a mesma para ambos sstemas de referênca. Dferentemente, os espectros de energa ou as funções de autocorrelação Euleranas ou agrangeanas dferem sstematcamente uns dos outros. Na atmosfera, uma vez que os traçadores seguem o movmento do ar de um modo mperfeto, é quase mpossível obter séres deas de meddas agrangeanas. Geralmente, velocdades de partículas segundo o escoamento turbulento (referencal agrangeano, varam de um modo mas lento do que as velocdades meddas por um nstrumento fxo (referencal Eulerano, e, como conseqüênca, séres temporas Euleranas flutuam mas freqüentemente com o tempo do que as séres agrangeanas. Com sto, espectros agrangeanos são representados em freqüêncas mas baxas em relação aos espectros Euleranos.
Uma hpótese muto útl proposta por Gfford (955 e Hay e Pasqull (959 assume que as funções de autocorrelação são smlares na forma, porém são deslocadas por um fator de escala β. Pelo teorema de Wener-Khnchn a mesma suposção é válda para os espectros de energa. Do ponto de vsta matemátco, esta hpótese pode ser expressa na segunte forma: ρ ( τ = ρ ( β τ (5 onde ρ( τ é o coefcente de autocorrelação Eulerano e β é o fator de escala assocado à componente da velocdade defndo formalmente como a razão entre as escalas de tempo ntegral agrangeana e Eulerana, ou seja, onde T é a escala de tempo ntegral Eulerana. T β = (6 T A relação entre os espectros agrangeanos e Euleranos pode ser descoberta consderando-se a segunte expressão (eq.5, onde F ( n é o espectro Eulerano normalzado por. A substtução de (5 na equação (7 resulta F ( n = 4 ρ ( τ cos( π nτ dτ (7 ( 4 F n = β ρ ( β τ cos( π nβ τ dτ (8 Uma comparação entre (7 e (8 permte escrever nf ( n = β nf ( β n (9 Substtundo-se (9 nas relações ( e ( resulta, respectvamente β sen ( π nt β α ( t = X ( t = F ( n dn ( π n d X β sen( π nt β Kα ( t = = F ( n dn ( dt π n As equações ( e ( apesar de conterem um espectro de energa Eulerano são escrtas em termos do parâmetro β e desta forma elas descrevem as varâncas espacas e os coefcentes de dspersão turbulenta de uma perspectva agrangeana. As formulações assmptótcas ( e (4, expressas como funções das propredades locas da turbulênca (não apresentam memóra das condções ncas, podem agora ser escrtas em termos do parâmetro β nas seguntes formas: e K α βf ( = ( 4
T βf ( = 4 F ( = ( 4 As equações (, (, ( e ( mostram que o conhecmento do espectro de energa Eulerano (que pode ser meddo por um anemômetro sônco, alado à uma relação descrevendo o fator de escala β é sufcente para se quantfcar a magntude da dspersão turbulenta na CP. Além do mas, a dependênca com a altura contda no espectro de energa observado permte descrever a turbulênca não-homogênea exstente na CP. Isto sgnfca, que para as dferentes alturas as característcas dos turblhões mas energétcos estarão contdas nas expressões para Kα ( z, t (eq., Kα ( z (eq., T ( z (eq., ( z (eq.. Com os espectros turbulentos undmensonas varando com a altura a TDET pode então ser aplcada na descrção de uma turbulênca não-homogênea...4 Uma formulação heurístca para o fator de escala No subntervalo nercal do espectro de energa, a dnâmca da turbulênca é domnada pelos termos de nérca presentes na equação de Naver-Stokes. Neste subntervalo, onde os turblhões são pequenos quando comparados aos turblhões mas energétcos, a energa não entra no sstema e nem é dsspada por ação da vscosdade. Ela é smplesmente transmtda em uma razão ε das grandes para as pequenas escalas de movmento. Assume-se que a turbulênca de pequena escala não perceba as condções de contorno e possa ser consderada homogênea e sotrópca. Este comportamento sotrópco local é fundamental quando se derva quantdades turbulentas de pequena escala. Descobre-se que város resultados mportantes que dzem respeto às propredades locas da turbulênca podem ser obtdos de argumentos de smlardade (Kolmogorov, 94a,b,c. Andre Nkolaevch Kolmogorov fo quem prmero concebeu a exstênca de um subntervalo nercal, separando o ntervalo de dsspação daquele contendo a energa prncpal do campo turbulento (ndependênca estatístca entre grandes e pequenas escalas. Ele dervou a partr de argumentos dmensonas a forma da densdade espectral de energa trdmensonal e a função estrutura da velocdade Eulerana para este subntervalo nercal (Monn e Yaglom, 975. O espectro de energa trdmensonal Eulerano é escrto na forma E( k t enquanto a função estrutura da velocdade é descrta por onde α t, α, s 5 = α ε k (4 [ ] D ( τ = v ( t + τ v ( t = α C ( εu τ (5 s C são constantes numércas, k = π n U é o número de onda e U é a velocdade do vento médo horzontal. A função estrutura da velocdade Eulerana é dstnta da função estrutura da velocdade agrangeana. Esta últma é descrta em termos da varação da velocdade de uma
partícula de fludo a medda que esta move-se sob a nfluênca dos turblhões em um escoamento turbulento. Argumentos dmensonas mostram que esta varação da velocdade agrangeana depende apenas de ε, que determna a estrutura local da turbulênca, e da dferença de tempo τ. Formando-se a combnação de ε e τ que apresenta as dmensões corretas obtém-se a função estrutura da velocdade agrangeana pela segunte relação ( τ = ( ( + τ = ετ (6 D v t v t C onde C é a constante de Kolmogorov. Pela condção de sotropa do subntervalo nercal, os espectros turbulentos undmensonas Euleranos apresentam nas quantdades ε e k a mesma dependênca exbda na equação (4 onde 5 ( = ααuε k (7 E k α u pode ser determnado expermentalmente e α =, 4/, 4/ para as componentes u, v e w respectvamente (Champagne et al., 977; Sorbjan, 989; Kamal and Fnngan, 994. A relação (7 pode ser escrta como e fnalmente ω Φ ( ω = E = ααu ( εu ω U U 5 α α S ( n ( n ( U n ( π u 5 = πφ π = ε (8 No subntervalo nercal, os espectros de energa agrangeanos undmensonas dependem apenas de ε e ω. Conseqüentemente, análse dmensonal permte escrever para estes espectros a segunte formulação (Tennekes, 98 Φ ( ω = B εω (9 onde B é uma outra constante numérca. Em termos da freqüênca n, a equação (9 pode ser escrta como, resultando, B πφ ( π n = ε n ( π B S ( n = εn ( π O emprego da teora e das equações apresentadas acma, permte obter uma expressão teórca para o mportante fator de escala β. A segunte dervação de uma expressão para β segue o desenvolvmento clássco proposto por Corrsn (96 e usa observações atualzadas de turbulênca na CP.
Incalmente ntegram-se as equações (8 e ( para se obter, respectvamente, as varâncas Euleranas e agrangeanas da velocdade turbulenta no subntervalo nercal ααu εu S( n dn n E ( π ne = = ( e B = S ( n dn = ε n π n ( onde n E e n são, respectvamente, as freqüêncas ncas Eulerana e agrangeana do subntervalo nercal. Os valores nversos destas freqüêncas característcas representam escalas de tempo. A equação ( pode ser reescrta na forma ε ( π = (4 n B Consderando-se que a taxa de dsspação da energa turbulenta ε é gual em ambos sstemas de referênca, a equação (4 pode ser substtuída na equação ( para se obter: n n = (5 4 E U α αu B Fnalmente, assumndo-se que as varâncas Euleranas e agrangeanas da velocdade turbulenta são guas ( =, a expressão para o fator de escala β é escrto na forma (Wandel and Kofoed-Hansen, 96; Angell, 97, Pasqull, 974; Hanna, 98, onde β γ T n U E = = = γ (6 T n ( ααu (7 B = valores das constantes Uma estmatva para o coefcente numérco γ pode ser obtda conhecendo-se os (condção de sotropa. α, α u e B. Para as componentes v e w da velocdade α = α = 4 Por outro lado, a função estrutura da velocdade agrangeana pode ser expressa em termos da função de autocorrelação agrangeana e do espectro turbulento agrangeano no subntervalo nercal A substtução de ( em (8, resulta (8 ( ( τ = ( cos ( ρ τ = π τ D n S n dn v w
ε β cos( π nτ D ( τ = dn = B n επτ π Comparando-se as equações (9 e (6 obtém-se B (9 C = (4 π Um procedmento semelhante envolvendo a função estrutura da velocdade Eulerana permte escrever [ ] ( D τ ρ τ π nτ S n dn ( = ( = cos ( A substtução de (8 em (4 fornece uma relação entre α u e ( π nτ C s, α α cos D U dn U ( π n u ( τ = ( ε = 4 α ( 5 αu ε τ Comparando-se as equações (4 e (5 resulta, (4 (4 Cs α u = (4 4 Fnalmente, a substtução de (4 e (4 na expressão (7, permte estmar o coefcente γ em função das constantes C s e C, γ π ( αcs (44 8 C = Um estudo recente de Anfoss et al. ( sugere um valor de Cs.65, enquanto um trabalho expermental de Hanna (98 estma o valor de C 4,. A substtução destas constantes numércas na relação (44 fxa um valor para γ,58. Este resultado está de acordo com o valor de γ =.55 ±,4 estmado como um valor médo a partr de um grande número de trabalhos teórcos e expermentas descobertos na lteratura (Degraza e Anfoss, 998... Dervação de coefcentes de dfusão para uma turbulênca gerada por forçantes convectvos na CP Nesta seção, empregando-se as equações ( e ( e os espectros undmensonas das velocdades turbulentas, derva-se expressões para os coefcentes de dfusão turbulentos na Camada mte Convectva (CC. Estes coefcentes de dfusão são parâmetros fundamentas que expressam a magntude da dspersão turbulenta na CC. O conhecmento destes coefcentes, alado à descrção do campo de vento horzontal, na equação de dfusão-advecção permte smular, de um ponto de vsta numérco ou analítco, o campo de concentração de contamnantes lberados por dferentes tpos de fontes.
& '! Em condções convectvas, a equação para os espectros Euleranos undmensonas das velocdades turbulentas pode ser expressa como uma função das escalas convectvas na segunte forma (Degraza et al., 997: onde, cv = c w =.6 e c u =.7, ( m * c z E.6 c f ψ c ( ε = 5 w n S n z 5 c ( f f m +.5 c ( fm (45 n z f = é uma freqüênca admensonal, z é a altura acma do solo, U f é a freqüênca normalzada assocada ao máxmo do espectro convectvo, z é altura da ε z CC, w * é a escala de velocdade convectva e ψ ε = é a taxa de dsspação vscosa w admensonal da energa cnétca turbulenta. Deve ser observado que a magntude de ε é determnada por aquelas quantdades que caracterzam os turblhões contendo a energa prncpal da turbulênca convectva. Neste caso, z e w * representam, respectvamente, escalas característcas de comprmento e de velocdade na CC. A ntegração analítca da equação (45 sobre o domíno ntero de freqüêncas, permte determnar a segunte varânca generalzada das velocdades turbulentas undmensonas (eq. 4: c.6c z U z ψ ε w z n z.5 5 c c ( f U ( fm m = + 5 * dn (46 e c.6c " ψ ε # z = $ % c ( ( fm z w (47 que é usada na normalzação da eq.(45. Com este procedmento, a relação espectral (45 pode ser escrta na segunte manera F ( n ( * +,, z / - /(. ( m 4, 5, ( m 4 6 E S c n n z U = = +.5 c U f f E c c c 5. (48
&! ', & '!! Substtundo-se.55U β c = (Degraza e Anfoss, 998 e eq.(47 nos termos que consttuem a c eq.( resulta, β.9 U c w " ψ ε # z = $ % c ( ( fm c c π z (49 e π t β c z.76 c ψ ε z a = c ( fm z U X (5 x onde uma transposção da varável tempo de vagem ( t = para uma dstânca espacal fo U aplcada na parte temporal da eq.(, resultando um K α dependente da dstânca admensonal X x w U z * =. A varável X é nterpretada como a razão entre o tempo de vagem e a escala de tempo z ' convectva (. Fnalmente, defnndo-se w * expressões (48, (49 e (5 na eq.( obtém-se, n = b n, onde a K w z n n ' ' 4 sen n dn.9 c ψ ( z z α ε b = 4 ' 5 * c ' * ( f ( + m.5 z b = e substtundo-se as c U * ( fm (5 que pode ser expandda na segunte forma generalzada (Degraza et al., c 7.84 c ψ ( f $ % " ε m 4 # ' z.9 c ( ψ z z ε ( * + z = c 4 ' 5 ' ( f ( + m * ' sen X n dn Kα w z n n (5 É mportante salentar que o processo de dspersão turbulenta no campo próxmo à uma fonte pontual contínua (uma chamné, é dstnto daquele ocorrendo em regões dstantes. Na vznhança da fonte, as partículas de fludo possuem uma memóra do seu ambente turbulento ncal descrto pela função de autocorrelação. Todava, para grandes tempos de vagem (no campo turbulento longe da fonte, este efeto de memóra desaparece e as partículas de fludo seguem apenas as propredades locas da turbulênca. Este efeto de ausênca de memóra é dado pelo
comportamento assmptótco da eq.(, e, sua forma matemátca para t é expressa pela eq.(. A substtução de β c, E (eq.47 e ( segunte coefcente de dfusão turbulento assmptótco: c.4c ψ z ε z α = c 4 K F n = (eq. 48 na (eq. conduz ao * ( fm c w* z. (5 O coefcente de dfusão turbulento expresso por (5 depende da geometra da fonte e é útl no cálculo da concentração de contamnantes lberados por fontes pontuas contínuas elevadas. Por outro lado, o seu comportamento assmptótco expresso por (5, é empregado no cálculo da concentração de espéces escalares e vetoras lberadas por fontes áreas nfntas (Degraza e Moraes, 99. Desta forma, o coefcente de dfusão assmptótco (5 pode ser usado para descrever a transferênca de calor, momentum e contamnantes na CP. As eqs. (5 e (5 são expressas em termos das quantdades * c ψ ε e ( f m. Estes mportantes parâmetros, que descrevem o tpo de turbulênca são dervados a partr de fatos expermentas observados na CP. Dferente de estados smples, a turbulênca representa um estado físco complexo caracterzado por uma fenomenologa extremamente dversfcada e desta forma valores de obtdos a partr de observações. * c ψ ε e ( m f devem ser No caso de homogenedade horzontal, a evolução da CC é controlada prncpalmente pelo transporte vertcal de calor. Como conseqüênca, a presente análse é centrada na dervação de coefcentes de dfusão turbulenta vertcal. Este coefcente pode ser dervado a partr da equação (5 assumndo-se c * c z z z z ( fm = =.55 exp 4.exp 8 ] w c z z z z z #! "! " $ é o valor do comprmento de onda vertcal (54 ( λm w onde ( λ =.8z exp 4.exp 8 ] m w z assocado ao máxmo do espectro e representa uma expressão matemátca de ajuste aos dados observados ao longo da extensão vertcal da CC (Caughey e Palmer, 979. z A substtução da equação (54 na relação geral (5 permte obter o segunte coefcente de dfusão vertcal (Degraza et. al.,,
Kz w z * ( ( = exp z z exp z z.ψ ε 4. 8 ] {.7 ( 4. ( 8 ] ψ ε } 5 ( + n. (55 sen exp z z exp z z Xn dn n 4 O parâmetro (55 quantfca a capacdade de mstura da CC em termos dos turblhões mas energétcos e do efeto de memóra do campo turbulento representado pela dstânca da fonte X. A função de dsspação ψ ε pode ser estmada a partr da segunte expressão obtda pelo ajuste de dados expermentas (H jstrup, 98, ψ ε (56 z z = +.75 z onde é o comprmento de Obukhov na Camada mte Superfcal Convectva e representa a altura lmte vertcal, na qual os efetos mecâncos não são desprezíves..6. K w * z.8 z =.z z =.5z.4...5..5..5 X Fgura Comportamento com a dstânca do coefcente de dfusão turbulento vertcal convectvo nas alturas admensonas z z =, e z z =,5 A Fgura exbe o comportamento de K z w* z para dos dferentes níves na CC. Ela ndca que para uma dada altura o K z w* z calculado da equação (55 é ncalmente zero, aumenta lnearmente com X e lentamente tende para um valor assmptótco constante que pode ser obtdo
das equações (5 e (54. Esta formulação, que descreve o coefcente de dfusão vertcal assmptótco longe da fonte pode ser escrta como (Degraza et. al.,, K z w z * = ( (.9ψ ε exp 4 z z.exp 8 z z ] A Fgura 4 mostra o comportamento do perfl vertcal gerado pela equação (57. Do ponto de vsta matemátco o perfl deste coefcente de dfusão é bem comportado, apresentando valores máxmos nas regões centras da CC (a regão bem msturada e valores menores nas regões próxmas ao topo e vznhança da superfíce. Este comportamento, descrto pela eq. (57, é um resultado fscamente consstente uma vez que as escalas de comprmento e velocdade turbulentas, na regão central da CC, excedem por um fator de dez os valores destas mesmas quantdades nas regões abrangendo o contorno superor (vznhança da nversão elevada e nferor (regão superfcal da CC. 4 (57,,8 z/z,6,4,,,,,4,6,8,,,4,6 K z /w * z Fgura 4 Perfl vertcal do coefcente de dfusão turbulento assmptótco calculado da eq. (57. As fórmulas (5 e (55 descrevem a turbulênca não-homogênea da CP e levam em conta o efeto de memóra modelado pela função de autocorrelação na teora de dfusão de Taylor. Estas parametrzações são partcularmente adequadas na descrção do transporte turbulento de contamnantes lberados por uma fonte pontual contínua elevada na CC. Por outro lado, as expressões (5 e (57 descrevem o transporte turbulento de contamnantes lberados por uma fonte área nfnta e, como conseqüênca, as parametrzações (5 e (57 permtem modelar a
transferênca vertcal de espéces como umdade, momento e calor na CP. Neste caso, em vrtude dos fracos gradentes horzontas, neglgenca-se a dspersão turbulenta horzontal. Uma stuação análoga ocorre algumas vezes sobre cdades onde os poluentes orgnados da superfíce dfundem-se vertcalmente a medda que são transportados horzontalmente pelo vento..4. Modelagem do transporte turbulento de contamnates durante o decamento de uma CC e fenômenos de osclações de baxas freqüêncas do vento horzontal.4. Introdução As eqs. (, (, (55 e (57 descrevem o processo de transporte assocado à uma turbulênca estaconára bem desenvolvda, ou seja, um campo turbulento como proposto por Kolmogorov, apresentando característcas de auto smlardade e nvarânca de escala. Todava, é mportante salentar que na CP pode ocorrer daramente, durante um período de tempo de aproxmadamente uma hora, stuações nas quas a dspersão é mantda pelo decamento da turbulênca na CC. Como conseqüênca, compreender e quantfcar o fenômeno de dspersão turbulenta nesta partcular stuação consttu um problema de extrema mportânca na modelagem da dspersão de contamnantes na baxa atmosfera. Por outro lado, estudos de dspersão e turbulênca em stuações de vento calmo são extremamente dfíces (Domenco et. al., 4. Quando o vento médo horzontal tende para zero ( U, a maora dos modelos operaconas de dspersão não pode ser aplcado para smular o campo de concentração de contamnantes. Em geral os modelos baseados na equação de dfusãoadvecção podem ser empregados apenas quando os ventos horzontas médos são maores do que ms - (Wlson et. al., 976; nes et. al., 997. Nas condções caracterzadas por vento calmo a dspersão de contamnantes é governada por osclações de baxa freqüênca do vento horzontal. Neste ponto se deve ter em mente que as equações de N-S contém todo o tpo de nformação sobre o fenômeno turbulento (Frsch, 995. A complexdade contda nas equações de N-S é de tal ordem que estas equações de conservação são capazes de explcar a varada fenomenologa assocada aos dferentes tpos de turbulênca. Deve-se recordar que mutos fenômenos observados em turbulênca são, na realdade, manfestações heurístcas das equações de N-S. Contudo, compreender de forma ntegrada todos os termos que compõem as equações de N-S é uma tarefa dfícl e trabalhosa. Com base nos argumentos expostos acma, empregando-se as equações de N-S, serão descrtos nas próxmas seções os dos fenômenos turbulentos geofíscos partculares, ou seja, o decamento da turbulênca na CC e o meandro do vento horzontal..4. Dervação de coefcentes de dfusão na Camada Resdual.
Aproxmadamente mea hora antes do pôr-do-sol, o fluxo turbulento de calor superfcal (postvo durante os das ensolarados começa a decrescer e, durante a note torna-se negatvo. Durante este período de transção da-note nca-se a formação da Camada mte Superfcal Estável que tende a solar da superfíce a extensão vertcal ocupada pela antga CC. Esta extensão vertcal é chamada de Camada Resdual (CR e no seu nteror a turbulênca é mantda pelo decamento dos turblhões convectvos mas energétcos. A CR é uma camada elevada, aproxmadamente neutra, que é pouco nfluencada pelo transporte turbulento de espéces escalares e vetoras orgnados na superfíce. Além do mas, as suas característcas em um tempo ncal são consderadas dêntcas às da CC e o fenômeno turbulento no seu nteror persste por um tempo de aproxmadamente uma hora. No que dz respeto a esta camada, é mportante salentar que um grande número de chamnés elevadas lberam contamnantes durante o período de transção danote. Além do mas, em das de céu claro, esta transção ocorre regularmente em um período de vnte e quatro horas e, como conseqüênca, a dervação de coefcentes de dfusão neste partcular período fornece uma parametrzação turbulenta para modelos operaconas de dfusão atmosfércos. Para uma turbulênca homogênea e sotrópca Goulart et. al. ( propôs um modelo para dervar coefcentes de dfusão na CR em uma turbulênca convectva decando. Este modelo basea-se na equação de balanço para a energa cnétca turbulenta na qual a contrbução devdo ao empuxo fo desprezada e apenas o termo de transferênca nercal de energa fo mantdo. Os resultados desta aproxmação foram comparados com um coefcente de dfusão vertcal decando obtdo a partr de dados de smulação dos grandes turblhões (ES (Neuwstadt e Brost, 986 (NB. Para pequenos tempos de dfusão fo observada uma boa concordânca entre os coefcentes de dfusão teórco e smulado. Todava, para tempos maores, o coefcente de dfusão vertcal smulado numercamente decau mas rapdamente. Mas recentemente, Goulart et. al. ( desenvolveu um modelo teórco para estudar o decamento da energa cnétca turbulenta na CC. Como no caso anteror este modelo basea-se na equação do espectro de energa, na qual os termos de transferênca nercal e de empuxo são retdos. Dferentemente dos modelos de Goulart, Degraza et. al. (, empregando a teora de decamento de turbulênca de Hesenberg, dervou um coefcente de dfusão aplcado à CR. Este coefcente de dfusão modelado fo comparado com os dados de ES de NB e os resultados mostraram que o modelo de Degraza, não reproduz satsfatoramente a varânca da velocdade vertcal decando smulada pelo modelo ES. Motvado pelos trabalhos ctados acma, o objetvo deste estudo é dervar uma formulação para os coefcentes de dfusão na CR consderando-se uma turbulênca convectva decando não sotrópca. Um coefcente de dfusão vertcal será dervado durante o tempo total de decamento. Um propósto adconal deste trabalho é a obtenção de uma formulação smples para
representar este coefcente de dfusão de modo que a nova parametrzação possa ser empregada em modelos operaconas de dspersão atmosférca. Dstntamente do trabalho de Goulart et. al. (, a aproxmação desenvolvda neste estudo, assume uma turbulênca homogênea mas não sotrópca na dreção vertcal. O termo de transferênca de energa nercal na equação de energa cnétca turbulenta é parametrzado a partr de argumentos dmensonas utlzando-se uma déa sugerda por Pao (965. Desta manera obtém-se uma equação de balanço para a energa cnétca turbulenta que é resolvda analtcamente para se obter o espectro de densdade de energa (EDE trdmensonal (-D. Este EDE -D é expresso em termos do EDE ncal (t = da CC durna estaconára. Para calcular este EDE -D ncal, para o caso de uma turbulênca não sotrópca (dreção vertcal, utlza-se a formulação matemátca proposta por Krstensen et. al. (989. Esta formulação permte-nos determnar o espectro trdmensonal de um fluxo turbulento não sotrópco e homogêneo a partr dos espectros undmensonas conhecdos. Para calcular o espectro vertcal decando e, como conseqüênca, a varânca de velocdade e o coefcente de dfusão vertcal, emprega-se um método matemátco que utlza uma função peso. Esta função peso nforma a magntude da componente vertcal do espectro na formação do espectro de energa trdmensonal..4.. Equação Dnâmca para o Espectro Densdade de Energa Pode-se dervar uma equação para a função espectro de energa em um campo de escoamento turbulento empregando-se a le de conservação de momentum. Esta le é expressa pelas conhecdas equações de Naver-Stokes. No caso de um escoamento turbulento homogêneo, a Transformada de Fourer da energa cnétca turbulenta na equação dnâmca para o EDE pode ser escrta como (Hnze, 975 g E k t M k t H k t W k t k E k t t T (, = (, + (, + (, ν (, onde t é o tempo, g T é o parâmetro de empuxo, k é o número de onda, E( k, t é o EDE -D, W ( k, t é o termo de transporte nercal de energa, M ( k, t é o termo de produção de energa por efeto mecânco, H ( k, t é o termo de produção ou perda de energa devdo ao empuxo e o últmo termo do lado dreto é a perda de energa devdo a dsspação vscosa. Na CR, em uma prmera aproxmação, os termos de empuxo H ( k, t e produção mecânca M ( k, t podem ser desprezados e assume-se um campo turbulento homogêneo e sotrópco. Conseqüentemente, a segunte equação para o EDE -D pode ser escrta, E( k, t = W ( k, t νk t E( k, t (58 (58a
Um campo turbulento é consttuído por turblhões de dferentes tamanhos ou dstntos números de onda. Os pequenos turblhões estão sob a ação do efeto de csalhamento gerado pelos grandes turblhões. Este csalhamento aumenta a vortcdade dos pequenos turblhões e, conseqüentemente, a sua energa cnétca. Desta manera, ocorre a transferênca de energa cnétca turbulenta para os turblhões menores. Este processo dnâmco cessa de exstr na mcroescala de Kolmogorov, onde por ação da vscosdade molecular, a energa cnétca turbulenta é dsspada em calor. Esta transferênca é representada pelo termo, ( α ε / k 5 / E( k, t W ( k, t = (59 k onde α é a constante espectral de Kolmogorov. Substtundo-se a eq. (59 na eq. (58 obtém-se: E( k, t 5 / E( k, t 5 / + α ε k + α ε k E( k, t ν k E( k, t = (6 t k Defnndo-se os seguntes parâmetros admensonas, a eq. (6 torna-se onde w t t =, w z ε z Re =, ψ = ε (6 ν w z E( k, t / 5 / ( E k, t 5 / + α ψ ( + ( / (, ( ( ε k α ψ k E k t k E k, t = t k ε (6 R k = kz. Na resolução da equação (6 consdera-se as seguntes mudanças de varáves: k m (em t =, E( m, = E( m : e t s e s ( t = (6 5 k ( s = α ψ ε k (64 5 Z( s = ( α ψ ε k + k R e Z( s (65 s ( = (66 k ( = m (67 A partr da eq. (6 e (64 obtém-se e ds dt = Z ( m, = E( m, (68 dk ds ou s = t (69 5 = α ψ ε k (7
&%$ $ #"! A solução da eq. (7, a partr das condções ncas (66 e (67 estabelece a segunte relação entre k e m α ψ ε s + (7 k = m A substtução da eq. (7 na eq. (65 com o emprego das condções ncas (66, (67 e (68 permte escrever a segunte equação + α ψ ε s 5 [( ] s + m α ψ 4 ε m E( m, s = E( m, exp m m Fnalmente, substtundo-se a varável m (eq. 7 na eq. (7 e consderando-se 69, resulta na segunte solução analítca (7 s = t (eq. 5/ k α 4/ 4/ / ( ξ (7 E( k, t = E( ξ, exp ( k ξ Rψ / / onde ξ = ( k + α ψ / ε t, α =. 5 e E (ξ, é o espectro -D ncal. A equação dnâmca para o EDE turbulento (eq. 58 é válda no espaço -D. Desta forma, o espectro E( k,, que representa a condção ncal na eq. (7, é o espectro -D da CC antes do seu decamento. Neste estudo, consdera-se uma turbulênca não sotrópca e, como conseqüênca, usar-se-á a formulação proposta por Krstensen (989 na determnação deste espectro -D ncal. Conhecendose os espectros undmensonas a formulação dervada por Krstensen (989 permte determnar o espectro -D de um campo turbulento homogêneo (Goulart, et. al., e d df ( k Z E k z k A m B k C dz 7 n u 6 4 (, = + n 5 dk k dk n = W Z ε ( 4 W n Z n n 5 n= 84 A m B k C dz 9 ( Z (74 onde W = +! B s, ( W = + B s, m =, m = m =, u v w '( 5 6 = *,- +, A a b 55 7 C =, 7 C =, 9 75 C =, 7 95 C =, 6 A 5 6 ab =, B = (75 b
Segundo Degraza et. al. ( as componentes espectras undmensonas ncas podem ser escrtas como: com e G u =.5, G v =.5, = a F ( k, = ( + b k 5/.6 z / * c 5/.5 z ψ ε * [( m ] e b z * c π z π z ( fm a c z w f G w 5/. 4z 8z =.8[ exp.exp ] z z = u, v, w (76 =, Devdo ao fluxo de calor superfcal, a CC é não sotrópca na dreção vertcal. Desta forma, para calcular a componente vertcal do espectro de energa em um nstante de tempo partcular t, consdera-se a exstênca de uma relação entre os espectros undmensonas e o espectro -D. Do ponto de vsta matemátco, esta relação é expressa na forma Fw ( k, t = α ( k T E( k, t E( k, t dt T t Fw ( k, t dt (77 t onde a razão entre as duas ntegras é uma função peso que ndca o quanto a componente vertcal contrbu para o espectro -D e α ( k é uma constante de proporconaldade. A solução da equação (77 fornece a componente vertcal como função do espectro -D, Neste caso Fw ( k, é fornecdo pela eq. (76 t F ( k, t = F ( k, exp[ Q ( k, s ds] (78 w w e Q( k, s é dado por Q( k, s Q ( k, s = α ( k Q( k, s + Q( k, s s (79a E( k, s Q( k, s = (79b t E( k, s ds Para o nosso conhecmento não exstem observações conclusvas do processo de decamento da CC, deste modo nossas expressões teórcas são comparadas com os dados de ES (Neuwstadt e Brost, 986. A varânca vertcal do fluxo turbulento decando é calculada pela segunte equação, ( t; z = F ( k, t; z dk (8 A Fgura mostra a evolução temporal do decamento da varânca da velocdade vertcal através da CC (. < z/z <.8, calculada das equações (7, (76, (79a e (8.
, /( w /w*, E- Equações (7, (76, (79a e (8. ES (Neuwstadt and Brost 986, t * Fgure Evolução temporal do decamento da varânca da velocdade vertcal através da CC (. < z/z <.8. A Fgura mostra que o nosso modelo analítco (lnha sólda concorda muto bem com os resultados smulados pelo modelo numérco ES (representados por cruzes. Os coefcentes de dfusão calculados por Batchelor (949 podem ser dentfcados com aqueles da equação de dfusão-advecção quando se consdera um campo turbulento homogêneo. Para grandes tempos de dfusão o coefcente pode ser calculado do modelo de dfusão de Taylor (9 e apresenta a segunte forma: onde ( k é o número de onda assocado ao máxmo do espectro. m K α π β ( t; z ( t; z = α = x, y, z (8 U ( k m U Consderando-se β =.55 (Degraza e Anfoss, 998 na eq. (8 resulta o segunte coefcente de dfusão para uma turbulênca decando na CR, onde, ( t; z é obtdo das equações (7, (76, (79a e (8. K α.55π ( t; z ( t; z = (8 ( k m
Em seu trabalho clássco NB mostram que o espectro da velocdade vertcal (exbdo na sua fgura 4, calculado para város tempos admensonas, apresenta um valor máxmo para ( k m w 4. Este resultado da smulação permte calcular o coefcente de dfusão vertcal para dferentes tempos em uma CC decando. A Fgura 4 exbe três destes coefcentes. Nesta fgura, os dados representados por cruzes foram calculados a partr da eq. (8 usando-se valores de z w decando calculados pelo modelo numérco ES. Por outro lado, a lnha sólda fo obtda usando-se a eq. (8 com valores de dervados do nosso modelo analítco (eqs. 7, 76, 79a, 8 e 8. Para todo o tempo de decamento, pode-se ver que exste uma boa concordânca entre os resultados smulados numercamente e aqueles obtdos pelo modelo analítco. Fnalmente, a lnha pontlhada fo calculada a partr da segunte equação algébrca: K z z w =.79 + t.7 * * Observa-se da Fgura 4 que a equação (8 representa um bom ajuste para o coefcente de dfusão vertcal na CR. w (8, K z /z w *, Equação (8 ES (Neuwstadt and Brost 986 Equações (7, (76, (79a, (8 e (8., t * Fgura 4 Coefcente de dfusão vertcal decando na CR
O modelo desenvolvdo a partr da eq. (58, e que descreve o decamento da turbulênca na CC, mostra que a equação algébrca smples (eq. 8 pode ser empregada em modelos operaconas de dspersão para descrever o campo de concentração de contamnantes lberados por fontes pontuas contínuas (chamnés localzadas no nteror da CR..4.. Análse do fenômeno de osclações de baxa freqüênca do vento horzontal pelo emprego das equações de Naver-Stokes Normalmente em condções estáves, durante stuações de vento calmo ( U m/s, osclações de baxa freqüênca do vento horzontal ( meandro são observadas na CP. Esta pequena velocdade do vento faz com que modelos matemátcos que smulam a dspersão de contamnantes na Camada mte Planetára (CP tornem-se altamente mprecsos no cálculo dos campos de concentração. Estes movmentos são claramente dstnguíves dos movmentos presentes em uma turbulênca bem desenvolvda (movmentos de alta freqüênca que usualmente são responsáves pela dfusão de poluentes na CP. Os movmentos de baxa freqüênca dspersam a pluma de contamnantes em todas as dreções, de modo que, qualquer modelo operaconal para ser confável deve levar em conta este efeto físco. Neste estudo empregam-se as equações de N-S para descrever o campo de velocdade méda horzontal e nvestgar a orgem das osclações de baxa freqüênca (o meandro do vento. A segur, apresenta-se um método analítco de solução das equações smplfcadas de N-S e mostra-se que o caráter osclatóro do campo de vento observado está assocado à natureza matemátca deste sstema, ou seja, hpotetza-se que as osclações de baxa freqüênca surgem da natureza matemátca das equações de N-S sob condções físcas partculares..4... Solução partcular das equações de Naver-Stokes Para nvestgar os processos físcos responsáves pelo fenômeno de meandro do vento e obter uma expressão para a função de autocorrelação consdera-se as equações de N-S em duas dmensões, u u u p ( u ' u ' ( u ' v ' + u + v = fcv t x y ρ x x y v v v p ( v ' u ' ( v ' v ' + u + v = fcu t x y ρ y x y (84 (85 onde, u e v são as componentes longtudnal e transversal da velocdade méda do vento, ρ é a densdade méda do ar, u e v são as flutuações de velocdade, p é a pressão méda e f c é o parâmetro de Corols.
Como o sstema de equações (84 e (85 não possu uma solução analítca geral, algumas smplfcações devem ser fetas a fm de se obter uma solução analítca partcular. No caso da análse das condções de meandro, assume-se que todos os gradentes horzontas das duas componentes da velocdade do vento e da pressão são constantes e que o gradente horzontal do tensor stress de Reynolds pode ser desprezado. Esta últma suposção orgna-se da consderação de que a turbulênca é realmente pouco ntensa nas condções de meandro e, como conseqüênca, seus gradentes horzontas são desprezíves. Defnndo-se, u u a = ; b = + fc ; x y c p = ρ x a v v = ; b = fc ; y x as equações (84 e (85 podem ser escrtas na forma u( t = a u( t + b v( t + c t v( t = a v( t + b u( t + c t c p = (86 ρ y (87 a (87 b Combnando-se as equações (87 a e (87 b por dervar em relação ao tempo a equação (87 a e substtundo na equação (87 b, resulta: que pode ser escrta como u + ( a + a u + ( a a b b u = a c + b c (88 onde, u + Bu + Cu = D (89 B = a + a C ( aa bb = D ac + bc = (9 A equação (88 possu uma solução analítca conhecda. Elas correspondem aos três casos na solução da equação (89, sto é de acordo com os valores das raízes r e r da equação auxlar r Br C + + =. As raízes podem ser escrtas como: Consdera-se somente o caso onde B ± B 4C r = (9 a B 4C < [.e. ( a a < 4b b ] ou que corresponde ao comportamento osclatóro. Defnndo-se onde u v 4 f u v < c fc + (9 b x y y x r = p + q e r = p q (9
B p= as soluções do sstema de equações (87 a e (87 b são: e pt u( t = e ( α cos( qt + α sn( qt + p B 4C q= (9 D + q (94 a pt ( pα + qα + a α ( pα qα + a α D a c v( t = e cos( qt + sn( qt + b b p + q b b (94 b onde α = u D p + q o Dp α = vob ( p + a uo + c (95 q p + q A solução analítca (eqs. 94a e 94b mostra que o aparecmento do fenômeno de meandro do vento horzontal está relaconado à estrutura das equações de N-S. Uma condção partcular (neste caso o equlíbro entre as forças devdo ao gradente de pressão e Corols gera uma solução que tem característcas osclatóras. A condção matemátca (9 b para a exstênca do meandro do vento mpõe que a dferença entre os gradentes horzontas das componentes da velocdade do vento sejam pequenos. Entretanto, nenhuma condção é mposta à magntude da velocdade do vento. Assm, esta últma pode ser maor do que as usualmente encontradas em estudos de meandro do vento. O período de osclação nas equações (94a e (94b depende dos valores de u y e v x (ver 86, 87a, 87b e 9 e do parâmetro de Corols. A partr das equações (94a e (94b pode-se ver que quando u y e v x são ambos guas a zero, a presente solução tem o período nercal de osclação π f c 7 horas (Stull, 988. Também se pode observar que com o crescmento da velocdade do vento, e assm com o aumento das dervadas espacas das componentes da velocdade do vento, o período de osclação decresce. D p + q A partr de uma análse de escala nas equações (94a e (94b observa-se que o termo ( pα + qα + aα é aproxmadamente zero, b ( pα qα + aα termo b c b é duas ordens de magntude menor que o. Da mesma forma α é duas ordens de magntude menor queα. são desprezíves em relação ao restante dos termos. p α + aα é aproxmadamente zero e q. Consderando-se estas smplfcações, as equações (a e (b tornam-se: b a b e