Geometria linear Dados dois pontos distintos e, o primeiro postulado de Euclides nos permite construir, com a régua, o segmento. Notação: Depois de construído o segmento, tomamos o seu comprimento como unidade de medida linear (u), que pode ser usada para medir distâncias entre outros pontos. Tanto o comprimento quanto a medida do segmento, coincidem com a distância entre os pontos e, que particularmente é igual à eatas uma unidade linear ( = 1u ). u med( ) = comp( ) = d = = 1 1u sucessão de figuras a seguir pretende associar os grafismos entre a representação geométrica de um segmento de reta e a notação algébrica do módulo da diferença entre dois números. Interpretação geométrica do módulo real. notação indica a distância entre os pontos que representam os números e num eio Então, como = 0 para todo real temos, no eio dos números reais, que indica a distância do ponto que representa o real até a origem do eio. 3 0 +3 3 = +3 = 3 R Eercícios 1. 1. Calcule o valor das seguintes epressões: a) 7 b) 7 c) 7 d) 0,0 0,7 e) 3 π f) 4, para = π... Sendo f() = 4 e g() = 4 calcule: a) f(3) + f(4) + f(5) b) g(3) + g(4) + g(5) 3. Esboce, em planos cartesianos diferentes, os gráficos das seguintes funções: a) f() = 4 b) g() = 4 1
Definição algébrica Quando operador módulo de é aplicado a um número real, pode-se trata-lo como uma chave de decisão tal que se aplicada a um real positivo pode ser ignorada, pois não altera o seu valor, mas se aplicada a um real negativo, altera o sinal deste número, tornando-o positivo. Eemplos: 5 = 5 5 = ( 5) = 5 Já no caso do módulo de zero, tanto faz qual decisão seja tomada, uma vez que: 0 = 0. gora, tratando-se do módulo de um número real ainda desconhecido deve-se primeiro analisar o sinal do número a fim de se tomar a decisão correta e, se necessário, deve-se eplorar as conseqüências de ambas as decisões. Observe, na definição condicional a seguir que se é um real negativo então representa um real positivo: se 0 = - se 0 Propriedades interpretação geométrica do módulo de um número real permite compreender com mais clareza algumas das suas principais propriedades como: 0, R, afinal uma distância não pode ser negativa. - y y -, pois a distancia de até y é a mesma que de y até. + y + y No universo dos números reais, esta última propriedade pode ser analisada em dois casos: a igualdade +y = + y é válida apenas nos quando os números reais e y têm o mesmo sinal, ao passo que a desigualdade +y < + y acontece quando e y têm sinais contrários. ssim: +y +y = + y y 0 +y +y < + y y < 0 Eercícios 4. Calcule o valor das epressões = + y e = +y nos seguintes casos: a) = e y = 7 b) = e y = 7 c) = e y = 7 d) = e y = 7 5. Qual das relações entre as variáveis e y a seguir tem representação cartesiana diferente das demais: ) = y ) = y C) = y D) = ± y E) = y 6. Se é um número real tal que <, então -6+9 + +14+49 é igual à: ) ) + 4 C) 4 D) 4 E) 10 7 Fuvest. Qual o conjunto dos valores assumidos pela epressão a + b + c + abc quando a, b e c a b c abc variam no conjunto de todos os números reais não nulos? ) {-4, -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4} ) {-4, -, 0,, 4} C) {-4, 0, 4} D) {4} E) R
Discussão das relações entre o módulo de um número real e uma constante. < k S= < 0 S= Se k < 0, então: = k S= Se k = 0 então: = 0 S={0} > k S=R > 0 S=R < k S = { R tal que k < < k} Se k > 0, então: = k S = { k, k} > k S = { R tal que < k ou > k} Eercícios 8. Escreva o conjunto solução das seguintes equações e inequações modulares: a) = 5 f) -3 = 5 l) +3 = 0 b) < 5 g) -3 < -5 m) +3 < 0 c) > 5 h) -3 > -5 n) +3 > 0 d) 5 i) -3-5 o) +3 0 e) 5 j) -3-5 p) +3 0 9. Considere a função f() = 4 ++5 de domínio real. a) Escreva, da forma mais simples possível, a epressão y = f() se. b) Escreva, da forma mais simples possível, a epressão y = f() se <. c) Esboce o gráfico da função f() d) Determine o conjunto imagem da função f() e) Resolva a equação f() = 10. f) Resolva a inequação f() 10. 3
10. Considere o conjunto dos números inteiros Z = {..., 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4,... } e observe que este conjunto está contido no conjunto dos números reais como mostra a representação cartesiana de um único eio numérico: 4 3 1 0 1 3 4 O módulo ou valor absoluto de um número inteiro pode ser interpretado geometricamente como sendo a distância entre dois pontos no eio real e, também se pode interpretar o módulo da diferênça de dois números reais como o valor da distância entre os pontos do eio real que os representam. partir da interpretação geométrica do módulo da diferênça entre dois números reais, escreva o conjunto dos números inteiros que solucionam cada uma das equações a seguir. R a) = 10 b) -3 = 10 c) +3 = 10 d) -3 = -10 e) -3 + -10 = 11 f) -3 + -10 = 7 g) -3 + -10 = 5 11. Resolver no universo dos números reais às seguintes equações: a) = d) -5 =-1 g) +3-5= b) -5 = e) +7 =5 h) -3 + +5 =1 c) +5 = 0 f) 5 = -6 i) -3 =3-1. Resolver no universo dos números reais às seguintes inequações: a) 3 b) -7 > c) 4- < 0 d) -7 >-9 4
1. Observe as passagens algébricas efetuadas na resolução da inequação + 9 <5. I Elevamos ambos os membros ao quadrado: + 9 < 5 II Subtraímos 9 unidades de cada membro: < 16 III Etraímos a raiz quadrada de ambos os membros: < 4 respeito desta resolução, é correto afirmar que: ) está correta. ) há um erro na passagem I, pois ela altera as condições de eistência da equação. C) há um erro na passagem II. D) há um erro na passagem III, pois 16 =± 4. E) há um erro na passagem III, pois =. Testes 5. Sobre a equação -1-3 - = 0, em que é um número real, podemos afirmar que: ) ela não admite solução. ) a soma de todas as suas soluções é 6. C) ela admite apenas soluções positivas. D) a soma de todas as suas soluções é 4. E) ela admite apenas duas soluções reais. 6. O número de soluções reais da equação log 4-3 = é ) 0 ) 1 C) D) 3 E) 4. soma de todos os números inteiros que tornam verdadeira a desigualdade 1< -7 < 4 é igual a: ) 7 ) 14 C) 8 D) 35 E) 4 3. Quantos números inteiros satisfazem a desigualdade 4 3 17 10? ) 7 ) 6 C) 5 D) 4 E) 3 7. soma e o produto dos elementos do conjunto verdade da equação são respectivamente iguais a: ) 0 e 9 ) 4 e 3 C) 6 e 6 D) 0 e 6 E) 0 e 36-4 = + 8. ssinale a alternativa com o gráfico que melhor representa a função f() = + ) 1-3. 4. Sobre o conjunto S das soluções reais da equação 4 ( -10) =3, afirmar-se: I S possui eatamente dois elementos. II soma dos elementos de S é 36. III Não há elementos negativos em S. ) C) ) I é falsa. ) II é falsa. C) III é falsa. D) Todas são falsas. E) Todas são verdadeiras D) E) 5