olumes parte 02 Isabelle Araujo
olume da pirâmide O princípio de Cavalieri afirma que: Pirâmides com áreas das bases iguais e com mesma altura têm volumes iguais. A fórmula para determinar o volume de uma pirâmide qualquer é: A base h área da base altura UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
Exemplo Uma pirâmide de base quadrangular possui altura medindo 2 metros e cada lado da base com medida igual a metros. Determine o volume dessa pirâmide. A base h A quadrado h A pirâmide tem 6 m³ de volume. (m)² 2m 6m³ UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
a) Exercício (UEM-PR) Uma pirâmide de chumbo é mergulhada num tanque cúbico de aresta m, cheio de água até a borda. Se a base da pirâmide é um triângulo retângulo cujos catetos medem 0,5m e se sua altura também é de 0,5m, então o volume de água derramada foi: 2 m³ b) 24 m³ c) 6 m³ d) 48 m³ e) 64 m³ UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
Resolução O volume de água que derramou é exatamente o volume da pirâmide, já que o tanque está cheio. Então, calcularemos esse volume: Abase h A 0,5m0,5m 2 Bht h hp 2 0,5m m³ m³ 6 48 m³. 48 Resposta correta: Letra d triângulo O volume de água derramada é UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
Exercício Uma barraca piramidal é sustentada por seis hastes metálicas cujas extremidades são o vértice da pirâmide e os seis vértices da base. A base é um polígono cujos lados têm todos o mesmo comprimento, que é de m. Se a altura da barraca é de m, qual é o volume de ar nessa barraca? UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6
Resolução Nesse caso, temos uma pirâmide onde sua base é um hexágono regular com m de lado, e essa pirâmide tem m de altura. amos calcular o volume dessa barraca: ² Abase h Ahexágono h h 2 (m)² m(m)² 27 (m) 2 2 2 27 O volume da barracaé 2 UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7 m³ m³.
Exercício (unesp-sp) Em cada um dos vértices de um cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide AMNP, em que M, N e P são os pontos médios das arestas, como se mostra na ilustração. Se é o volume do cubo, o volume do poliedro que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a: 2 a) b) c) P 2 4 M A 5 d) e) 6 8 N UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
Resolução Se chamarmos de o volume de cada pirâmide que será retirada, o volume final desse poliedro formado ao tirarmos as oito pirâmides será 8. O próximo passo é achar o volume de cada pirâmide. amos chamar a aresta do cubo de 2a. Como a aresta da pirâmide é a metade da aresta do cubo, a aresta da pirâmide medirá a. Então, vamos calcular o valor do volume de cada pirâmide: UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9
Resolução O volume inicial do cubo de aresta 2a, será: ³ (2a)³ 8a³ O volume de cada pirâmide será: aa a³ Abase h Atriângulo h a 2 6 Como = 8a³ (a³ = /8), poderemos escrever o volume de cada pirâmide em função do volume inicial da seguinte forma: a³ 8 6 6 48 UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 0
Resolução Já sabemos o volume de uma pirâmide, agora vamos descobrir o volume das oito que serão retiradas e subtrair do volume inicial : 8 8 Resposta correta: Letra d 48 6 5 poliedro 8 poliedro - 6 6 O volume do poliedro formado pela retirada das oito pirâmides em função 5 do volume inicial do cubo, será. 6 UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Exercício (Mackenzie-SP) Uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado 2a tem o mesmo volume de um prisma cuja base é um quadrado de lado a. A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma, nessa ordem, é: a) /4 b) /2 c) /4 d) a/ e) a UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
Resolução Temos a seguinte situação: h 2a (2a)² h h 4 h 2 2a pirâmide 4a² prisma h h 2 a a 4.h h 2 a².h 2.h a².h 2 h2 h h 2 4 UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS? Resposta correta: Letra a
olume do cilindro Mais uma vez é a partir do princípio de Cavalieri que chegamos à formula para calcular o volume de um sólido. O volume do cilindro é calculado com a seguinte fórmula: cilindro área dabase altura área dabase π r² r altura h cilindro πr²h r UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
Exemplo Qual a capacidade de uma lata que tem a forma cilíndrica, com 7 cm de diâmetro e 4 cm de altura? Realidade Modelo matemático r h Como o diâmetro é 7cm, o raio será,5 cm. πr²h π(,5cm)²(4cm) 7,5π cm³ A capacidadeda lata é7,5π cm³. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
Exercício O reservatório de tinta de uma caneta esferográfica tem uma forma cilíndrica. Seu diâmetro é de 2 mm e o seu comprimento é de 2 cm. Quantos mililitros de tinta podem ser acondicionados nesse reservatório? UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6
Resolução Ele pede a resposta em mililitros, e nós sabemos que mililitro é igual a cm³. Portanto, vamos converter as medidas para deixá-las todas em centímetros, assim, facilitando os nossos cálculos. d = 2 mm d = 0,2 cm r = 0, cm h = 2 cm UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
Resolução Agora já temos a medida do raio e da altura em centímetros, aplicaremos a fórmula e já acharemos o volume em cm³, ou seja, em mililitros: cilindro πr²h π(0,cm)²(2cm) 0,2π cm³ Como cm³ = mililitro, 0,2 cm³ equivale a 0,2 mililitros: O volume desse reservatório é 0,2 mililitros. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
Exercício Um galão de vinho de forma cilíndrica tem o raio da base igual a 2,5m e sua altura é de 2m. Se apenas 40% do seu volume está ocupado, qual é a quantidade de vinho existente no galão? E qual a altura do vinho nesse galão? UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9
Resolução amos calcular o volume total desse galão e depois vamos ver qual o volume relativo à porcentagem de 40%. πr²h π(2,5m)²(2m) 2,5π m³ 2,5π m³ x x (0,25π m³) 40 5π m³ 00% 40% No galão, existem 5 m³ de vinho. Para esse volume, vamos ver a altura do vinho: 5 5 πr²h 5π h 0,8 m A altura do vinho r² 6,25 nesse galão é de UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20 0,8 m.
Exercício Em tubulações, é muito comum a utilização de canos. Um cano de plástico (figura abaixo) tem 70 cm de comprimento. O raio maior tem 0 cm e o raio menor tem 6 cm. Qual o volume de plástico usado para fazer esse cano? r 2 r UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
Resolução A interpretação correta é fundamental para resolvermos essa questão. eja que o volume do plástico utilizado para fazer esse cano será o volume total do cilindro maior (0 cm de raio e 70 cm de altura) subtraído do volume do cilindro menor (6 cm de raio e 70 cm de altura). Portanto, acharemos os valores dos volumes desses dois cilindros e subtrairemos esses valores para achar o volume de plástico utilizado. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22
Resolução cilindromaior cilindromenor πr²h πr²h π(0 cm)²(70cm) π(6 cm)²(70cm) 7000π 2520π UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2 cm³ cm³ Como o volume de plástico utilizado é o volume do cilindro maior subtraído do volume do cilindro menor, temos: plástico plástico cilindromaior 7000π - cilindromenor cm³ - 2520π cm³ 4480π cm³ Foram gastos 4480 cm³ de plástico para fazer esse cano.
Exercício Uma ponte de concreto tem a forma da figura abaixo. Suas dimensões estão assinaladas na figura, qual é o volume aproximado de concreto usado para construir essa ponte? Use =. 0 m 5 m 8 m 8 m UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24
Resolução Mais uma vez, veja como é importante você ter a interpretação correta da questão. O segredo para resolver esse exercício é ter a noção de que o volume de concreto usado será o volume desse bloco inteiro (0 m x 5 m x 8 m) subtraído do volume da metade do cilindro que tem 8 m de diâmetro e 8 m de altura. Então, agora, vamos calcular o volume desse bloco e da metade do cilindro que será subtraído. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25
Resolução bloco cilindro 2 A base h r²h π (0m8m)5m200m³ ()(4m)²(5m) 2 20 m³ 2 Como o volume de concreto usado é o volume do bloco subtraído da metade do volume do cilindro, temos: concreto bloco cilindro 200m³- 20m³ 080m³ 2 Foram usados, aproximadamente, 080 m³ de concreto. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26
Definição do cone Considere um plano α, uma região circular R nesse plano e um ponto P não pertencente a a. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27
Definição do cone A região de todos os seguimentos que ligam cada ponto de R ao ponto P é um sólido chamado cone circular. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28
Definição do cone A superfície do cone é formada por uma parte plana, que é a região circular da base, e uma parte não plana que é a superfície lateral. értice Sup. lateral Base UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29
olume do cone Considere um cone de altura H e base de área A contida em um plano horizontal α. Considere também uma pirâmide de altura H, base de área A, também contida em α. Se um plano horizontal β com distância h dos vértices secciona os dois sólidos, determinando regiões planas de áreas A e A 2 podemos fazer algumas considerações, vejamos a seguir: UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 0
olume do cone A A h² H² A h² H² A2 A2 A e A A2 A A UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
olume do cone Pelo princípio de Cavalieri podemos afirmar que o cone e a pirâmide iniciais tem o mesmo volume. Como já sabemos o volume da pirâmide, temos: cone (área da base) (altura) UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2
olume do tronco de cone reto Considere o seguinte tronco de conte reto: h ( r² r r 2 r² 2 ) UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Exemplo Qual o volume de um cone de raio 7cm e altura de 2cm? r² h 7² 2 96 65,44cm³ O volume do cone é de 65,44cm³, aproximadamente. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
Exemplo Qual a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é de 6cm e cuja altura é de 0cm? Modelo real Modelo matemático UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5
Exemplo Continuação: d = 6cm; raio = cm; h = 0cm r² h ² 0 0 94,20cm³ Como cm³ = ml, a capacidade do copinho é de 94,20 ml, aproximadamente. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6
Exercício Uma vasilha tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões estão indicadas na figura. Qual é o volume máximo de água que a vasilha pode conter, em litros? Use π =,4. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7
Resolução r = 40cm; r 2 = 20cm; h = 0cm h ( r² rr 2 r² 2) 0 (40² 4020 20²) 0 (2800) 87920cm³ 87,920dm³ Como dm³ - litro o volume máximo de água que a vasilha pode conter é de 87,92 litros. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8
olume da esfera Considere um ponto C e um número real positivo R qualquer. A esfera de centro C e raio de medida R é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma distância menor do que ou igual a R do ponto C. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9
olume da esfera O volume de uma esfera de raio R é igual a: 4 ( R ³) UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 40
Exemplo Quantos mililitros cabem, aproximadamente, na vasilha abaixo. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
Exemplo O volume do cilindro no qual r = 2,5cm e h = 8cm r² h (2,5)² 8 50cm³ O volume da esfera na qual R = 7cm 4 R³ O volume da vasilha: 4 (7)³ 8 72 cm³ 72 522 50 59cm³ Como cm³=ml. O volume da vasilha é de, aproximadamente, 59ml UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 42
Exercício Um reservatório de forma esférica tem 9m de raio. Para encher totalmente esse reservatório são necessárias 20 horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão de quantos m³/h? Considere π =,4. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4
Resolução Como o raio r é 9m. E o tempo necessário para encher é t = 20h. A vazão Q é entendida como o volume de água pela quantidade de horas. Assim calculamos o volume e dividimos pela quantidade de horas: 4 R³ 4 (9)³ Assim, calculamos a vazão: 05,62cm³ 05,62 Q 52,68m³ / 20 h UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 44
Referências Bibliográficas DANTE, L. R. Matemática olume único. Editora Ática. 2009. UNIERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 45