RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos agudos (menores que 90 ). A c b B β a α C Enunciado do teorema de PITÁGORAS: "O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. " Na figura: a 2 = b 2 + c 2 ainda: " Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares (a soma de suas medidas é igual a 90 ) ". Na figura: a + β = 90º Eercícios 1. Usando o teorema de Pitágoras, calcule o valor de nas figuras abaio: a) 3 1
b) 2 3 4 c) 4 4 2. Determine o valor de a ou R nas figuras seguintes: a) 60º α b) β 45 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Considere o triângulo retângulo ABC, reto em A e um de seus ângulos agudos, a por eemplo. 2
C b α a A c B O ângulo a é formado pela hipotenusa a e pelo cateto b. Este cateto é adjacente a α e assim c é o cateto oposto a α. DEFINIÇÕES: Seno de um ângulo a é a razão entre o seu cateto oposto e a hipotenusa. Na figura: sen a = c a Cosseno de um ângulo a é a razão entre o seu cateto adjacente e a hipotenusa. Na figura: Cos α = b a Tangente de um ângulo é a razão entre o seu cateto oposto e o seu cateto adjacente. Na figura: Tg α = c b As funções cossecante, secante e cotangente são definidas como o inverso do seno, Cosseno e tangente respectivamente. Observação O cálculo destas funções é feito baseado em seno, Cosseno e tangente e consequentemente, em seus inversos. Cossec α = 1 sec α = 1 sem α cos α 3
cotg α = 1 tg α TABELA DE VALORES NOTÁVEIS O valor de uma função trigonométrica depende do ângulo a que for aplicada. Os catetos, adjacente e oposto, não são fios. Os valores de ângulo da tabela abaio são importantes devido ao seu uso freqüente. SENO 0 COSSENO 1 TANGENT E 0º 30º 45º 60º 90º 0 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 Eercícios 1. Calcule os valores pedidos na figura abaio: 1 0 8 10 6 β sen β = cos β = tg β = 2. Calcule o valor de "" e de "y" em cada uma das figuras abaio: a) 30º y 4 4
b) 3 2 45º TRIÂNGULOS QUAISQUER Num triângulo ABC qualquer, dados três de seus elementos, um dos quais deve ser o lado, determinar os outros três elementos e a área, significa resolver o triângulo. Na solução de problemas desse tipo, utilizaremos duas leis importantes: a lei dos senos e a lei dos cossenos, ambas com aplicação em Física. Para a correta aplicação destas leis, tenha em mente a seguinte figura geral: C b a A c B Note que ao ângulo A se opõe o lado a e assim por diante. LEI DOS SENOS "Em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale 2R, onde R é a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. " Ou, o que é equivalente: a = b = c = 2R sen a sen b sen c LEIS DOS COSSENOS "Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado (a) é igual à soma dos quadrados dos dois outros lados (b e c), menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado." Aplicando a lei dos cossenos aos três lados (a, b e c) obteremos as seguintes epressões: 5
a 2 = b 2 + c 2-2bc cos A b 2 = a 2 + c 2-2ac cos B c 2 = a 2 + b 2-2ab cos C E ainda: LEIS DAS AREAS S = bc sem A = ab sem C = ac sem B 2 2 2 Eercício 1. Calcule o valor de nas figuras: a) 3 2 45 120º b) 6 60 3 6
TESTES 01. Analise as proposições: 01) Todo triângulo é retângulo. 02) Somente nos triângulos retângulos é possível a aplicação do teorema de Pitágoras. 04) Um triângulo retângulo pode ter um ângulo obtuso. 08) Os dois catetos de um triângulo retângulo sempre têm a mesma medida. 16) O maior lado de um triângulo retângulo é sempre a hipotenusa. 32) O triângulo retângulo pode ter três ângulos internos agudos. 02. Num triângulo retângulo um dos ângulos mede 30. Assinale a soma das proposições verdadeiras: 01) O cateto oposto a esse ângulo mede a metade da hipotenusa. 02) O outro ângulo do triângulo também mede 30. 04) Um dos outros dois ângulos do triângulo é obtuso. 08) A soma das medidas dos outros dois ângulos do triângulo é 150. 16) O cateto adjacente a esse ângulo mede a metade da sua hipotenusa. 03. A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa do triângulo? 04. Dado o triângulo retângulo da figura seguinte, onde tg α = 0,22 e tg β = 0,25 o valor de é: α β 20 a) 0,520 b) 3,5 c) 0,6 d) 2,4 e) 1,8 05. (UFPR) - Os lados do triângulo abaio, medem respectivamente 3, 4 e 5 unidades de comprimento. Então sen β é igual a: β 7
a) 0,4 b) 0,6 c) 0,8 d) 0,7 e) 0,5 06. Na figura, os valores de e y são, respectivamente: y A 30 60 B 4 a) 2 2 e 3 b) 2 e 2 3 c) 3 e 3 3 d) 3 e 3 3 e) 4 e 3 07. Uma torre projeta uma sombra de 40 m, quando o Sol se encontra a 64 acima do horizonte (ângulo de elevação). Calcule a altura da torre. Dados: sen 64 = 0,89; cos 64 = 0,43; tg 64 = 2,05 64º 40m 08. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 5 m e um dos catetos 2,5 m. Determine o ângulo formado pela hipotenusa e por esse cateto. a) 30 b) 60 c) 45 d) 90 e) 75 8
09. Para medir a altura de um barranco, um observador desloca-se na direção desse barranco até que sua linha de visada, em A, faz 30 com a horizontal. A seguir, o observador desloca-se de 20 m de forma que a nova linha de visada faça 60 com a horizontal. Considerando-se a altura do observador 2 m e adotando-se 3 =1,7 a altura do barranco será aproimadamente: 10. Na figura abaio, o valor de é: a) 5 b) 6 c) 5 3 d) 7 e) 7 3 30 7 3 11. Baseado na figura abaio, calcule o valor de: 2 sen α + 3 tg α. 3 3 3 α 9
a) 2 3 b) 1 c) 1+ 3 d) 4 e) 3 2 12. O valor de no triângulo abaio é: 10 120 5 a) 5 2 b) 5 3 c) 5 5 d) 5 7 e) 5 10 13. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando o navio está em A, o comandante observa o farol em L, e calcula o ângulo LAC = 30. Após navegar 4 milhas até B, verifica-se o ângulo LBC = 75. Quantas milhas separa o farol do ponto B? L A 4 milhas C a) 4 b) 2 2 c) 6 d) 5 e) 7 10
14. Calculando o valor do comprimento da corda AB relativa a uma circunferência de raio R e cujo centro é vértice do triângulo eqüilátero, conforme afigura, obtém-se: A B a) R b) R 3 c) 2 R d) R 2 e) 4 R 15. Na figura a seguir, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de raio R. Sendo  = 45 e BC = 2, o raio R terá valor, em metros, igual a: A B C a) 5 2 b) 1 c) 3 2 d) 0,2 e) 4 2 16. A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caia d'água a 50 m de distância. A casa está a 80 m de distância da caia d'água e o ângulo formado pelas direções caia d'água bomba e caia-d'água casa é de 60. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento serão necessários? 11
Caia 80m 60 Casa 17. Uma escada com pé na rua faz um ângulo de 30 com a horizontal, quando seu topo se apóia num edifício de um lado da rua e um ângulo de 60, quando o apoio é feito no edifício do outro lado. Tendo a escada 20 m de comprimento, qual a largura da rua? (considere 3 = 1,732). 20m 60º 30º a) 28,20 m b) 20,28 m c) 27,32 m d) 30,10 m e) 32,71 m 18. O cateto menor de um triângulo retângulo mede 6m e o cosseno do ângulo oposto a ele vale 4/5. A medida do outro cateto é: a) 4 m b) 6 m c) 10m d) 8 m e) 12 m RELAÇÕES FUNDAMENTAIS Algumas são consequências da definição como já vimos: Cossec = 1 sec = 1 sen cos cotg = 1. tg 12
Outras fórmulas podem ser deduzidas do teorema de Pitágoras: Importante Sen 2 + cons 2 = 1 E ainda. Sec 2 = 1 + tg 2 cossec 2 = 1 + cotg 2 tg = sen cos cotg = cos sen Memorize as relações acima. Elas serão etremamente importantes para o nosso estudo de agora em diante... Eercícios 1. Usando as fórmulas, prove que: a) tg = sec cossec b) cos - sec = 0 1- sen 2 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Circunferência trigonométrica é a circunferência de raio unitário (R = 1), um ponto de origem dos arcos (ponto A) e um sentido positivo de percurso (anti-horário). R = 1 + Anti Horário A - Horário (negativo) 13
Considerando ainda o centro dessa circunferência coincidindo com o centro do sistema de eios cartesianos, adotando a divisão em quadrantes e os sinais destes. 90 º 180º II I III VI 270 0º 360º QUADRANT RADIANO GRAUS E S I 0 90 0 π/2 II 90 180 π/2 π III 180 270 π 3π/2 IV 270 360 3π/2 2π Observação Transformação de unidades Para transformarmos um ângulo de graus para radianos, simplificamos o número por 180 e multiplicamos o resultado por π. 240 = 150 = Para transformarmos um ângulo de radianos para graus, substituímos por 180 e efetuamos a conta. 3π = 4 7π = 6 Na circunferência trigonométrica, cada função adota um eio e baseado nesse eio analisamos seus valores e sinais. (não esqueça do raio unitário) Eercícios a) Efetue: 14
120 30' 45" + 60 20' 12" 18 38' 40" + 136 46' 42" 90-44 34' 56 24' 36" - 44 16' 34" Sistema Circular A unidade é chamada de Radiano (rd), que é o ângulo central que intercepta um arco de circunferência de comprimento igual ao raio da circuferência. R R α AB = B α = AB α = 1 A A circunferência tem 2 Importante 180º = Eercícios a) Transformar para radianos: 60 30 45 120 150 15
135 b) Transformar para graus: 3π rd 2 5π rd 3 2π rd 5 π rd 4 π rd 3 π rd 6 16