10. Lei de Faaday 10.1. A Lei de Faaday da Indução 10.2. A fem de indução num conduto em movimento 10.3. A Lei de Lenz 10.4. Fems Induzidas e Campos Elécticos Induzidos 10.5. Geadoes e Motoes 10.6. As Equações de Maxwell 265
Até agoa: campos elécticos poduzidos pelas cagas estacionáias e campos magnéticos poduzidos pelas cagas em movimento. Neste capítulo: campos elécticos que são ciados po campos magnéticos vaiáveis. Lei da indução, de Faaday. Com a Lei de Faaday, completamos a intodução às leis fundamentais do electomagnetismo. estas leis podem se esumidas num conjunto de quato equações, as equações de Maxwell. Juntamente com a foça de Loentz, epesentam a teoia completa paa a descição clássica da inteacção dos copos caegados. As equações de Maxwell elacionam ente si os campos elécticos e magnéticos e elacionam os campos com as suas fontes: as cagas elécticas. 266
10.1. A Lei de Faaday da Indução Comecemos po desceve duas expeiências que demonstam que uma coente pode se geada po um campo magnético vaiável. Expeiência 1: Consideemos o cicuito da figua abaixo: Galvanómeto N S Se o imã fo apoximado da espia, a agulha do galvanómeto desvia-se num sentido Se o imã fo afastado da espia, a agulha do galvanómeto desvia-se na diecção oposta. Se o imã fica estacionáio em elação à espia, não há deflexão da agulha. Há uma coente no cicuito desde que exista um movimento elativo ente o imã e a bobina. a coente é uma coente induzida, geada po uma fem induzida. 267
Expeiência 2 (Expeiência de Faaday) Bobina pimáia + Núcleo de Feo Galvanómeto Bobina secundáia Núcleo de feo: a fim de intensifica o geado pela I que cicula na bobina. Bateia No instante em que se liga o inteupto no cicuito pimáio, o galvanómeto no cicuito secundáio desvia-se numa diecção e depois etona a zeo. Quando se desliga o inteupto, o G desvia-se na outa diecção, e depois etona a zeo. A leitua do G, é nula, quando há uma coente constante no cicuito pimáio. 268
Uma coente eléctica pode se poduzida po um campo magnético vaiável Uma foça electomotiz induzida poduz-se no cicuito secundáio em vitude do campo magnético vaiável. Nas duas expeiências descitas houve uma fem induzida num cicuito quando o fluxo magnético (φ m ) atavés do cicuito vaiou no tempo. A fem induzida num cicuito é diectamente popocional à taxa tempoal de vaiação do φ m atavés do cicuito. dφ m ε = Lei de Faaday da indução φ m = B da o integal é tomado sobe a áea limitada pelo cicuito. Sinal negativo: consequência da Lei de Lenz (9.3) 269
Se o cicuito fo uma bobina, constituída po N espias com a mesma áea, e se o fluxo atavessa igualmente todas as espias dφ m ε = N Suponhamos unifome no inteio de uma espia de áea A, no plano. φ m = B.A.cos(θ) da θ d ε = cosθ ( B.A. ) É possível induzi uma fem num cicuito de divesas maneias: 1) O módulo de pode vaia com o tempo; 2) a áea limitada pelo cicuito pode vaia com o tempo; 3) o ângulo, θ, ente e a nomal ao plano da espia pode vaia com o tempo 4) qualque combinação destas situações. 270
10.2. A fem de indução num conduto em movimento l Uma fem é induzida num conduto que se move num campo magnético. Consideemos um conduto ectilíneo; compimento ; = cte; v unifome ; + + F v (paa simplifica). Os e - no conduto sofeão uma os e - vão move-se paa a extemidade de baixo em vitude desta sepaação de cagas, E há um no inteio do conduto. l v F = qv B A caga nas duas extemidades acumula-se até que a seja equilibada F pela cessa o deslocamento das cagas, e F m F m = F e, qvb = qe E = vb 271
E Uma vez que o é constante V = E.l ; V: difeença de potencial ente as extemidades do conduto. V= E. l = B. l.v Neste caso V na ponta de cima > V na ponta de baixo Há uma difeença de potencial constante no conduto enquanto se mantive o movimento atavés do campo. Se o movimento fo invetido, a polaidade de V também se inveteá. 272
Conduto móvel pate dum conduto fechado. 1 l Cicuito: baa condutoa de compimento l; escoega sobe dois tilhos condutoes paalelos fixos; unifome e constante. R F m I x v F ap Baa puxada paa a dieita com pela foça aplicada as cagas lives sofem uma foça magnética ao longo do compimento da baa induzida. F ap v a foça estabelece uma I dφ m Neste caso, e a fem induzida coespondente são popocionais à vaiação da áea do cicuito quando a baa se desloca atavés do. 273
Áea do cicuito: l.x ( t) φ m = B.l.x ; x = x (t) Pela Lei de Faaday: ε = φ d m = d ( Blx) = Bl dx ε = Blv Se R = esistência do cicuito I = ε = R Blv R 1 ε = B.l.v (cicuito equivalente) Consideações sobe a enegia: Quando o conduto se desloca atavés do sofe uma F m = I.l.B (diecção oposta ao movimento da baa) v = cte F ap = I.l.B 274
A potência popocionada pela foça aplicada é: P = F ap v = 2 2 2 B l v.. v = = R ( I l. B ) V R 2 Esta P é igual à taxa de dissipação da enegia na R, R.I 2. É também a P popocionada pela fem induzida I.ε. Convesão de enegia mecânica em enegia eléctica e a convesão desta em enegia témica (efeito Joule) 275
10.3. A Lei de Lenz A diecção tanto da fem induzida como da coente induzida, podem se achadas pela Lei de Lenz: a polaidade da fem induzida é tal que ela tende a povoca uma coente que iá gea um fluxo magnético que se opõe à vaiação do fluxo magnético atavés do cicuito fechado éuma consequência da Lei de consevação da enegia. I R F m A v I R v F m B 276
Lei de Lenz: a I induzida deve te uma diecção tal que o fluxo que ela gea se oponha à vaiação do φ m exteno. A I induzida tende a mante o fluxo oiginal atavés do cicuito. A B φ m exteno cescendo I anti hoáio φ m exteno diminuindo I hoáio Do ponto de vista da enegia: A : se I sentido hoáio F m paa a dieita aceleação da baa aumento da υ aumento da áea do cicuito mais ápido aumento da I induzida aumento da F m aumento da I... O sistema adquiiia enegia sem injecção adicional de enegia. I sentido anti hoáio. 277
υ S N I φ m aumenta com o tempo, paa a dieita. N S I povoca um φ I m paa a esqueda. Que ocoeia se o íman se estivesse a desloca paa a esqueda? 278
10.4. Fems Induzidas e Campos Elécticos Induzidos Um φ m vaiável induz uma fem e uma I numa espia condutoa gea-se um campo eléctico devido ao φ m vaiável, mesmo no vácuo. E Esse induzido tem popiedades bastantes difeentes de um electostático de cagas estacionáias. Espia condutoa; aio ; unifome ao plano da espia. E E E E B = B t ( ) Se Lei de Faaday ε = dφ m A I induzida na espia implica a pesença de um E induzido tangente à equivalentes) E espia P (pontos 279
W = qε: 0 W necessáio paa desloca uma caga de pova q ao longo da espia. F = qe F : sobe a q W = q.e.(2π): O W efectuado po essa foça e ao desloca a q uma volta ao longo da espia. Estas expessões do W devem se iguais qε = qe 2 E ε 2π ( π) = 1 1 + a Lei de Faaday + φ m = B.A = π. 2.B (espia cicula) O E induzido: B = B t () E 1 = 2π dφ m = Se fo especificado cálculo do 2 E db 280
E Sinal negativo: o induzido opõe-se à vaiação do! Esse esultado também vale na ausência dum conduto Uma q live, num vaiável sofeá a acção do mesmo E A fem sobe qualque cicuito fechado pode se expessa como o integal de E ds linha de sobe o cicuito ε = dφ A Lei de Faaday da indução,, pode se escita: E E ds = d! O induzido que apaece na eq. é um campo não consevativo, vaiável no tempo, geado po um vaiável. E φ m O da eq. não pode se um campo electostático: se o campo fosse electostático, seia consevativo, e o integal de linha de cicuito fechado seia nulo, ao contáio do que afima a eq. m E ds sobe um 281
10.5. Geadoes e Motoes Opeam com base na indução electomagnética. Geado de coente altenada: apaelho que convete enegia mecânica em enegia eléctica. Geado de AC mais simples: espia condutoa que gia, gaças a um agente exteno, num campo magnético. 1 Anéis de contacto N S Cental hidoeléctica: queda de água Cental temoeléctica: vapo de água 2 Escovas Quando a espia gia no campo, o φ m atavés dela altea-se com o tempo e, num cicuito exteno, induz-se uma fem e uma I. 1) Giam com a espia 2) Estacionáias; deslizam sobe os anéis de contacto. 282
Quantitativamente: bobina com N voltas, com a mesma áea A que gia com ω constante. Se θ ângulo ente A e φ m = B.A.cos(θ) = B.A.cos(ω.t) (qualque instante t) θ = ω.t (t = 0 quando θ = 0) A fem induzida na bobina: ε = N dφ m d = N. A. B = [ cos( ωt) ] N. A. B. sen( ωt) ε A fem vaia sinusoidalmente com o tempo. ε max t 283
A femmáxima ε máx = N.A.B que ocoe quando ω.t = 90 ou 270 ε = ε máx quando estive no plano da bobina e a taxa de vaiação do fluxo fo um máximo. A fem é nula quando ω.t = 0 ou 180 ao plano da bobina e a taxa de vaiação do fluxo fo zeo. Os motoes são máquinas que convetem a enegia eléctica em enegia mecânica. Na sua essência, um moto é um geado que opea de modo inveso: em luga de se gea uma coente, pela otação duma bobina, fonece-se uma coente à bobina, mediante uma bateia, e o momento que actua sobe a bobina pecoida pela coente povoca a otação. Efectua-se tabalho mecânico útil quando se acopla a amadua giatóia a um apaelho exteno. 284
10.6. As Equações de Maxwell Base de todos os fenómenos elécticos e magnéticos.! Concodante com a teoia da elatividade estita (1905) As equações de Maxwell epesentam as Leis da Electicidade e do Magnetismo, que já discutimos. Poém, as equações têm outas consequências: pevêem a existência de ondas electomagnéticas, que se deslocam com a velocidade da luz: c = 1 µ ε 0 0 3 10 8 m s A teoia mosta que estas ondas são iadiadas po cagas elécticas aceleadas. 285
As equações de Maxwell aplicadas ao vácuo (na ausência de qualque mateial dieléctico ou magnético): 1 2 E da = B da 0 = 0 Q ε 3 4 E ds dφm = B ds = µ 0 I + ε 0µ 0 dφe 1 E da = Q ε 0 Lei de Gauss. O φ e total que atavessa qualque supefície fechada é igual à caga líquida que existe no inteio da supefície, dividida po ε 0. E Relaciona o com a distibuição de caga, pois as linhas do +q e teminam nas q. E pincipiam nas 286
2 B da = 0 Lei de Gauss do Magnetismo. O φ m líquido atavés de qualque supefície fechada é igual a zeo. Númeo de linhas do que entam num volume fechado = Nº de linhas que saem. / As linhas do não podem pincipia ou acaba em qualque ponto monopolos magnéticos isolados. E ds dφm = 3 Lei de Faaday da Indução. Desceve a elação ente um campo eléctico e um fluxo magnético. I induzida num vaiável no tempo. 287
B ds = µ 0 I + ε 0µ 0 dφe 4 Lei de Ampèe-Maxwell. Desceve uma elação ente os campos magnéticos, campos elécticos e coente. Conhecidos, num ponto do espaço, o campo eléctico e o campo magnético, a foça sobe uma patícula de caga q nesse ponto pode se calculada pela expessão: F qe + qv B = Foça de Loentz As equações de Maxwell, junto com essa lei de foça, dão a descição completa de todas as inteacções electomagnéticas.! Simetia das equações de Maxwell: as equações 1 e 2 são siméticas, a menos da ausência do temo do monopolo magnético na equação 2. 288
As equações e são siméticas; os integais de linha de e de, 3 4 E sobe uma cuva fechada, estão elacionados com a taxa tempoal de vaiação do φ m e do φ e, espectivamente. As equações de Maxwell têm impotância fundamental, não apenas paa a electónica, mas também paa toda a ciência. Acetatos pepaados po: - S. Lanceos-Méndez (conteúdo e figuas) - J. A. Mendes (layout) 289