1 RELATIIDADE ESPECIAL AULA N O 5 ( Equações de Mawell em forma ensorial Equação da Coninuidade 4-veor densidade de correne) Anes de prosseguirmos com a Teoria da Relaividade, observando as consequências da Transformação de Loren, vamos esudar as Equações de Mawell para o eleromagneismo, a fim de verificar a sua compaibilidade com a invariância da velocidade da lu, conforme Einsein previu e supôs que aconecesse na Teoria da Relaividade Sabemos que os campos eléricos e magnéicos eercem forças sobre parículas elericamene carregadas A equação que descreve esa ineração é dada por: F qe No enano ainda nos fala aquilo que deermina o campo elérico e magnéico ao longo do espaço As equações que deerminam a disribuição deses campos no espaço são as chamadas Equações de Mawell Esas equações nos diem como as parículas carregadas afeam o campo eleromagnéico, complemenando a equação dada acima, que descreve como o campo eleromagnéico afea as parículas carregadas Esa reciprocidade é naural, uma ve que, se um campo eleromagnéico pode alerar o movimeno de uma parícula carregada, modificando sua energia e momeno, devemos esperar que uma parícula carregada ambém possa, como numa espécie de ação-reação, alerar a energia de um campo eleromagnéico ou modificar o momeno de uma onda eleromagnéica A perguna básica de nossa aula, é saber se as leis da física, nese caso as leis do eleromagneismo, são as mesmas em odos os sisemas de referência Toda a eoria da relaividade esá relacionada com a lu Se as Equações de Mawell descrevem a lu, esabelecendo a sua velocidade como uma onda eleromagnéica, e as Equações de Mawell são as mesmas em odos os sisemas de referência, enão é basane raoável supor que a velocidade da lu será a mesma em odos os sisemas de referência Ese foi jusamene o grande quebra-cabeça que Einsein resolveu, imaginando como ober uma descrição das leis da naurea de al modo que a lu se mova com a mesma velocidade em odos os sisemas de referência Iso significa que as leis da física devem ser as mesmas em odos os sisemas de referência, ou seja, as equações da física devem ser epressas em ermos de quanidades que possuem leis definidas de ransformação, quando se muda de um sisema para o ouro, quanidades ais como escalares, veores, quadriveores, ensores, ec amos ver qual a forma assumida pela equação da força sobre uma parícula carregada em movimeno num capo eleromagnéico, quando ela é epressa na forma covariane, ou seja, numa forma que é sempre a mesma em qualquer sisema de referência: F qf u, onde F é o Tensor de Campo Traase de um ensor anissimérico, que é aplicado ao quadriveor velocidade ( ) Nesa forma, a equação da força de Loren é escria em uma forma que se manifesa sempre igual em odos os sisemas de referência Ese é, porano, o nosso objeivo: escrever as equações da física, em paricular as Equações de Mawell, em uma forma invariane para odos os sisemas de referência, o que significa escrevê-las uiliando escalares, veores, 4-veores, ensores, ec amos ver que ipo de efeio uma carga pode eercer sobre um campo eleromagnéico Nós sabemos que uma carga elérica cria um campo elérico ao seu redor E Também sabemos que, se uma correne passa por um fio, é criado um campo magnéico ao redor do fio: q I
2 Eses são eemplos de como as cargas criam campos eleromagnéicos Suponhamos que nós movimenamos rapidamene a posição da carga Enão o campo erá de se rearranjar para refleir a nova posição da carga Porém isso não pode ocorrer insananeamene, porque nenhum efeio pode ser percebido anes que a lu seja ransmiida da origem da perurbação aé à posição do efeio Para se rearranjar, o campo espalha uma onda de deformação do campo Porano, logo após deslocarmos a carga, o campo próimo dela já esá rearranjado, porém, a grandes disâncias, o campo ainda corresponde à posição original da carga À medida que o empo passa, a onda de rearranjo do campo se propaga, refaendo o campo para a condição correspondene à nova posição da carga Se nós movermos a carga para frene e para rás insananeamene, esaremos emiindo uma onda eleromagnéica, eaamene como um raio de lu É desa forma que funciona uma anena emissora de ondas de rádio, faendo oscilar uma carga elérica em sua esruura Tudo isso ambém é verdade para as variações de correne aravés de um fio, sendo que nese caso o rearranjo será do campo magnéico Se nós repeninamene reverermos a correne no fio, o campo magnéico erá de se inverer, mas esa inversão não pode ser insanânea, de modo que a aleração irá se propagar pelo espaço ao longo do empo, para refleir a nova direção da correne, e esa propagação se dará, de acordo com Einsein, na velocidade da lu Eses fenômenos represenam a física básica que queremos descrever com as equações de Mawell amos anes recordar alguns ópicos ejamos primeiro as equações de campo O primeiro eemplo é dado por um campo escalar, condição na qual o campo não em associado a ele (como ocorre por eemplo com veores e ensores) nenhum índice OS: Para se er uma ideia de ensor, nós podemos vê-lo como um operador que ransforma um veor em ouro, segundo uma deerminada lei, associada a ese ensor Traa-se de conceio equivalene ao de uma função, de modo que o ensor esabelece um relacionameno enre dois veores, o que por si só independe do sisema de referência Sendo assim, uma ve esabelecida esa função, ou seja, uma ve dado um deerminado ensor, esamos ineressados em como aquele ensor pode ser represenado nos diversos sisemas Daí o ermo ensor, que se refere a um operador ou a uma função aplicada a um veor, sendo ese operador independene do sisema de referência escolhido Para o campo escalar, porano, emos uma deerminada quanidade associada a cada pono do espaço,,, sendo nese caso a equação de onda dada pela epressão: 0 (,,, ) Esamos lidando aqui com a noação ensorial correspondene à Transformação de Loren, cujo efeio, ao mudarmos do índice inferior para o superior ( ), é a roca do sinal das componenes, de modo que: (consideramos aqui a velocidade da lu c=1) 2 2 2 2 amos considerar a onda se propagando ao longo do eio Iso significa que somene depende de e de Enão nossa equação será: 0 2 2 Há duas soluções básicas para esa equação: F e G lembrando que c 1 Nesas soluções, são duas funções quaisquer, sendo que se desloca no senido posiivo do eio e no senido negaivo F Acos k Em paricular, emos como solução a função simples: Da mesma forma, podemos er: F Asen k, sendo que, variando e, podemos modificar a frequência e a ampliude da onda ejamos ambém alguma maemáica, começando pelo produo veorial de dois veores Dados dois veores ordinários (ridimensionais),, o seu produo veorial é um veor definido da seguine maneira:
3 A A A A A A A A A (Noe-se que a sequência é sempre cíclica, ) Oura forma de muliplicar dois veores enre si é aravés do produo escalar, que é um escalar e cujo valor é dado por: A A A A Temos ainda dois conceios envolvendo veores: ROTACIONAL e DIERGENTE O roacional é obido aravés do produo veorial enre um pseudo veor, dado pelos operadores derivaivos nas rês direções (,, ), e o veor em quesão: onde,, O divergene é dado pelo produo escalar enre : De uma maneira simplisa, um campo veorial em divergência, quando ele demonsra possuir FONTES : Tal como uma carga Da mesma forma, um campo veorial em ROTACIONAL, quando ele demonsra possuir CIRCUITOS FECHADOS : Nese caso, dá-se assim como no campo magnéico gerado por uma correne elérica Nosso objeivo agora é escrever, uiliando esas ferramenas, as Equações de Mawell, para buscar enender como elas permanecem as mesmas em odos os sisemas de referência Para o campo magnéico E emos:, iso significa que o campo magnéico não em fones, como aconece com o campo 0 E elérico Para o campo elérico, emos: E 0 Esas equações são as equações básicas de Mawell, quando não há a presença de nenhuma carga ou correne! São as chamadas Equações de Mawell para o vácuo Se houver carga envolvida, enão eremos E (densidade espacial de carga) Se houver correnes, eremos E j, onde é a densidade de correne Queremos nos concenrar no caso em que, para enar compreender porque esas equações são as mesmas em odos os sisemas de referência Ese é o nosso quebra-cabeça, pois, como veremos, esas
4 equações implicam na propagação de ondas eleromagnéicas sempre com a mesma velocidade, igual à da lu, independene do sisema de referência ejamos enão se podemos reformular esas equações, de modo que elas permaneçam as mesmas para os observadores de odos os sisemas Devemos er em mene, primeiramene, que os campos eléricos e magnéicos se combinam junos em um ensor anissimérico: F 0 E E E E 0 E 0 E 0 Quando nos referimos ao elemeno 01, uiliamos a noação: F F Há ambém ouro ensor, F, que é obido de F, subsiuindo campos magnéicos por eléricos e campos eléricos pelo negaivo dos campos magnéicos: E ; E : F 0 0 E E E 0 E E E 0 Esas duas maries se ransformam como ensores, quando submeidas a uma ransformação de Loren Se nós conseguirmos reescrever as Equações de Mawell aravés deses ensores, enão provaremos que esas equações são as mesmas em odos os sisemas de referência Uma ve que as Equações de Mawell só apresenam derivadas de primeira ordem, vamos verificar o que represena a seguine equação: 0 F emos que esa epressão represena quaro equações Esas quaro equações, como veremos, E represenam as quaro equações epressa por: E 0 OS: E 0 consiui uma equação e E consiui as ouras rês equações, cada uma correspondendo a uma componene amos verificar se iso é verdadeiro: F F F F 0 = E 0 Esa é a equação correspondene à equação da componene em E O mesmo aconece para as demais componenes, como é fácil verificar ejamos agora o resulado para a componene em : F F F F 0 E E E 0 (TENSOR ELETROMAGNÉTICO) Esa equação equivale a E 0 Com isso, vemos que quaro das oio equações de Mawell em uma forma covariane (a mesma em qualquer sisema) relaivísica, dada por quaro equações veoriais Iso significa que, se fiermos a ransformação das coordenadas dos campos eléricos e magnéicos, segundo a Transformação de Loren, oberemos no final as mesmas quaro equações veoriais
Com relação à oura meade das Equações de Mawell, vemos que elas êm uma forma parecida, podendo ser epressas por: 0 F, como é fácil verificar! Apesar de comporem uma forma concisa e elegane para as Equações de Mawell, a imporância desas epressões esá no fao de represenarem relações enre quadriveores, uiliando ensores, de modo que udo permanece invariane em relação à ransformação de Loren, para os diversos sisemas de referência Com isso, verificamos que as Equações de Mawell, sem a presença de cargas e correnes, são relaivisicamene invarianes Agora que sabemos que as Equações de Mawell são invarianes, vejamos que ipos de campos elas deerminam Sabemos que as equações de onda envolvem derivadas de segunda ordem eremos enão que as Equações de Mawell, as oio equações relacionando e enre si, equivalem a equações de segunda ordem apenas em e amos começar enando isolar o campo elérico, derivando em relação ao empo a equação E: 2 2 E E, mas E 2 2 E Esa é uma equação veorial amos omar a componene na direção : E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Se acrescenarmos o ermo E E E E E E E E E 2 2 2 2 E E E E 2 2 2 2 E 0 5 Chegamos assim à equação de onda radicional, aplicada nese caso à componene E E cos elérico Esa equação aceia como solução a função: do campo Ese ipo de onda é chamado de Onda Polariada, nese caso polariada ao longo do eio Em relação ao campo magnéico, podemos uiliar a equação: Como E E cos E, só eremos componenes em para esa equação ( ) E E
6 E E E E Uma ve que as Equações de Mawell são invarianes em odos os sisemas, mediane a ransformação de Loren, odos os sisemas oberão os mesmos resulados, enconrando uma onda que se propaga pelo espaço com uma velocidade, a mesma para odos observadores ejamos o que aconece com as Equações de Mawell na presença de cargas e correnes, concenrando-nos na quesão mais imporane, que é saber se elas permanecem invarianes segundo a ransformação de Loren, em odos os sisemas de referência E j E Nesas condições, as Equações de Mawell são modificadas para: ; 0 E O ermo é a densidade de carga espacial (a carga por unidade de volume), que pode ser uma função dq do empo e da posição no espaço:, d Assim a carga conida em uma deerminada região do espaço, de volume, será dada pela epressão: Q d A lei empírica da conservação da carga esabelece que não há variação de carga sem que haja um fluo de carga associado a esa variação Porano oda variação de carga acarrea a geração de um fluo de carga Esa lei é epressa pela equação da coninuidade, uiliando o conceio de correne Imaginemos uma pequena área no espaço, chamando-a de, associando com ese elemeno de área um veor cuja magniude é a área e cuja direção é perpendicular à área: Podemos pergunar qual é a carga que passa por esa superfície carg a por unidade de empo: j area empo, sendo um veor que define dσ a densidade de correne (correne por unidade de área) amos considerar uma região do espaço envolvida por uma superfície de volume A superfície é oda ela dividida em superfícies elemenares Supondo que haja um fluo de correne na dσ superfície desa região, qual é a sua relação com a quanidade de carga conida na região? A única maneira para a carga variar denro da superfície é por meio de um fluo aravés da superfície Assim, se ivermos um fluo líquido para fora da superfície, enão a carga inerna deverá sofrer um decréscimo dq d Considerando que apona para fora da superfície, eremos: d j d d d Segundo o eorema de Gauss, obemos: Superfície d j d j d d d OS: O divergene de um campo veorial, j, é o fluo líquido relaivo a um elemeno infiniesimal de volume Se supusermos ese elemeno de volume como um cubo, podemos ver que a composição formada olume
por diversos cubos resula no fluo líquido da superfície eerna da região composa pelos cubos, pois odas as superfícies inernas de conao enre os cubos elemenares possuem um fluo enrando em relação a um cubo e um fluo de igual magniude saindo em relação a ouro cubo, anulando assim odo o fluo nas superfícies inernas: 7 Uma ve que a equação é válida para qualquer região do espaço, enão: d j ou j j j 0 d Esa equação é válida em odos os sisemas de referência Dessa forma, quadriveor: forma um OS: Noe-se que, parindo da mérica fundamenal do espaço-empo relaivísico, d d d d d, e dividindo por d, chegamos à epressão invariane do 4-veor da velocidade relaivísica, 1 v v v Muliplicando esa epressão pela densidade de carga em repouso,, (quania invariane!), obemos: 0 0 0v 0v 0v Mas 0 e 0vi ji, porano: j jv jv, que obedece à ransformação de Loren e consiui um invariane 0 Com isso, a equação da coninuidade assume uma forma bem simples: j 0 (,,, ) Iso não é de surpreender, pois a correne epressa a velocidade da carga, e a velocidade é um quadriveor, ou seja, ransforma-se de acordo com a ransformação de Loren Porano emos: E E 0 E j Ese conjuno de equações pode ser epresso na forma de uma equação veorial covariane, da seguine forma: F j amos verificar a validade desa formulação para as equações: E e E j : j F F F F F E E E E E j E j F j E j E j imos enão que as equações do eleromagneismo podem ser epressas como equações ensoriais, as quais êm a mesma forma em odos os sisemas de referência imos ambém que as leis do eleromagneismo levam à obenção de ondas eleromagnéicas que se deslocam com a velocidade da lu em qualquer sisema de referência, sob a ransformação de Loren