Uesp UNIVERIDADE ETADUAL PAULITA CAMPU DE GUARATINGUETÁ FACULDADE DE ENGENHARIA Cálculo Nuérco stes de Equções Leres Prof. Dr. G. J. de e Deprteto de Mteátc Edção
CAPÍTULO ITEMA DE EQUAÇÕE LINEARE.. INTRODUÇÃO U prole de grde teresse prátco é resolução uérc de u sste de equções leres co cógts.......... ou,,...,, Ode.,,..., t, vr, tes cos áves coefcetes o for trcl pode ser represetdo coo A ode A......... é trz dos coefcetes. é o vetor ds vráves. t t tes te ou vetor dosteros cos é ovetor cos e A trz A.........
é chd trz uetd ou trz coplet do sste. A resolução de u sste ler cosste e clculr os vlores de,...,,, cso est, stsfzedo s equções sulteete. Eeplo Ddo o sste ler pede-se escrevê-lo so for trcl detfcr su trz coplet c ostrr que o vetor é o vetor solução pr o sste Resolução for trcl t vr for A queé d tes cos teros dos vetor áves de vetor A coefcetes trz dos trz coplet A c A.........
ITEMA TRIANGULARE U sste ler A se,,,,...,, ou se U sste ler... pr,,,..., é chdo trgulr superor se trz... A é tl que A é chdo trgulr feror se trz A é tl que, ou se... Oserve-se que os sstes trgulres e que,,..., susttução retrotv ou progressv. Eeplo Ecotrr o vetor solução do sste ler Resolução eq. usttuções retrotvs eq. eq., são fclete resolvdos por
eq.. o vetor soluçãoé Métodos Nuércos de Resolução Métodos dretos são étodos que deter solução et de u sste ler co u úero fto de operções rtétcs eleetres. Métodos tertvos são étodos que perte oter u solução prod pr u sste ler, utlzdose de u étodo tertvo pr gerr u seqüêc de proções sucessvs,,... prtr de u proção cl escolhd. Qudo u crtéro de prd é stsfeto, o últo vetor de proção d seqüêc é todo pr... MÉTODO DIRETO... MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAU... CARACTERIZAÇÃO GERAL O étodo d Elção de Guss cosste e trsforr o sste ler orgl u sste ler equvlete trgulr superor. Eeplo e resolver o sste Resolução Trgulrzção do sste orgl
Psso elção de ds equções e * * Psso elção de d equção * Resolução do sste trgulrzdo deterção do vetor por susttuções retrotvs eq. eq. eq. Cálculo do deterte de A A A det * * A
Eeplo Resolver o sste Resolução Trgulrzção do sste orgl Psso elção de ds equções, e * * * Psso elção de ds equções e........9.*.* Psso elção de d equção.. 9......99.9*
Deterção do vetor solução por susttuções retrotvs eq...99. 999 eq... eq. eq......999. 999.999..999.99..99.999..999..999.... ALGORITMO PARA A ELIMINAÇÃO GAUIANA e A, A,,,, u sste de equções leres cógts. Pr,..., /* eso psso* / Pr,..., f pr f pr Pr,..., f pr... ETRATÉGIA DE PIVOTEAMENTO - ELIMINAÇÃO GAUIANA Estágo elção de ds equções +,...,, pr. PIVÔ DO ETÁGIO K =,..., -
A PIVOTEAMENTO PARCIAL Escolhe-se u ovo pvô pr cd estágo utlzdo o lgorto detfc-se á r se r = eto o h perutco seo s lhs r e so perutds etre s f se E. elção de ds equções e Estrtég de pvoteeto prcl á =,, perutção ds lhs e.. / /....9. 9.9 elção de d equção Estrtég de pvoteeto prcl á. ão há perutço de lh.,...99 = *. *.
....9.99.99 eq...9 eq.... eq.... *.99 *. B PIVOTEAMENTO COMPLETO De cordo co est estrtég, o íco do estágo é escolhdo pr pvô o eleeto de or ódulo detre todos os eleetos que d tu o processo de elção Algorto detfc-se á, rs csos r = e s = o; ão há perutção efetur r = e s perutr colus s e ; r e s = perutr lhs r e ; perutr lhs r e ; r e s perulr colus s e ; f csos. Eeplo Resolução Psso = á, á, 9
colus e. perutr e ; lhs perutr Elção de ds equções e.9 *.9*.99.. Psso =.99..,, e lhs perutr.99.. Elção de d equção...*..
Deterção do vetor por susttuções retrotvs eq. eq. eq.... Eeplo [RUGGIERO, LOPE 99]. sste de rtétc de poto flutute de dígtos t = Resolução A e pvoteeto........ * =.. =.............. Vetor solução eq... eq..
....... Oservção usttudo-se equção, oté-se. B Co pvoteeto prcl...... I eldo-se d eq. Estrtég de pvoteeto prcl e lhs. perutr á á................. *..... eq...... eq.
......... Os. usttudo s eq. e, oté-se............... O MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAU-JORDAN... CARACTERIZAÇÃO GERAL Dd trz uetd [A I] As trsforções eleetres pr se oter u trz detdde prtr de A qudo plcdos e I coduze, respectvete,, vetor solução do sste, e A -, vers de A, ou se [A I] trsforções [I A - ] eleetres Eeplo A Mtrz uetd A B I [ A I] Psso......... / * *
Psso........ *. /. * Psso I... *..... A. * / e A.......... ALGORITMO PARA O MÉTODO DE JORDAN EJA C A MATRIZ AUMENTADA [A I] PARA I DE ATE N FACA * PAO I * PIVOT = CI,I * ELEMENTO DA DIAGONAL PRINCIPAL = * PARA J DE ATE * N + FACA CI,J = CI,J/PIVOT FIM PARA * DEMAI ELEMENTO NA COLUNA I IGUAI A * PARA K DE ATÉ N E K <> I ENTAO * NÃO É LINHA DO PIVOT * ENTÃO FMULT = -CK,I PARA J DE ATE * N + FACA CK,J = CK,J + FMULT*CI,J FIM PARA FIM E FIM PARA FIM PARA Eercíco Ddo o sste ler w y z w y z w 9y z w y z 9 Pede-se Deterr o seu vetor solução e vers d trz dos coefcetes A - usdo o étodo de Jord;
Deterr o seu vetor solução e o deterte d trz dos coefcetes usdo o étodo de elção de Guss; Resp...9 A..99...9..9.9.....9. Eercíco deterr vers d trz de Wlso A 9 utlzdo o étodo de Jord 9 Resp. A Eercíco deterr o vetor solução e vers d trz dos coefcetes do sste o Resp.,..9... A.......... Eercíco Iverter trz de Pscl
A Resp. A 9 9.. MÉTODO ITERATIVO... GERAL U sste ler é dto ser esprso qudo trz A dos coefcetes possu u grde porcetge de eleetos ulos. Pr ts sstes o eprego do étodo d Elção de Gus pr su resolução ão é coselhável, ddo que este étodo ão preserv esprsdde, ou se, durte o processo de elção utos eleetos ulos poderão se torr ão ulos. Oservese que sstes leres de grde porte são e gerl esprsos. Os étodos tertvos preserv esprsdde de A, pos os eleetos dest trz ão são lterdos. Apreset d u outr vtge sore o étodo d Elção de Guss dd pelo fto de que são étodos reltvete sesíves o cresceto de erros de rredodeto. A dé cetrl dos étodos tertvos é geerlzr o M.I.L. utlzdo usc de rízes de u equção, estuddo terorete. Cosdere u sste ler d for A=......... Oté-se prtr de s equções........., ou, equvleteete,
......,,,...,,,.. MÉTODO DE GAU-JACOBI... CARACTERIZAÇÃO upoh-se que desg proção de orde de ; T,...,, desg o vetor de proção de orde do vetor solução do sste =,,,... Clcul-se os vetores protvos,,..., prtr de u vetor de proção cl, utlzdo-se do esque,,,...,,..., Eeplo Método Itertvo de Guss-Jco e resolver o sste ler Pelo étodo tertvo de Guss-Jco, co.... e Resolução Oteção d for tertv
,,,... Aplcção do étodo Cálculo de 9........9....9..9 Cálculo de.....9....9.. Cálculo de 9..9.. 9....9.9.9.9.9.9.9
Cálculo de.9.9.9..9.9..... Cálculo de..9.9.999.9.9.99..9.9. 99.999.99.99 Cálculo de.999.9.9.99.9..99.9....999 é solução do sste ler,.99 co e., otd pelo.99 étodo tertvo de Gss - Jco. Oservção solução et é o vetor 9
... MÉTODO ITERATIVO DE GAU-JACOBI - UM CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA O teore segur estelece u codção sufcete pr covergêc do étodo tertvo de Guss-Jco. TEOREMA crtéro ds lhs e o sste ler A e se / e á covergete pr solução do sste ddo, depedeteete d escolh d proção cl,. etão o étodo tertvo de Guss-Jco ger u seqüêc Eeplo Estude o sste do eeplo teror quto covergêc. Resolução Mtrz dos coefcetes A Cálculo de,,,... seqüêc será covergete. Eeplo Estudr o sste quto covergêc.
Resolução Mtrz dos coefcetes A Cálculo de,,, Perutdo-se prer equção co segud oté-se o sste ler equvlete cu trz dos coefcetes é A Cálculo de,,,.... á e. será coverget seqüêc.. MÉTODO DE GAU-EIDEL... CARACTERIZAÇÃO Os vetores protvos são otdos trvés do esque,,,...,,..., Oserv-se que, o processo tertvo de Guss-edel, o oeto de se clculr, são usdos os vlores de,...,, que á for clculdos, e os vlores,..., resttes.
Eeplo Resolver o sste ler usdo o étodo tertvo de Guss-edel, co.... e Resolução Oteção d for tertv.,,,,.. Aplcção do étodo Cálculo de 9..9..9.9..9.9....9.9.9 Cálculo de.......9..9..9 á
Cálculo de..99..9.99.9.9.9.9.9...99.9 Cálculo de..,....9..9.99.9.9 á Cálculo de..9999..99.9999..99.99..99. Cálculo de......99.9999.9.99.. solução do sste ler, co., otd pelo étodo tertvo de Guss-edel, é dd por
.99.9999. Note-se que, de fto, solução otd stsfz o crtéro.... ETUDO DA CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAU-EIDEL A CRITÉRIO DE AENFELD O "crtéro de ssefeld" propc u codção sufcete pr covergêc do étodo tertvo de Guss-edel. Teore e A u sste ler de orde co,,,..., e se M,,..., A codção M < é sufcete pr que seqüêc gerd pelo étodo de Guss-edel se covergete depedeteete d proção cl. Alé dsto, quto eor for s rápd será covergêc. Eeplo Estudr o sste ler segute quto à covergêc segudo o "crtéro de ssefeld"............... Resolução Cálculo dos,
...................... á M seqüêc gerd pelo étodo tertvo de Guss-edel será covergete. Eeplo estudr o sste ler segute quto covergêc segudo crtéro de ssefeld 9 Resolução Perutdo-se etre s s equções e, oté-se 9 ' ' ' ' Perutdo-se etre s e colus de ' oté-se 9 '' / / / á M
seqüêc gerd pelo étodo tertvo de Guss-edel pr o sste '' será covergete. B CRITÉRIO DA LINHA O crtéro ds lhs dz que se á, ode /, etão o étodo de Guss-edel ger u seqüêc covergete. Eeplo Estudr o sste ler 9 quto à covergêc segudo os crtéros de ssefeld e ds lhs. Resolução Crtéros ds lhs ão é stsfeto. crtéro ds lhs o Crtéro de ssefeld crtéro de ssefeld é stsfeto / o
Eercíco Ddo o sste ler Pede-se Verfcr se o crtéro de ssefeld é stsfeto Resolver por Guss-edel, se possível, cosderdo T,,, e u precsão. Resp. M =. T.... Eercíco Usdo o "crtéro de ssefeld", verfque pr que vlores de se te grt de que o étodo de Guss-edel v gerr u seqüêc covergete pr solucão do sste. Eercíco Resolv o sste o pelo étodo de Guss-edel. Cosdere T,, e u precsão. Resp. T.9,.,. Algorto Método Itertvo de Guss-edel
Iíco * Guss-edel * olcte o úero de equções N Le N * letur dos eleetos trz e vetor * Pr de té N Fç olcte Le Pr de té N Fç olcte, Le, F pr F pr olcte precsão E Le E * clzção * Pr de té N fç = ; M = * ulr úero de terções * Equto M <> Fç Pr de té N fç Tp = = Pr de té Fç e <> Etão = +,* F e F pr * * = -/, e tp > E Etão M= F se F Pr * * F equto Pr de té N Fç Escreve,, =, F pr F * Guss-edel * BIBLIOGRAFIA. BARROO, L.C. & outros. Cálculo Nuérco co plcções. Edtor Hrr Ltd, 9.. DORN, W.. & MAcCRACKEN, D. D. Cálculo Nuérco co Estudo de Csos e Fortr IV. Cpus, 9.. FRANCO, N. B. Cálculo Nuérco. ão Pulo Perso Pretce Hll,.. MAURER, W. A. Curso de Cálculo Dferecl e Itegrl Fuções de Várs Vráves e Aplcções. ão Pulo Edgrd Blücher Ltd, 9.. RUGGIERO, M.A.G. & LOPE, V.L.R. Cálculo Nuérco Aspectos Teórcos e Coputcos. ão Pulo MAKRON Boos, 99.