TEMAS E CONEXÕES Ano I Númeo 1 º semeste / 011 ATIGO CAALIEI ATACA NOAMENTE Ivail Muniz Junio (*) A uiosidade e a imaginação sempe estiveam pesentes na históia da Matemátia Quando elas esolvem apota em nossas aulas, situações inespeadas e inteessantes aonteem Esse pequeno atigo omeçou a se desenhado no final de 007, quando uma aluna, inteligente e uiosa, da segunda séie do Ensino Médio, peguntou-me omo podeíamos obte uma fómula paa o volume da alota esféia, utilizando agumentos paeidos om aqueles utilizados paa os outos sólidos Como tínhamos utilizado o Pinípio de Cavaliei paa enonta fómulas paa os volumes de pismas, ilindos, piâmides, ones e a esfea, Ananda peguntou-me omo obte uma fómula paa a alota esféia Iniialmente, disse que essa fómula ea bem mais ompliada que as outas e que peisaíamos de ténias mais podeosas paa obtêla Confesso que é o tipo de esposta que eu não gosto de da paa alunos, pinipalmente aos apliados e uiosos, omo ea o aso de Ananda Cetamente, om algum tempo eta, tais alunos apendeiam um pouo de álulo, ou uma das fómulas de Pappus-Guldin, o que nos pemitiia hega à fómula da alota Mas, omo não havia tempo disponível paa isso, e estávamos em uma aula de esfea, na qual tínhamos aabado de demonsta a fómula do volume da esfea, a uiosidade apotou novamente e me fiz a seguinte pegunta: Seia possível obte o volume da alota esféia 1 utilizando o Pinípio de Cavaliei? Se foa possível om a esfea, po que não om uma pate (bem ompotada po sinal) dela? Passei alguns eeíios paa meus alunos e omeei imediatamente a pensa na questão Ao final da aula, hamei a Ananda e vivi um gande momento Compatilhaei om os pezados leitoes, nas póimas linhas, uma seção do que desobimos O Pinípio de Cavaliei 1 Em alguns livos utiliza-se o temo alota esféia paa a supefíie uja geatiz é um ao de iunfeênia e ujo eio ontém o diâmeto da esfea e passa pelo ento da iunfeênia que ontém o ao Consideamos, neste atigo, a alota esféia omo um sólido poduzido a pati da seção de uma esfea
TEMAS E CONEXÕES Ano I Númeo 1 º semeste / 011 Bonaventua Cavaliei naseu em Milão, em 1598 Foi aluno de Galileu, e atuou omo pofesso de Matemátia na Univesidade de Bolonha de 169 até 1647, ano de sua mote Deiou uma oba vasta abangendo Matemátia, Óptia e Astonomia Fig1 - Bonaventua Cavaliei Disponível em wwwe-umsi/lessons/44/ Em gande pate, foi o esponsável pela intodução e difusão dos logaitmos na Euopa Sua gande ontibuição à Matemátia pode se onsideada a oba Geometia indivisibilibus, publiada em sua pimeia vesão em 165 Nesse tabalho, ele apesenta dois esultados que podem se assim sintetizados: 1) Se duas poções planas são tais que toda eta seante a elas e paalela a uma eta dada detemina nas poções segmentos de eta uja azão é onstante, então a azão ente as áeas dessas poções é a mesma onstante; ) Se dois sólidos são tais que todo plano seante a eles e paalelo a um plano dado detemina nos sólidos seções uja azão é onstante, então a azão ente os volumes desses sólidos é a mesma onstante Do Pinípio de Cavaliei podemos tia então que, dados dois sólidos apoiados em um plano, se todo plano paalelo ao plano dado seiona os dois sólidos segundo figuas de mesma áea, então esses sólidos têm mesmo volume Não temos po objetivo neste atigo demonsta o pinípio de Cavaliei, visto que sua demonstação envolveia oneitos avançados da Teoia da Medida, onfome aponta (Lima, 1998, ol, p 57), o que foge do objetivo aqui poposto
TEMAS E CONEXÕES Ano I Númeo 1 º semeste / 011 Apesa da demonstação não se aessível ao aluno do Ensino Médio, a utilização de eemplos e agumentos que indiquem que ele seja vedadeio são etemamente eomendáveis Se imaginamos os dois sólidos fatiados no mesmo númeo de fatias muito finas, todas om a mesma altua, duas fatias oespondentes om mesma áea teão, apoimadamente mesmo volume Diminuindo a espessua tanto quanto se queia, os volumes das fatias fiaão ada vez mais póimos Consideando que o volume dos sólidos é igual à soma dos volumes das fatias, podemos onlui que os volumes dos sólidos seão iguais Eemplos de pilhas de baalhos iguais om o mesmo númeo de atas em ada pilha, mas dispostas de fomas difeentes, ontibuem paa a visualização e entendimento do pinipio de Cavaliei Uma apliação inteessante do pinípio de Cavaliei, no Ensino Médio, é a obtenção do volume da esfea Consideemos uma semi-esfea de aio apoiada em um plano hoizontal e, ao lado, um ilindo de altua e aio, om a base também apoiada nesse plano (Fig) Desse ilindo, etiamos um one, uja base oinide om a do ilindo e de mesma altua Chamaemos esse sólido de S P A O S 1 π π ( - ) S π( - ) Fig
TEMAS E CONEXÕES Ano I Númeo 1 º semeste / 011 Obseve que, paa uma mesma altua, um plano poduz na esfea uma seção iula de áea S 1 π ( - ) e, no sólido S, uma seção igual a uma ooa iula, de áea S π( - ), onfome ilusta a figua Como as áeas das seções são iguais, paa qualque plano hoizontal que ote os dois sólidos, temos que o volume da semi-esfea é igual ao volume do sólido S Assim, o volume da semiesfea é igual ao volume de ilindo de altua e aio menos o volume de um one de mesma base e altua Assim, e π 1 π π Logo o volume da esfea é igual a 4 π Cavaliei e a Calota Esféia Como vimos na seção anteio, o volume da esfea pode se obtido, a pati do pinípio de Cavaliei, ompaando as seções poduzidas po um plano que otava uma esfea e um deteminado sólido (este sólido, se dupliado, eebe o nome de lépsida) ejamos omo utilizá-lo paa enontamos uma fómula paa o volume da alota esféia Patindo da metade da lépsida anteio, seja ψ o sólido obtido etiando-se do ilindo de altua h e aio um tono de one de altua h, base maio oinidindo om a base do ilindo e base meno om aio igual a h (obseve que o tiângulo OPA é isóseles) (Fig) Como vimos, qualque plano hoizontal, distando d do ento da semi- esfea, bem omo do vétie do one, poduzia seções equivalentes na esfea e na lépsida Isso inlui todas as seções poduzidas quando d > h Consideando essa equivalênia ente as seções, podemos mosta que: olume da alota olume do ilindo volume do tono de one
TEMAS E CONEXÕES Ano I Númeo 1 º semeste / 011 h h P - h A - h O Fig Efetuando os álulos temos: π h π h( + ( h) + ( h) ) π h π h( + h + h + h ) π h (π h π h + π h (π h π h ) ) π h π h h π h
TEMAS E CONEXÕES Ano I Númeo 1 º semeste / 011 Obseve que, nessa fómula, peisamos da altua da alota e do aio da esfea que ontém a alota Se quiséssemos epessa o volume da alota em função da altua h e do aio da base da alota, bastaia obseva que: h + h + h h ( - h) ( - h + h Substituindo, na fómula anteio do volume da alota, temos: ) h h + π h h π h π h π h + π h ( + h ) 6 essaltamos que a pimeia epessão, além de se mais simples, pode se failmente utilizada em qualque um dos asos apesentados, pois, desobi o aio da esfea a pati do aio da alota é uma apliação simples do Teoema de Pitágoas, sendo, potanto, desneessáia a memoização de duas fómulas, uma paa ada aso Conlusão Utiliza o pinípio de Cavaliei omo Aioma no Ensino Médio é uma eelente opotunidade de mosta omo idéias apaentemente simples podem se etemamente podeosas na solução de divesos poblemas, inlusive de poblemas ompliados efoçamos e defendemos a impotânia de sua utilização paa omplementa a abodagem no estudo de volumes no Ensino Médio Espeamos que essa apliação do Pinípio de Cavaliei ontibua de alguma foma paa a ampliação da utilização dessa feamenta tão podeosa e muitas vezes tão subutilizada neste nível de ensino BIBLIOGAFIA
TEMAS E CONEXÕES Ano I Númeo 1 º semeste / 011 [1] Lima, Elon Lages et all A Matemátia no Ensino Médio, ol io de Janeio: Soiedade Basileia de Matemátia, IMPA, 1998 [] Dole, Osvaldo et all Fundamentos da Matemátia Elementa, ol 10 São Paulo, Atual Editoa, 1996 [] Eves, Howad, Intodução à Históia da Matemátia, Uniamp, Campinas: Editoa da Uniamp, 004 (*) Ivail Muniz Junio é aioa, doente do Depatamento de Matemátia do Colégio Pedo II, do Colégio Santo Antonio Maia Zaaia e da Esola Ténia João Luiz do Nasimento (FAETEC/J) É Lieniado em Matemátia pela UFJ, om Espeialização em Apendizagem em Matemátia pela UEJ e Mestado em Ensino de Matemátia pelo CEFET J Em sua tajetóia pofissional já atuou em banas de onusos públios de admissão oganizados pelo Colégio Pedo II, pela UFJ, pela BAYE S/A e pela FESP