1 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 Conteúdo... : Espaços Amostrais e Probabilidade Variáveis Aleatórias Instruções Gerais.. : Apresentar as soluções em folhas de papel escritas à mão. As folhas devem ser identificadas com nome completo do aluno. Cada questão deve ser identificada inequivocamente. Soluções de problemas que requerem manipulação algébrica devem ser apresentadas passo-a-passo. Data de Entrega... : 11 de novembro de 2016 (entregar na aula) Conjuntos 1) O sistema ABO de tipos sanguíneos é baseado na presença de antígenos no sangue. Uma pessoa com antígeno A possui tipo sanguíneo A, uma pessoa com antígeno B possui tipo sanguíneo B e uma pessoa com ambos os antígenos A e B possui sangue tipo AB. Se nenhum antígeno está presente no sangue, o tipo sanguíneo é O. Desenho um diagrama de Venn que representa o sistema ABO de tipos sanguíneos. Uma proteína que reveste as células vermelhas do sangue de algumas pessoas foi descoberta em 1940. Uma pessoa com essa proteína é classificada como tendo fator Rh positivo (Rh+), enquanto que uma pessoa cujas células sanguíneas não possuem esta proteína é classificada como tento fator Rh negativo (Rh-). Desenhe um diagrama de Venn que represente todos os tipos sanguíneos no sistema ABO com o fator Rh correspondente. 2) Considere um baralho dividido entre os naipes copas, ouros, espadas e paus, cada um com cartas numeradas de um a doze. Copas e ouros são naipes de cor vermelha, enquanto que espada e paus são naipes de cor preta. Considere que o conjunto A contém as cartas de copas; o conjunto B contém cartas maiores que cinco; e o conjunto C é composto por cartas pretas. Expresse cada um dos eventos abaixo em termos de A, B e C e das operações de complemento, união e intersecção: a. Ao menos um dos eventos A, B e C ocorre. b. No máximo um dos eventos A, B e C ocorre. c. Nenhum dos eventos A, B e C ocorre. d. Exatamente um dos eventos A, B e C ocorre. e. Eventos B ocorre enquanto que evento C não ocorre. f. Eventos A ou C ocorrem enquanto que evento B não ocorre. Apresente tanto a representação algébrica quanto o diagrama de Venn das respostas.
Modelos Probabilísticos Universidade Federal Fluminense 3) Um dado não viciado de quatro faces é lançado três vezes. Determine a probabilidade dos eventos apresentados abaixo: a. A sequência de faces 1, 1, 1. b. Qualquer sequência com duas faces 3 e uma face 4. c. Qualquer sequência onde o número de faces pares é maior que o número de faces ímpares. 4) Um dado de dez faces é construído de tal modo que cada face com valor maior que três é duas vezes mais provável de ocorrer que cada uma das demais faces. Toda face com valor menor ou igual a três possui as mesmas chances de ocorrer, assim como toda face com valor maior que três possui as mesmas chances de ocorrer. a. Construa um modelo probabilístico para um único lançamento deste dado e encontre a probabilidade do resultado ser menor do que seis. b. Construa um modelo probabilístico para dois lançamentos consecutivos deste dado e encontro a probabilidade da soma dos resultados ser maior ou igual a dez. 2 Probabilidade Condicional, Lei da Probabilidade Total e Teorema de Bayes 5) O jogo de dominós faz uso de um conjunto de peças retangulares divididas em duas partes. Cada uma das partes de uma peça possui de zero a seis marcações, totalizando 28 peças distintas. Assumindo que todas as peças possuem a mesma probabilidade de serem escolhidas em um sorteio: a. Qual a probabilidade de escolha de uma peça dupla, ou seja, com a mesma quantidade de marcações em ambas as partes? b. Dado que a soma das marcações da peça escolhida é maior ou igual a sete, qual a probabilidade condicional de uma peças dupla ser escolhida? c. Qual a probabilidade de ao menos um dos lados da peça escolhida ser igual a seis? 6) Os irmãos João, José e Pedro sempre se metem em encrenca. É impressionante ver que os três possuem a mesma capacidade para isso e que os três possuem a seguinte característica peculiar: João sempre mente, José sempre diz a verdade e Pedro diz a verdade 60% das vezes. Certo dia, um vaso com flores foi encontrado quebrado pela mãe dos meninos. Ao perceber a bagunça, ela prontamente cercou um dos filhos e perguntou: Foi você quem quebrou este vaso?. A resposta foi positiva e era evidente de que a resposta era verdadeira, pois a terra no vaso havia sujado as roupas do menino. Qual a probabilidade de ter sido Pedro o menino indagado? 7) Suponha a existência de um teste de estresse capaz de prever, com 85% de acurácia, quando um aluno de um certo Programa de Pós-Graduação está estressado. Quando o aluno está estressado, o teste retorna positivo para estresse com probabilidade 0,85, enquanto que quando o aluno não está estressado ele retorna corretamente negativo para estresse com probabilidade 0,85. Em um cenário em que 95% dos estudantes estão estressados, se o teste de estresse retorna negativo, qual a probabilidade do estudante testado estar estressado?
8) Três participantes de um reality show disputam uma prova para ver quem ganhará um carro 0 Km. À frente deles existe um conjunto de m chaves capazes de ligar o carro e um conjunto de n chaves incapazes de ligar o carro, todas misturadas. Os participantes se alternam na escolha e teste de uma chaves, uma por vez. O primeiro que conseguir ligar o carro, leva o prêmio. Desenvolva uma fórmula recursiva que permita, de maneira conveniente, o cálculo da probabilidade do participante que inicia a prova vencer. 9) Suponha que 40% dos e-mails que você recebe é spam. Com probabilidade 0,3, esses e-mails contém a palavra compre no texto de assunto. Alguns e-mail que não são spam também podem conter esta palavra no texto de assunto, porém com probabilidade 0,01. Dado que você recebe um e-mail contendo a palavra compre em seu texto de assunto: a. Qual a probabilidade deste e-mail não ser spam? b. Qual a probabilidade deste e-mail ser spam? 10) Dos barcos de pesca que naufragam na costa de um determinado país, 70% acabam sendo encontrados. Dos barcos que são encontrados, 60% possuem um localizador de emergência, enquanto que 90% dos barcos que não são encontrados não possuem tal localizador. Supondo que um barco com localizador naufragou na costa deste país, qual a probabilidade dele ser encontrado? 3 Independência 11) Assuma que os eventos A e B são independentes. Assuma, também, que os eventos A e C também são independentes. Nessas condições, sempre é verdade que A é independente de B C? Forneça uma prova ou um contraexemplo que apoie sua resposta. 12) Deixe A e B ser eventos tal que A B. É possível que A e B sejam independentes? Responda e forneça um exemplo de quando eles são independentes, ou uma prova de que isso não pode acontecer. 13) Assuma que A e B são eventos independentes. a. Prove que P(A B) = P(A) + P(B) P(A) P(B). b. Use o resultado do item (a) e a definição de independência para mostrar que se os eventos A, B e C são independentes, então A e B C são independentes. Obs.: Escreva provas completas. Por exemplo, no item (a), não parta de atalhos como a propriedade P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) apresentada em aula. Métodos de Contagem 14) De uma população de nove homens e seis mulheres, cinco pessoas são escolhidas para formar um grupo que deve conter pelo menos três homens. De quantas maneiras diferentes este grupo pode ser formado?
15) Quantos números de n dígitos podem ser formados a partir dos dígitos 2, 3, 5, 6, 7 e 9, de modo que nenhum dígito se repita e o número seja divisível por 5? 16) De quantas maneiras diferentes as letras das palavras a seguir podem ser arranjadas de modo que a condição indicada seja atendida? a. CABIDE Condição: as vogais devem aparecer juntas. b. FONE Condição: a terceira letra deve ser uma vogal. c. LÁPIS Condição: a letras no início e no fim da palavra devem ser vogais. 17) Dado um conjunto S contendo n elementos e um subconjuntos A S contendo k elementos, determine a quantidade de subconjunto B S que satisfaça: a. B A b. A B = c. A B 4 Variáveis Aleatórias Discretas 18) Considere três variáveis aleatórias discretas X, Y e Z. Suponha que as PMFs p X (x), p Y X (y x) e p Z Y (z y) são fornecidas para todo x, y e z que as variáveis aleatórias podem assumir. Para cada item abaixo, indique quando é e quando não é possível calcular a PMF com a informação fornecida. Caso seja possível, calcular a PMF e mostre a tal expressão em termos de p X (x), p Y X (y x) e p Z Y (z y) ou em termos de outras PMFs já calculadas no exercícios. Caso não seja possível, indique que informação adicional seria necessária para calcular a PMF requerida. a. p Y (y) b. p Z (z) c. p X,Y (x, y) d. p Y,Z (y, z) e. p X,Z (x, z) f. p X Y (x y) g. p X Z (x z) h. p Y Z (y z) 19) A probabilidade de Joselito jogar na Mega-Sena em qualquer semana do ano é p, independente dele ter ou não ter jogado em qualquer outra semana. Cada vez que joga, Joselito tem a probabilidade q de vencer, novamente, independentemente de qualquer outro fator. Durante um
período de tempo fixo de n semanas, deixe X ser o número de semanas que ele jogou na Mega- Sena e Y o número de vezes que ele ganhou. a. Qual a probabilidade de Joselito ter jogado na Mega-Sena em qualquer semana em particular, dado que ele não venceu naquela semana? b. Encontre a PMF condicional p Y X (y x). c. Encontre a PMF conjunta p X,Y (x, y). As respostas podem ser dadas em termos de fatorial, exponencial, etc. 20) Um controlador precisa atender à n requisições de leitura/escrita em um disco com c cilindros. Assuma que essas requisições são distribuídas uniformemente sobre os cilindros desse disco, indexados por i = 0, 1,, c 1. Antes de começar a atender às requisições, a cabeça de leitura/escrita está no cilindro 0. Após atender às requisições, ela deverá retornar à posição 0. O controlador pode adotar duas estratégias para realizar os atendimentos: Estratégia 1: As n requisições são ordenadas de forma crescente por índice do cilindro e então são atendidas nessa ordem. Com esse esquema, a distância que a cabeça de leitura/escrita percorre é duas vezes maior que a distância de 0 para o maior índice das n requisições. Estratégia 2: As requisições entram em uma fila do tipo FIFO. Com esse esquema, a cabeça de leitura/escrita se move da seguinte forma: 1) Do cilindro 0 para a localização do cilindro da 1ª requisição. 2) Da localização do cilindro da 1ª requisição para o cilindro da 2ª requisição, do cilindro da 2ª requisição para o da 3ª requisição,, da localização do cilindro da (n 1)-ésima requisição para o cilindro da n-ésima requisição. 3) Da localização do cilindro da n-ésima requisição para o cilindro 0. Calcule a distância média esperada e a variância para cada uma das estratégias. A partir desses valores, quais conclusões podemos tirar ao comparar as duas estratégias? 21) Você criou um aplicativo web e decidiu torna-lo seu ganha-pão por meio da exibição de anúncios. Existem dois tipos de anúncios que você poderá exibir: Tipo A e Tipo B. Você recebe R$0,10 cada vez que um usuário dá um click em um anúncio do Tipo A. Se o usuário dá um click no anúncio do Tipo B então você ganha R$0,05. Você só pode mostrar um anúncio por usuário, que poderá dar no máximo um click no anúncio Se um anúncio do Tipo A é exibido para um usuário mais velho, então ele dará um click no anúncio com probabilidade 0,3. Enquanto que a probabilidade de usuários mais velhos darem um click no anúncio de Tipo B é de 0,1. Usuários mais jovens darão clicks em anúncios do Tipo A com probabilidade 0,1, e em anúncios do Tipo B com probabilidade 0,4. Metade dos usuários do seu aplicativo são pessoas jovens e a outra metade são pessoas mais velhas. a. Se você tiver que mostrar o mesmo tipo de anúncio para todos os usuários, você espera fazer mais dinheiro mostrando anúncios do Tipo A ou do Tipo B? Justifique sua resposta. b. Suponha que você possui alguma informação demográfica sobre os usuários da sua aplicação, de modo que você consiga escolher o tipo de anúncios em função da idade do usuários. Mostre 5
que você poderá lucrar mais mostrando anúncios do Tipo A para usuários mais velhos e do Tipo B para usuários mais jovens. 22) Considere o lançamento independente de duas moedas não viciadas. Dadas as variáveis aleatórias: a. Qual o valor esperado de A, B, C e D? b. Qual a variância de A, B, C e D? 1, 1ª moeda retorna cara A = { 1, 1ª moeda retorna coroa 1, 2ª moeda retorna cara B = { 1, 2ª moeda retorna coroa C = A + B D = A B c. Prove ou refute a afirmação de que A e C são independentes. d. Prove ou refute a afirmação de que A e D são independentes. 6 Variáveis Aleatórias Contínuas 23) Um estudante da UFF costuma chegar à estação de barcas da Praça XV, no Rio de Janeiro, entre 7:55 e 8:15, com distribuição uniforme de probabilidades nesse intervalo. Se esse estudante chega entre 7:55 e 8:00, então ele consegue pegar a barca das 8:00. Caso contrário, ele precise pegar a barca das 8:15. Qual o tempo esperado que esse estudante gasta aguardando a chegada da barca? 24) As variáveis aleatórias X e Y são distribuídas de acordo com a PDF: a. Qual o valor da constante c? b. Determine as PDFs marginais f X (x) e f Y (y). c x, se 1 x y 3, f X,Y (x, y) = { 0, caso contrário. c. Determine o valor esperado de 1/X, dado que Y = 3/2. d. A variável aleatória Z é definida por Z = Y X. Determine a PDF f Z (z). 25) Um sistema computacional consiste de n subsistemas, sendo que o tempo de vida de cada subsistema segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ i, para i = 1, 2,, n. Cada subsistema é independente, mas o sistema computacional como um todo falha se qualquer um dos seus subsistemas falhar. Seja X uma variável aleatória que indica o tempo de vida de um sistema computacional, i.e., o tempo até o sistema como um todo falhar: a. Derive a CDF F X de X. b. Use sua resposta para o item (a) para argumentar que X é uma variável aleatória exponencial. Qual o parâmetro λ de X?