Capítulo 8 Teoria Iformal dos Cojutos Neste capítulo, são apresetadas algumas idéias da Teoria Iformal dos Cojutos devida a George Cator, seguidas da proposição e demostração de algumas propriedades fudametais. No próximo capítulo, o Capítulo 9, são apresetados e cometados, de forma suficietemete clara, os axiomas que dão sustetação à Teoria Axiomática dos Cojutos de Zermelo-Fraekel, sedo que a Teoria Axiomática dos Cojutos de vo Neuma-Berays-Gödel será rapidamete apresetada. 8.1.- Itrodução Etre 1871 e 1884, George Cator desevolveu a Teoria dos Cojutos. Ela ão foi desevolvida de forma axiomática, por isto iremos deomiá-la Teoria Iformal dos Cojutos. Apesar do brilhatismo com que Cator expôs suas idéias, algus matemáticos passaram a ecotrar e a apotar cotradições que poderiam, de alguma forma, ivalidar muitas daquelas idéias. A mais famosa destas cotradições é cohecida como Paradoxo ou (Atiomia) de Russel; devida a Bertrad Russel, apota que: apesar do que afirmava Cator, era impossível haver um cojuto de todos os cojutos, pois este cojuto deveria possuir a si mesmo como elemeto, o que geraria um círculo vicioso. Foram cotradições como esta, e várias outras, meos cohecidas e meos famosas, que levaram outros matemáticos a propor a axiomatização da Teoria dos Cojutos 1. A primeira apresetação axiomática da Teoria dos Cojutos se deve a Erest Friedrich Ferdiad Zermelo com base em sete axiomas que icluía o axioma da escolha. Adolf Abraham Halevi Fraekel itroduziu um outro axioma a teoria de Zermelo passado a partir daí ser, esta teoria, cohecida como Teoria de Zermelo-Fraekel muito citada em iglês como ZF-Theory. Esta teoria recebeu aida outras modificações sugeridas por Thoralf Skolem [Stoll 1961], sedo que evetualmete pode aparecer citada como Teoria dos Cojutos de Zermelo-Fraekel-Skolem. A abordagem axiomática da Teoria dos Cojutos de Zermelo-Fraekel, apesar de muito popular, ão é a úica. Outra teoria axiomática dos cojutos bastate citada é a de Joh vo Neuma, uma teoria que, simplificada por Paul Berays, ao receber cotribuições de Gödel, passou a ser cohecida como Teoria Axiomática dos Cojutos de vo-neuma-berays-gödel (Teoria dos Cojutos NBG). Há outras teorias axiomáticas dos cojutos meos cohecidas e citadas, como a de
Morse-Kelley 2 (MK), a de Tarski-Grothedieck (TG) e as duas teorias axiomáticas dos cojutos desevolvidas por Willard Quie, sedo que a última delas, uma cotradição apotada por J.B. Rosser foi elimiada por Hao Wag [Mora 1994]. Paul R. Halmos expôs a Teoria dos Cojutos um pequeo livro deomiado Teoria Igêua dos Cojutos [Halmos 1960]. Neste livro Halmos apreseta, com base as idéias de Cator e de Zermelo, os axiomas e, a partir deles, prova algus poucos, mas importates teoremas. Um outro trabalho otável sobre a teoria de Zermelo-Fraekel, publicado sob o título: Teoria Axiomática dos Cojutos: uma itrodução, de autoria de dois professores do Câmpus da UNESP de Presidete Prudete, Sebastião Atoio Izar e Wilso Maurício Tadii [Izar & Tadii 1998], foi utilizado como base para um curso miistrado o Curso de Liceciatura em Matemática daquela Istituição. 8.2.- Noções Fudametais Serão expostas e cometadas a seguir algumas das oções fudametais da Teoria dos Cojutos formulada por George Cator. 8.2.1.- Cojutos e Elemetos Cator defiiu cojuto da seguites maeira [Mora 1994]: Um cojuto é uma coleção um todo, de objetos determiados, que sejam percebidos ou compreedidos por ós como distitos, deomiados elemetos do cojuto. Em seu livro Discrete Mathematics ad Its Applicatios, após uma imesa digressão sobre o que possa ser um cojuto sem, cotudo, defii-lo, Keeth H. Rose [Rose 1991] apreseta, fialmete, a sua Defiição 1 : Os objetos em um cojuto são também chamados elemetos ou membros do cojuto. É dito que um cojuto cotém seus elemetos.. No etato, para aquilo que pretedemos o osso curso, será coveiete tomarmos a oção de cojuto como sedo ituitiva, ou mais, iremos tomá-la como coceito ão defiido, ou seja, uma oção primitiva da teoria. Também, as oções de elemetos de um cojuto e a de pertiêcia (ou ão) de um dado elemeto a um cojuto, serão tomadas como ituitivas ou primitivas. 1 Iformações bastate detalhadas (em iglês) sobre: George Cator, Set Theory, Paradoxes, Zermelo Set Theory, Zermelo-Fraekel Axioms, vo Neuma-Berays-Gödel Set Theory, Skolem, e sobre os axiomas da Teoria dos Cojutos de Zermelo-Fraekel - podem ser ecotradas o site: http://mathworld.wolfram.com/. 2 O leitor ecotrará em algus outros autores: Kelley-Morse (KM)
8.2.2.- Determiação de um Cojuto! Na figura a seguir, são apresetadas algumas das diversas formas de represetação de um mesmo cojuto: Seja Cosiderar: A é o cojuto das vogais da Lígua Portuguesa. [3] Diagrama de Ve-Eüler: A [1] A = { a, e, i, o, u } = { i, o, u, a, e } = {a, a, e, i, i, i, o, u, u } a e [2] A = { x x é uma vogal do alfabeto, da Lígua Portuguesa} i o u Figura 1.- Formas de represetação de um cojuto A forma de represetação [1] é deomiada forma de listagem, ode os elemetos do cojuto são apresetados um a um, separados por vírgulas, sob a forma de uma lista liear ão ecessariamete ordeada. Na forma de represetação [2] o cojuto A passa a ser referido pela propriedade de seus elemetos, e a leitura é a seguite: A é igual ao cojuto dos x, tal que x é uma vogal da Lígua Portuguesa. Aqui o x é uma variável que represeta cada um dos elemetos cuja propriedade é a de ser uma vogal do alfabeto da Lígua Portuguesa, o que ão os permitirá icluir, o cojuto A, o y como vogal. A forma de represetação [3] apreseta o cojuto através de um diagrama de Ve-Eüler, muito usado a prática para cocretizar as propriedades e as operações etre cojutos, como se verá mais à frete. Cosiderado x um elemeto qualquer de um cojuto qualquer X, estabelecedo que a proposição (x X) possa ser escrita resumidamete como: x X, e recorredo à Figura 1 acima, podemos escrever: a A, 3 A e b A, que poderão ser lidos (idiferetemete) como: o elemeto a pertece ao cojuto A, 3 ão pertece a A e b ão é elemeto do cojuto A. Pode-se aida observar a Figura 1, as duas propriedades mais otáveis dos cojutos, quado apresetados sob a forma de listagem, isto é, os elemetos separados por vírgulas etre chaves: (1 a ) os elemetos de um cojuto, quado ele for apresetado sob a forma de listagem, ão precisam estar ecessariamete ordeados;
" (2 a ) a repetição de um elemeto a lista ão cria ovos elemetos; é assim que tato {a, e, i, o, u }, como { i, o, u, a, e} e { a, a, e, i, i, i, o, u, u} cotiuam sedo o cojuto das vogais. Nota Importate: Sedo P(x) uma propriedade de uma variável x, podemos escrever um dado cojuto M cujos elemetos teham em comum uma propriedade P, como sedo M = {x P(x)} que é lido ou etedido como: M é o cojuto de elemetos do tipo x, tal que x tem a propriedade P. Esta forma de represetação de um cojuto é a melhor forma de determiação do mesmo, ou seja: a determiação de um cojuto pela propriedade característica de seus elemetos evita que tehamos que listar os seus elemetos, o que às vezes poderá ser impraticável. 8.2.3.- Cojuto Vazios A cocepção de que cojutos devam possuir elemetos ão os impede de defiir ou, simplesmete, de adotar: cojutos com apeas um elemeto (os cojutos uitários), como por exemplo {x x é a primeira letra miúscula do alfabeto grego} = {α}. cojutos sem elemetos (os cojutos vazios), que serão represetados por ou por { }. Assim sedo, podemos escrever simbolicamete = { x P(x) P(x)} que poderemos adotar como uma defiição de cojuto vazio, lembrado da Lógica de Primeira Ordem (Lógica de Predicados), a seguite seteça: P(x) P(x), que é uma cotradição, como o exemplo a seguir: x é um úmero maior que 10 e ao mesmo tempo x é um úmero meor ou igual que 10. Note que, se P(x) = x é maior que10, etão P(x) = x ão é maior 10 equivale a x é meor ou igual a 10. É comum ecotrar-se a seguite defiição de cojuto vazio: = { x x x} em que ão são utilizados símbolos da Lógica, mas símbolos algébricos. 8.3.- Cojutos fiitos e Cojutos Ifiitos Cardialidade Um cojuto é fiito, se possui exatamete elemetos distitos ( = 0, 1, 2, 3, 4,...). Dos exemplos dados até aqui, o cojuto das vogais, o cojuto vazio e os cojutos uitário, são fiitos, mas existem aqueles cuja quatidade de elemetos ifiita. 8.3.1.-Defiição de Cardialidade de Um Cojuto A cardialidade de A é a quatidade de elemetos distitos deste cojuto.
# Para deotar a cardialidade de um cojuto poderemos utilizar idiferetemete uma das seguites otações: (A) ou #(A). Assim ( ) = 0 ou #( ) = 0; (A) = 1 ou #(A) = 1 se A é um cojuto uitário, se A é um cojuto com elemetos escreveremos #(A) = ou (A) =. Observar que: [1] #({a, e, i, o, u }) = #({ i, o, u, a, e}) = #( { a, a, e, i, i, i, o, u, u} ) = 5 [2] #( {x x é a primeira letra miúscula do alfabeto grego} ) = #( {α} ) = 1. [3] #(A) = 0 A = 8.3.2.- Exemplos de Cojuto Numéricos (Ifiitos) Notáveis A seguir serão apresetados os cojutos uméricos: Naturais, Iteiros, Racioais, Reais e Complexos. No Capítulo 11 este assuto será retomado, quado serão abordadas as formas de costrução destes cojutos bem como uma de suas propriedades mais otáveis, a cardialidade. [1] Cojuto dos Números Naturais: = {0,1, 2, 3, 4, 5,...} com * = {1, 2, 3, 4, 5,...} = N { 0 }. [2] Cojuto dos Números Iteiros: Ζ = { 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4,...} ou etão: Z = {..., - 4,-3,-2, -1, 0,1, 2,3, 4,...} * com: Ζ = { ± 1, ± 2, ± 3, ± 4,...} = Z -{ 0} 2.1.- Cojuto dos Números Iteiros ão egativos: Ζ + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} = Ν 2.2.- Cojuto dos Números Iteiros ão positivos: = {0, -1, - 2, - 3, - 4, - 5,...} 2.3.- Cojuto dos Números Iteiros positivos: * Ζ + Ζ = {1, 2, 3, 4, 5,...} = Ν 2.4.- Cojuto dos Números Iteiros egativos: * = { -1, - 2, - 3, - 4, - 5,...} Fórmula para obteção dos úmeros iteiros pares: k é um úmero par k = 2, Z Fórmula para obteção dos úmeros iteiros ímpares: k é um úmero ímpar k = 2 + 1 k = 2-1, Ζ a a * [3] Cojuto dos Números Racioais: Q = {x x =, a Ζ, b Ζ, b 0} = {x x =,a Ζ, b Ζ } b b Um úmero x é um úmero racioal se, e somete se, ele pode ser escrito sob a forma de razão (ou de um quociete) etre dois úmeros iteiros, ode o divisor ão 5 10 25 seja zero, como por exemplo: 5 = = = =..., assim, 5 Q. 1 2 5 Iremos provar mais à frete, o capítulo 10, que 2 Q, isto é, 2 ão é um úmero racioal, ele é um úmero irracioal. O cojuto dos úmeros irracioais tem ifiitos elemetos, podedo-se citar como exemplos de úmeros irracioais, os Ζ *
$ seguites: 2, 3, 5, 6, 7,..., 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, 3 6, 3 7, 3 9,..., π 3,1415926535... (úmero pi), e 2,7182818284... (úmero de Eüler). Os úmeros irracioais são sempre decimais ifiitos e ão periódicos. Já os úmeros racioais, úmeros que podem ser escritos sob a forma de razão: a b com b 0, podem gerar, quado se efetua a divisão de a por b, decimais exatos, ou etão, decimais ifiitos porém periódicos, deomiadas dízimas periódicas. Vejamos algus exemplos: 432 = 0, 432 é um úmero racioal que pode ser expresso como um 1000 úmero decimal fiito, isto é, com uma quatidade fiita de casas decimais. 2 312 = 0,666... = 0,6 = 0, 6 e = 0,936936936... = 0, 936 são úmeros 3 333 racioais que correspodem a úmeros decimais ifiitos periódicos simples, ode os períodos são, respectivamete, o 6 e a seqüêcia de dígitos 936. Estas são exemplos de dízimas periódica simples. 43 = 1,4333... = 1,43 é uma dizima periódica composta ode 1,4 é o ão- 30 período (ateperíodo) e 3 é o período. Notar que: os exemplos acima, as frações 2 312 43, e 3 333 30 são geratrizes de dízimas periódicas. Quer-se saber, como, dado um úmero decimal periódico, simples ou composto, calcular a sua geratriz. Vejamos apeas o caso das dízimas periódicas simples: Seja o úmero decimal periódico D = 0,d1d 2... d etão se multiplicarmos D por 10, ode é a quatidade de dígitos formadores do período, vamos obter: 10 D = d d...d,d d...d 1 2 1 2 10 D = d1d 2...d + 0,d1d 2...d = d1d 2...d + D 10 D D = d1d 2...d ( 10 1) D = d1d 2...d d1d D = 10 REGRA: A geratriz de uma dízima periódica simples, com a parte iteira igual a zero, é uma fração cujo umerador é o período e o deomiador é um umeral formado por tatos dígitos ove quatos são os algarismos do período e de tatos zeros quatos são as casas decimais ulas logo após a vírgula. Tete justificar esta regra e, em seguida, elaborar uma regra ou uma estratégia para calcular as geratrizes de dízimas periódicas compostas. Sugestão: tete separar a parte ateperiódica da parte periódica. Aida, de acordo com esta regra teremos que: 0,999... = 1, e aida, 4,0999...= 4,01 justifique isto. 2...d 1 [4] Cojuto dos Números Reais: R = {x x = a 0,a1a 2a 3...a...; a 0 Ζ, a i {0,1, 2, 3,...}, i N Observar que: são úmeros ão reais, por exemplo, os da forma k a ode * k = 2, Z e a Ζ. * } [5] Cojuto dos Números Complexos: C = { z z = a + b i, a R b R, i = i } ode a = Re(z) e b = Im(z), que devem ser lidos respectivamete como: a é igual à parte real de z e b é igual à parte imagiária de z.
Observação sobre os cojutos uméricos: Os elemetos dos cojutos uméricos N, Z, Q e R podem ser represetados como potos sobre uma reta, eles são cojutos lieares. Já, os elemetos do cojuto C, ecessitam de um plao para a represetação de seus elemetos, o plao ode estarão localizados os úmeros complexos é deomiado Plao de Argad-Gauss. % 8.3.3.- A Cardialidade de Cojutos Ifiitos Os cojutos que ão são fiitos são deomiados ifiitos. Os cojutos de cardialidade igual à cardialidade do cojuto N são deomiados eumeráveis. Veremos mais adiate que o cojuto dos úmeros reais é ão eumerável No caso de um dado cojuto X ão ser fiito, ele será deomiado ifiito. Neste mometo, a partir de um exame detido do item ateriormete apresetado (Exemplos de Cojuto Numéricos), pode-se observar pelo meos dois tipos de cardialidade ifiita: [1 o ] aquela que correspode à dos úmeros aturais e [2 o ] aquela que correspode à dos úmeros reais. Com um pouco de imagiação será possível estabelecer-se que há tatos úmeros pares, ou tatos úmeros ímpares, por exemplo, quatos são os úmeros aturais bastado para isto examiar o seguite esquema: Números Ímpares : 1 3 5 7 9 11... Números aturais : 0 1 2 3 4 5... Números Pares : 0 2 4 6 8 10... O esquema acima pode ser justificado algebricamete, ou seja, poderemos ecotrar uma fução que os permita fazer correspoder cada um dos úmeros pares a um úmero atural e uma fução que os permita fazer correspoder cada um dos úmeros ímpares a um úmero atural. Vejamos: x 2 k [1] f:{x x =2k, k N} N, dada por f(x) = = = k, ode x poderá assumir os valores 0, 2 2 2, 4, 6, 8, 10,... equato k será, respectivamete, igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5,... [2] g: {x x =2k+1, k N} N, dada por g(x) = x = 2k+1, ode x podedo ser igual a 1, 3, 5, 7, 9, 11,..., k assuirá os valores, respectivamete, igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5,...
Pode-se mostrar, da mesma maeira, que o cojuto dos úmeros iteiros (Z) tem a mesma cardialidade de N, o que parece até bem ituitivo, se cosiderarmos o que foi visto acima, para os úmeros pares e para os úmeros ímpares. Cosideremos o seguite esquema que idica uma correspodêcia biuívoca etre os úmeros iteiros e os úmeros aturais: Números Pares : 0 2 4 6 8 10... Números Iteiros:... 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5... Números Ímpares :... 9 7 5 3 1 cujos valores podem ser obtidos de forma bastate simples através da fução: h:z N, que é defiida da seguite forma: h(z) = = 2z, para z 0 = -(2z + 1), para z < 0 Cometário Importate: Não parece ser tão ituitivo, ou tão fácil de mostrar, que o cojuto dos úmeros racioais (Q) teha a mesma cardialidade de N. Mais à frete, o Capítulo 10, iremos examiar a forma com que Cator provou que a cardialidade do cojuto dos úmeros racioais é a mesma do cojuto dos úmeros aturais. Também é devida a Cator a prova de que a cardialidade do cojuto dos úmeros reais (R) é superior à cardialidade do cojuto dos úmeros Naturais, ou seja, R é um cojuto ão eumerável. Isto também será mostrado. 8.3.4.- Cojutos Eumeráveis e Cojutos Cotáveis 8.3.4.1.- Defiição - Eumerabilidade Se um cojuto qualquer X é eqüipotete 3 a N (a cardialidade de X é igual à cardialidade do Cojuto dos Números Naturais) diz se que X é eumerável. 8.3.4.2.-- Defiição Cojutos Cotáveis Observações: Diz-se que um cojuto é cotável se ele é fiito ou eumerável. [1] Um cojuto é dito ão eumerável se ele é ifiito e sua cardialidade ão é igual à cardialidade de N. [2] Um exemplo de cojuto ão eumerável é o cojuto dos úmeros reais. Isto será provado a seguir. 3 Dois cojutos são ditos eqüipotetes quado têm a mesma cardialidade.
8.3.5.- Exemplos de Cojutos Vazio, Uitário e Cojutos Uiverso & Como se viu ateriormete, a caracterização ou a defiição do cojuto vazio se dá através do uso de cotradições, como os exemplos já citados, em que se faz o uso da Lógica: = { x P(x) P(x)}, ou quado se faz o uso da Álgebra: = { x x x}. Podem ser citados outros exemplos, só que meos cohecidos, detro desta mesma liha: A = x, x A ; = { x x = x + 1} ou = { x x > x}. Com um pouco mais de cohecimeto de Teoria dos Cojutos, podemos criar ossos próprios cojutos vazios através da escolha de delimitações ou restrições, tais como ocorre em = { x x Ν x + 2 = 4}, ode a restrição fica por cota do cojuto o qual deve ser buscada a solução para a equação x + 2 = 4. Veja que a raiz da equação dada: x + 2 = 4 é x = 6, como 6 N, só os resta afirmar que a equação ão tem solução (em N) e com coseqüêcia temos ali um cojuto vazio. Note que { x x Ζ x + 2 = 4} = { 6} já ão é mais um cojuto vazio, mas sim um cojuto uitário, devido à escolha do campo de trabalho Z. Os cojutos N e Z dos exemplos acima são os cojutos uiverso ou cojutos de trabalho ode a solução de x + 2 = 4 deveria ser buscada. 8.4.- Igualdade de Cojutos 8.4.1.- Defiição Dois cojutos são iguais se, e somete se, têm os mesmos elemetos. Em símbolos: A e B cojutos, A = B ( x(x A x B)) Observação Dados A e B cojutos, A B (( x(x A x B)) ( x(x B x A))) 8.4.2.- Teorema: O cojuto vazio é úico. Prova Sejam X e Y dois cojutos vazios, isto é, X = e Y =. Se assumirmos que X Y teremos, etão, que assumir, o seguite: existe pelo meos um elemeto que, estado em um destes cojutos, ão poderá estar o outro. No etato isto seria um absurdo, pois tato X como Y são cojutos sem elemetos. Assim, aquilo que assumimos iicialmete, que X Y, estava errado, levado-os a cocluir que X = Y.
8.5.- Relação de Iclusão ' 8.5.1.- Defiição Um cojuto A está cotido em (é subcojuto de) um outro cojuto B (supercojuto) se, e somete se, todos os elemetos de A são também elemetos de B. Em símbolos: A e B cojutos, A B ( x(x A x B)) 8.5.2.- Teorema Observação: O símbolo é lido está cotido em ou é subcojuto de. O cojuto Vazio está cotido (é subcojuto) em todos os cojutos: A, A Prova Seja A um cojuto qualquer. Vamos assumir, por hipótese que ( A), isto é, A. Se esta hipótese é verdadeira, teremos que admitir que existe um elemeto pertecete ao cojuto que ão pertece ao cojuto A. Mas φ ão possui elemetos, logo a hipótese é falsa, sedo verdade que A, A. 8.5.3.- Provar é o úico subcojuto de. ( Em outras palavras: X, se X etão X = ) Cometários e Prova: [1] A expressão X, se X etão X = simbolicamete será dada por: X(X X = ), ode X φ é a Hipótese e X = é a Tese, ou seja, aquilo que queremos provar. [2] Vê-se que estamos diate de uma expressão da Lógica Proposicioal do tipo 4 P Q, uma implicação, cujos valores verdade são apresetados a tabela ao lado: P Q P Q V V V V F F F V V F F V [3] Veja que se partirmos da egação de P, isto é tomarmos P, poderemos chegar idiferetemete tato a V como a F, pois, se uma implicação a premissa é falsa, a coclusão poderá ser falsa ou verdadeira, ou seja, ada se poderá cocluir. [4] A forma de resolver isto é egar a coclusão (Modus Poes 5 ) e verificar que isto trasforma a premissa um absurdo: [4.1] (X = ) X. Se X é ão é vazio, existe x X tal que X o que ega a premissa (Hipótese). 4 Na verdade esta é uma expressão da Lógica Predicativa ou de Primeira Ordem: x[p(x) Q(x)], que por uma questão simplificação foi escrita como sedo uma expressão da Lógica Proposicioal: P Q. 5 Modus Poes: ( (P Q) /\ Q) P, ou em outra otação: P Q, Q, que deve ser etedido da seguite forma: P Se P Q é verdade e P é verdade (premissas), etão Q será verdade (coseqüêcia).
[4.2] Etão a úica forma de torar a premissa verdadeira (X ) é aceitar que X = (aceitar a Tese). Cometário Importatíssimo: Vamos partir do que afirmamos em [3] acima: seja egar P, isto é, seja adotar: X. Isto somete se dará se x X, porém isto ão é suficiete para se chegar a X =, poderíamos também chegar em algo como X = {x x = a} ode a é um elemeto qualquer. Veja pela tabela de P Q que, se P é Falso, pode-se chegar a um Q Verdadeiro ou Falso, idiferetemete (!). 8.5.4.- Represetação da Iclusão Através do Diagrama de Ve-Eüler Sejam A e B, dois cojutos cotidos em um mesmo cojuto uiverso U, tal que B seja um subcojuto de A, isto é B A. A represetação destes fatos através do diagrama de Ve-Eüler é dada ao lado. Observar a figura ao lado: 1. Todos os elemetos de A e B pertecem a U: A U e B U. 2. Todos os elemetos de B são elemetos de A: B A. 3. Há elemetos em A que ão estão em B: x A x B, ou seja: A B. 4. Há Elemetos de U que ão pertecem em a A, em a B: x U(x A x B) Sejam, por exemplo: U = {0,1, 2,..., 10}= {x x N, x 10} A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} B={2, 6, 10} U 4 A B 7 0 6 2 8 9 10 3 1 5 8.5.5.- Teorema A e B são cojutos, (A B B A) (A = B). Prova Se A B ( x(x A x B)) e se B A ( x(x B x A)) logo ( x(x A x B)) ( x(x B x A)) ( x(x A x B)) A = B 8.5.6.- Propriedades da Relação de Iclusão Será fácil provar as seguites propriedades da Relação de Iclusão, tomado por base as provas dos teoremas ateriores: (1) Reflexiva: A A (2) Trasitiva: ( A B B C) A C (3) Ati-simétrica: (A B B A) (A = B) Observar: A propriedade (2) da Relação de Iclusão poderá ser mostrada (ou visualizada) através de um Diagrama de Ve-Eüler, sem que isto sigifique uma demostração.
8.6.- Cojuto das Partes de um Cojuto (Cojuto Potêcia de A) 8.6.1.- Defiição Dados A e B cojutos, se A está cotido em B ( A B ) diz-se que A é uma parte de B. Se A B com A φ e A B diz-se que A é um subcojuto próprio de B. Observação Importate: O símbolo é utilizado por algus autores o setido de está cotido ou é igual a equato o símbolo só é utilizado o primeiro cojuto é um subcojuto próprio do outro, isto pode ser colocado em símbolos: Sedo A e B, dois cojutos, [1] (A B) (A B ou A = B); [2] A B ( x y((x A x B) ( y B y A)), ou seja: A B, mas A B. 8.6.2.- Defiição Dado A, um cojuto fiito, chama-se cojuto das partes de A (ou cojuto potêcia de A), ao cojuto de todos os subcojutos X de A. Em símbolos: P (A) = { X X A }, A um cojuto fiito, ode P (A) é lido cojuto das partes de A ou Cojuto Potêcia de A. Observação A, P (A) e A P (A) 8.6.2.1.- Exemplos de Cojuto da Partes de um Cojuto: (1) Se A = {1, 2}, etão P (A) = {φ,{1}, (2},{1,2}} (2) Se B = {a, b, c}, etão P(B) = {φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b, c}, B} (3) P ( ) = { }. Notar que { } pois { } é um cojuto uitário. (4) P ({ }). = {,{ } ote que os subcojutos de { } são o cojuto vazio:, e ele próprio: { }. 8.6.3.- Teorema Se A é subcojuto de B, etão o cojuto das parte de A é um subcojuto das partes de B, e se o cojuto das parte de A é um subcojuto das partes de B, etão A estará cotido em B. Em símbolos: A e B cojutos, A B P (A) P(B)
Prova [1: ] Tem-se que: X P (A) X A, como A B por hipótese, temos que: X(X A X B). Logo X(X P(A) X P(B)) (P(A) P(B)). [2: ] Tem-se que: A P(A) como P (A) P (B) por hipótese, temos que A P (B) de ode podemos tirar que: A B. De [1] e [2] pode-se cocluir o seguite: A B P (A) P (B).! 8.6.4.- Teorema A quatidade de cojuto compoetes das parte de um cojuto A, com cardialidade #(A) =, será dada por 2. Em símbolos: #(A) = #(P (A)) = 2 Neste texto adotaremos a otação #(A), sedo que é bastate comum ecotrar-se, a literatura, a otação (A). Prova A prova deste teorema é baseada o coceito de Combiações Simples apredido o 2 o ao do Curso Médio (colegial) em Aálise Combiatória. Sabemos que as combiações simples de! elemetos distitos tomados p a p é dada pela fórmula: C,p = o que pode também ter sido ( p)!p! estudado o Esio Médio com o ome de Números Biomiais: úmero biomial sobre p.! =, que será lido p ( p)!p! Observado-se atetamete o processo de formação de subcojutos de um dado cojuto A, com #(A) = (vide os exemplos ateriores), vemos que podemos formar cojutos uitários, 1 2 cojutos com dois elemetos, cojutos com 3 elemetos, até e, fialmete, que 3 1 resulta 1, e que correspode ao próprio cojuto A com seus elemetos. Além disso, fazedo-se com que o úmero biomial correspoda ao cojuto com zero elemetos, o cojuto vazio, 0 poderemos escrever de acordo com a Teoria dos Números Biomiais: #(P (A)) = + + + +... + 0 1 2 3 + = 2. 1
8.7.- Complemetação de um Subcojuto " 8.7.1.- Defiição Seja A um cojuto e B um subcojuto qualquer de A. Defiimos complemetar de A com relação a B, otado C A B, todos os elemetos que pertecem a A, mas que ão pertecem a B. Em Símbolos: Se B A, C A B = {x x A x B} 8.7.1.1.- Exemplos (1) Sedo A = { a, e, i, o, u} e B= {i, u} tem-se que: C A B = {a, e, o} (2) Para qualquer A, C A A = e C A= A. É evidete que C =. (3) Sedo U o cojuto uiverso, C U A= CA = A ' = A = {x x A }. 8.7.1.2- Represetação da Complemetação de um Cojuto - Diagrama de Ve-Eüler Sejam A e B dois cojutos cotidos em um mesmo cojuto uiverso U, tal que B seja um subcojuto de A, isto é B A. Sejam, por exemplo: U = {0,1, 2,..., 10}= {x x N, x 10} A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B={2, 6, 10} Observar a figura ao lado: 1. C A B = {0, 4, 8} 2. C U A = CA = A ' = A = {1, 3, 5, 7, 9} 3. C U B = CB = B ' = B = {0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9} 7 U 9 1 0 8 4 6 2 10 B 5 3 A 8.7.1.3.- Represetação Geérica da Complemetação de Cojutos - Diagrama de Ve-Eüler U B A U B A U B A C A B C U A C U B A figura aterior apreseta os diagramas de Ve-Eüler para a complemetação de cojutos de um forma abstrata. Os elemetos dos cojutos são descosiderados, cosiderado-se apeas a relação de iclusão etre eles. Assim, em cada uma delas, a região represetativa do cojuto complemetar de um dado cojuto (subcojuto) com relação a um outro cojuto que o coteha (seu supercojuto), aparece hachurada (sombreada). Chama-se a ateção para os seguites fatos: [1] Se B A, C A B = {x x A x B} e
[2] C U A = CA = A ' = A ={x x A }, [3] C U B = CB = B ' = B ={x x B }, o que acab por ficar bem claro através das figuras geéricas apresetadas, o etato, estes fatos foram apeas mostrados, mas ão demostrados e em provados! # Parte 1.B.- Operações com Cojutos 8.8.- Iterseções de Cojutos 8.8.1.- Defiição A B = {x x A x B} 8.8.1.1.- Exemplos Se A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e, f, g, h} A B = {a, e} Se A = {a, e, i, o, u} e B = {x x é um cosoate do alfabeto da Lígua Portuguesa} A B = { } =, sedo que este caso A e B são deomiados cojutos disjutos. Se A = { 2, 8, 12, 38} e B = { x x = 2m, m N} A B = { 2, 8, 12, 38} = A, o que evidecia que ocorre: A B, ou seja, A é subcojuto de B. 8.8.2.- Diagramas de Ve-Eüler e de Carroll para a Itersecção de Dois Cojutos Há duas formas de represetação diagramática da iterseção etre dois cojutos. O Diagrama de Ve-Eüler e o Diagrama de Carroll (Devido a Lewis Carroll o criador de Alice o País das Maravilhas, que era um brilhate lógico) que é uma tabela de dupla etrada. O diagrama de Carroll só pode ser utilizado para represetar operações com apeas dois cojutos, já o diagrama de Ve-Eüler tem a vatagem de poder represetar operações etre uma quatidade fiita de cojutos quaisquer. Note que, as quatro regiões distiguíveis o diagrama de Ve-Eüler, ecotra, de forma correspodete, as mesmas quatro regiões o diagrama de Carroll. Cofira a figura a seguir:
$ U B Não B A B A A e B A e Não B A A B B Não A Não A e B Não A e Não B 8.8.2.1.- Observação Importate: Não existe o diagrama de Carroll para represetar os uiversos com três ou mais cojutos. 8.9.- Uião ou Reuião de Cojutos 8.9.1.- Defiição A B = {x x A x B} 8.9.1.1.-Exemplos Se A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e, f, g, h} A B = { a, b, c, d, e, f, g, h i, o, u}. Se A = {a, e, i, o, u} e B = φ A B = {a, e, i, o, u} = A. Se A = {2, 8, 12, 38} e B = { x x = 2m, m N} A B ={0,2,4,6,8,10,...}={x x = 2m, m N} = B. 8.9.2.- Diagramas de Ve-Eüler e de Carroll para a Uião de Dois Cojutos U B Não B A B A A e B A e Não B A A B B Não A Não A e B Não A e Não B 8.9.3.- Cardialidade da Iterseção e da Uião de Dois Cojutos [1] #(A B) = #(A) + #(B) #(A B) [2] #(A B) = #(A) + #(B) #(A B)
% 8.10.- Aplicação do Diagrama de Ve-Eüler a Resolução de Situações-Problema Uma aplicação bastate iteressate dos diagramas de Ve-Eüler é aquela que se costuma fazer para agilizar a resolução de situações-problema específicos que evolvam a cotagem de elemetos pertecetes a dois ou mais cojutos, sobre os quais se cohece apeas algus dados operacioais, por exemplo, a iterseção, a uião, os elemetos de um deles ou algum outro tipo de particularidade otável. A seguir iremos mostrar como exemplo, a resolução de duas Situações- Problema de Cotagem com o Auxílio dos Diagramas de Ve-Eüler. 8.10.1.- Situação-Problema 1 Evolvedo Dois Cojutos: Numa sala de aulas, dos estudates, 8 obtiveram boas otas em Português e Matemática. Sabe-se que: 18 obtiveram boas otas em Português e 12 obtiveram boas otas em Matemática. Sabedo-se que são 15 os estudates que ão obtiveram média em em Matemática, em em Português, perguta-se quatos são os estudates desta sala de aulas. Resolução da Situação Problema 1: Seja omear os cojutos como Port e Mat. São dados o problema que: #(Port Mat ) = 8; #(Port) = 18 e que #(Mat) = 12. Para preechermos o diagrama de Ve-Eüler ou o de Carroll a seguir, devemos cosiderar o seguite: #(Port) #(Port Mat ) = 18 8 = 10 os forecerá a quatidade de elemetos que pertecem a Port mas ão pertecem a Mat. #(Mat) #(Port Mat ) = 12 8 = 4 os forecerá a quatidade de elemetos que pertecem a Mat mas ão pertecem a Port.
U Port Não Port 15 4 8 10 Mat 8 4 Matemática Português Não Mat 10 15 Sabe-se aida que: #(U) #(Port Mat) = 15 correspode à quatidade dos estudates que ão obtiveram média em em Matemática, em em Português. A partir disto, pode-se calcular facilmete o valor de #(U), que é a quatidade de aluos a sala de aulas, da seguite forma: #(U) = 15 + #(Port Mat) = 15 + 22 = 37. 8.10.2.- Situação-Problema 2 Evolvedo Três Cojutos: Num clube de uma cidade estão sempre dispoíveis para a leitura de seus associados, três jorais: A, B e C. Sabe-se que 40 sócios vão lá todos os dias e para lerem os jorais A, B e C, sistematicamete; que 60 lêem os jorais A e B; 50 lêem os jorais B e C e que os jorais A e C são lidos por 65 pessoas, também sócias daquele clube. O clube tem 400 membros cadastrados, cotado-se os seus sócios efetivos e os seus depedetes. Quer-se saber: Quatos são os membros do clube que ão vão lá para ler os jorais. Resolução da Situação-Problema 2: O uiverso (U) que iremos aalisar é o dos membros do clube (os sócios e seus depedetes), cuja cardialidade é dada por: #(U) = 400. Façamos o diagrama de Ve-Eüler para esta situação, ode devem figurar o cojuto Uiverso e os três cojuto A, B e C, com todas as suas possíveis iterseções. U A 2 0 2 5 2 0 4 0 1 0 1 0 1 C B
Vamos preecher o diagrama com: o ome de cada cojuto (A, B e C), e com as respectivas quatidades de elemetos que cada uma das oito regiões possui a quatidade de elemetos distitos de um cojuto é deomiada cardialidade, de acordo com a seguite ordem: Logo teremos como solução: (1 o ) #(A B C) = 40; (2 o ) #(A B) = 20; (3 o ) #(A C) = 25; (4 o ) #(B C) = 50; (5 o ) #(exclusivamete em A) = #(A, ão B, e ão C) = 20; (5 o ) #( exclusivamete em B) = #(B, ão A, e ão C) = 15; (6 o ) #( exclusivamete em C) = #(C, ão A, e ão B) = 10. & #(U, ão A, ão B e ão C) = #(U) #(A B C) = 400 140 = 260 Observe que: deve-se sempre tomar o cuidado de verificar se a distribuição das respectivas quatidades ão são ultrapassados os valores totais dos elemetos que devem figurar em cada um dos cojutos A, B e C. 8.11.- Partição de um cojuto 8.11.1.- Defiição de Classes de Cojutos e Famílias de Cojutos Um cojuto formado por cojutos, como por exemplo: ((A ) o cojuto das partes de um cojuto ou cojuto potêcia de A, são deomiados Classes ou Famílias de Cojutos, sedo que algus autores, mas isto ocorre com meor freqüêcia, utilizam o ome Coleções. Normalmete a palavra Classe é utilizada para fazer referêcia a Cojutos de Cojutos, equato o ome Família é utilizado para refereciar Cojutos de Classes. Assim como existem os subcojutos quado trabalhamos com os cojutos, passaremos a ter as subclasses, e as subfamílias de cojutos, quado passamos a trabalhar com as classes, e famílias de cojutos. 8.11.2.-Defiição Uma partição de um cojuto A é uma subdivisão de A em cojutos disjutos tais que a uião dos mesmos resulte o cojuto A. Cada um dos subcojutos de uma Partição de um dado cojuto A, são deomiados regiões disjutas de A ou, mais simplesmete, família disjuta de subcojutos de A.
Em símbolos: Dado um cojuto A, a coleção ou classe de cojutos: ' {A i A i A, 1 i, N, < 2 #(A) } ((A ) será uma partição de A se, e somete se: Ai A, Ai A = A A... A #(A) i 1 2 N,1 i, j, k, < 2 tal que i= 1 A j A k =, j k = A 8.11.1.1.-Exemplos: (1) Sedo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, serão partições de A, as seguites coleções (cojutos de cojutos): (a) {{2, 4, 6}, {1, 3, 5}}; (b) {{1}, {2, 5}, {3, 6}, {4}}; (c) {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}. (2) O cojuto dos úmeros ímpares e o cojuto dos úmeros pares costituem uma partição de N (úmeros aturais). (3) O cojuto dos úmeros egativos, o cojuto dos úmeros positivos e o cojuto uitário cujo elemeto é o úmero zero (o zero ão é em egativo, em positivo), costituem-se uma partição do cojuto Z (úmeros iteiros). (4) Os cojutos dos úmeros racioais (Q) e o dos úmeros irracioais (Q ) costituem-se uma partição do cojuto dos úmeros reais (R), isto é: R = Q Q e Q Q =. 8.12.- Difereça de Cojutos 8.12.1.- Defiição Chama-se difereça etre dois cojutos A e B quaisquer (B A ou A B, o que iclui a possibilidade A=B), otada por A B, ou A/B, ao cojuto que coteha elemetos de A que ão perteça a B. Em símbolos: Cuidado: A, B quaisquer, A B = {x x A x B} Somete quado B A é que A B = {x x A x B} = C A B 8.12.1.1.- Exemplos: (1) A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 3, 5, 7, 9, 10} etão A B = {1, 4} e B A = {0, 7, 9, 10}
(2) A = {1, 2, 3, 4, 5} e P = {2, 4} etão A P = {1, 3, 5}= C A P, pois P A; pode-se calcular P A, obtedo-se P A =, o etato, é impossível calcular-se o C P A, pois A P, e esta última operação só estaria defiida se A P. 8.13.- Relações de De Morga As defiições das operações uião de cojutos, iterseção de cojutos e a complemetação de cojutos (adotado-se C U A = CA), associada às seguite lei da Lógica Proposicioal: Distributiva: P (Q R) = (P Q) (P R) e P (Q R) = (P Q) (P R) os permitirá provar as seguites relações cohecidas como Leis de De Morga. [1] C(A B) = CA CB [2] C(A B) = CA CB 8.13.1.- Provar: C(A B) = CA CB Prova: 8.3.2.- Provar: C(A B) def = {x x U x (A B)} = {x x U x (A B)}= = {x x U (x A x B)} = {x (x U x A) ( x U x B)}= = {x (x U x A) } {x x U x B)} = C U A C U B = CA CB. C(A B) = CA CB Prova: C(A B) def = {x x U x (A B)} = {x x U x (A B)}= = {x x U (x A x B)} = {x (x U x A) ( x U x B)}= = {x (x U x A) } {x x U x B)} = C U A C U B = CA CB. 8.14.- Pares Ordeados Um estudo bastate Iteressate Seja defiir par ordeado da seguite forma: dados dois elemetos x e y, de cojutos quaisquer, chama-se par ordeado a um terceiro elemeto, otado (x, y), ode x é chamado primeiro
elemeto do par ordeado e, y, o segudo elemeto. Um par ordeado é tal que: (x,y) (y,x). Assim, podemos afirmar que: Propriedade 1: (x, y) = (z, w) x = z e y = w 8.14.1- Um Par Ordeado Defiido a Partir de um Cojuto de Cojutos Vamos agora criticar as idéias ateriormete expostas sobre o que deveriam ser os pares ordeados. Nas Teorias Axiomáticas dos Cojutos, particularmete aquelas deomiadas Teorias de Classes de Cojutos, x e y, evetualmete poderiam ser cojutos. Outro coceito muito iteressate que diz respeito ao pares ordeados é que eles mesmos são, a verdade, cojutos. Vejamos a seguir, como isto pode ser verificado. Ao ivés de adotarmos a idéia aterior, que pode parecer até muito satisfatória, mas é igêua, poderíamos defiir par ordeado como sedo o cojuto: {{x}, {x, y}} veja que aqui por maior que seja a ossa ituição, dificilmete cocordaríamos com isto, ou seja, que {{x}, {x, y}} = (x,y) tal que (x,y) (y,x).. Para mostrar que isto é totalmete aceitável e cabível, vamos reescrever o ossa propriedade 1 aterior, de maeira a fazê-la correspoder à esta ova defiição de par ordeado: Propriedade 2: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} x = z e y = w a partir da qual gostaríamos de obter como coseqüêcia: {{x}, {x, y}} = (x, y), o que os permitirá afirma que um par ordeado é um cojuto. Mas esta coseqüêcia, precisa ser provada. Vejamos como Provar que: {{x}, {x, y}} = (x, y), A partir da Propriedade 2, podemos afirmar o seguite sobre o cojuto {{x}, {x, y} : [1] Para x y teremos: {{x}, {x, y}} = {{x, y}, {x}} que é um par ão ordeado. [2] Para x = y teremos: {{x}, {x, y}} = {{x}, {x}} {{x}} que é um cojuto uitário ou uma classe uitária. 8.14.2- Teorema {{x}, {x, y}} = (x, y) x y ode (x, y) é um par ordeado, isto é: (x, y) = (z, w) x = z e y = w. Prova: Vamos mostrar que: {{x}, {x, y}} é um par ordeado (x,y), o setido igêuo do termo, ou seja, que as duas defiições dadas ateriormete e propriedades 1 e 2 são equivaletes. Para isto basta mostrar a validade da Propriedade 2, ou seja, vamos mostrar que: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} x = z e y = w. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [1 (Volta)] Hipótese: x = z e y = w Tese: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}
Se x = z e y = w é imediato que {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}. (Está provada a Volta: ). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [2 (Ida) ] Hipótese: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} Tese: x = z e y = w Aqui temos casos possíveis a cosiderar: [2.1] x = y ou etão [2.2] x y.! [2.1. ] Se for cosiderado a Hipótese que x = y, temos: {{x}} = {{z}, {z, w}}. Para que a igualdade etre os cojutos se verifique, obrigatoriamete temos que impor: x = z = w, assim, como pela primeira possibilidade x = y, teremos x = z = w =y, e é assim que chegamos à ossa Tese: x = z e y = w. [2.2. ] Se for cosiderado a Hipótese que x y, teremos: {x} = {z, w} ou etão {x} = {z} Se {x} = {z, w} teríamos que ter x = z = w e a igualdade {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} se reduziria a {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, x}}={{x}}, o que seria um absurdo, pois cosiderouse que x y. Assim, pode-se afirmar que adotar-se: {x} = {z, w} coduziria a um absurdo. Portato, pode-se assumir que {x} = {z, w} é falsa. Se: {x} = {z}, ou seja, x = z, teríamos {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, w}}. Como x y, obrigatoriamete: {x, y} = {x, w} pois {x, y} {x}, e evidetemete: y = w. Fica assim demostrado que x = z e y = w, de ode: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} x = z e y = w. (Está provada a ida: ). De acordo com [1 ] e [2 ] o Teorema está provado. 8.15.- Produto Cartesiao 8.15.1.- Defiição Chama-se produto cartesiao de A por B, ao cojuto A B = {(x, y) x A y B}. 8.15.1.1.- Exemplos: [1] A = {1, 2, 3} e B = {a, b} A B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2, b),(3,a),(3,b)} B A = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} [2] C = {2, 5} C C = {(2,2),(2,5),(5,2),(5,5)} = C 2 [3] Notar que o Plao Cartesiao (Eixos Coordeados Cartesiaos) é otado como sedo um produto cartesiao: R 2 = R R. [4] A B C = {(x, y, z) x A y B z C}, ode (x, y, z) é deomiada tera ordeada ou tero ordeado. 8.15.2.- Propriedades dos Produtos Cartesiaos: [1] A B = B A A = B (ão comutatividade) [2] A, A = A =
[3] #(A B) = #(A) #(B) " [4] #(A B C) = #(A) #(B) #(C)
# 8.16.- Resumo das Pricipais Propriedades das Operações com Cojutos 8.16.1.- Provar Sedo A, B e C cojutos, pode-se provar a validade das seguites igualdades: A A = A Idempotêcia A A = A Idempotêcia A A = Aulameto A B = B A Comutatividade A B = B A Comutatividade (A B) C = A (B C) Associatividade (A B) C = A (B C) Associatividade A (B C) = (A B) (A C) Distributividade da itersecção com relação à uião A (B C) = (A B) (A C). Distributividade da uião com relação à itersecção C (A B) = (C A) (C B) Distributividade da difereça com relação à itersecção C (A B) = (C A) (C B) Distributividade da difereça com relação à uião 8.16.2.- Mais Propriedades C (B A) = (A C) (C B) (B A) C = (B C) A = B (C A) (B A) C = (B C) (A C) A B A B = A A B A B = B A B A B = A B = B A = B A B A A B A = A = A A = A = A 8.16.3.- Propriedades da Complemetação de Cojutos Para U, o Cojuto Uiverso, e os subcojutos A, B e C de U, sedo C U A = CA = A : C U (C U A) = C(CA) = A(A ) B A = (C u A) B (B - A)' = A B' A B B' A' A U = A A U = U U A = A A U =