- Resolução de Sistems de Equções ieres Um sistem de equções lieres, com m equções e vriáveis, é escrito gerlmete como: m m m m ode ij são coeficietes m i j são vráveis j i são costtes m i A resolução de um sistem lier determi os vlores de ) ( j j que stisfem s m equções. O sistem lier pode ser represetdo, usdo otção mtricil, por: A ode A m m m é mtri dos coeficietes é mtri colu (vetor) ds vriáveis m é mtri colu (vetor) costte.
Vmos chmr de lier A. * de vetor solução e um solução proimd do sistem As situções que podem ocorrer com relção o úmero de soluções de um sistem lier são: i) Solução úic (sistem determido); ii) Ifiits soluções (sistem idetermido); iii) Não dmite soluções (sistem icomptível); Vmos preder métodos uméricos pr ecotrr solução úic de sistems lieres. Os métodos uméricos são divididos em dois grupos: métodos diretos e métodos itertivos. * étodos diretos forecem solução et, ão cosiderdo erros de rredodmeto, do sistem lier, pós um úmero determido de operções. étodos itertivos germ um seqüêci de vetor (), prtir de um proimção iicil (). So determids codições, est seqüêci coverge pr solução *. - étodos diretos Todos os métodos estuddos os º e º grus são diretos. A Regr de Crmer plicd resolução de um sistem evolve o cálculo de () determites de ordem. Se for igul pode-se mostrr que serão efetuds!9 multiplicções mis um úmero semelhte de dições. Assim um computdor que efetur um ilhão de multiplicções por segudo ( 9 ) levri 7,667. 8 os pr efetur s multiplicções ecessáris. étodos mis eficietes são ecessários, pois prolems práticos eigem resolução de sistems lieres de grde porte. Os métodos de elimição de Gus e Jord serão estuddos mis dite. -- Resolução de sistems trigulres por sustituição retrotiv O sistem de equções T, ode T é um mtri trigulr superior, com elemetos d digol diferetes de ero, é escrito como: O
D últim equção otemos: D peúltim equção otemos:,, D equção - ;... - otemos:,,,, Filmete Eemplo : Resolver o sistem: 5 5 8 w w w w D últim equção: w -; Sustituido peúltim equção w -; - -5-5 - Sustituido ª equção w -, -; 5 (-) (-) 5 (-)-(-) /5
Sustituido ª equção w -, - e /5; (/5) (-) (-) 8 8 (/5) (-) (-) 7 /5 9/5 9/5 /5 -- étodo d Elimição de Guss Trigulrição O método d Elimição de Guss cosiste em trsformr o sistem de equções lieres origil um sistem trigulr superior equivlete que tem solução imedit, trvés do método d sustituição retrotiv, como vimos cim. Operções elemetres produem sistems lieres equivletes- que possuem mesm solução do sistem origil. Operções Elemetres sore um Sistem de Equções ieres: ) Trocr posição ds equções; ) ultiplicr um equção por um costte ão ul; c) ultiplicr um equção por um costte e dicior outr equção e, etão, sustituir est ov equção por um ds eistetes. Descreveremos seguir como o método de elimição de Guss us s operções elemetres pr trigulrir um sistem de equções lieres. Pr que isto ocorr é preciso supor que det A #, ode A é mtri dos coeficietes. Cosiderdo que det A # o é sempre possível reescrever o sistem lier de form que o elemeto d posição sej diferete de ero, usdo somete operção elemetr de troc de lih. Sej represetção do sistem, com #, pel mtri umetd io: () () () () () () () () () () () () Vmos relir trigulrição por etps: ª ETAPA Colocr ero io do elemeto d digol teremos mtri umetd io: (). Ao fil d ª etp
5 () () () () () () () () () () m Pr isto sutrímos d i-ésim equção d ª equção multiplicd por () i (), i. Os m () i são os multiplicdores e o elemeto é chmdo de pivô i d primeir etp. Sedo ssim, i i mi, i, serão s lihs que sustituirão s lihs tes do processo de elimição d ª etp. () ª ETAPA Colocr ero io do elemeto d digol. Ao fil d ª etp teremos mtri umetd io: () () () () () () () () () () () () () () () mi Pr isto sutrímos d i-ésim equção d ª equção multiplicd por () i (), i. Os m () i são os multiplicdores e o elemeto é chmdo de pivô d segud etp. Sedo ssim, i i mi, i, serão s lihs que sustituirão s lihs tes do processo de elimição d ª etp. (-)ª ETAPA Colocr ero io do elemeto d digol cocluido o ( ), processo de trigulrição. Ao fil d (-)ª etp, d últim etp, teremos mtri umetd io: () () () () () () () () () () () () ( ) ( ) Agor o sistem é trigulr superior e equivlete o sistem de equções lieres origil.
6 ( 7 ) O método de elimição efetu operções. Pr resolver o sistem 6 trigulr superior são efetuds operções. Etão o totl de operções pr se resolver ( 9 7 ) um sistem lier pelo método de Elimição de Guss é. Assim um 6 computdor que efetur um ilhão de operções por segudo ( 9 ) levri 5.. segudos.8 hors pr resolver um sistem de equções lieres. Eemplo : Resolver o sistem de equções lieres io pelo método de elimição de Guss: Trlhremos com mtri de coeficietes mplid com o vetor costte ª ETAPA: Pivô: () m m m m Assim teremos pós ª ETAPA
7 ª ETAPA: Pivô: () m m Assim teremos pós ª ETAPA Agor resolver () () A é equivlete resolver A : ogo 7 ( 7 ) ( ) 7 9 {R.:, -7/, -/} -- étodo d Elimição de Jord Digolição O método d Elimição de Jord cosiste em trsformr o sistem de equções lieres origil um sistem digol equivlete que tem solução imedit. Ele é um etesão do método de elimição gussi. O método de elimição de Jord é usdo pr reduir mtri umetd pr form
8 () () ( ) ( ) ( ) ( ) O método de elimição de Jord pr digolir um sistem de equções lieres será relido de modo álogo o d elimição gussi.. Cosiderdo que det A # o é sempre possível reescrever o sistem lier de form que o elemeto d posição ii sej diferete de ero, usdo somete operção elemetr de troc de lih. Sej represetção do sistem, com #, pel mtri umetd io: () () () () () () () () () () () () Vmos relir digolição por etps: ª ETAPA Colocr ero io do elemeto d digol teremos mtri umetd io: (). Ao fil d ª etp () () () () () () () () () () m Pr isto sutrímos d i-ésim equção d ª equção multiplicd por () i (), i. Os m () i são os multiplicdores e o elemeto é chmdo de pivô i d primeir etp. Sedo ssim, i i mi, i, serão s lihs que sustituirão s lihs tes do processo de elimição d ª etp. () ª ETAPA Colocr ero cim e io do elemeto d digol. Ao fil d ª etp teremos mtri umetd io:
9 () () () () () () () () () () () () () Pr isto sutrímos d i-ésim equção d ª equção multiplicd por () i () mi, i, i. Os m () i são os multiplicdores e o elemeto é chmdo de pivô d segud etp. Sedo ssim, i i mi, i, i, serão s lihs que sustituirão s lihs tes do processo de elimição d ª etp. ª ETAPA Colocr ero cim do elemeto d digol cocluido o ( ), processo de trigulrição. Ao fil d ª etp, últim etp, teremos mtri umetd io: () () ( ) ( ) ( ) ( ) Agor o sistem é digol e equivlete o sistem de equções lieres origil. 9 7 O método de elimição efetu operções (igul vees o método de elimição gussi). Pr resolver o sistem digol superior são efetuds operções. Etão o totl de operções pr se resolver um sistem lier pelo método de Elimição de 9 Jord é. Assim um computdor que efetur um ilhão de operções por segudo ( 9 ) levri 5.67. segudos.96 hors pr resolver um sistem de equções lieres. Eemplo : Resolver o sistem de equções lieres io pelo método de elimição de Jord:
Trlhremos com mtri de coeficietes mplid com o vetor costte ª ETAPA: Pivô: () m m m m Assim teremos pós ª ETAPA ª ETAPA: Pivô: () m 6 m m m Assim teremos pós ª ETAPA
ª ETAPA: () Pivô: m 6 m m m 5 6 Assim teremos pós ª ETAPA 9 7 6 Agor resolver () () A é equivlete resolver A : 9 7 6 ogo 7 {R.:, -7/, -/}
-- étodos Itertivos pr Sistems ieres étodos itertivos permitem proimr solução de um sistem lier, de form dimiuir o úmero de operções (reltivmete os métodos diretos), o que pode ser útil o cso de se trtr de um sistem com um grde úmero de equções, especilmete se mtri possuir muitos elemetos ulos. Outr utilidde é evitr defiir ou rmer mtri, ou id, evitr os prolems de istilidde uméric, que podem ocorrer um método direto. Cosideremos um sistem geérico A escrito form A - N. Supodo que tem ivers, otemos (-N) N - ( N) Agor podemos defiir um método itertivo que cosiste em: Escolher um vector iicil () Iterção () - ( N () ) (,,...N) É importte que mtri sej muito mis simples do que A, porque seão estrímos complicdo o prolem. Se - N <, seqüêci defiid pel iterção () - ( N () ), (,,...) coverge pr o poto fio do sistem de equções, qulquer que sej ( ) IR. A t de covergêci deste método itertivo é lier e costte de covergêci é meor ou igul - N. Note-se semelhç com o método itertivo simples. Diferetes escolhs de e defiem diferetes métodos itertivos. Cosidere-se seguite decomposição d mtri som de três mtries A D U, isto é, A D U, ode é mtri trigulr iferior, U mtri trigulr superior, ms com eros digol pricipl e D mtri digol.
Notmos que mtri digol D ão deverá ter eros digol pricipl. Cso isso coteç, deve-se efetur um troc de lihs ou colus mtri A, pr otermos um mtri D dequd. De etre os métodos itertivos, iremos ordr os seguites métodos: método de Jcoi método de Guss-Seidel. --- Teste de Prd Como em todos os processos itertivos, ecessit-se de um critério pr prd do processo. ) áimo desvio soluto: δ ( ) m i, ( ) i ( ) i ) áimo desvio reltivo: ( ) ( ) δ δ R ( ) m i, i c) Número máimo de iterções: m Dest form, dd um precisão ε, o vetor ( ) será escolhido como solução proimd ( ) d solução et, se δ < ε, ou depededo d escolh, δ ( ) R < ε. No cso em m, ( m ) será escolhido como solução proimd d solução et. -- étodo de Jcoi Vmos supor que A foi reorded de modo que todos os seus elemetos d digol sejm ão-ulos ii, i. No cso do método de Jcoi, cosidermos AD U - N D N - ( U ) Portto, o método cosiste em Iterd iicil () ou id Iterção () D - ( N () ) (,,...N)
N prátic vmos etão tirr o vlor de cd i i-ésim equção (i,,..., ). Como ssumimos que ii é ão ulo, podemos escrever: ) ( ) ( ) ( ) (, Se cosiderrmos o ldo esquerdo do sistem como os elemetos de um ovo psso de iterção () e os elemetos do ldo direito como elemetos do psso terior (), teremos: ) ( ) ( ) ( ) (, Eemplo: Resolver o sistem io pelo método de Jcoi. 9 7 78 O sistem cim produ s seguites equções do procedimeto itertivo
5 9 7 78 Assumido (,,) ),, ( Relimos ª iterção 9 ) 9,.7,.6 m( ),, m( 9 9 9.7 7 7.6 78 78 E E Relimos ª iterção. 9 ) 8.89,.7) (.7.6,.6 m( ),, m( 8.89.7.6 9 9.7 7 9.6 7.6 9.7 78 78 E E Relimos ª iterção
6 78 78.7 8.89.7.6 8.89.7 7 7 9 9.6.7 8.89 E m(,, ) E m(.7.6,.7 (.7), 8.89 8.89 ). Relimos ª iterção 78 78.7 8.89.7.7 8.89.7 7 7 9 9.7.7 8.89 E m(,, ) E m(.7.7,.7 (.7), 8.89 8.89 ) <. Tel resumo do étodo de Jcoi ε -.6 -.7 9 9.6 -.7 8.89..7 -.7 8.89..7 -.7 8.89 <. --- étodo de Guss-Seidel No cso do método de Guss-Seidel, poderemos cosiderr A D U - N D N - U Portto o método cosiste em Iterd iicil () Iterrão () (D) - -U () (,,...N)
7 O pricípio do método de Guss-Seidel é usr ov iformção tão logo el estej dispoível. Neste cso escolhe-se Etão: (D ) () - U () (,,... ) () D - - () - U () (,,... ) Iterd iicil () Iterrção () D - ( - () - U () (,,...) ou id Se cosiderrmos o ldo esquerdo do sistem como os elemetos de um ovo psso de iterção () e os elemetos do ldo direito como elemetos ovos tão logo eles estejm dispoíveis, teremos: ) ( ) ( ) ( ) (, Eemplo: Resolver o sistem io pelo método de Guss-Seidel. 9 7 78
8 O sistem cim produ s seguites equções do procedimeto itertivo 78 7 9 Assumido (,, (,,) Relimos ª iterção ) 78 78.6.6.75 7 7 9 9.6.75 8.89 E m(,, ) E m(.6,.75, 8.89 ) 8.89 Relimos ª iterção 78 7 9 E m(, 78.75 8.89.6.6 8.89.7 7 9.6.7 8.89, ) E m(.6.6,.7 (.75), 8.89 8.89 ).8 Relimos ª iterção
9 78 78.7 8.89.7.7 8.89.7 7 7 9 9.7.7 8.89 E m(,, ) E m(.7.6,.7 (.7), 8.89 8.89 ). Relimos ª iterção 78 7 9 E m(, 78.7 8.89.7.7 8.89.7 7 9.7.7 8.89, ) E m(.7.7,.7 (.7), 8.89 8.89 ) <. Tel resumo do étodo de Guss-Seidel ε -.6 -.75 8.89 8.89.6 -.7 8.89.8.7 -.7 8.89..7 -.7 8.89 <. -- Critérios de covergêci Começmos por otr que o método itertivo () - ( N () ) pode ser escrito como () C () d desigdo C - N e d -.
Teorem: ( Codições Necessáris e Suficietes de Covergêci ) O método itertivo () C () d coverge com qulquer vlor iicil se, e somete se, ρ(c) <, sedo ρ(c) o rio espectrl (mior utovlor em módulo) d mtri de iterção C. Notdo que: étodo de Jcoi, C - D - ( U ) étodo de Guss-Seidel, C - ( D ) - U A determição do rio espectrl d mtri de iterção ρ(c) requer, em gerl, mior esforço computciol que pró pi solução do sistem A. Por isto us-se ormlmete codições suficietes de covergêci. Oservção: Se eistir um orm iduid. : C < etão é clro que que isso se irá verificr, porque e () C e () < C e (), qudo tede pr ifiito, qulquer que sej o e (), fio pel iterd iicil. Oservção: Podemos flr tmém de ordem de covergêci, o cso vectoril, e ests mjorções revelm que estes métodos itertivos têm um covergêci lier. ---- Critérios Suficietes de Covergêci Pr lém do teorem, que os dá codições ecessáris e suficietes de covergêci, eistem critérios mis simples que ssegurm covergêci pr qulquer iterd iicil. No etto, esss codições, que iremos deduir, são pes codições suficietes. Repre-se, por eemplo, o cso do método de Jcoi. Como C D - ( U ) e relemrdo que o eigirmos que orm do máimo sej iferior, isto sigific ogo, um codição suficiete que os grte isso, é
este cso, di-se que mtri A tem digol estritmete domite por lihs. De form álog (usdo um orm semelhte à ds colus), podemos cocluir que se isto é, se mtri A tem digol estritmete domite por colus, etão o método de Jcoi coverge. Este rciocíio pode-se plicr tmém o método de Guss-Seidel e otemos : Teorem : ( Codição Suficiete de Covergêci ) Se mtri A tiver digol estritmete domite por lihs ou por colus, os métodos de Jcoi e de Guss-Seidel covergem, pr qulquer vector iicil () escolhido. Oservção: Como C - N - ( A - ) I - - A quto mis próim de A fôr mtri, mis próimo d mtri ero será vlor de C, e cosequetemete, mis rápid será covergêci do método itertivo. Nos csos dos métodos que estudmos, ormlmete está "mis próim" de A o cso do étodo de Guss-Seidel ( D ) do que o cso do étodo de Jcoi ( D ). Portto, hitulmete o método de Guss-Seidel coverge mis rpidmete. Há, o etto, csos em que isso ão cotece, um método pode covergir e o outro ão! Número de Operções: A meos que s mtries possum os preciáveis com elemetos ulos, mos os métodos itertivos eigem um cálculo totl de ~ operções, por cd iterd, o que implic que, se forem ecessáris mis que ~/ iterções, eigimos mis operções do que um método direto.
- Eercícios propostos - Prticdo com jud do thcd - Uso ds fuções iters do thcd : lsolve e fid. A fução lsolve do thcd us otção mtricil e fução fid é pr ser usdo em loco de solução. Vremos mos os usos solução dos sistems de equções io: ) 5 { R.:, } Usdo fid temos plilh: give 5 fid(, ) Usdo lsolve temos plilh lsolve, 5 ) 5 6 5 6 9 8 { R.:, } Usdo fid temos plilh: give 5 6 9 5 6 8 fid(, ) Usdo lsolve temos plilh lsolve 5 6 5 6, 9 8
c) 7 5 9 { R.: /, / } Usdo fid temos plilh: give 7 5 9 fid(, ) Usdo lsolve temos plilh 7 lsolve, 5 9 Portto / e / -, etão / e -/. d) 5 u t 7u 9 8 u t 6 u t { R.: 5,.75,, u, t 6} Usdo fid temos plilh: give 5 u t 7u 9 8 u t 5 u t fid(,,, u, t) Usdo lsolve temos plilh 5 6
lsolve 9 5 8 5 7, 5 6 Pode-se utilir o cálculo simólico (, digite CTR. ) ou o cálculo umérico (, digite ) qudo us-se lsolve lsolve 9 5 8 5 7, 5.75 6 Eercícios Resolvidos: Resolver os sistems: ) } 7,,, :. { 7 8 8 7 t R t t t t give t 7 t 8 t 8 t 7 fid,, t, ( ) 7 )
5 t u 8t 5u 5 6 t u t u 6 t u { R. :,, /, t /, u } Give t u 8t 5u 5 6 t u t u 6 t u Fid(,,, t, u) Eemplo : Resolver o sistem trigulr: w 8 5 w w 5 w Usdo-se give... fid o thcd give w 8 5 w w 5 w fid(,,, w) 5 5 Tmém se pode usr ferrmet solve d ci de ferrmets Smolic do thcd como mostr plilh io:
6 w 8 solve, 8 w 5 w solve, 5 5 w 5 w 5 solve, w 5 w solve, w w : w : w 5 5 5 w :.8 5 8 : w.6 Progrm. Solução de um sistem trigulr superior por sustituição retrotiv. SR(, ) : lst( ) for i.. iv i iv iv for j iv.. if i > jv j iv iv iv, jv jv iv iv iv, iv SR 5, 8 5.6.8 Eemplo :
7 Resolver o sistem de equções lieres io pelo método de elimição de Guss: Pr coferir o resultdo, usdo fução lsolve do thcd, temos: lsolve, 7 Podemos usr o thcd pr fer os cálculos vetoriis d elimição: tri mplid: ª Etp m : m : ih : m ( ) ( ) m ( ) ( ) ih : tri mplid pós ª etp:
8 ª Etp ih : m m : m tri mplid pós ª etp: ( ) Resolveldo o sistem de equção trigulr superior: solve, : solve, 7 7 : solve, { R.:, -7/, -/} Progrm. Solução de um sistem trigulr superior por sustituição retrotiv
9 TGuss(, ) : lst( ) for.. for i.. for j.. i, i, j, j, i i, j i,, for j.. for i j.. ( ) i Dd mtri dos coeficietes e o vetor dos termos idepedetes de um sistem de equções lieres: i, j A : : Aplicdo fução TGuss cim teremos o sistem trigulr superior: TGuss( A, ),.. TGuss( A, ),. Aplicdo o étodo d Sustituição Retrotiv:.. Sejm: A : TGuss ( A, ), : TGuss ( A, ), A..... E o progrm. thcd que implemet sustituição retrotiv:
TS(, ) : lst( ) for i.. iv i iv iv for j iv.. if i > jv j iv iv iv, jv jv iv iv iv, iv Otemos solução do sistem de equções: TS( A, ) 5 7 Temos tmém solução deste sistem usdo fução iter lsolve do thcd: lsolve, 5 7 Progrm. Solução de um sistem de equções lieres por Elimição de Guss.
EGuss(, ) : lst( ) for.. for if l.. l, for m.. if, OBS: troc de lihs pr evitr divisão por ero (pivô ulo). temp l, m l, m, m temp, m temp l l temp for re for i.. for j.. i, i, j, j, i i.. iv i iv iv i,, i i, j elimição gussi - ero io do pivô sustituição retrotiv for j iv.. if i > jv j iv iv iv, jv jv iv iv iv, iv Dd mtri dos coeficietes e o vetor dos termos idepedetes de um sistem de equções lieres:..5.8. 6.5 A : : 7. 9.7.9. 8...7 6.6 8.7. 8.9...
Usdo fução EGuss cim: Usdo fução lsolve do thcd: EGuss( A, ).975859596.9755757875 lsolve( A, ).75969595.95688959.9758595957.975575787.759695899.95688959 Oserv-se que fução EGuss e lsolve estão ddo prticmete mesm solução. Resolvedo-se usdo lsolve com css decimis e comprdo-se lsolve( A, ) flot,.97585959568.97557578786.7596958985895.95688959697.97585959568.97557578786.7596958985895.95688959697.97585959568.97557578786.7596958985895.95688959697.975859596.9755757875.75969595.95688959.9758595957.975575787.759695899.95688959.75.97 6.66 5.98 7.5 5.776 5.997 5 Coclui-se que o lsolve é ligeirmete mis eto que EGuss. Eemplos: Jcoi e Guss-Seidel
Jcoi : : : 78 :.6 :.7 7 9 : 9 E : m(,, ) E 9 :.6 :.7 : 9 78 :.6 : 7.7 9 : 8.89 E : m(,, ) E. :.6 :.7 : 8.89 78 :.7 : 7.7 9 : 8.89 E : m(,, ) E.6
:.7 :.7 : 8.89 78 :.7 : 7.7 9 : 8.89 E : m(,, ) E Guss- Seidel : : : : : : 78 :.6 : 7.75 9 : 8.89 E : m(,, ) E 8.887 :.6 :.75 : 8.89 : : : 78 :.6 : 7.7 9 : 8.89 E : m(,, ) E.79
5 :.6 :.7 : 8.89 : : : 78 :.7 : 7.7 9 : 8.89 E : m(,, ) E.6 :.7 :.7 : 8.89 : : : 78 :.7 : 7.7 9 : 8.89 E : m(,, ) E Podemos desevolver progrms thcd que relim solução dos sistems pelos métodos de Jcoi e Guss-Seidel utomticmete. Isto está presete os progrms de computdores solução de sistems de equções lieres usdo os referidos métodos.
6 étodo Itertivo de Jcoi Jcoi( A,, i, m) : lst( ) for i.., i i i, "" for j.. m for for i.. t for i.. t t A i, i if i t t A i, i j, i t i.. i i d i j j, i j, i j, i, m( d) A : 7 : i: 78 9 Jcoi( A,, i, ).6.6.7.7.7.7 9 8.89 8.89 "" 9.5.
7 étodo Itertivo de Guss-Seidel Guss( A,, i, m) : lst( ) for i.., i i i, "" for j.. m for for d i i.. t for i.. t t A i, i if i t t A i, i j, i t i i j j, i i.. j, i j, i, m( d) A : 7 : i: 78 9 Guss( A,, i, ).6.6.7.75.7.7 8.89 8.89 8.89 "" 8.89.8.