Nome: Nº Curso: Mineração Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /016 Matemática I Capítulo 06 Propriedades das Funções 6.1 Paridade das Funções 6.1.1 - Função par Dada uma função f: A B, dizemos que f é par se, e somente se, f(x) = f(-x) para todo x A. Ou seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Por exemplo, a função f: R R definida por f(x) = x² é uma função par, pois f(x) = x² = (-x)² = f(-x). Podemos notar a paridade dessa função observando o seu gráfico: Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação ao eixo vertical. Elementos simétricos têm a mesma imagem. Os elementos e, por exemplo, são simétricos e possuem a imagem 4. 6.1. - Função ímpar Por outro lado, dada uma função f: A B, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x) = -f(x) para todo x A. Ou seja: valores simétricos possuem imagens simétricas. Por exemplo, a função f: R R definida por f(x) = x³ é uma função ímpar, pois f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x). Podemos notar que a função é ímpar observando o seu gráfico: Notamos, no gráfico, que existe uma simetria em relação a origem (0, 0). Elementos simétricos têm imagens simétricas. Os elementos 1 e 1, por exemplo, são simétricos e possuem imagens 1 e 1 (que também são simétricas). IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 1
Exercícios de Fixação Paridade de Funções 01. (Uepb 01) Sejam x I. f(x) x 1 II. f(x), x 0 x III. f(x), x 0 x III. f(x) (x 1) (x 1) Classificando cada uma das funções reais acima em par, ímpar ou nem par nem ímpar, temos, respectivamente: a) par, par, ímpar, ímpar b) nem par nem ímpar, par, ímpar, ímpar c) par, ímpar, par, ímpar d) ímpar, par, ímpar, ímpar e) par, par, ímpar, nem par nem ímpar 0. (Unifesp 010) Uma função f: R R diz-se par quando f( x) = f(x), para todo x R, e ímpar quando f( x) = f(x), para todo x R. a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções pares ou funções ímpares? Justifique sua resposta. b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo uma par e outra ímpar, e exiba os seus gráficos. 03. (Fei 1996) Em relação à função polinomial f(x) = x 3-3x, é válido afirmar-se que: a) f(-x) = f(x) b) f(-x) = - f(x) c) f(x ) = ( f(x) ) d) f(ax) = a f(x) e) f(ax) = a f(x) GABARITO 01 B 0 a) Pares - I e III/Ímpares IV e V b) A função y = x é par e a função y = x é ímpar. 03 B IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade
6. - Propriedades das Funções - Função injetora, função bijetora e função sobrejetora 6..1 - Função injetora Uma função f: A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A sempre possuem imagens distintas em B, isto é: Se x 1 x então f(x 1 ) f(x ) ou de forma equivalente: Se f(x 1 ) f(x ) então x 1 x Se olharmos para o diagrama, percebemos que numa função injetora não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba mais de uma "flecha". Exemplos A função f: R R definida por f(x) = x + 3 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x obtemos dois valores diferentes para f(x). Observe o gráfico dessa função: Note que o gráfico de uma função injetora "não repete alturas". A função f: R R definida por f(x) = x² + 3 não é injetora, pois para x = temos f() = 7 e para x = - temos f(-) = 7, ou seja, dois elementos distintos de x têm a mesma imagem. Observe o gráfico desta função: Note que este gráfico repete alturas. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 3
6.. - Função sobrejetora Uma função f: A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Em outras palavras, f é sobrejetora se a imagem é igual ao contradomínio, ou seja, Im = B. Ao olharmos para o diagrama percebemos que numa função sobrejetora não podem sobrar elementos do conjunto B sem receber "flechas". Exemplos A função f: R R + definida por f(x) = x² é sobrejetora, pois todo elemento pertecente a R + é imagem de pelo menos um elemento de R. Note no gráfico que todo elemento de R + (contradomínio) é imagem de pelo menos um elemento de R (domínio). A função f: R R definida por f(x) = 3 x não é sobrejetora. Observe no gráfico da função. Note que todos os números negativos pertencem ao contradomínio, mas nenhum deles é imagem de qualquer elemento do domínio. 4..3 - Função bijetora Uma função f: A B é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. No diagrama percebemos que numa função bijetora os elementos de B são flechados só uma vez e, além disso, não existem elementos sobrando em B. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 4
Exemplos A função f: R R definida por y = 8x é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). A mesma função é sobrejetora, pois Im = CD = R. Assim, f: R R definida por y = 8x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. A função f: N N definida por y = x + 5 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). A mesma função não é sobrejetora pois a imagem da função é o conjunto Im = {5, 6, 7, 8,...}, que é diferente do contradomínio da função que é o conjunto de todos os números naturais. Assim, f: N N definida por y = x + 5 não é bijetora. Exercícios de Fixação - Propriedades das Funções - Função injetora, função bijetora e função sobrejetora 01.Determine se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras. Justifique a) b) C) d) 0.Dados os conjuntos A = { -, -1, 0, 1} e B = {-, -1, 0, 1,, 3} e a função f: A D(f), Im(f) e Cd(f). Verifique se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora. B, definida por f(x) = x +,determine: 03. Verificar se f: R R, definida por f(x)=3x+, é bijetora. Justifique. 04. Construa um exemplo de função que não seja nem injetora, nem sobrejetora. 05. (Udesc 013) A função f definida por domínio (D(f)) e a imagem (Im(f)) são: a) D(f) = R e lm(f) [1, [ b D(f) ],0] e Im(f) = R c) D(f) = R e Im(f) = R d) D(f) [0, [ e lm(f) [0, [ e) D(f) [0, [ e lm(f) [1, [ f(x) 1 x é uma função bijetora, se os conjuntos que representam o 06. (Uepg 011) Considerando os conjuntos: R = {0, 1, 3, 5, 7}, S = {, 4, 6} e P = {1, }, assinale o que for correto. 01) 1 (S P). 0) Existe uma função f: S P que é bijetora. 04) (S P) R = R. 08) R S P =. 16) Nenhuma função f: S R é sobrejetora. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 5
07. (Ita 005) Considere os conjuntos S = {0,, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0,1} e as afirmações: I - {0} S e S U. II - {} (S - U) e S T U = {0, 1}. III - Existe uma função f: S T injetiva. IV - Nenhuma função g: T S é sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV. 08. (Unifesp 00) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: "a valores distintos de x correspondem valores distintos de y". Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecem abaixo, é injetora? 09. (Ufrn 00) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E.Se f: E P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então a) f não pode ser uma função bijetora. b) f não pode ser uma função injetora. c) f é uma função sobrejetora. d) f é necessariamente uma função injetora. 10. (Uff 1997) Considere as funções f, g e h, todas definidas em [m, n] com imagens em [p, q] representadas através dos gráficos a seguir: Pode-se afirmar que: a) f é bijetiva, g é sobrejetiva e h não é injetiva. b) f é sobrejetiva, g é injetiva e h não é sobrejetiva. c) f não é injetiva, g é bijetiva e h é injetiva. d) f é injetiva, g não é sobrejetiva e h é bijetiva. e) f é sobrejetiva, g não é injetiva e h é sobrejetiva. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 6
11. (Puccamp 1996) Seja f a função de R em R, dada pelo gráfico a seguir É correto afirmar que a) f é sobrejetora e não injetora. b) f é bijetora. c) f(x) = f(-x) para todo x real. d) f(x) > 0 para todo x real. e) o conjunto imagem de f é ] - ; ]. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se for falsa. 1. (Ufpe 1996) Sejam A e B conjuntos com m e n elementos respectivamente. Analise as seguintes afirmativas: ( ) Se f: A B é uma função injetora então m n. ( ) Se f: A B é uma função sobrejetora então m n. ( ) Se f: A B é uma função bijetora então m = n. ( ) Se f: A B é uma função bijetora então o gráfico de f é um subconjunto de A B com m n elementos. 13. (Ufpe 1995) Dentre as curvas a seguir, qual pode ser o gráfico de uma função injetora y = f(x)? GABARITO 01 a) Sobrejetora b) Injetora c) Bijetora d) Nenhuma 0 D=A Im={0,1,, 3} Cd = B Função Injetiva 03 Sim.Bijetora 04 Em sala 05 E 06 4 07 B 08 E 09 C 10 A 11 A 1 V V V F 13 E IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 7