UNIVRSIDAD FDRAL DO RIO GRAND DO SUL SCOLA D NGNARIA DPARTAMNTO D NGNARIA LÉTRICA PROGRAMA D PÓS-GRADUAÇÃO M NGNARIA LÉTRICA GIOVANI BULLA Cálculo de Taa de Absorção specífca e Aumeo de Temperaura em Modelos de Cabeça de Adulo e Craça Poro Alegre (6)
GIOVANI BULLA Cálculo de Taa de Absorção specífca e Aumeo de Temperaura em Modelos de Cabeça de Adulo e Craça Dsseração de mesrado apreseada ao Programa de Pós-Graduação em gehara lérca da Uversdade Federal do Ro Grade do Sul como pare dos requsos para a obeção do íulo de Mesre em gehara lérca. Área de coceração: Auomação e Isrumeação lero-lerôca ORINTADOR: Álvaro Auguso Almeda de Salles Poro Alegre (6)
GIOVANI BULLA Cálculo de Taa de Absorção specífca e Aumeo de Temperaura em Modelos de Cabeça de Adulo e Craça sa dsseração fo ulgada adequada para a obeção do íulo de Mesre em gehara lérca e aprovada em sua forma fal pelo Oreador e pela Baca amadora. Oreador: Prof. Dr. Álvaro Auguso Almeda de Salles UFRGS PhD. pela Uvers College of Lodo UK Baca amadora: Prof. Dr. Fracsco de Asss Teo UFPB Douor pela Uversdade da Paraíba Paraíba Brasl Prof. Dr. ugo rque eráde Fgueroa Ucamp PhD. pela Uvers of Lodo Lodres Iglaerra Prof. Dr. Marco Tullo Mea Barreo de Vlhea UFRGS Douor pela Uversdade Federal do Ro Grade do Sul Poro Alegre Brasl Profa. Dra. Cha Feó Segao UFRGS Douora pela Uversdade Federal do Ro Grade do Sul Poro Alegre Brasl Coordeador do PPG: Prof. Dr. Marcelo Soares Lubasews Poro Alegre deembro de 6.
momeos. DDICATÓRIA Dedco ese rabalho a mha famíla em especal pela dedcação e apoo em odos os
AGRADCIMNTOS Ao Professor Dr. Álvaro Salles pela oreação e colaboração o rabalho. Aos amgos do LACOM Cláudo Pedra Gusavo e Paulo. Ao Programa de Pós-Graduação em gehara lérca PPG pela oporudade de realação de rabalhos em mha área de pesqusa. À CAPS pela provsão da bolsa de mesrado.
RSUMO Nese rabalho é apreseado o desevolvmeo de programa para cálculo de campos eleromagécos baseado o méodo das Dfereças Fas o Domío do Tempo (FDTD). O programa é aplcado o cálculo da Taa de Absorção specífca ( Specfc Absoro Rae SAR) em modelos de cabeça de adulo e craça usuáros de elefoe celular. Para a modelagem da cabeça da craça é fea aálse dealhada das prcpas dfereças das caraceríscas de cabeças de adulo e craça. Também é desevolvdo um programa para o cálculo do aumeo de emperaura relacoado com a Taa de Absorção specfca. Os resulados são comparados com dados de ouros auores bem como com as ormas relavas a íves de eposção a odas eleromagécas. Palavras-chaves: Dfereças Fas o Domío do Tempo. Taa de Absorção specífca. Telefoes Celulares. feos Térmcos.
ABSTRACT The developme of sofware o compue he elecromagec felds emplog he Fe Dfferece Tme Doma (FDTD) mehod s show hs wor. Ths sofware s used o esmae he Specfc Absorpo Rae (SAR) head models of chld ad adul users of cell phoes. A dealed aalss of he ma dffereces bewee chld ad adul heads s made order o model he chld head. Sofware o compue he emperaure rse relaed wh he calculaed SAR s also developed. The resuls are compared wh resuls obaed b ohers auhors as well as wh elecromagec feld eposure gudeles. Kewords: Fe Dfferece Tme Doma. Specfc Absorpo Rae. Cell Phoes. Thermal ffecs.
SUMÁRIO. INTRODUÇÃO...6.. CONTXTO DO PROBLMA...6.. VOLUÇÃO DO SRVIÇO MÓVL CLULAR...7.3. ONDAS LTROMAGNÉTICAS FITOS BIOLÓGICOS...8.4. PARÂMTROS DOSIMÉTRICOS....5. PRINCIPAIS NORMAS....6. PLANO D TS.... RVISÃO DA LITRATURA... 3. O MÉTODO FDTD...3 3.. QUAÇÕS D MAXWLL...3 3.. ALGORITMO D Y...34 3.3. DISPRSÃO STABILIDAD NUMÉRICA...39 3.4. CONDIÇÃO D CONTORNO ABSORVDORA...4 3.4.. Meo Uaal Perfeamee Casado...4 3.4.. Ierface UPML-UPML...45 3.4.3. sabelecmeo das pressões de Dfereças Fas...46 3.5. VALIDAÇÃO DO ALGORITMO...49 3.6. RCURSOS UTILIZADOS...5 4. CÁLCULO DA TAXA D ABSORÇÃO SPCÍFICA...5 4.. FORMATO DA CABÇA DISTRIBUIÇÃO DOS TCIDOS DNTRO DA CABÇA...5 4.. TAMANO DA CABÇA...56 4.3. POSIÇÃO DA CABÇA M RLAÇÃO AO APARLO CLULAR...56 4.4. TIPO D ANTNA DO CLULAR...58 4.5. POTÊNCIA D ALIMNTAÇÃO DA ANTNA...6 4.6. PARÂMTROS LTROMAGNÉTICOS DOS TCIDOS...6 4.7. ALGORITMO PARA CÁLCULO D SAR MÉDIA...66 5. RSULTADOS D CÁLCULO D SAR...68 6. CÁLCULO TÉRMICO...8 6.. CÁLCULO DA DISTRIBUIÇÃO D TMPRATURA...8 6.. VALIDAÇÃO DO ALGORITMO...84 6.3. RSULTADOS D CÁLCULO D AUMNTO D TMPRATURA...86 7. CONCLUSÃO...88 RFRÊNCIAS...9
LISTA D ILUSTRAÇÕS Fgura volução da elefoa móvel o Brasl (foe: ANATL)....7 Fgura Célula de Yee - poscoameo das compoees dos campos elérco e magéco...35 Fgura 3 - Images sagas da cabeça de um adulo adqurdas com Raos-X....53 Fgura 4 - Images coroas da cabeça de uma craça adqurdas com Tomografa Compuadorada...53 Fgura 5 Images em core sagal da cabeça de um adulo após segmeação dos ecdos...54 Fgura 6 Images em core coroal da cabeça de uma craça após segmeação dos ecdos....54 Fgura 7 -Vsualação rdmesoal de dversos cores dos modelos. (a) Cérebro medula e esclera da craça (b) Modelo da craça rerado um quaro de cma da cabeça (c) Modelo do adulo rerado um quadrae da cabeça (d) Modelo da craça rerado um quadrae da cabeça (e) Osso do adulo (f) Osso da craça....55 Fgura 8 Modelo de cabeça oreada com a dreção boca orelha paralela ao eo...57 Fgura 9 - Images dos modelos de cabeça grados em core sagal. (a) Modelo do adulo (b) Modelo da craça...58 Fgura Caa reagular e aeas ausadas sobre esa caa. (a) Caa reagular (b) Caa reagular com aea pach (c) Caa reagular com moopolo de quaro de oda....59 Fgura volução do campo eleromagéco o empo (log( )). Para aea po moopolo de quaro de oda em 85M (6 mw). No adulo após (a) erações (b) erações (c) 3 erações (d) 4 erações. Na craça com parâmeros eleromagécos de adulo após (e) erações (f) erações (g) 3 erações (h) 4 erações. Na craça com parâmeros eleromagécos ausados após () erações () erações () 3 erações (l) 4 erações....69 Fgura volução do campo eleromagéco o empo (log( )). Para aea po moopolo de quaro de oda em 8M (5 mw). No adulo após (a) erações (b) erações (c) 3 erações (d) 4 erações. Na craça com parâmeros eleromagécos de adulo após (e) erações (f) erações (g) 3 erações (h) 4 erações. Na craça com parâmeros eleromagécos
ausados após () erações () erações () 3 erações (l) 4 erações....7 Fgura 3 volução do campo eleromagéco o empo (log( )). Para aea po pach em 85M (6 mw). No adulo após (a) erações (b) erações (c) 3 erações (d) 4 erações. Na craça com parâmeros eleromagécos de adulo após (e) erações (f) erações (g) 3 erações (h) 4 erações. Na craça com parâmeros eleromagécos ausados após () erações () erações () 3 erações (l) 4 erações....7 Fgura 4 volução do campo eleromagéco o empo (log( )). Para aea po pach em 8M (5 mw). No adulo após (a) erações (b) erações (c) 3 erações (d) 4 erações. Na craça com parâmeros eleromagécos de adulo após (e) erações (f) erações (g) 3 erações (h) 4 erações. Na craça com parâmeros eleromagécos ausados após () erações () erações () 3 erações (l) 4 erações....7 Fgura 5 Dsrbução de SAR em dversos cores o plao. scala em db (log(sar (mw/g) /.6(mW/g))). Freqüêca da aea = 8M. Aea po moopolo de quaro de oda. Poêca de almeação = 5mW. (a) Caso A (b) Caso B (c) Caso C...73 Fgura 6 Dsrbução de SAR o adulo em dversos cores o plao. scala em db (log(sar (mw/g) /.6(mW/g))). Freqüêca da aea = 85M. Aea po moopolo de quaro de oda. Poêca de almeação = 6mW. (a) Caso A (b) Caso B (c) Caso C...74 Fgura 7 Dsrbução de SAR o adulo em dversos cores o plao. scala em db (log(sar (mw/g) /.6(mW/g))). Freqüêca da aea = 8M. Aea po pach. Poêca de almeação = 5mW. (a) Caso A (b) Caso B (c) Caso C....75 Fgura 8 Dsrbução de SAR o adulo em dversos cores o plao. scala em db (log(sar (mw/g) /.6(mW/g))). Freqüêca da aea = 85M. Aea po pach. Poêca de almeação = 6mW. 5mW. (a) Caso A (b) Caso B (c) Caso C...76 Fgura 9 - Perfl em regme permaee da dfereça de emperaura sobre uma rea passado pelo cero de uma esfera. foram usados os valores h= ρ = g / l ( g C) =.5 W /( m C) C p = J / SAR= W/g rao a = mm e dscreação espacal mm em odas as dreções dscreação emporal d= s codção de cooro de emperaura cosae a froera....85 Fgura - Aumeo de emperaura com o empo (moopolo de quaro de oda 85M 6mW)....87
LISTA D TABLAS Tabela - Dscreação e perímero craal dos modelos de cabeça...56 Tabela - Dscreação espacal o referecal grado...57 Tabela 3 - Parâmeros das aeas po moopolo para adulo...6 Tabela 4 - Parâmeros das aeas po moopolo para craça...6 Tabela 5 - Parâmeros das aeas po pach para adulo...6 Tabela 6 - Parâmeros das aeas po pach para craça...6 Tabela 7 - Valores dos parâmeros eleromagécos os ecdos de adulos e craças para freqüêca de 8 M...64 Tabela 8 - Valores dos parâmeros eleromagécos os ecdos de adulos e craças para freqüêca de 85 M...65 Tabela 9 Comparação da dsrbução de SAR para o modelo de adulo e para o modelo de craça com parâmeros de adulo e com parâmeros de craça. Aea po moopolo em 8M. Poêca de almeação = 5mW...77 Tabela Comparação da dsrbução de SAR para o modelo de adulo e para o modelo de craça com parâmeros de adulo e com parâmeros de craça. Aea po moopolo em 85M. Poêca de almeação = 6 mw....77 Tabela Comparação da dsrbução de SAR para o modelo de adulo e para o modelo de craça com parâmeros de adulo e com parâmeros de craça. Aea po pach em 8M. Poêca de almeação = 5mW....78 Tabela Comparação da dsrbução de SAR para o modelo de adulo e para o modelo de craça com parâmeros de adulo e com parâmeros de craça. Aea po pach em 85M. Poêca de almeação = 6 mw....78 Tabela 3 - Comparação da dsrbução de SAR para o modelo de adulo ere dversos auores. Aea po moopolo de quaro de oda. Faa 8 a 9 M. Poêca de almeação = 6 mw....8 Tabela 4 Propredades Térmcas de Tecdos a Cabeça umaa...83 Tabela 5 Aumeo Mámo de emperaura a cabeça em regme permaee...86
Tabela 6 Aumeo Mámo de emperaura o cérebro em regme permaee....86
LISTA D ABRVIATURAS ABC Absorbg Boudar Codo Codções de Cooro Abosrvedoras. ANATL ANSI Agêca Nacoal de Telecomucações. Amerca Naoal Sadards Isue Isuo de Normaação dos sados Udos. B Bo ea quao quação de Aquecmeo Bológco. C95.-99 Norma de eposção a campos eleromagécos do I de 99. C95.-5 Norma de eposção a campos eleromagécos do I de 5. CPU CRAY T94 Udade Ceral de Processameo. Supercompuador modelo T94 da CRAY NV566- Norma de eposção a campos eleromagécos do ICNIRP de 998. RB FDTD sação de Rádo Base. Fe Dferece Tme Doma Mehod Méodo das Dfereças Fas o Domío do Tempo. GB GFLOP ICNIRP Ggabe udade de armaeameo de dados. Udade de velocdade de processameo. Ieraoal Commsso o No-Iog Radao Proeco.Comssão Ieracoal de Proeção de Radação Não Ioae. I The Isue of lecrcal ad lecrocs geers Isuo dos geheros lero lerôcos dos sados Udos. PML Perfecl Mached Laers Camadas Perfeamee Casadas.
RAM RF SAM SAR SCSI TBW T TM Radom Acess Memor Rádo Freqüêca. Specfc Ahropomorphc Maequ Specfc Absorpo Rae Taa de Absorção specífca. Small Compuer Ssem Ierface Ierface de compuadores Toal Bod Waer Quadade Toal de Água. Campo com a compoee elérca rasversa à dreção de propagação. Campo com a compoee magéca rasversa à dreção de propagação. UPML Uaal Perfecl Mached Laers Camadas Perfeamee Casadas baseadas em meos uaas. WO World ealh Orgaao Orgaação Mudal de Saúde.
LISTA D SÍMBOLOS ρ Massa específca em logramas por lro (g/l). Dferecal de empo. m Dferecal de massa. W Dferecal de eerga. V Dferecal de volume. σ r ϖ Coduvdade em Semes por mero (S/m). Veor campo elérco (V/m). Freqüêca agular em er Megaher ou Ggaher ( M G). Permssvdade do vácuo em Farads por mero (F/m). r Permssvdade relava do meo. J r Veor desdade de corree elérca (A/m ). D r Veor desdade de fluo elérco (C/m ). r Veor campo magéco (A/m).. B r Veor desdade de fluo magéco (Wb/m ).
J r m Veor desdade de corree magéca equvalee (V/m ). μ Operador Nabla. Permeabldade magéca em ers por mero (/m). Permssvdade elérca em Farads por mero (F/m). ρ Ressvdade magéca equvalee em Ohms por mero (Ω/m). Compoees de campo elérco em Vols por mero (V/m). Compoees de campo magéco em Ampéres por mero (A/m). Dscreações espacas. λ c Icremeo emporal. Comprmeo de oda em meros (m). Velodacdade da lu em meros por segudo (m/s). Udade complea = -. μ Γ Tesor permeabldade. Tesor permssvdade. Número de oda em um sobre mero (m) Coefcee de refleão. τ Coefcee de rasmssão. = T ( ) Temperaura em graus Celsus ( o C) T o C Calor específco ( J Kg C) P /. o K Coduvdade érmca [ J ( s m C) ] 3 o b Taa de perfusão ( W / m C) /. o sae e a posção (). T b Temperaura do sague areral. T a Temperaura ambee. o h Coefcee de rasferêca de calor covecvo ( W m C) /
6. INTRODUÇÃO Campos eleromagécos produdos por emssoras de sas de TV rádos esação de rádo base rasmssões em rádo freqüêca (RF) e ouras esruuras para comucações esão presees há décadas mas eposção a sas de elefoes móves caram-se há algus aos. O aumeo ocorreu pracamee do ero para o úmero aual em poucos aos esdo cerca de 94 mlhões de usuáros de elefoes celulares o Brasl com perspecva de aumear ada mas. Além dsso em aumeado ambém a quadade de craças e adolescees usuáros de elefoes móves. Paralelamee a so aumea a preocupação da comudade ceífca de auordades e da população em relação à seguraça o uso desses elefoes o que d respeo à saúde. Também há a preocupação de que craças possam ser mas vuleráves a efeos de RF do que adulos (IGMP ). Para o esudo do problema específco de efeos érmcos devdos a rasmssores poráes é ecessáro o desevolvmeo de uma ferramea de cálculo umérco como o Méodo das Dfereças Fas o Domío do Tempo (FDTD) ao para o cálculo do campo eleromagéco quao para o cálculo do aumeo de emperaura. Algumas dfereças a aaoma e a fsologa de craças e adulos são de grade mporâca a modelagem de eposção a campos eleromagécos. Dere essas dfereças êm-se a forma e amaho da cabeça espessura craal e valor dos parâmeros eleromagécos... CONTXTO DO PROBLMA A dfusão do uso de rascepores poráes como os elefoes celulares em levaado quesoameos a respeo dos efeos bológcos que pode provocar o campo eleromagéco dudo a cabeça dos usuáros. Para avalar esas quesões é ecessáro o
7 desevolvmeo de solução umérca aravés da mplemeação de sofware que eha aplcação geral para problemas de propagação e absorção de campo eleromagéco. Para melhor eedmeo dos efeos érmcos que defem os lmes das ormas relavas à eposção a campos eleromagécos é ecessáro mplemear sofware para solução umérca das equações de calor bológco vsado deermar prcpalmee a dsrbução de emperaura e defcação de possíves poos quees ( ho spos )... VOLUÇÃO DO SRVIÇO MÓVL CLULAR A dúsra de elefoa celular desde a década de 9 aé os das auas em epermeado eorme crescmeo em odo o mudo. O prcpal faor mpulsoador desse fore crescmeo é o cosae desevolvmeo ecológco que vem corbudo para a dmução dos cusos das operadoras e para os cosumdores e o aumeo da compeção a presação do servço. A Fgura mosra a evolução da elefoa celular o Brasl. Paralelamee a so aumea a preocupação da comudade ceífca de auordades e da população em relação à seguraça sobre o uso desses elefoes. Fgura volução da elefoa móvel o Brasl (foe: ANATL).
8.3. ONDAS LTROMAGNÉTICAS FITOS BIOLÓGICOS Os caas de rasmssão de elefoes celulares usam poradoras de radofreqüêcas por eemplo ere 8 M e 9 M para as badas A e B o Brasl. Desa forma os sas de vo são rasmdos por meo de odas eleromagécas em freqüêcas prómas a G as quas devem ser emdas com poêca sufcee para serem recebdas pelas sações de Rádo Base (RB s) do ssema celular. se po de odas é classfcado como sedo ão oae pos os campos eleromagécos ão possuem eerga sufcee para provocar a quebra das lgações químcas. Dfereemee as radações oaes correspodem a campos em freqüêcas mas elevadas que as das emssões de lu como por eemplo os raos X e os raos gama cuos comprmeos de oda são aomércos. se po de radação possu eerga sufcee para quebrar lgações químcas por oação. Desa forma o maeral geéco das células pode ser dafcado levado a doeças como o câcer por eemplo. As coseqüêcas dos mecasmos de eração de odas eleromagécas ão oaes com ssemas bológcos podem ser classfcadas em dos grupos: (a) efeos érmcos e (b) efeos ão érmcos quer os efeos seam arbuídos ao aumeo de emperaura ou à eração drea do campo com o ecdo sem aumeo sgfcavo da emperaura. Os efeos érmcos decorrem dreamee do aquecmeo dos ecdos como resulado da absorção de odas eleromagécas em meos dsspavos. Grade pare do aquecmeo dos ecdos deve-se à roação de moléculas polares dudas pelo campo eleromagéco. Os efeos érmcos êm sdo esudados há váras décadas e os resulados da absorção dos campos eleromagécos por dferees pos de ecdos são bem cohecdos. A respeo esem ormas eracoalmee aceas que esabelecem lmes de eposção em fução da freqüêca de operação do empo de eposção do po de usuáro ec. Os lmes de
9 eposção das ormas cosderam que aquecmeos acma de ºC podem provocar efeos eraogêcos degeeravos (SALLS 999a). Ouros efeos devdos ao aumeo de emperaura são cohecdos. Como eemplo sabe-se que aumeos de emperaura localados ferores ao lme de 3.5 ºC o cérebro ão causam daos fsológcos. Além dsso é cohecdo que aumeo de emperaura o hpoálamo de. ºC.3 ºC causa alerações o ssema ermoregulaóro. Sabe-se ambém que os daos érmcos a pele começam com elevação de emperaura o ecdo em oro de ºC (GUYTON 99). Além dos efeos érmcos das odas ão oaes esem evdêcas de que ocorre eração drea dos campos eleromagécos osclaóros com as moléculas polares presees os fluídos e os ecdos bológcos. emplos de efeos ão érmcos são os boquímcos ou elerofíscos causados dreamee por campos eleromagécos dudos e ão por aumeo localado ou dsrbuído de emperaura. Algus efeos ão érmcos relaados a leraura cluem efeos o ssema ervoso cardovascular e muológco bem como o meabolsmo e em faores heredáros. Tas efeos são relaados para íves de eposção bem abao daqueles os quas efeos érmcos são observados (SALLS 999b). reao essa área os resulados ada são polêmcos ão esdo defções as quas poderão demorar muos aos em fução das pesqusas que se desevolvem. se rabalho cocera-se o esudo e modelagem da eração dos campos eleromagécos com cabeças de usuáros de elefoes celulares vsado dmesoar os efeos érmcos decorrees dessa eração.
.4. PARÂMTROS DOSIMÉTRICOS Os lmes em geral dcados as ormas e recomedações podem ser epressos em desdade de poêca cdee (p. e. mw/cm ) esdade de campo elérco (V/m) esdade de campo magéco (A/m) ou por um parâmero dosmérco largamee ulado qual sea a Taa de Absorção specífca ( Specfc Absoro Rae - SAR). sa úlma é defda como sedo a dervada o empo do aumeo de eerga absorvda em elemeo de massa coda um elemeo de volume cua massa específca é ρ (STUCLY 995). Aalcamee pode ser epressa por SAR W W = = m ρ(v ) / ( mw g) () É possível der em ouras palavras que a SAR quafca a poêca absorvda por udade de massa. Ulado o eorema do veor de Pog para campos eleromagécos com ecação seodal o domío da freqüêca a SAR pode ser ambém epressa por σ ω SAR = = = J ( mw / g) () ρ ρ ρσ ode e J são os valores de pco do campo elérco e da desdade de corree o local cosderado. O aumeo da emperaura os ecdos decorre dere ouros faores dos íves de SAR..5. PRINCIPAIS NORMAS m fução dos efeos érmcos á bem cohecdos dferees ormas êm sdo proposas (SALLS 999b) dere as quas se desacam as ormas C95.-99 (ANSI
99) receemee revsa pela orma C95.-5 (ANSI 5) adoada os sados Udos e a NV566- (ICNIRP 998) adoada por dferees pases europeus. sas recomedações servem de base para dferees legslações acoas (AGÊNCIA... 999). Para as freqüêcas de elefoa celular o Brasl a recomedação (GUIDLINS 998) adoada pela ANATL (Agêca Nacoal de Telecomucações) defe os lmes de desdade de poêca em 43 W/m e de SAR de mw/g em cubos de g de ecdo. A orma C95.-99 (ANSI 99) defe os lmes em 5.7 W/m e de SAR gual a.6 mw/g em cubos com g de ecdo. A úlma orma fo revsa pela orma C95.-5 (ANSI 5) alerado seus lmes para os mesmos valores da orma do ICNIRP ( Ieraoal Commsso o No-Iog Radao Proeco )..6. PLANO D TS No Capíulo é realada uma revsão bblográfca mosrado os prcpas resulados publcados relavos a cálculos de SAR e aumeo de emperaura em seres humaos. A segur o Capíulo 3 é apreseado o desevolvmeo do Méodo de Dfereças Fas o Domío do Tempo para deermação dos campos eleromagécos bem como as codções de esabldade dspersão e de cooro. No Capíulo 4 é fea uma aálse dealhada da meodologa ulada para cálculo de SAR cosderado as dfereças específcas ere adulos e craças bem como a adequada modelagem do elefoe celular e a mplemeação do algormo para cálculo de SAR. No Capíulo 5 são apreseados os resulados de cálculo de SAR bem como a comparação com ouros resulados dspoíves a leraura. No Capíulo 6 é apreseado o desevolvmeo do Méodo de Dfereças Fas aplcado ao cálculo de aumeo de emperaura a cabeça causado pela SAR e os resulados obdos. Falmee o Capíulo 7 são apreseadas as coclusões e os comeáros relavos aos méodos ulados e aos resulados obdos.
. RVISÃO DA LITRATURA Nese Capíulo é fea uma revsão dos prcpas resulados apreseados a leraura relavos ao cálculo de SAR e aumeo de emperaura em seres humaos. Che (CN 994) usado o méodo FDTD smulou a eração do campo eleromagéco devdo a um dpolo com poêca de 6 mw e freqüêca de 835 M. Fo usado um modelo de cabeça ão homogêeo com dscreação espacal de 5 mm. A dsâca da aea à cabeça varou ere e.5 cm. Os valores de SAR calculados suaramse a faa de.3 a.63 W/Kg. A poêca de 6 mw as smulações é ulada por ser o valor mámo de poêca ípco de celulares as badas A e B. Dmblow (DIMBYLOW 994) desevolveu modelo umérco de cabeça humaa a parr de um couo de mages de ressoâca magéca de um dvíduo. O méodo FDTD fo usado para calcular a SAR com resolução espacal de mm. Um rascepor geérco fo represeado por um moopolo de quaro de oda em uma caa meálca. A aea fo suada em duas posções a face superor da caa meálca ao o cao da face mas dsae da cabeça quao o cero da face. As freqüêcas cosderadas foram 9 M e.8 G. Dversas posções do rascepor foram smuladas. O efeo da mão segurado o equpameo ambém fo cosderado. Fo realada uma mudaça de escala para smular a cabeça de uma craça. Os valores de SAR calculados ese modelo de craça ão foram superores aos valores calculados para o modelo de adulo. Também foram apreseados resulados para um dpolo de mea oda. Os valores mámos de SAR em g de ecdo gerados pelo rascepor geérco a suação de uso mas ípca foram guas a. e 3. W/g por W de poêca rradada respecvamee em 9 M e.8 G. Os valores correspodees para g de ecdo são.3 e 4.8 W/g por W em 9 M e 8 M respecvamee.
3 Rahma-Sam (RAMAT-SAMII 995) usou o méodo FDTD para calcular a SAR em rês modelos realíscos de cabeça de adulo a preseça de dferees pos de aeas e cofgurações. Para a dsâca de cm ere o dsposvo rradae e a cabeça com W de poêca eregue à aea o valor de pco de SAR a cabeça fo calculado ere.9 e 3.8 mw/g. Nas mesma codções o valor médo da SAR suou-se ere.6 e. mw/g. Além dsso cosaou-se que a cabeça e a mão absorvem ere 48 e 68% da eerga eregue à aea. Lu (LU 996) usa o méodo FDTD para calcular o campo eleromagéco devdo a uma oda plaa cdee com desdade de poêca de mw/cm ulado modelo de cabeça de adulo. Usado o méodo de dfereças fas a equação de rasferêca de calor bológco lear o regme permaee fo resolvda umercamee obedo-se.5 ºC de aumeo mámo de emperaura a cabeça. Gadh (GANDI 996a) usa o méodo FDTD para calcular a SAR a cabeça humaa devdo à radação eleromagéca de elefoes celulares. Para smulação realísca da posção de uso de elefoe a orelha do modelo fo comprmda cora a cabeça; a cabeça fo grada a um âgulo aproprado e a mão fo represeada smplfcadamee. Foram smulados elefoes celulares em 835 e 9 M com moopolo em cma de caa meálca e aeas de comprmeo de quaro de oda e rês oavos de oda. A poêca máma de 6 mw fo usada para o caso em 835 M bem como 5 mw para 9 M. Para o caso da cabeça grada a posção de uso do elefoe celular foram obdos valores de SAR em g de ecdo o caso.93 e. W/g para a aea de quaro de oda em 835 M e 9 M respecvamee e.6 e.96 W/g para a aea de rês oavos de quaro de oda em 835 M e 9 M respecvamee. A poêca de 5 mw as smulações é ulada por ser o valor mámo de poêca ípco de celulares comum a faa de 8 M.
4 Gadh (GANDI 996b) smula os mesmos casos apreseados em (GANDI 996a) eses são smulados ulado ambém modelos de cabeça de craça de de e cco aos de dade crados a parr de uma mudaça de escala o modelo de cabeça de adulo. Os valores de SAR em g de ecdo a cabeça calculados para o caso do moopolo de quaro de oda em 835 M foram.93 3. e 4.49 W/g para a cabeça do adulo da craça de de aos e para a craça de cco aos respecvamee. Para o caso do moopolo de quaro de oda em 9 M os valores de SAR em g de ecdo a cabeça são..9 e.97 W/g para a cabeça do adulo da craça de de aos e para a craça de cco aos respecvamee. Ooews (OKONIWSKI 996) usa o méodo FDTD para smular aea moopolo de quaro de oda ausada em cma de caa meálca para calcular a SAR em modelo realísco de cabeça e em modelos de cabeça quadradas e esfércas. Os resulados obdos com modelos esfércos de cabeça esão relavamee prómos aos resulados obdos o modelo de cabeça realísco. Valores de SAR calculados com modelos que cluem orelhas são meores do que em modelos que ão cluem orelha. ombach (OMBAC 996) usa um códgo comercal baseado a écca de egras fas para calcular a SAR em modelo realísco de adulo e em modelos com grau de compledade redudo. Os modelos dferam em forma amaho e aaoma era. Os resulados mosraram que o amaho e a forma são de meor mporâca e que valores de SAR local depedem foremee das ão homogeedades. Schöbor (SCÖNBORN 998) usa um códgo comercal baseado a écca de egras fas para calcular a SAR em modelos realíscos de adulo e de craça de 7 e de 3 aos de dade. Os modelos foram baseados em mages geradas por ressoâca magéca. As dfereças de absorção foram vesgadas para as freqüêcas de 9 e 8 MZ
5 usado um dpolo de ove ve avos de comprmeo de oda. Os resulados para campo prómo ão revelaram dfereças sgfcavas a absorção de radação eleromagéca ere adulos e craças. Wag (WANG 999) usa o méodo FDTD para calcular a SAR em um modelo realísco de cabeça de adulo. le resolve a equação de aquecmeo bológco usado um modelo lear aravés de dfereças fas o domío do empo. O elefoe móvel fo smulado por moopolo de quaro de oda em cma de caa meálca. A poêca de almeação fo ausada para.6 W a aea em 9M e.7 W em.5 G. Resulados compuados mosram que uma lgação de 7 muos leva a um aumeo de emperaura de apromadamee 9% do aumeo em regme permaee. Ulado os lmes mposos pela orma do ANSI/I ( Amerca Naoal Sadards Isue / The Isue of lecrcal ad lecrocs geers ) que resrge a SAR em g de ecdo a.6 W/g um aumeo mámo de emperaura o cérebro de.6 o C fo obdo; usado a orma do ICNIRP que lma a SAR em g de ecdo coíguo em W/g o aumeo mámo de emperaura o cérebro fo de. ºC. Rowle (ROWLY 999) usa o méodo FDTD para comparar a SAR um modelo realísco de cabeça de adulo a preseça de aea do po quaro de oda sobre caa meálca e com aeas po pach ausadas em uma caa meálca. As aeas pach reduram o valor da SAR em g de ecdo a cabeça em 7% em relação à aea moopolo. Berard (BRNARDI ) usa o méodo FDTD para calcular a SAR e aumeo de emperaura em modelo de cabeça de adulo eposo a dversos pos de elefoes celulares. A emperaura fo calculada usado um modelo lear da equação de aquecmeo bológco. Os resulados obdos mosram para poêca rradada de 6 mw uma SAR máma em g de ecdo de. a 3.7 W/g depededo do elefoe cosderado. A emperaura máma é
6 calculada a orelha e vara de. ºC a.43 ºC equao o aumeo mámo de emperaura o cérebro vara de.8 ºC a.9 ºC. Na (NIKITA ) reala uma sére de epermeos umércos usado FDTD modelado represeações caôcas da eração ere a cabeça humaa e elefoes celulares de forma a vesgar efeos de dealhes específcos das smulações. É mosrado que dfereças sgfcaes os resulados compuados podem ocorrer mesmo ere grupos que usem méodos basae smlares. Na avalação da SAR em g de ecdo a cerea relacoada pode ser da ordem de 3% equao que a cerea a SAR calculada em uma célula pode ser da ordem de 4% a 6% mesmo para problemas caôcos bem defdos. Maso (MASON ) demosra o efeo de mapular a freqüêca a permssvdade e o amaho das células os valores calculados de SAR usado o méodo FDTD. Foram usados modelos realíscos de homes e raos além de modelos esfércos homogêeos. A SAR oal o rao eposo a uma oda plaa em 5 M dmuu de.95 para.63 W/g/mW/cm quado odos os valores de permssvdade foram mulplcados por.5 e aumeou para.3 W/g/mW/cm quado os valores de permssvdade foram mulplcados por dos. A máma absorção de eerga o cérebro humao ocorreu ere 6 e 8 M quado o campo se propagava a dreção do vere para o dorso. Algus resulados foram comparados com dados empírcos em raos baseados em ermografa em fravermelho e em amosras érmcas mplaadas. Os resulados smulados esão dero do erro epermeal. Gase (GAJSK ) aalsa o efeo de varar os valores de permssvdade. Para sso rrada um modelo realísco humao de corpo ero com uma oda plaa em dversas oreações de propagação e freqüêca. Os valores de permssvdade são varados mulplcado os valores orgas por.5 ou por. As mudaças os valores de permssvdade ão fluecam subsacalmee os valores de SAR méda em odo o corpo.
7 A mudaça a permssvdade eve maor efeo em valores de SAR localada quado eses foram pequeos comparados com o valor de SAR méda em odo o corpo. No por caso observado mulplcado os valores de permssvdade do músculo por obeve-se um aumeo de SAR de vees em quase 5% dos ecdos em relação aos valores obdos com parâmeros orgas; em % dos ecdos o aumeo da SAR fo maor que 3 vees. raa (IRATA 3a) vesgou o aumeo de emperaura devdo à eposção a odas eleromagécas de uma aea po dpolo a faa de freqüêca de 9 M a.45g. A SAR é calmee calculada em modelo de cabeça usado o méodo FDTD. A emperaura é eão calculada subsudo a SAR a equação de aquecmeo bológco lear. Os aumeos mámos de emperaura a cabeça e o cérebro são deermados aravés de erapolação lear da SAR méda máma essas regões. É calculado que a SAR méda em g de ecdo máma a cabeça devera ser apromadamee 65 W/g para agr um aumeo mámo de emperaura de ºC. a SAR méda em g de ecdo máma a cabeça devera ser apromadamee 4W/g o que mplca um faor de comparado com a orma do ICNIRP. Wag (WANG 3) baseado em dados esaíscos de craças apoesas desevolve dos ovos modelos de cabeça de craça a parr de um modelo de cabeça de um adulo apoês. O méodo FDTD é ulado para cálculo de SAR esses modelos. Os valores de pco de SAR são calculados usado os mesmo procedmeos usados em (GANDI 996b) e (SCÖNBORN 998). É sugerdo que as dfereças apreseadas em (GANDI 996b) e (SCÖNBORN 998) devem-se a dfereças as codções de cálculo umérco da SAR de pco. raa (IRATA 3b) correlacoa o aumeo mámo de emperaura a cabeça e o cérebro com a SAR de pco devdo a aeas prómas à cabeça. A emperaura é calculada usado um modelo lear da equação de aquecmeo bológco. Fo ecorado que
8 o aumeo mámo de emperaura a cabeça e o cérebro pode ser esmado em ermos do valor de pco da SAR méda em g e g de ecdo essas regões. É aalsado o aumeo mámo de emperaura para valores de SAR prescros em ormas de seguraça. Os valores de aumeo mámo de emperaura ecorado foram.3 ºC a cabeça e.3 ºC para o cérebro usado os lmes prevsos a orma do ANSI/I. Para os íves da orma do ICNIRP calculou-se o mámo aumeo de emperaura como sedo.6 ºC a cabeça e.5 ºC o cérebro Fumoo (FUJIMOTO 3) usa o mesmo procedmeo usado em (IRATA 3b) para correlacoar os valores de pco de SAR méda com o aumeo mámo de emperaura a cabeça e o cérebro de adulos e craças. O modelo de craça é crado usado dferees faores de escala para regões dsas o modelo de cabeça do adulo. Não foram ecoradas dfereças sgfcavas as correlações ere os valores de pco de SAR méda e a emperaura calculada o adulo e a craça. Aderso (ANDRSON. 3) usou esferas com dferees raos como modelos apromados de cabeça de adulo e craças de 4 8 e 6 aos de dade. A aálse mosrou que comparado com um adulo médo a SAR em g de ecdo de craças de 4 8 e 6 aos aumeou por faores de.3.3.5 e.7 respecvamee. Mare-Burdalo (MARTÍNZ-BÚRDALO 4) usado um modelo de cabeça de craça crado a parr de uma mudaça de escala em um modelo de cabeça de adulo comparou valores de pco de SAR méda em g e g de ecdo. Os modelos foram rradados usado aeas do po dpolo de mea oda em 9 M e 8 M. Resulados mosraram que a SAR méda máma a cabeça em g e g de ecdo edem a decar com a dmução do amaho da cabeça. No eao com a redução do amaho da cabeça os valores de SAR méda em g e g de ecdo o cérebro edem a aumear..
9 B-Bab (BIT-BABIK 5) usa o méodo FDTD para compuar valores de SAR médos em dos modelos aaomcamee correos de adulo e craça. O algormo de cálculo de SAR méda é mplemeado usado o algormo descro pelas ormas do ANSI (Sd. C95.3-). O modelo da cabeça de craça fo obdo usado uma escala lear do modelo de cabeça de adulo para reprodur as codções de ouros esudos da leraura. Ouros modelos ambém foram crados rasformado os modelos de adulo usado escalas dsas em regões dferees da cabeça. As propredades dos ecdos foram madas guas os modelos de cabeça de adulo e craça. Os resulados mosram que a SAR méda em g e g de ecdo são semelhaes em odos os modelos de cabeça ulados quado submedos às mesmas codções. As dscrepâcas ere dferees resulados apreseados a leraura são arbuídas a cossêcas que esem quado dferees éccas de pós processameo são usadas para compuar valores médos de SAR em cabeças eposas a campos eleromagécos de elefoes móves. ade (ADJM 5) esma a SAR em dos modelos de cabeças de adulos e dos modelos de cabeça de craça uma crada a parr de redução smples de escala e o ouro usado escalas dferees em regões dsas da cabeça. Fo smulado um celular com bada dupla. Não são observadas dfereças sgfcavas ere os resulados obdos com os dos modelos de adulo da mesma forma ere os modelos de craça. Um pequeo aumeo fo observado ere os valores calculados de SAR méda em g de ecdo os modelos de craça relavos aos calculados os modelos de adulo. Fumoo (FUJIMOTO 6) usa os mesmos modelos de cabeça de adulo e craça desevolvdos em (WANG 3). Os valores das propredades érmcas e eleromagécas são ausados para os modelos de craça correlacoado as propredades com o coeúdo oal de água dos ecdos. Desa forma varações meores que 4% os valores das propredades são cosderadas. É ecorado que o aumeo mámo de emperaura o
3 cérebro pode ser esmado em ermos dos valores de pco de SAR méda em g e g de ecdo. Não foram ecoradas dfereças sgfcavas ere adulos e craças as correlações ere os valores médos de SAR e a emperaura máma. Além dsso o efeo da varação dos valores das propredades eleromagécas e érmcas mosrou ser sgfcae. Wag (WANG 6) usa os mesmos auses dos parâmeros eleromagécos para craças feos em (FUJIMOTO 6). corou-se que mesmo em casos eremos a varação de parâmeros ão afea valores de pco de SAR em mas de %. Beard (BARD 6) comparada a SAR deermada compuacoalmee o modelo aropomórfco especfco ( Specfc Ahropomorphc Maequ - SAM) e modelos aaomcamee correos de cabeça eposos a campos eleromagécos elefoes móves. O méodo FDTD fo usado para cálculo de SAR. Os resulados mosram que quado a SAR a pare eera da orelha é calculada separadamee da SAR a cabeça o SAM produ um valor de SAR maor a cabeça do que a cabeça do modelo aaomcamee correo. Além dsso modelos de cabeça maores produram um maor valor de pco de SAR méda em g e g de ecdo do que a SAR em cabeças meores para odas as codções de freqüêca e posção. Gadh (GANDI 6) calcula o aumeo de emperaura usado valores de pco de SAR méda a pare eera da orelha aceos pelas ovas ormas relaadas do ANSI. Os valores de aumeo de emperaura compuados são.5 vees maores do que o aumeo de emperaura calculada usado os valores de SAR permdos pelas ormas do ICNIRP e 7.5 vees maor do que o aumeo de emperaura calculado usado os valores de SAR permdos pela a aga orma do ANSI.
3 3. O MÉTODO FDTD m 966 Yee propôs uma écca para resolver as equações roacoas de Mawell usado méodo de dfereças fas o domío do empo (FDTD) [Yee 966]. O méodo de Yee em sdo usado para resolver dversos problemas de espalhameo cálculo de parâmeros em crcuos de mcroodas e absorção eleromagéca em ecdos para freqüêcas de mcroodas dere ouros. Icalmee houve pouco eresse o méodo FDTD. Provavelmee devdo à fala de recursos compuacoas. No eao com o surgmeo de compuadores mas baraos e poderosos além de avaços o própro méodo a écca FDTD orou-se popular para a solução de problemas eleromagécos. O méodo é baseado a amosragem do campo elérco e magéco de forma que cada compoee do campo elérco é cercada por quaro compoees do campo magéco e cada compoee do campo magéco é cercada por quaro compoees do campo elérco. Desa forma as dervadas espacas as equações roacoas de Mawell são subsuídas por dervadas ceras edo esas precsão de seguda ordem. O méodo ambém calcula o campo elérco e o campo magéco o domío do empo em arrao cohecdo como pulo do sapo ( leap frog ). Todos os cálculos do campo elérco em dado sae são realados usado valores do campo magéco prevamee armaeado a memóra. Na seqüêca os cálculos para o campo magéco em odo o domío são realados usado os valores do campo elérco recém armaeados. O cclo pode recomeçar calculado ovamee o campo elérco usado a formação do campo magéco recém compuado. Os passos o empo couam aé que se obeha a formação deseada. sa formulação é compleamee eplca evado assm problemas com equações smulâeas e versões de mares. As equações de dfereças fas para as dervadas o empo são de aurea ceral e precsas em seguda ordem.
3 Um problema a ser cosderado o méodo FDTD é que muas suações de eresse são defdas em regões aberas ou sea a regão ode os campos devem ser calculados é lmada. Como ão há a possbldade de armaear uma quadade lmada de dados o domío ode os campos devem ser calculados precsa ser lmado. Assm o domío deve evolver a esruura de eresse e uma codção de cooro adequada deve ser usada para smular o espaço lvre. Aualmee a borda mas usada para smular o espaço abero é a PML (camadas perfeamee casadas) (TAFLOV 995; TAFLOV 998) 3.. QUAÇÕS D MAXWLL Para a mplemeação do méodo FDTD fa-se ecessára uma breve eplaação sobre as equações de Mawell. Cosdera-se uma regão do espaço que ão eha foes de correes elérca ou magéca mas que possa er maeras que absorvam eerga dos campos elércos ou magécos. As equações de Mawell a forma dferecal obdas a parr de les clásscas do eleromagesmo são as segues: a.) Le de Farada: b.) Le de Ampère: r B r r = r D r r = J e J m (3) (4) c.) Le de Gauss para o campo elérco: D r = (5) d.) Le de Gauss para o campo magéco: B r = (6) ode usado o ssema de udades MKS
33 r - veor campo elérco (V/m) D r - veor desdade de fluo elérco (C/m ) r - veor campo magéco (A/m) B r - veor desdade de fluo magéco (Wb/m ) J r e - veor desdade de corree elérca (A/m ) J r m - veor desdade de corree magéca equvalee (V/m ) m maeras leares sorópcos e ão dspersvos r D r e r B r são relacoados medae as relações cosuvas r r B = μ (7) r r D = (8) ode μ é a permeabldade magéca em er por mero e é a permssvdade elérca em Farad por mero. avedo a possbldade de perdas elércas e magécas que possam dsspar campos eleromagécos em maeras aravés de coversão de eerga sob forma de calor é defda uma corree magéca equvalee para cosderar mecasmos de perdas magécas: r J m r = ρ (9) e uma corree elérca equvalee para cosderar mecasmos de perdas elércas: r J e r = σ () ode ρ é uma ressvdade magéca equvalee em Ohm por mero e σ é a coduvdade elérca em Seme por mero. Usado as relações (7) a () as equações roacoas de Mawell: r r ρ r = μ μ ()
34 r r r σ = () Ou escrevedo esas equações a forma escalar: = ρ μ (3) = ρ μ (4) = ρ μ (5) = σ (6) = σ (7) = σ (8) O couo de equações dferecas acopladas (3) a (8) é a base para o algormo FDTD em rês dmesões ão sedo ecessáro eplcar as les de Gauss. As les de Gauss (56) esão mplícas o poscoameo dos campos elércos e magécos a grade FDTD e a dervação espacal umérca sobre as compoees dos campos que modelam a ação do operador dvergee. 3.. ALGORITMO D Y O méodo proposo por Yee para mplemear umercamee as equações de Mawell a forma dferecal e o domío do empo possblou a resolução de dversos problemas além de uma fácl compreesão físca do que ocorre a propagação de odas eleromagécas.
35 Yee poscoou o campo elérco e magéco de forma que sempre houvesse em um dado plao quaro compoees de um dos campos (elérco ou magéco) crculado ao redor de uma compoee perpedcular do ouro campo (magéco ou elérco). Iso mpõe a aurea soleodal do campo eleromagéco mposa pelas equações de Gauss em regões ode ão há acúmulo de carga (TAFLOV 995). Para que sso fosse possível em um espaço rdmesoal Yee ulou-se de um cubo (grade reagular). Poscoado as compoees do campo elérco a meade das aresas do cubo e as do campo magéco o cero das faces do mesmo cubo Yee esabeleceu o que mas arde recebera o ome de célula de Yee que é apreseada a Fgura. Fgura Célula de Yee - poscoameo das compoees dos campos elérco e magéco. Uma malha formada por células de Yee perme poscoar o campo elérco defasado o espaço e o empo em relação ao campo magéco obedo-se assm equações que a
parr de campos prevamee cohecdos permem o cálculo dos campos o sae poseror. Um poo o espaço em uma rede reagular e uforme é deoado por ( ) = ( ) (9) ode e são respecvamee os cremeos de espaço as dreções e e são eros. Além dsso qualquer fução u do espaço e do empo avalada um poo dscreo da malha e em um sae dscreo de empo é represeada por ( ) = u u () ode é o cremeo emporal assumdo uforme sobre o ervalo de observação e é um ero. Yee usou epressões de dfereças ceras para apromar as dervadas espacas e emporas as equações roacoas de Mawell. Desa forma a dervada parcal de uma fução u a dreção e avalada o sae ( ) é apromada por dfereças ceras segudo a epressão 36 u u u [ ] ( ) = O ( ) () A epressão da dervada parcal da fução u em relação ao empo avalada o poo ( ) é u u u [ ] ( ) = O ( ) () ordem. Ambas as epressões de dfereças ceras () e () são precsas em seguda
37 Subsudo a equação (3) equações de dervadas ceras aálogas a () e () obém-se = ρ μ (3) Nesa epressão odas as quadades do lado dreo da gualdade são avaladas a eração. No eao a compoee ão esá armaeada a memóra a eração. Desa forma é ecessáro esmar ese ermo. Um méodo comum para se esmar ese ermo é a chamada apromação sem-mplíca em que = (4) Ou sea a compoee o sae é esmada como sedo a méda arméca da compoee o sae - e o sae sedo ese úlmo um valor ada ão compuado. Subsudo a epressão (4) a equação (3) e solado o ermo obém-se = μ ρ μ μ ρ μ ρ (5) De forma smlar deermam-se as equações de dfereças fas baseadas o algormo de Yee para as demas compoees dos campos elérco e magéco. Iso resula um couo de equações smlares à equação (5)
38 = μ ρ μ μ ρ μ ρ (6) = μ ρ μ μ ρ μ ρ (7) = σ σ σ (8) = σ σ σ (9) = σ σ σ (3) Com o ssema de equações (6) a (3) o valor da compoee de campo em deermado poo da malha depede apeas do seu valor o sae aeror e dos valores das compoees do ouro campo o sae aeror as posções adacees àquele campo.
39 3.3. DISPRSÃO STABILIDAD NUMÉRICA O algormo FDTD causa erros de dspersão das odas propagaes a rede formada com as células de Yee. Dspersão é defda como a varação de velocdade de fase das compoees especras de uma oda durae a sua propagação ou por coveêca a varação da cosae de propagação (úmero de oda) com a freqüêca agular ω. Odas possudo velocdade de fase cosae são das sem dspersão e maêm seu perfl (evelope ou formao do pulso) depedeemee da dsâca percorrda. eses erros de dspersão causados pelo algormo FDTD podem varar com o comprmeo de oda com a dreção de propagação e com a dscreação da malha. Assm a escolha de é movada por raões de precsão (TAFLOV 995). Para garar a precsão dos valores dos campos calculados devem ser escolhdos como uma pequea fração da meor dmesão do obeo espalhador e ambém como uma pequea fração do meor comprmeo de oda. Desa forma o valor dos campos ão rá varar sgfcavamee ere poos cosecuvos da rede. Valores ípcos para a maor dscreação espacal são λ / λ /. Além dsso o algormo FDTD requer que o cremeo emporal esea relacoado de forma específca com os cremeos espacas. sa relação é ecessára para evar sabldades umércas. Tal relação é epressa por (esabelecda o ANXO A): (3) c ( ) ( ) ( ) ode c é a velocdade da lu o vácuo. Caso esa relação ão sea aedda os valores dos campos calculados pelo méodo FDTD esão sueos a aumeos progressvos sem lme o decorrer das erações.
4 3.4. CONDIÇÃO D CONTORNO ABSORVDORA Um dos grades desafos do méodo FDTD em sdo a solução precsa e efcee de problemas eleromagécos em espaço abero. m as problemas uma codção de cooro absorvedora (ABC) deve ser ulada a camada eera à rede para smular a eesão da rede ao fo. Para so váras éccas á foram desevolvdas (TAFLOV 995). Uma forma de mplemear uma ABC é serdo algumas camadas de maeral absorvedor o eeror do domío. Iso é aálogo ao raameo físco das paredes de uma câmara aecóca. Idealmee o meo absorvedor deve er apeas algumas células de espessura; depedee da freqüêca âgulo de cdêca e polaração ão deve apresear refleões; e deve ser alamee absorvedor e efcee ambém o campo prómo de uma foe ou de um obeo espalhador. BRNGUR (994) desevolveu uma écca que smula de forma efcee um maeral absorvedor alamee efcee desgado como camadas perfeamee casadas ou PML ( Perfecl Mached Laer ). A ovação apreseada pela PML é que odas plaas em um domío compuacoal com qualquer âgulo de cdêca qualquer polaração e freqüêca esão casadas. Para so Bereguer esabeleceu uma formulação das equações de Mawell usado separação de campos. Assm cada compoee de cada campo eleromagéco é separado em duas compoees orogoas. Cada uma das doe compoees orogoas é epressa sasfaedo um couo acoplado de equações hperbólcas. Pela escolha de parâmeros de perdas cossees com um meo sem dspersão uma erface plaa perfeamee casada é eão desevolvda (TAFLOV 998). A PML por separação de campos roduda por Bereguer é um meo hpoéco baseado um modelo maemáco. Tal formulação ão represea um meo fscamee
4 realável. Devdo às depedêcas das coordeadas dos ermos de perdas se al meo ese ele deve ser asorópco. De fao um meo asorópco perfeamee casado ese (TAFLOV 998). Para cada erface o meo asorópco é uaal e é composo de esores de permssvdade elérca e permeabldade magéca. Devdo a so ese meo é cohecdo como meo uaal perfeamee casado ( Uaal Perfecl Mached Laers UPML). Com esa formulação eva-se a separação de campos usada a PML de Bereguer. Nas seções segues serão abordadas a formulação da UPML e sua mplemeação. 3.4.. Meo Uaal Perfeamee Casado Cosdera-se uma oda plaa harmôca e com polaração arbrára r c v = e β β que se propaga calmee em um meo sorópco aé agr um meo uaal sorópco sem-fo. A erface ere os dos meos esá o plao =. Os campos dero do meo uaal ambém formam odas plaas e sasfaem as equações de Mawell. Para uma oda plaa um meo uaal as equações de Mawell podem ser epressas por r a ) a ) a β = β β ode r r r r r r a a β = ωμ β = ω (3) e a permssvdade e a permeabldade são os esores uaas a = b b c μ = μ d (33) d = sedo e μ = μ (devdo a smera a roação em relação ao eo ). A equação de oda é eão desevolvda a parr das equações roacoas acopladas: r r r a ( β ) ω μ = r a β (34)
4 pressado o produo veoral como um produo ere mares a equação de oda é epressa mas coveeemee como ( ) ( ) ( ) ( ) = a a a a a a a a a b d b d b b b c β β β β β β β β (35) em que μ = ω. A relação de dspersão para o meo uaal é obda a parr do deermae da mar operadora. Assm os modos T e TM sasfaem as segues relações de dspersão ( ) ( ) = d a d b a a β β para modos T (36) ( ) ( ) = c a d b a a β β para modos TM O coefcee de refleão a erface ere os dos meos pode agora ser calculado. Assume-se uma oda cdee T. ão a regão sorópca os campos são epressos como uma superposção dos campos cdee e refledo so é ( ) e e β β β Γ = ˆ r (37) ( ) ( ) e e e β β β β ω β ω β Γ Γ = ) ) r
43 A oda rasmda para o meo asorópco é epressa por r = ˆ τe a a β β r β a a ) β = ˆ ω a ω b τe a a β β (38) em que Γ e τ são o coefcee de refleão e rasmssão respecvamee e são calculados admdo a coudade do campo agecal a erface so é a β β b Γ = a β β b β = Γ = a β β b τ (39) e β = β a devdo à coudade da fase. Observado (39) se a β = β b (4) eão Γ = para odos os âgulos de cdêca. De(36) para uma oda T ão se d=b e a - =b em-se ( ) a b a β = bd β (4) β a = b ( β ) b = b ( β ) bβ (4) Cosequeemee Γ = β para odos. O procedmeo acma pode ser repedo para o modo TM. O coefcee de refleão para ese modo é o dual de (39) e é calculado subsudo b por d e a por c. Para ese caso a codção de ão refleão se verfcará se b=d e c - =d.
44 m resumo dada uma oda plaa cdee em um meo sem-fo com a erface plaa em =cosae e composo por um maeral uaal com os esores de permssvdade e permeabldade: = s μ = s ode μ s s = s s (43) eão a oda plaa é compleamee rasmda pra o meo uaal. sa propredade de ão refleão é compleamee depedee do âgulo de cdêca polaração e freqüêca da oda cdee. Além dso de (36)as caraceríscas de propagação dos modos T e TM são dêcas. De forma smlar à PML de Bereguer a propredade de ão refleão da UPML é = σ / ω válda para qualquer s. Por eemplo escolhedo de (4) em-se s ( σ / ω ) = (44) a β β É eressae oar que a pare real de a β é dêca à da oda cdee faedo com que as velocdades de fase seam dêcas. Além dso oa-se que a oda é aeuada ao logo da dreção. Falmee dada uma oda T a esdade dos campos o meo uaal é dada por r = ˆ e a s β β = ˆ e a β β e σ η cosθ r r = ) ) β β σ η r cosθ ( s sθ η cosθ ) e e (45) ode θ é o âgulo de cdêca relavo ao eo. ão ao logo do eo ormal a oda se propaga com a mesma velocdade de fase da oda cdee sedo smulaeamee
45 aeuada. O faor de aeuação é depedee da freqüêca o eao depede do âgulo de cdêca e da coduvdade do meo. 3.4.. Ierface UPML-UPML Cada lme plao da rede do algormo FDTD pode ser ermado em um meo UPML. No eao há regões os caos do domío ode os meos UPML se superpõem. Da mesma forma que a PML de Bereguer os parâmeros cosuvos das regões de cao são deermados pelo casameo de odas plaas propagaes em meo UPML caracerado por (43) para um meo edo sua ormal a dreção ou. A aálse dese caso é basae smlar à mosrada a seção.4.. Assume-se que o ovo meo UPML eha sua ormal ao logo do eo. Para a codção de casameo e μ devem ser coíuos aravés da erface e os esores elérco e magéco devem ser = = = s s s s s s s s s s s s μ (46) Repedo so para um meo com a ormal ao logo do eo o esor geral é deermado por s s s s s s s s s s = = = μ (47) m geral as equações roacoas de Mawell são escras como s r r ωμ = s r r ω = (48) Assm é possível defr o domío do algormo FDTD como sedo UPML em odas as regões. Usado σ σ σ guas a ero as equações de Mawell a forma (47) reduem-
46 se ao caso sorópco orgal. De forma smlar escolhedo σ σ guas a ero e σ dferee de ero s redu-se a (43). Assm (47) é um esor geral que é defdo por odo o domío do algormo FDTD e raa eplcamee ao do eror do domío quao das regões de cao. Pelas defções dos esores elérco e magéco como em (47) eses esores ão são mas uaas. No eao a PML asorópca é ada referda como sedo uaal pos os esores são uaas as regões que ão se superpõem. 3.4.3. sabelecmeo das pressões de Dfereças Fas Começado com as equações (47) e (48) da UPML a le da Ampère é epressa como = r s s s s s s s s s ω (49) ode se supõe que / ω σ κ s = / ω σ κ s = e / ω σ κ s = (5) Iserdo (5) em (49) e rasformado para o domío do empo obém-se a covolução ere o esor de coefcees e o campo elérco. Implemear esa covolução dreamee dero do FDTD sera compuacoalmee eso. Uma forma mas efcee é defr relações cosuvas adequadas para desacoplar os ermos depedees da freqüêca. specfcamee em-se r s s D = (5) r s s D = (5)