Solução das Equações Diferenciais das Linhas de Transmissão

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1 7 INTODUÇÃO FUHS, 979 Equações Dferecas das has de Trasmssão A dsrbução das correes e dfereças de poecal e a rasferêca de eerga ao logo de uma lha de rasmssão podem ser aalsadas por dersos processos, sedo de se esperar que odos coduzam ao mesmo resulado Essa aálse, edeemee, em por faldade permr ao operador chegar a epressões maemácas fas que serão empregadas dreamee a solução de problemas prácos Se os dersos méodos coduzem aos mesmos resulados fas, odos deeram ser aceáes No eao, em problemas de Egehara em geral, ão é sufcee procurar uma fórmula que possa ser aplcada dscrmadamee a solução de um problema parcular, sem o cohecmeo compleo das lmações e smplfcações admdas em sua deração Tal crcusâca podera lear ao uso dedo da mesma As chamadas soluções maemácas dos feômeos físcos egem, ormalmee, smplfcações e dealzações: a deração maemáca de uma fórmula a parr de prcípos fudameas dee, além da fórmula propramee da, forecer odas as formações referees às resrções, apromações e lmações que são mposas É fudameal que se eame com o maor rgor, sob o poo de sa da geeraldade, a aceabldade dos prcípos fudameas adoados como poo de parda para a sua dedução É mporae ressalar que, de acordo com a Físca, a epressão lha de rasmssão se aplca a odos os elemeos de crcuos que se desam ao raspore de eerga, depedeemee da quadade de eerga rasporada algus blhões de kwh-ao ou apeas algus kwh-ao A mesma eora geral é aplcáel, feas as ecessáras ressalas, depedeemee do comprmeo físco dessas lhas Solução das Equações Dferecas das has de Trasmssão osdere um elemeo dferecal de comprmeo de uma lha de rasmssão sedo uma lha real, cludo em seu crcuo equalee os elemeos represeaos das perdas os coduores ressêca logudal e das perdas os

2 8 delércos coduâca rasersal Ese elemeo dferecal de comprmeo pode ser represeado coforme o crcuo mosrado a Fgura FUHS, 979, como cado em WEDY 6 Nesa fgura, r é a ressêca logudal e g é a coduâca rasersal da lha por udade de comprmeo Fgura rcuo equalee de um elemeo de uma lha real Ere o começo e o fal do elemeo de lha há uma dfereça de poecal que é defda como sedo: u As equações da esão e da corree são:,,,, r g,,,, 3 Na equação 3 a corree e a prmera derada parcal da corree podem ser epaddas uma sére de Taylor UIDOIZZI, 986 Desa forma obém-se:,,, 4,,, 5 +, g, +, r

3 9 Subsudo as equações 4 e 5 desprezado-se os ermos de ordem mas ala a equação, chega-se à equação 6: r r,,,,,, 6 Os ermos de seguda ordem da equação 6 desaparecem o lme e usado a defção de derada pode-se coclur que:,,, lm 7 Assm, a equação dferecal da esão o elemeo é: r 8 Fo usado o sal egao em 8 dedo aos alores posos de e, que fazem o alor de decrescer Se ddrmos a equação 8 por, em-se uma dcação de como ara ao logo da lha: r 9 E a equação dferecal das correes em a segue forma: g Dddo a equação por, ecorou-se a segue equação:

4 g Na equação, o prmero ermo do segudo membro represea a corree de deslocameo araés do delérco, proocada pela aplcação da esão O segudo ermo forece o alor da corree de deslocameo araés da capacâca, deda à aração da esão As equações 9 e são epressões da e de Ohm as quas e são aráes depedees da dsâca de um poo da lha a um poo de referêca preesabelecdo e de, o sae de empo cosderado FUHS, 979 Para ecorar as fuções, e, capazes de resoler os problemas, dfereca-se a equação 9 em relação à e a equação em relação à, assm fo ecorado as e 3 r g 3 Em seguda dfereca-se a equação 9 em relação à e a equação em relação à, e ecorou-se: r 4 g 5 No eao, em-se que: 6

5 e 7 Subsudo as equações 3 e 4 em e 5, respecamee obêm-se: g r 8 r g 9 Para coclur a solução, as equações 9 e foram subsuídas as equações 8 e 9 respecamee, e ecorou-se: g r g r g r g r As equações e são as equações dferecas geras das lhas de rasmssão Equações desse po são cohecdas a Físca como equações das odas, cujas soluções represeam odas que podem ajar ao logo de uma lha com elocdade, ou seja, odas ajaes cdees ou progressas Também cohecdas como equações da elegrafa, pos foram prmeramee deduzdas para o esudo dos feômeos relacoados com a rasmssão de pulsos elegráfcos como descro por FUHS 979 e poserormee cado por WEDY 6 As soluções das equações e são muo compleas e raramee usadas a aálse de problemas de ssema de poêca Uma solução mas smples é para o caso

6 sem perdas, ou seja, faz-se r = e g = as equações e Assm êm-se as segues equações: u u 3 Solução Aalíca para as Equações Dferecas de uma ha de Trasmssão sem Perdas HEDMAN, 983 A solução aalíca das equações dferecas da lha de rasmssão ão pode ser faclmee obda se as perdas a lha são leadas em cosderação No eao, as equações de lhas sem perdas são bem cohecdas e permem o esudo do comporameo das odas de esões e correes que se propagam ao logo da mesma oforme mosrado o capíulo, sabe-se que a esão ao logo de uma lha sem perdas pode ser descra, o domío do empo, de acordo com uma equação dferecal do po: 4 5 Aplcado a Trasformada de aplace BOYE & DIPIMA, as equações 4 e 5 obém-se: V s, s V s, I s, s I s, 6 7

7 3 Nas equações 6 e 7 os ermos Vs, e Is, são, respecamee as rasformadas de aplace de, e, Sabe-se que as equações dferecas mosradas as equações 6 e 7 possuem solução do po HEDMAN, 983: V s, s s A s e B s e 8 I A s z s s, e B s e z s 9 como sedo: Na equação 9 o emo z é a mpedâca caracerísca da lha, que é defdo z 3 Nas equações 8 e 9, uma descrção espacal complea para a porção, que é fução de, esá coda a epoecal, equao que a solução o empo, ou da pare que é fução do empo, esá coda ao as cosaes arbráras As, Bs, Ds e Es como a epoecal A epressão e -s, quado rasformada para o domío do empo, resula em um degrau uáro u- arasado Demosra-se ambém que u- é uma represeação maemáca da oda ajae Para ober a solução o domío do empo, aplca-se a rasformada ersa de aplace as equações 8 e 9 Desa maera obém-se:, A u B u 3, D u E u 3 A equação 3 mosra que a esão compora-se como duas odas ajaes, uma drea a dreção + e a oura a dreção - A mesma erpreação ale para a equação 3, que descree a corree ao logo da lha

8 4 As odas de correes e esões, mosradas as equações 3 e 3 propagam-se ao logo da lha com uma elocdade defda como: m s 33 Aálse Qualaa da Propagação de Odas em has de Trasmssão de Eerga Elérca HEDMAN, 983 O aspeco fudamealmee úco das lhas de rasmssão, relao aos crcuos mas comus de cosaes coceradas, resula do aspeco fo da elocdade da luz e, porao, da propagação da eerga elérca e magéca ao logo da lha como uma oda ajae Se uma aração de corree ou de esão ocorre em um ermal de uma lha loga de rasmssão, o ouro ermal ão oma cohecmeo desa aração equao a oda elérca percorre o comprmeo da lha com a elocdade da luz ogo, o ermal o lado recepor desa lha de rasmssão, ão pode fluecar a propagação da esão da foe, aé que a oda eha ajado da foe aé a poa recepora e, araés da eração ere ese ermal e a lha de rasmssão, seja eada uma resposa de ola à foe Os sas elércos edem a se propagar para free e para rás, como odas ajaes, ormalmee dsspado eerga o maeral Um eame dealhado da físca eleromagéca do problema resula uma aálse, mosrado que odas eleromagécas ajaes guadas ocorrerão em qualquer lha de rasmssão aérea abera Uma aálse mas profuda das equações eleromagécas mosra que qualquer ssema com baa perda pode ser aalsado, prmeramee, especfcado-se a duâca e a capacâca separadamee, assm usado ese ssema de cosaes coceradas para formar uma malha A equação dferecal que descree esa malha predz o efeo da oda ajae Uma ez que as equações dferecas da lha de rasmssão são ulzadas para deseoler uma solução geral para as odas ajaes a lha, codções de cooro deem ser usadas para calcular a solução especfca da oda ajae O problema de codção de cooro será referecado como problema de ermal e as soluções os

9 5 ermas resularão em coefcees de refleão e de refração, os quas são fuções de como esá caracerzado o ermal da lha em abero, em curo ou em carga Aálse eérca da Propagação de Odas em has de Trasmssão Sabe-se que as correes e esões em uma lha de rasmssão comporam-se como odas ajaes que obedecem as segues equações:, A u B u 34, D u E u 35 As equações 34 e 35 represeam duas odas ajaes, sedo que a fução A u represea uma oda propagado-se a dreção progressa e a fução B u represea uma oda de propagação regressa Assm, pares de odas de esão de corree propagam-se as dreções posas e egaas HEDMAN, 983 Dessa forma, é possíel decompor as odas ajaes em compoees dreas e ersas da esão e da corree o ermal da lha Esa relação pode ser escra e reduzda da segue forma: T T 36 f f r r 37 As equações 36 e 37 são correspodees às equações 34 e 35 ode f é de ordem drea de propagação e r a ordem ersa de propagação, sedo T e T a esão e corree o ermal recepor da lha de rasmssão respecamee osderado z como sedo a mpedâca caracerísca ou mpedâca aural da lha de rasmssão, em-se HEDMAN, 983: z 38 f f

10 6 z 39 r r Uma solução smulâea das equações 36 a 39, leado em cosderação o po de carga que esá coecada o ermal da lha, resulará em um cojuo de codções de cooro que rão mosrar, de maera qualaa, como se comporam as odas que propagam a lha de rasmssão elação ere as Odas Icdees e efledas de orree e Tesão o Termal da ha A Fgura mosra uma lha de rasmssão de comprmeo d, com uma carga ressa em seu ermal recepor, sedo eergzado com uma esão Para um sae medaamee aeror ao fechameo da chae S em, < s, os ermas da foe esão sob uma dfereça de poecal No sae em que a chae S for lgada = s o ermal B, aparecerá à mesma dfereça de poecal Uma ez que dfereças de poecal somee são possíes ere cargas elércas, a esão o ermal B da lha fo proocada por um deslocameo de cargas elércas orgaras da foe, araés da chae S A hae S T B T Solo d Fgura Eergzação de uma lha com carga em seu ermal As cco equações segues defem, compleamee, a formação cohecda o ermal da lha de rasmssão HEDMAN, 983: T T 4 f f r r 4 4 T T

11 7 z 43 f f z 44 r r Nas equações 4 a 44 êm-se: f f T T r r z Tesão cdee da lha; orree cdee o ermal da lha; Tesão o ermal da lha; orree o ermal da lha; Tesão refleda o ermal da lha; orree refleda o ermal da lha; arga ressa coecada o ermal da lha; Impedâca caracerísca da lha; Os alores de f, r, ão são cohecdas f,, z, são cohecdos equao que as gradezas T, T, r, Nas equações 4 a 44 esem cco cógas, porao, a solução para o ssema de equações é possíel, e podem ser mapuladas da segue maera: f r z f z r T f r T ou f r f r 47 z z esoledo a equação 47 para r, em-se:

12 8 r f 48 z z ou z 49 r f z A parr da equação 49, pode-se deermar: z 5 z O ermo é defdo como coefcee de refleão de esão A equação 49 mosra que ese uma relação ere as esões cdees e refledas o ermal da lha Esa relação é defda pelo coefcee de refleão de esão Aalogamee, pode-se ober uma relação ere as correes cdees e refledas o ermal da lha Dese modo, obêm-se HEDMAN, 983: z 5 r f z e z 5 z O ermo é defdo como coefcee de refleão de corree A equação 5 mosra que ese uma relação ere as odas de corree cdees e refledas que é defda pelo coefcee de refleão de corree As equações 5 e 5 mosram que os coefcees de refleão de esão e corree são defdos pela mpedâca caracerísca da lha e ambém pela carga coecada o ermal da mesma

13 9 ha com o Termal Abero Se a lha mosrada a Fgura for cosderado o ermal da mesma esá em abero, coforme mosra a Fgura 3, pode-se cosderar que A hae S B T T A B Solo d Fgura 3 ha de rasmssão com seus ermas em abero Na Fgura 3 a foe de esão é uma foe de esão cosae, do po degrau uáro Após o fechameo da chae S, pode-se cosderar uma oda de esão propagado-se ao logo da lha e chegado ao recepor da mesma, coforme mosra a Fgura 4 f V f Oda cdee V Solo Fgura 4 Oda cdee o ermal de uma lha de rasmssão Subsudo, as equações 5 e 5 a codção, pode-se ober os coefcees de refleão de esão e de corree para a lha em abero Dese modo: 53 54

14 Porao, para uma lha com o ermal em abero, a oda da esão cdee é gual à oda da esão refleda, com a mesma magude e sal, ou seja: f r 55 Subsudo a equação 55 a equação 49 obém-se: 56 T f A epressão 56 mosra que, para uma lha em abero, a esão o ermal da lha age duas ezes o alor da esão cdee o ermal da mesma Aalogamee, obém-se: 57 f r Subsudo a equação 57 a epressão 5 obém-se: 58 T ula A epressão 58 mosra que a corree o ermal de uma lha em abero é Assm, coclu-se que se uma oda f chega a uma eremdade abera de uma lha de rasmssão, a esão do ermal é gual a duas ezes a esão que esá chegado A esão refleda é gual à esão chegado e a corree refleda é gual a meos a corree chegado A Fgura 5 mosra, esquemacamee, as correes e esões em uma lha cujo ermal esá em abero Noa-se que esse efeo de esão dupla propaga-se de ola ao logo da lha de rasmssão e, para o caso de um degrau uáro, eeualmee, carregara compleamee a lha com uma esão cujo alor sera duas ezes o alor da esão da foe Aalogamee, a corree chegado com a oda drea, é elmada pela corree egaa refleda, deado a lha com corree zero, ere o ermal abero e a oda refleda

15 f Oda Oda r T f f Oda cdee T - Oda refleda erda r Fgura 5 Odas de esão e corree refledas Desde que a oda de esão orgal se propague pela lha para a eremdade abera, a eerga desa oda é armazeada os campos magéco e elérco em oro da lha de rasmssão Meade da eerga é armazeada o campo elérco / e a oura meade é armazeada o campo magéco / A eerga armazeada a regão, após a oda refleda passar, é de aureza dferee daquela da oda ajae drea orgal Dedo a corree ser zero, ão ese eerga magéca armazeada a lha Toda a eerga será armazeada o campo elérco HEDMAN, 983 ha com os Termas em uro-crcuo A Fgura 6 mosra uma lha de rasmssão com os ermas e cofgurados em curo-crcuo, ou seja, o alor de ededo a zero A hae S B T T Solo d Fgura 6 ha de rasmssão com seus ermas em abero

16 A parr das equações 5 e 5 para ededo a zero, o coefcee de refleão da esão é egao e o coefcee de refleão da corree é poso A esão refleda é gual à esão cdee em magude, mas é ersa, coforme a equação 59, e com sso a esão o ermal da lha de rasmssão é ula, pos a esão cdee é aulada pela esão refleda, demosrada em 6 59 f r 6 T O coefcee de refleão da corree é poso, a oda de corree refleda em a mesma magude e amplude que a oda cdee, coforme a equação 6, assm a corree o ermal da lha de rasmssão é a soma da corree cdee com a corree refleda, como se em a equação 6 f r 6 6 T f - f Oda cdee Oda refleda r T Oda refleda r T f f Oda cdee Fgura 7 Odas de esão e corree refledas Na Fgura 7, em-se que se uma oda f chega a uma eremdade em curocrcuo de uma lha de rasmssão, a esão do ermal é ula A corree refleda é gual a corree cdee, assm elas se somam e dobram de amplude

17 3 omo oda eerga que esaa armazeada o campo elérco ão pode ser armazeada pelo mesmo, ela é cedda ao campo magéco, que ambém recebe oda a eerga que a foe coua a forecer, aumeado assm seu alor aé um alor mámo de sauração FUHS, ha com arga de Mesmo Valor que a Impedâca aracerísca A Fgura 8 mosra uma lha de rasmssão de comprmeo d sedo eergzada com uma esão, com uma carga de mesmo alor que z em ohms, que é a mpedâca caracerísca da lha A hae S B T T Solo d Fgura 8 Eergzação de uma lha com carga em seu ermal A Fgura 9 mosra a oda de esão de eergzação se propagado ao logo da lha com uma carga em seu ermal f T V T solo Fgura 9 Eergzação de uma lha com carga em seu ermal omo a carga em o mesmo alor que a mpedâca caracerísca da lha de rasmssão, das equações 5 e 5 em-se que os coefcees de refleão de esão e corree são ulos, ou seja, ão há esão e corree refledas

18 4 A esão o ermal da lha em a mesma amplude que a oda cdee, que é a esão de eergzação, coforme a equação 63: T f 63 A corree ambém ão em oda refleda, assm a corree o ermal da lha de rasmssão é gual a corree cdee, coforme a equação 64: T f 64 A Fgura lusra o comporameo das odas de corree e esão sem refleão f Oda cdee T f f Oda cdee T f Fgura Odas de esão e corree, sem refleão de Esado 3 epreseação da ha por meo de ascaa de rcuos e Varáes Os modelos de lhas de rasmssão de eerga elérca podem ser deseoldos o domío do empo ou o domío da freqüêca No eao, o ssema elérco o qual as lhas de rasmssão esão serdas possu dersos elemeos, cujas caraceríscas ão permem que os mesmos sejam represeados como sedo elemeos leares, dfculado a represeação do ssema elérco o domío da freqüêca MATI, 988

19 5 Uma oura aagem dos modelos que represeam a lha dreamee o domío do empo é que os mesmos são faclmee mplemeados em programas compuacoas que realzam smulações de rasóros eleromagécos em ssemas de poêca Um dos prmeros modelos a represear a lha de rasmssão dreamee o domío do empo fo deseoldo por H W Dommel e baseou-se o méodo das caraceríscas ou méodo de Bergero Ele cosse em combar o méodo das caraceríscas com o méodo umérco de egração rapezodal, resulado em um algormo que é capaz de smular rasóros eleromagécos em redes cujos parâmeros são dscreos ou dsrbuídos Ese algormo sofreu sucessas eoluções e aualmee é cohecdo como Eleromagec Trases Program EMTP DOMME, 969 Em suações em que se deseja smular a propagação de odas eleromagécas resulaes de operações de maobras e chaeameo realzadas as lhas de rasmssão, pode-se represear a mesma como sedo uma cascaa de crcuos Nesse modelo cada segmeo é cosuído de uma assocação sére e paralela de ressores e duores que resulam em uma ressêca e uma duâca, aráes em fução da freqüêca, que represeam o efeo solo e o efeo pelcular TAVAES, 999 Ese modelo, que é deseoldo dreamee o domío do empo, é eão mplemeado em sofwares do po EMTP Dedo ao fao de que programas do po EMTP ão são de fácl ulzação NEMS e al, 989, dersos auores NEMS, MAMIS, MÁIAS sugerem descreer as correes e esões a cascaa de crcuos por meo de aráes de esado As equações de esado são eão rasformadas em equações de dfereças e podem ser resoldas ulzado qualquer lguagem compuacoal A represeação da lha por meo de aráes de esado pode ser ulzada o eso de coceos báscos de propagação de odas em lhas de rasmssão NEMS e al, 989, a aálse da dsrbução de correes e esões ao logo da lha e a smulação de rasóros eleromagécos em lhas de rasmssão que eham elemeos ão leares MAMIS, 3

20 6 3 ha epreseada por meo de ascaa de rcuos Uma lha de rasmssão de comprmeo d pode ser represeada por meo de uma cascaa de crcuos ada segmeo cosse em uma ressêca e uma duâca em sére e um deso de coduâca e capacâca em paralelo, como mosra a Fgura Usado esa represeação de lha, um modelo de esado é formulado para o ssema de eerga que usa as esões o capacor e correes o duor como as aráes de esado O ssema que descree as equações de esado é rasformado em um cojuo de equações dferecas lear pelo uso de egração rapezodal As aráes de esado são ecoradas araés da resolução do cojuo de equações ' ' ' ' Fgura ha de comprmeo d represeada por meo de crcuos Na Fgura os parâmeros,, e são calculados como sedo: d ' 65 d ' 66 d ' 67 d ' 68 Nas equações 65 a 68, e são, respecamee, a ressêca e a duâca logudal da lha por udade de comprmeo, equao que os ermos

21 7 e são a coduâca e a capacâca rasersal da lha por udade de comprmeo Uma meade dos alores calculados da coduâca e capacâca é colocada a cada co e fm dos segumeos π como mosra a Fgura U V - V - Fgura ascaa de crcuos π Ere cada sére de ressêca e duâca ão se em a meade dos alores da capacâca e coduâca, sso ocorre dedo a cada saída do segumeo de crcuo π coecar-se à erada do crcuo π segue, sedo que capacâcas e coduâcas em paralelo se somam 3 epreseação de um Ssema por meo de Varáes de Esado DOF & BISHOP, Em um ssema dâmco, o esado do ssema um sae é descro em ermos de um cojuo de alores das aráes de esado [,,, ] As aráes de esado são as aráes que deermam o comporameo fuuro de um ssema quado são cohecdos o esado presee do ssema e os sas de ecação A Fgura 3 mosra um dagrama de blocos de um ssema dâmco u u u Ssema Dâmco y y y Fgura 3 Dagrama de blocos de um ssema dâmco

22 8 Seja o ssema mosrado a Fgura 3, ode y, y,, y são os sas de saída e u, u,, u são os sas de erada Um cojuo de aráes de esado,,, para o ssema mosrado a Fgura 3 é um cojuo o qual o cohecmeo dos alores cas das aráes de esado [,,, ] o sae e dos sas de erada u, u,, u para, é sufcee para deermar os alores fuuros das saídas e das aráes de esado A forma geral de um ssema dâmco é esboçada a Fgura 4 odções Icas Erada u Esado de um Ssema Dâmco Saída y Fgura 4 Ssema dâmco O ssema dâmco mosrado a Fgura 4, epresso a forma de aráes de esado, é descro como sedo: [ ] [ A][ ] [ B] u 69 O ssema mosrado a equação 69 pode ser resoldo araés de méodos de egração umérca Dere eses méodos podemos car o méodo de Euler e a fórmula de Heu ou regra do rapézo para egração umérca O ssema da Fgura 4 pode ser represeado por uma lha de rasmssão que quado represeada pelo modelo de uma cascaa de crcuos π apresea suas aráes de esado em uma oação compaca de equações dferecal de esado [ A] [ B] u

23 9 33 epreseação da ha por meo de ascaa de rcuos π e Varáes de Esado Para descreer a lha de rasmssão por meo de aráes de esado, calmee, dee-se represear a mesma por meo de uma cascaa de crcuos coforme mosrado a Fgura O esado de um ssema é descro por meo de um ssema de equações dferecas de prmera ordem, escro em ermos das aráes de esado,,, Esas equações dferecas de prmera ordem podem ser escras a forma geral, como em 7, 7 e 7, m m u b u b a a a 7, m m u b u b a a a 7 m m u b u b a a a 7 Ode d d Assm, ese ssema de equações dferecas smulâeas pode ser escro a forma marcal, como segue a segur: m m m u u b b b b a a a a a a a a a d d 73 A marz é composa pelas aráes de esado e deomada eor de esado: 74

24 3 O eor dos sas de erada é defdo como u Eão, o ssema pode ser represeado araés da oação compaca das equações dferecas de esado, como a equação 75 B u A 75 As aráes de esado da Fgura 3 serão as correes logudas e as esões rasersas da lha Ode o eor será a marz coedo as equações dferecas das correes e esões, coforme a equação 76 d d d d d d d d 76 O eor A é dado por parâmeros da lha como a ressêca, a duâca, a capacâca e a coduâca, coforme a equação 77 A 77 O eor é dado pelas aráes de esado da lha, como a equação 78

25 3 78 O eor B é dado pela equação 79 B 79 O eor u em a mesma dmesão que o eor B, e odos os seus alores são guas a esão de eergzação u 33 ha epreseada por um Úco rcuo osderado uma lha de rasmssão represeada por um úco crcuo, coforme mosra a Fgura 5 Fgura 5 epreseação para um crcuo π Na Fgura 5, u é a esão que almea a lha, é a corree logudal da lha e é a esão rasersal da lha Para o crcuo mosrado a Fgura 5, podem-se escreer as segues equações: u

26 3 d u d 8 d u d 8 equação: Dddo os dos lados da equação 8 pela duâca, obém-se a segue d u 8 d A corree é soma das correes que passam araés da coduâca e da capacâca, sedo a corree que passa araés da coduâca e a corree que passa araés do capacor, logo: 83 Sedo a corree a coduâca uma fução da esão, a esão é u e a coduâca é, a corree a coduâca é: 84 Subsudo a equação 84 em 83: 85 eescreedo a equação 85 obém-se:

27 33 86 Araés dos esudos báscos de crcuos elércos sabe-se que a esão o capacor é dada pelo erso da capacâca mulplcado pela egral da corree o empo, assm: d 87 Subsudo a equação 86 em 87 e a deda capacâca, obemos: d d 88 Derado os dos lados da equação 88, ressalado que a derada da egral de uma fução é a própra fução, obém-se: d d d d d 89 A parr de 89 obém-se: d d 9 Escreedo as equações 8 e 9 a forma da equação 75, em-se: ] [ 9

28 34 [ A] 9 [ B] 93 u = u ha epreseada por Dos rcuos A obeção das equações para dos crcuos é semelhae com as deduções das equações para um úco crcuo, cosderado algus passos adcoas A Fgura 6 mosra a represeação para uma lha de rasmssão para dos crcuos u Fgura 6 epreseação para dos crcuos π Araés do crcuo da Fgura 6, obêm-se as segues equações d u d 95 d d 96 eescreedo as equações 95 e 96:

29 35 d u 97 d d 98 d por: A corree o capacor do segudo paralelo ere coduâca e capacor é dada 99 por: E a corree o capacor do ercero paralelo ere coduâca e capacor é dada Para deermar a esão dferecal os paralelos capacâca e coduâca dee-se deermar prmero a esão o capacor em cada paralelo, sedo a esão o segudo paralelo e a esão o ercero paralelo, logo d Subsudo a equação 99 e a deda capacâca a equação, em-se: d Para o ercero paralelo: d 3

30 36 Subsudo a equação e a deda capacâca a equação 3, obém-se 4: d 4 Derado as equações e 4, obêm-se as segues equações d d 5 d d 6 Escreedo as equações 7, 8, 5 e 6 a forma da equação 75 em-se: ] [ 7 A ] [ 8 B ] [ 9 u = u Sedo as equações 94 e guas

31 ha epreseada por Três rcuos Os cálculos das equações para rês crcuos serão os mesmos deseoldos aerormee, a Fgura 7 mosra a represeação para uma lha de rasmssão para rês crcuos 3 3 u 3 3 Fgura 7 epreseação para rês crcuos π Araés da malha do crcuo da Fgura 7 d u d d d d d 3 eescreedo as equações, e 3 obém-se: d u 4 d d d 5 d d 3 3 3

32 38 As correes os rês úlmos paralelos são: A esão o segudo paralelo será: d : Subsudo a equação 7 e a deda capacâca a equação obém-se d A esão o ercero paralelo é dada por: d Subsudo a equação 8 e a capacâca a equação em-se 3 d 3 e o quaro paralelo a esão é 3 3 d 4

33 39 Subsudo a equação e a deda capacâca a equação 4 chega-se a 5: d d Para deermar as esões dferecas os paralelos é ecessáro derar as equações, 3 e 5, logo: d d 6 3 d d d d 8 olocado a equações 4 a 6 e 6 a 8 a forma da equação 75 obém-se: ] [ A ] [

34 4 [ B] ha epreseada para rcuos Na Fgura 8, em-se uma represeação para crcuos : u 3 - Fgura 8 epreseação para crcuos π Sedo o eor [] dado pela equação 3, o a marz [B] epressa pela equação 33 e a marz [A] dada pela equação 34 [ ] [ B ] 33 Os resulados obdos para a lha de rasmssão com os ermas em abero podem ser eseddos para as lhas de rasmssão com os ermas em curo-crcuo e com uma carga ressa, o que dfereca da lha de rasmssão com os ermas em abero é que a ulma lha da marz [A] em seus alores modfcados

35 4 A ] [ Solução das Equações o Espaço de Esado por meo de Méodos Numércos A mporâca de resoler equações dferecas esá culada à modelagem maemáca de dersos problemas em dersas áreas do cohecmeo, ere elas, a Físca eralmee, modelar um problema físco gera uma equação dferecal assocada a esse problema BUNNET, 3 Equações dferecas aparecem com grade freqüêca os modelos que descreem quaaamee feômeos em dersas áreas, como por eemplo, mecâca de fludos, fluo de calor, reações químcas e ucleares, crcuos elércos ec Ifelzmee, em odas as equações dferecas êm uma solução da aalíca, so é, uma solução eaa, que possa ser obda "maualmee" Esem ambém equações algébrcas que ão êm solução aalíca Para deermar a solução dessa classe de equações que ão podem ser resoldas aalcamee, sejam elas algébrcas ou dferecas, foram deseoldos méodos de cálculo apromado Em geral, esses méodos cossem em reper uma cera regra, um

36 4 cero úmero de ezes, e quao mas erações forem feas dessa regra, mas prómo chega-se à solução da equação O compuador é, porao, a ferramea para esse po de rabalho edo em sa a rapdez com que pode eecuar arefas repeas Os méodos de cálculo apromado são comumee chamados de méodos umércos e, o caso de uma equação dferecal, é um méodo de egração umérca BUNNET, 3 4 Méodos de Iegração Numérca A egração umérca é ormalmee empregada a deermação de uma egral defda, cuja fução ou ão é dspoíel ou ão possu uma solução aalíca omo méodos de egração de equações dferecas pode-se car o méodo de Euler, a fórmula de Heu e o méodo de uge-kua UIEO & OPES, 996 Nesa seção será feo um bree esudo dos méodos de Euler e de Heu A escolha deses dos méodos fo dedo ao méodo de Euler ser a prmera eaa de resolução umérca de uma equação dferecal e a escolha do méodo de Heu se deu dedo a ese méodo ser um aperfeçoameo do méodo de Euler A escolha de méodo de Heu ou méodo de egração rapezodal se jusfca a ese ser usado ambém o programa EMTP DOMME, Méodo de Euler A prmera eaa de resolução umérca de uma equação dferecal fo fea por Euler, apromadamee em 768 Euler usou o que se chama hoje de méodo da agee ou méodo de Euler UIEO & OPES, 996 osdere a equação dferecal y ' f, y 35 com a codção cal y y

37 43 y Fução cosae y A k A k k+ Fgura 9 Apromação da fução y por uma fução cosae O méodo de Euler cosse em apromar a área sob a cura y pela área de uma fução cosae o eralo [ k, k ] omo os alores de e y y são y cohecdos, sabe-se calcular y f, Para sso, a Fgura 9 cosdere a área A abao da cura y gual a área A abao da fução cosae: k k k y d y k d 36 k Iegrado os dos membros da equação 36 obém-se: y k y k y k k k 37 Ode a equação 38 é o passo de cálculo e é cosae: h k k 38 Tem-se eão que a equação 37 será:

38 44 y k y k y k h 39 Para y cohecdo em odos os poos do domío em que a mesma é egrada, é possíel ober umercamee a fução y a parr da equação 39 A equação 39 é a fórmula de Euler para ober umercamee a solução de uma equação dferecal Para o ssema da equação 4, em-se: k k k h 4 sedo: Sedo a equação 4 uma equação de esado, a mesma pode ser escra como k [ A] k [ B] u k 4 Subsuu-se a equação 4 a equação 4, obém-se a equação 4: k [ I ha] k h[ B] u k 4 Ode [I] é uma marz dedade A equação 4 é a solução da equação de esado araés do méodo de Euler 4 Méodo de Heu ou Trapezodal Também cohecdo como regra do rapézo, ese méodo é um aperfeçoameo do méodo de Euler A egra dos Trapézos cosse em se apromar o alor da fução coíua y o eralo k, k por uma fução de prmera ordem; so é, geomercamee, é equalee a apromar uma cura qualquer por uma rea, coforme mosra a Fgura Desa forma, a área sob a fução y, que é equalee à egral

39 45 dessa fução, é apromada pela área do rapézo cuja largura é gual a k k e a alura méda gual a [ y + y ]/ BUNNET, 3 k k y y k y Fução de º grau y k A k k+ Fgura Apromação da fução y por uma fução de º grau o eralo h k k A parr da Fgura obee-se a equação 43: k k y d A 43 eescreedo a equação 43, obém-se a segue equação: k k y d [ y k y k] h 44 Iegrado o lado esquerdo da equação 44, obém-se: y k y k [ y k y k] h 45

40 46 Para y cohecdo em odos os poos do domío em que a mesma é egrada, é possíel ober umercamee a fução y a parr de 45 A equação 45 é a fórmula de Heu para ober umercamee a solução de uma equação dferecal Para uma equação dferecal, A solução desa equação araés do méodo de Heu é escra como sedo: k k [ k k] h 46 Sedo a equação uma equação de esado de um ssema, a mesma pode ser escra como sedo: k k k [ A] [ B] u 47 Subsuu-se a equação 47 a equação 46 e mas algumas passages maemácas chega-se à equação 48: k I ha I ha k h[ B] u k u k 48 ode [I] é uma marz dedade A equação 48 é a solução da equação de esado araés do méodo de Heu 5 epreseação da ha em Varáes de Esado osderado o Efeo da Freqüêca sobre os Parâmeros ogudas KUOKAWA e al, 6

41 47 Os modelos de lhas de rasmssão de eerga elérca podem ser deseoldos o domío do empo ou o domío da freqüêca, sedo que a mesma é mas faclmee represeada o domío da freqüêca No eao o ssema elérco, o qual as lhas de rasmssão esão serdas, possu dersos elemeos ão leares que são de dfícl represeação o domío da freqüêca Dese modo dá-se preferêca por modelos de lha que são deseoldos dreamee o domío do empo, segudo MATI 988 Um ouro fao que faz com que os modelos de lhas deseoldos dreamee o domío do empo serem mas ulzados, é que a maora dos programas que realzam smulações de rasóros eleromagécos em ssemas elércos requerem que os compoees do ssema esejam represeados o domío do empo No caso do modelo deseoldo por H W Dommel cado o em 3, cada segmeo é cosuído de uma assocação sére e paralela de ressores e duores que resulam em uma ressêca e uma duâca, aráes em fução da freqüêca, que represeam o efeo solo e o efeo pelcular, de acordo com TAVAES e al 999 Ese modelo, que é deseoldo dreamee o domío do empo, é eão mplemeado em sofwares do po EMTP Apesar da écca de aráes de esado ser amplamee ulzada a represeação de lhas de rasmssão, é aplcada apeas em represeações de lhas cujos parâmeros logudas possam ser cosderados cosaes e depedees da freqüêca, ou seja, descosdera-se o efeo solo e pelcular No eao, recohece-se aualmee que a ulzação de parâmeros cosaes para represear a lha em oda a faa de freqüêca, presee os sas durae a ocorrêca de dsúrbos a mesma, pode resular em resposas em que as compoees harmôcas de ala freqüêca possuam ampludes maores do que são a realdade, de acordo com MATI 98, cado por KUOKAWA e al 6 5 rcuo osderado os Efeos Solo e Pelcular Os parâmeros logudas de lhas de rasmssão com reoro araés do solo são foremee depedees da freqüêca A descrção do efeo solo fo deseolda

42 48 por arso e por Pollaczek, em DOMME 986 Ambos os modelos apreseam resulados guas quado aplcados em lhas aéreas No eao, em se raado de cabos suberrâeos, as equações de Pollaczek apreseam melhores resulados KUOKAWA e al, 6 A mpedâca era resula do efeo do campo eleromagéco o eror do coduor Esa mpedâca própra é cosuída de uma ressêca e de uma duâca cujos comporameos em fução da freqüêca pode ser calculada araés de fórmulas deradas das equações de Bessel Dedo ao efeo pelcular, o alor desa ressêca aumea à medda que a freqüêca aumea equao que a duâca dmu com o aumeo da freqüêca MATI, 983, como cado por KUOKAWA e al 6 Quado se lea em coa os efeos solo e pelcular, os parâmeros logudas, por udade de comprmeo, de um segmeo de uma lha de rasmssão resula em uma mpedâca Z escra como sedo: Z j 49 Na equação 49 e são, respecamee, a ressêca e a duâca logudal do segmeo de lha eralmee ão ese uma fução que descrea a mpedâca Z pos os parâmeros e são obdos por meo de séres umércas No eao, a mpedâca Z pode ser descra, de maera apromada, por meo de uma fução racoal F cujos pólos são odos reas egaos e os resíduos são úmeros reas posos KUOKAWA e al, 6 Dese modo, a mpedâca Z pode ser escra como sedo SATO e al, : m K Z F Z 5 j Q Sedo a equação 5:

43 49 K Q r p 5 5 p Sedo p I e KUOKAWA e al, 6 r os pólos e os resíduos, respecamee, da fução racoal Fw A mpedâca descra a equação 5 é relaa ao crcuo da Fgura Fgura rcuo relao a fução F De acordo com SATO e al, a mpedâca equalee do crcuo da Fgura é dada por: m K Z j j 53 j Q sedo K Q 54 K 55 Os ressores e duores do crcuo da Fgura represeam os parâmeros logudas da lha, ou seja, a mpedâca logudal Os alores dos ressores e

44 5 duores da Fgura podem ser obdos a parr de dersos méodos descros por SATO e al e IMA e al 5, cados por KUOKAWA e al 6 osderado que os parâmeros de uma lha de rasmssão podem ser sezados por meo de um crcuo do po mosrado a fgura, pode-se ulzar uma cascaa de crcuos para represear uma lha de rasmssão leado em coa o efeo da freqüêca sobre os parâmeros logudas da mesma, coforme o crcuo eplíco a Fgura : Fgura ascaa de crcuos cosderado o efeo da freqüêca Na fgura as assocações paralelas são aas quaas forem ecessáras para represear a aração dos parâmeros em cada década de freqüêca que será cosderada 5 epreseação da ha por Meo de ascaa de rcuos e Varáes de Esado 5 epreseação por Meo de um rcuo osderado o crcuo da Fgura e chamado de A sua eremdade esquerda e B sua eremdade drea Aplcado uma esão u o ermal A e em B osderado ambém os duores,,,, m ode crculam as correes,,,, m respecamee deermar: A parr das correes e esões esees o crcuo da fgura pode-se

45 5 u d d m j j j m j j 56 d d 57 d d 58 m m m m m m d d 59 d d 6 As equações 57 a 6 podem ser descras a forma marcal, ou seja: u B X A X 6 sedo: A m m m m m m j j j 6 B T 63

46 5 T X m 64 d X d d d d d X m d 65 d d d d d Obserado que B T e X T correspodem a B e X rasposos, respecamee Verfca-se ambém que o eor [X] possu m+ compoees e a marz quadrada [A] é de ordem m+ 5 epreseação por Meo de rcuos Os resulados obdos para a lha represeada por um úco crcuo p podem ser eseddos para a lha represeada por uma cascaa de crcuos p Nese caso, a marz [A] será uma marz de ordem m+ e o eor [X] erá dmesão m+ e serão escros a forma KUOKAWA e al, 6: A A A A A A A A A A 66 T X X X X 67 Em 66, [A] é uma marz rdagoal cujos elemeos são marzes quadradas de ordem m+ ada elemeo geérco A de [A] é represeado como descro em 68 KK osderado que a lha é represeada por uma cascaa de crcuos, o eor [B] possu dmesão m+

47 53 A m m m m m m j j j 68 No eor represeado em 67, um elemeo geérco pode ser descro como: K Km K K K T K I X 69 Os elemeos do eor eplíco em 69 são descros como: K é a corree o duor, o K-ésmo crcuo K é a corree o duor, o K-ésmo crcuo k é a corree em, o K-ésmo crcuo Km é a corree em m, o K-ésmo crcuo K é a esão o capacor o lado dreo do K-ésmo crcuo A equação de esado, que descree uma lha represeada por uma cascaa de crcuos pode eão ser resolda por meo de méodos umércos KUOKAWA e al, 6, como o de Euler e de Heu

48 54 OBJETIVO O presee rabalho em como prmaza calcular rasóros de esões e correes o ermal de uma lha moofásca, composa por um úco coduor A lha fo represeada por meo de cascaa de crcuos para lha com parâmeros fos e aráes com a freqüêca e aráes de esado, leado em cosderação o ermal em dersas cofgurações: abero, em curo e com uma carga equalee à mpedâca caracerísca da lha Tem-se ada por escopo calcular o comporameo da lha, com ermal lgado a uma carga com mpedâca caracerísca, quado eergzada por uma descarga elérca amosférca sem a preseça do efeo coroa, como smulado por WEDY 6 3 MATEIA E MÉTODOS A aálse realzada o presee relaóro é baseada em uma lha de rasmssão de eerga elérca moofásca com km de eesão, cascaa com crcuos e ressdade em corree coua de 5 km Foram ambém cosderados os segues parâmeros físcos: duâca logudal de 73 mh km ; capacâca logudal de 78 F km ; coduâca logudal de 556 S km A lha é almeada com uma esão de kv o sae cal, com um empo de smulação de 3 s e passo de cálculo ere e 3 s de 5 s, resulado um eor com 6 amosrages de esões e correes o ermal fal da lha Nas smulações ulzado cascaa de crcuos e aráes de esado cosderado os efeos solo e pelcular, ulzou-se empo de smulação de 4 us e passo de cálculo de s, resulado em um eor com 4 amosrages Os alores dos elemeos e ulzados para sezar o efeo da freqüêca sobre os parâmeros logudas da lha

49 55 foram obdos ulzado o méodo proposo por TAVAES 998 Os alores das ressêcas e duâcas obdas araés do méodo proposo por TAVAES 998 são ecorados em KUOKAWA e al 6 A capacâca e coduâca logudas são as mesmas cadas aerormee e a lha é represeada, como a represeação sem fluêca da freqüêca, por uma cascaa com crcuos Para aálse de uma descarga elérca amosférca um dos ermas da lha, cosderou-se o ermal lgado a uma carga com mpedâca caracerísca, empo de smulação de 7 s e passo de cálculo de 5 s, o que resulou um eor de amosrages de 4 compoees Foram aalsadas as amosrages de esões e correes em cco poos a eesão da lha: o íco; o poo a 5 meros; a 5 meros; 75 meros e a meros Para resolução das equações de esado fo ulzado o méodo de egração umérca rapezodal méodo de Heu Todos os algormos eoldos as smulações dos rasóros eleromagécos dese rabalho foram deseoldos o sofware Malab, as ersões 53, 6 e 7 4 ESUTADOS E DISUSSÕES 4 ha com Termal Abero osderado a lha de rasmssão esboçada a Fgura 3, foram gerados os segues gráfcos, cosderado o ermal da lha abero Verfca-se o gráfco da Fgura 3, que de acordo com a equação 56, a esão o ermal da lha é duas ezes maor que a da foe de almeação da mesma Obsera-se o gráfco da Fgura 4, agora cosderado o efeo solo e pelcular, que a esão ambém dobra de alor, como o gráfco da Fgura 3

50 56 Fgura 3 Tesão da lha de rasmssão com ermal abero Fgura 4 Tesão da lha de rasmssão com ermal abero, leado em coa o efeo da freqüêca Obsera-se o gráfco da Fgura 5 que a corree da lha com ermal abero oscla em oro de zero, com pco prómo a 8 A

51 57 Fgura 5 orree da lha de rasmssão com ermal abero omparado os resulados obdos, com e sem o efeo da freqüêca, pode-se erfcar que o gráfco da Fgura 6 é obserada uma osclação meor dos alores da corree, se comparado com o gráfco da Fgura 5, osclado em oro do alor zero Vale ressalar ambém, o gráfco da Fgura 6, um pco cal de corree de apromadamee 8 A, gual ao gráfco da Fgura 5 Fgura 6 orree da lha de rasmssão com ermal abero, cosderado o efeo da freqüêca

52 58 4 ha com Termal em uro-rcuo osderado a lha de rasmssão esboçada a Fgura 6, com ermal lgado em curo-crcuo, fo possíel ober os segues resulados Verfca-se araés da Fgura 7, que a esão o ermal curo-crcuado permaece ula durae oda a smulação, como preso Fgura 7 Tesão o ermal da lha em curo-crcuo Pode-se obserar o gráfco da Fgura 8 os alores crescees da corree relaa à lha com ermal cofgurado em curo-crcuo A Fgura 9 mosra o gráfco da corree leado em cosderação o efeo da freqüêca omparado os gráfcos das Fguras 8 e 9 pode-se obserar semelhaças plausíes, como por eemplo, o empo do prmero degrau de corree, obserado em ambos os gráfcos o empo dscreo de apromadamee 4 s e a proporção mada ere as amosrages de corree geradas os dos méodos

53 59 Fgura 8 orree o ermal da lha em curo-crcuo Fgura 9 orree o ermal da lha em curo-crcuo, leado em cosderação o efeo da freqüêca

54 6 43 ha com Termal gado a uma arga Z Baseado-se a lha de rasmssão lgada a uma carga equalee a mpedâca caracerísca, mosrada a Fgura, fo possíel ober os segues resulados Fgura 3 Tesão da lha lgada a uma carga com mpedâca Z Verfca-se araés do gráfco da Fgura 3 que a esão o ermal da lha esablza-se quase que saaeamee em kv, com um bree pco de esão de apromadamee 5 kv prómo ao empo dscreo de 4 s A Fgura 3 represea o gráfco cosderado o efeo da freqüêca sobre a lha A esão, como preso, esablza-se muo prómo de kv

55 6 Fgura 3 Tesão da lha lgada a uma carga com mpedâca efeo da freqüêca Z, cosderado o A Fgura 3 represea o gráfco cosderado o efeo da freqüêca sobre a lha A esão, como preso, esablza-se muo prómo de kv Fgura 3 orree da lha lgada a uma carga com mpedâca Z

56 6 Fgura 33 orree da lha lgada a uma carga com mpedâca efeo da freqüêca Z, cosderado o Araés das Fguras 3 e 33 pode-se comparar os resulados obdos para corree a lha lgada a uma carga com mpedâca respecamee Z, sem e com os efeos solo e pelcular 44 Descarga Elérca Amosférca uma ha gada a uma arga Z osderado uma lha com um ermal lgado a uma carga equalee à mpedâca caracerísca Z e o ouro ermal abero e deseergzado, obsera-se os resulados obdos a smulação de uma descarga amosférca sobre o ermal abero da mesma

57 63 Fgura 34 Tesões a lha orgadas por uma descarga elérca amosférca É possíel obserar o gráfco da Fgura 34 as esões em cco poos dsos a eesão da lha, orgadas por uma descarga elérca amosférca em uma das eremdades Verfca-se araés da fgura aeror, com cco gráfcos com cores dsas, o eralo de empo em que a oda de esão percorre oda eesão da lha O gráfco da Fgura 35 mosra a corree em dersos poos da lha, mosrado a progressão da oda de corree pela eesão da mesma em fução do empo

58 64 Fgura 35 orrees a lha orgadas por uma descarga elérca amosférca 5 ONUSÃO Fo demosrado o presee rabalho grade pare da eora eolda a smulação de lhas de rasmssão represeadas por meo de cascaa de crcuos e aráes de esado, bem como a eora complea sobre os méodos de egração umérca ulzados a resolução das equações de esado Fo possíel erfcar, a parr dos resulados obdos as smulações da lha cofgurada com ermal abero, a ação das odas cdees e refledas sobre a esão e corree o ermal fal da mesma Obsera-se a duplcação da esão da foe, resulae da soma dos módulos das odas cdees e refledas de esão, que possuem o mesmo sal e magude para uma lha com ermal abero A corree oscla em oro de zero durae oda a smulação dedo à ação de odas cdees e refledas de

59 65 corree com mesma magude e sas oposos, ou seja, as odas se aulam resulado em uma corree gual a zero Nas smulações eoledo o efeo da freqüêca, para lha com ermal abero, foram obdos resulados com comporameo muo parecdo aos obdos sem cosderar o efeo da freqüêca Os resulados, cosderado os efeos solo e pelcular, foram muo parecdos os pcos de esão e corree durae os rasóros e a magude dos alores esperados a esablzação do ssema, porém com meores osclações durae a smulação Nos resulados das smulações relaas a lha com ermal cofgurado em curo-crcuo fo possíel obserar a ocorrêca duma corree crescee em degraus, com e sem o efeo da freqüêca, e a esão o ermal zero È possíel coclur a parr dos resulados e a parr da eora eoledo as odas ajaes em lhas de rasmssão que, as odas cdees e refledas de esão se aulam para uma lha curo-crcuada e as odas ajaes de corree somam-se, duplcado o alor da corree mpedâca A parr dos resulados obdos as smulações da lha lgada a uma carga com Z, erfca-se que as odas refledas são ulas, ou seja, ão há refleão das odas cdees de esão e corree, resulado em uma esão sobre a carga gual a esão gerada pela foe, kv, e corree de apromadamee 4 A Os gráfcos obdos a parr do méodo cosderado o efeo da freqüêca são bem prómos dos obdos sem o efeo da freqüêca Obsera-se apeas uma pequea aração da corree os resulados obdos para corree, uma aração de 5 A apromadamee para a corree após 4 ms Nas smulações de uma descarga elérca amosférca sobre uma lha de rasmssão deseergzada é possíel erfcar a progressão das odas de esão e corree o decorrer da eesão da lha, em fução do empo oclu-se que as odas de esão e corree se propagam apromadamee a elocdade da luz pelo coduor da lha de rasmssão

60 66 6 EFEÊNIAS BOYE, W E; DIPIMA, Equações Dferecas Elemeares e Problemas de Valores de ooro 7 ed ros Téccos e eífcos Edora S A, o de Jaero, J BUNNET, 3 Méodos de Iegração Numérca Dspoíel em: hp://wwwfufrgsbr/e/mecomp/aulas/euler/odehml Acesso em 5 fe 3 HIPMAN, A 976 Teora e Problemas de has de Trasmssão Edora Mcraw-Hll do Brasl da, São Paulo, SP DOMME, H W 969 Dgal ompuer Soluo of Elecromagec Trases Sgle ad Mulphase Neworks IEEE Trasacos o Power Apparaus ad Sysems, Vol PAS-88, No 4; pp DOMME, H W 986 Elecromagec Trases Program eferece Maual, Deparme of Elecrcal Egeerg, Uersy of Brsh olumba, Vacouer, aada DOF, ; BISHOP, H Ssemas de orole Moderos, ros Téccos e eífcos Edora S A, o de Jaero, J FUHS, D Trasmssão de eerga elérca: lhas aéreas; eora das lhas em regme permaee o de Jaero, ros Téccos e eífcos; 979 UIDOIZZI, H 986 Um urso de álculo, ed ros Téccos e eífcos Edora S A, o de Jaero, J KUOKAWA, S; YAMANAKA, F N ; PADO, A J; BOVOATO, F; PISSOATO, J 6 epreseação de has de Trasmssão por meo de Varáes de Esado eado em osderação o Efeo da Freqüêca sobre os Parâmeros ogudas Deparameo de Egehara Elérca, Faculdade de Egehara de Ilha Solera, UNESP, Ilha Solera, SP IMA, A S; FENANDES, A B; ANEIO, S 5 aoal Appromao of Frequecy Doma esposes he S ad Z Plaes Proc of he 5 IEEE Power Egeerg Socey eeral Meeg, Sa Fracsco, alfora, USA MÁIAS, J A ; EXPÓSITO, A ; SOE, A B 5 A omparso of Techques for Sae-Space Trase Aalyss of Trasmsso es IEEE Trasacos o Power Delery, Vol, No ; pp

61 67 MAMIS, M S; NAAOU, A 3 Trase Volage ad urre Dsrbuos o Trasmsso es IEE Proceedgs eerao, Trasmsso ad Dsrbuo, Vol 49, N 6; pp 75-7 MAMIS, M S 3 ompuao of Elecromagec Trases o Trasmsso es wh Nolear ompoes IEE Proceedgs eerao, Trasmsso ad Dsrbuo, Vol 5, N ; pp -3 MATI, J 98 Accurae Modellg of Frequecy-Depede Trasmsso es Elecromagec Trase Smulaos IEEE Trasacos o Power Apparaus ad Sysems, Vol PAS-, No ; pp MATI, 983 ow-order Appromao of Trasmsso e Parameers for Frequecy-Depede Models IEEE Trasacos o Power Apparaus ad Sysems, Vol PAS-, No ; pp MATI, 988 Smulao of Trases Udergroud ables wh Frequecy- Depede Modal Trasformao Marces IEEE Trasacos o Power Delery, Vol 3, No 3; pp 99- MINEISHI, S; EHIO, H; SATO, 994 A Mehod for Measurg Trases aused by Impedace IEEE Trasacos o Elecromagec ompably, Vol 36, N 3, pags NEMS, M; SHEBE, B; NEWTON, S ; ISBY 989 Usg a Persoal ompuer o Teach Power Sysem Trases IEEE Trasacos o Power Sysems, Vol 4, No 3; pp UIEO, M A ; OPES, V 996 álculo Numérco: Aspecos eórcos e compuacoas ed Makro Books, São Paulo, SP SATO, M S; SAATTI, A; HOOWAY, O he Use of Fg Models for he Tme-Doma Aalyss o Problems wh Frequecy-Depede Parameers Proc of he IEEE Ieraoal Symposum o Elecromagec ompably, Moreal, aada, pp TAVAES, M 998 Modelo de ha de Trasmssão Polfásco Ulzado Quase-Modos Tese de Douorado UNIAMP, ampas, SP TAVAES, M ; PISSOATO, J; POTEA, M 999 Mode Doma Mulphase e Model-Use Trases Sudes IEEE Trasacos o Power Delery, Vol 4, No 4; pp WEDY, F 6 Iflueca do Efeo oroa as Sobreesões esulaes da Icdêca de Descargas Amosfércas em has de Trasmssão Trabalho de oclusão de urso Faculdade de Egehara de Ilha Solera, UNESP, Ilha Solera, SP