ASPECTOS NUMÉRICOS E FÍSICOS DE SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DE SAINT-VENANT

Transcrição

1 ASPECTOS NUMÉRICOS E FÍSICOS DE SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DE SAINT-ENANT Adré Luz Adrade Smões, Romualdo José Romão Bro *, Harr Edmar Schulz 3, Rodro de Melo Poro 4, Rauel Jahara Lobosco 5 Isuo Superor Polécco de Tee, Moçambue,,3,4,5 Escola de Eehara de São Carlos, Uversdade de São Paulo, Brasl. *Emal: romualdoj.bro@mal.com RESUMO As euações de Sa-ea são deduzdas a parr dos prcípos de coservação de massa e uadade de movmeo com o uso de hpóeses smplfcadoras. Freüeemee as euações são empreadas em sua forma u-dmesoal com o uo de prever o comporameo de odas de chea em caas, odas ocasoadas pela rupura de barraes e, em alus casos, para prever a posção de ressalos hdráulcos. O euacoameo eral compõe um ssema de euações dferecas parcas do po hperbólco e ão lear (em ambos os casos, udmesoal e bdmesoal). As soluções aalícas são ada muo raras para esse ssema, sedo ecessáro o uso de méodos umércos para obeção de soluções. A sua uldade apoa para a ecessdade de sua apreseação ddáca aos esudaes e profssoas de Eehara, o ue jusfca o presee eo. Ese rabalho ulza as euações de Sa-ea aplcadas a problemas com superfíce lvre em uma e duas dmesões. São dscudos aspecos físcos das soluções e dealhes maemácos, como a mposção adeuada das codções de cooro e a esabldade de esuemas umércos, por meo do uso da aálse de vo Neuma aplcada à forma learzada das euações udmesoas. INTRODUÇÃO Em suações as uas as alerações sofrdas pelo fludo em movmeo são peueas e ocorrem de modo proressvo, é razoável supor, para fs prácos, ue o escoameo seja permaee, ao meos em ervalos curos de empo. Há, odava, casos em ue esa smplfcação ão é adeuada, como, por eemplo, durae a passaem de odas de chea em caas, ros ou ssemas de dreaem, alerações de ível e vazões produzdas pela parada ou parda de bombas ou urbas hdráulcas, odas oradas por maobras de comporas em caas de rração, rompmeos de dues ou barraem, ec. Como eemplos de eveos meos abrupos, emos a prevsão do comporameo de correes marímas e coseüees elevações da maré, ue são eveos de cosderável relevâca para a aveação e a dspersão de poluees, e a ocorrêca de raspore de sedmeos durae escoameos varáves, com mplcações ambeas e a aveação. Aes de car a dedução das euações, cabe mecoar ue o escoameo urbuleo é sempre ão permaee, apesar de ser cosderado, em alus problemas, como permaee em méda, ou, em alus eos, como esacoáro. Assm, os ermos escoameo varável e escoameo permaee empreados ese eo se referem ao comporameo médo das varáves. A seur são eposos brevemee alus coceos elemeares sobre escoameos varáves, especfcamee

2 aluma ermoloa lada ao esudo de odas. Essas defções foram eraídas das referêcas Lamb (945) e Poro (6). Coceos báscos Uma oda é defda como uma varação emporal e espacal da alura do escoameo (dsâca vercal do poo mas bao da seção aé a superfíce lvre) e da aa de vazão. O comprmeo de oda (L) é a dsâca ere duas crsas sucessvas, a amplude da oda é a alura ere o ível mámo da superfíce lvre e o ível d áua em repouso e a alura H é a dfereça de coas ere as crsas e os cavados (vales). Há dferees pos de classfcações para as odas, como odas caplares, as uas o faor predomae a propaação é a esão superfcal, e odas de ravdade, cuja ação prcpal é a aração ravacoal. O ermo áua rasa se refere ao caso em ue a relação ere L e a profuddade da áua, dsâca ere o fudo do caal e o ível esáco da áua, for maor ue. Caso coráro, defe-se o ue se chama de áuas profudas. Uma oda é chamada de oda osclaóra se ão há raspore de massa a dreção de propaação (são odas ormalmee ocasoadas pelos veos e de rade relevâca para Hdráulca Maríma). Odas de raslação são auelas ue evolvem deslocameo de massas líudas da sua posção oral, como odas de chea em ros e caas. As odas de raslação podem ser classfcadas como oda solára, ue possu um ramo de ascesão e ouro de depleção e um úco pco, e rem ou ssema de odas, ue é um rupo de odas cosecuvas. Uma oda de raslação ue eha um ramo de depleção (a free de oda) de modo íreme é chamada de suro ou vaalhão. Em relação às odas em caas, esas são das odas posvas se a alura da áua arás da oda (a umescêca) é maor ue a alura da áua o escoameo ão perurbado o caal. Se a alura da áua arás da oda é meor ue a alura da áua do escoameo ão perurbado o caal, a oda é classfcada como eava. Para odas de ravdade de amplude peuea, cosderado escoameo deal e sem efeos sfcavos decorrees da esão superfcal, a celerdade (c=velocdade relava de propaação da oda em relação ao meo líudo) pode ser calculada apromadamee por meo da euação (Lamb, 945): L h c h c h, ou h () L L L em ue L é o comprmeo da oda, h a alura do escoameo e h a aee hperbólca. Esa euação é ormalmee chamada de euação da celerdade de Ar, em homeaem a Sr Geore Bddle Ar (8-89), ceramee o prmero a apresear o seu desevolvmeo, em 845 (Poro, 6). É eressae oar ue se L>>h, codção relava às áuas rasas, a aee hperbólca ede ao valor do arco e eão a celerdade de as odas é calculada smplesmee por: c c h, ou () L L/ h

3 c /(L) A Fura lusra ese comporameo. A parr de L/h = as euações forecem pracamee os mesmos resulados. No caso de odas de áuas profudas, em ue h>>l, a aee hperbólca ede à udade e a celerdade passa a ser calculada por: c L c, ou L (3) Ese é o valor cosae da curva erada pela euação, apreseada a Fura.,6,5 E. E.,4,3,,, 5 5 L/ 5 Fura Comporameo da celerdade admesoalzada em fução de L/h (=h) DEDUÇÕES DAS EQUAÇÕES PARA O CASO D As euações ue modelam os problemas raados ese aro êm como orem o prcípo de coservação de massa e de uadade de movmeo (ª le de Newo). Traa-se de uma formulação smplfcada em relação ao euacoameo eral para fludos ewoaos (euação da coudade complea e euação de Naver-Sokes) e, por esa razão, cosderase váldo apresear pare da sua dedução para o caso udmesoal com o uo de evdecar as lmações erees ao modelo e valorzar aspecos físcos e maemácos presees as euações. Como referêca sobre o os procedmeos adoados para as deduções, cabe desacar os rabalhos de Chaudhr (8) e Poro (6). Coservação de massa A euação de coservação da massa para volumes de corole e em sua forma eral pode ser escra como: dol da (4) vc sc

4 Assume-se ue o escoameo é udmesoal e compressível. O caal é cosderado prsmáco e ão há apore laeral de vazão. O volume de corole adoado maém as smplfcações e correspode a um volume de corole com uma erada (seção ), uma saída (seção ), pare da superfíce de corole é a superfíce lvre e a superfíce resae correspode ao cooro sóldo. Com as hpóeses, a euação aeror, uado aplcada ao referdo volume de corole, é smplfcada para: A d Q Q (5) em ue: A = área da seção rasversal, Q = vazão. Ulzado o eorema do valor médo e fazedo, obém-se a euação da coudade a forma coservava: A Q (6) Quadade de movmeo O prcípo de coservação de uadade de movmeo lear para volumes de corole pode ser escro como: F dol.da (7) vc sc em ue: F = força resulae. A dedução da euação dferecal a parr de (7) pode ser ecorada em Poro (6) e Chaudhr (8). A úca dfereça ere a euação apreseada au e auela apreseada por esses auores esá as forças devdas às pressões (F e F), ue são calculadas por meo das seues euações: F Ah cos F Ah cos (8) em ue: h com uma barra superor é a dsâca desde a superfíce lvre aé o ceróde da seção rasversal. Além das hpóeses aerores, cosdera-se ue o coefcee de Bousses () é uma cosae e ue os efeos da aceleração de Corols são elecáves. A euação resulae, obda a parr da coservação de uadade de movmeo é: Q Q Ah cos A I o I f (9) Esa é a euação de uadade de movmeo a forma coservava, ue juo com a euação 6 forma um ssema hperbólco semelhae às euações de Sa-ea. I o e I f são as declvdades de fudo e da lha de eera, respecvamee.

5 Euações smplfcadas para o caso de áuas rasas Coudade Para obeção da euação da coudade aplcada ao caso de áuas rasas, por meo da euação 6, a úca smplfcação ecessára é a de caal reaular, como apreseado a seur. Nesa suação H m =A/B=Bh/B=h, loo: h h A B h h h h h () Quadade de movmeo Ulzado a mesma smplfcação adoada a obeção da euação, a euação 9 é mapulada alebrcamee para dedução da euação de uadade de movmeo lear para áuas rasas D. Desprezado a ão uformdade do perfl de velocdades (b=) e o efeo do cos o cálculo das forças de pressão, vem: Q h h Q A AI I B B h Bh BhI I o f h o f h h h hi o hi f () Para calcular a declvdade da lha de eera I f, assume-se ue é válda uma euação de ressêca desevolvda para o reme uforme e permaee. Ulzado a euação de Chéz, deve-se assumr ada ue o caal reaular é laro (B>>h). Com esa hpóese, a euação mecoada assume a seue forma: I f () A/ P C C Bh/ B h C h Sabe-se ue C=(8/f),5, em ue f é o faor de ressêca de Darc-Wesbach. Assm, oa-se medaamee ue C ão é uma radeza admesoal. Sedo preferível rabalhar com radezas admesoas, ulza-se au a euação de Darc-Wesbach o luar da euação de Chéz: I f f (3) 8h ASPECTOS MATEMÁTICOS E MÉTODOS NUMÉRICOS Formas veoras e auovalores

6 As euações e formam o ssema de euações para áuas rasas em uma dmesão. Com uma oação compaca, as euações podem ser escras como: s f (4) em ue: h h (5) h h h f (6) hi o hi f s (7) Do mesmo modo, em sua forma ão coservava, as euações de Sa-ea podem ser escras a forma veoral como apreseado a seur: J U A U (8) em ue: h U (9) H A m () I o I f J () Os auovalores da marz A defem a ue classe perece o ssema de euações. Para calcular os auovalores de A, sabe-se ue: H H de m m () Calculado as raízes desa euação, obém-se: m H (3)

7 Hm (4) Noa-se medaamee ue os auovalores correspodem às velocdades absoluas das odas, uma vez ue c=(h m ),5. Para escoameos subcrícos e supercrícos os auovalores assumem valores reas e dferees. Iso perme classfcar as euações como um ssema de euações dferecas parcas hperbólcas, assm como as euações de Euler e do escoameo varável em ubos, por eemplo. A mesma coclusão é obda com o cálculo dos auovalores da marz Jacobaa do veor f, como apreseado a seur: D f f f f f Esa marz ambém pode ser escra em ermos das varáves prmvas: f h D Os auovalores ( ) desa marz podem ser calculados com a euação caracerísca (em ue I=marz dedade): de I Df de h de h h h Resolvedo o polômo, em-se:, 4 4 h h h h h ê-se ue a úca dfereça ere os auovalores calculados com o jacobao esá a epressão para a celerdade, ocasoada por er sdo ulzada a codção de áuas rasas. Méodo das caraceríscas O ssema hperbólco obdo para coduos lvre é ão lear e só adme solução aalíca em casos ada mas smplfcados. Por ese movo, o uso de méodos umércos é aural e comum em aplcações ue evolvem as euações de Sa-ea. O méodo das caraceríscas, ceramee um dos mas dfuddos a práca da eehara hdráulca, é

8 freüeemee escolhdo em smulações de escoameos varáves em coduos forçados. Dada a semelhaça ere as euações, o desevolvmeo do méodo para as euações de Sa-ea é parecdo, eceo pela depedêca de c com H m, o ue ee uma smplfcação adcoal em relação aos coduos forçados. Cosdera-se as euações de Sa-ea escras com a forma ão coservava, como apreseado a seur: h h Hm h I o I f (5) (6) Seudo os procedmeos usuas para o desevolvmeo do méodo, a euação da coudade é mulplcada por e somada à euação da uadade de movmeo, resulado em: h h m h H I I (7) o f Com o uo de defcar as dervadas maeras de h e, os ermos desa euação foram rearupados resulado em: H I I m h h o f (8) ou d d dh d (9) I o I f A euação aeror perme coclur ue: d H d m H m / H m / H m (3) Com ese resulado, verfca-se ue d/d pode ser ual a cada um dos auovalores da marz covecva do ssema hperbólco: d H m (3) d d H m (3) d

9 Ao subsur os valores de a euação 9, obém-se duas euações dferecas ordáras váldas ao loo das caraceríscas: d Io If d C : m (33) d d d H dh d Io If d C : m (34) d d H dh d Assm como ocorre o problema de coduos forçados, as euações dferecas parcas váldas para o plao espaço-empo foram subsuídas por duas euações dferecas ordáras ue devem ser eradas ao loo das curvas caraceríscas. Do poo de vsa maemáco, a dfereça básca ere as euações esá o fao de ue os prmeros elemeos dos auoveores da marz covecva do ssema formado pelas euações de Sa-ea são fuções de uma das varáves depedees, especfcamee de, uma vez ue H m =A/B e A=A(h). A marz covecva das euações para coduos forçados possu auoveores ue ão cluem uasuer das varáves depedees. Lembrado ue A defdo de modo ue: H m, o seu prmero auoveor, com compoees e é H m H m (35) Porao, é permdo escrever: H H m Hm m Hm (36) De modo smlar, deerma-se o seudo auoveor. Como coclusão, verfca-se ue os auoveores são fuções de, uma das varáves depedees do ssema: H m (37) H m (38)

10 Ierado as euações 33 e 34 ao loo das curvas caraceríscas, vem P A P B P P d dh I o If d (39) A P H m A P d dh I o If d (4) B H m B Uma vez ue H m depede de h, assm como I f, ue ambém depede de, deve-se emprear aluma apromação para calcular as eras. Como o caso de coduos forçados, assume-se ue os valores de e h em A e B (ue correspodem ao empo aeror) são váldos ao loo de AP e BP. Ierado, obém-se: h h I I p A p A o f A (4) HmA h h I I p B p B o f B (4) HmB Para smplfcar a escra, as uadades cohecdas (em A e B) podem ser arupadas em duas cosaes: C C HmA A Io If ha (43) A HmB B Io If hb (44) B Subsudo C + e C - as euações 4 e 4 e ulzado a defção de celerdade para ese problema, pode-se escrever: p p C hp (45) c A C hp (46) c B As formas aerores são ormalmee ulzadas em proramas compuacoas. Ereao, deve-se desacar ue se houverem soluções, o sedo fraco, descoíuas, as euações ão forecem resulados correos. Méodo de MacCormack com vscosdade arfcal O esuema de MacCormack (969) é um méodo do po predor correor de dos passos ue possu acuráca de seuda ordem ao o empo uao o espaço. Ese méodo é capaz de

11 capurar odas de choue e fo empreado por Gharak e Chaudhr (99) para aalsar escoameos ão permaees udmesoas em caas. Além do seu uso para defcar a ocorrêca de ressalos hdráulcos, o rabalho de Aderso (995), por eemplo, ambém apresea aplcações ladas à smulação de odas de choue ormas em bocas covereedverees, odas de epasão (leue de rarefação) e odas de choue bdmesoas em placa plaa. O desevolvmeo do códo com ese méodo é relavamee smples e seue os seues passos: ) Predor. Adoa-se uma apromação avaçada para a dervada espacal para calcular a dervada emporal o sae e, em seuda, ulza-se esa dervada para calcular em +. O resulado obdo desa forma é defcado com uma barra superor. s f f (47) (48) ) Correor. O valor predo calculado é ulzado para calcular a dervada emporal de em +. Para ao, adoa-se uma dscrezação arasada para a dervada espacal. Esa alerâca ere dervadas avaçadas e arasadas produz um méodo de seuda ordem. Com ese resulado, efeua-se uma méda ere as dervadas emporas calculadas em e + para ue seja realzado o cálculo fal de em +. s f f (49) (5) scosdade arfcal A solução obda por um esuema de dfereças fas possu erros dsspavos se o ermo prcpal do erro local de rucameo possu ordem par. Se ese erro possu um ermo prcpal com ordem ímpar, eão o esuema passa a er erros dspersvos. Os erros dspersvos ormalmee produzem osclações os resulados juo a odas íremes, o ue pode provocar sabldade umérca. Com o uo de corrr esa falha, ulza-se ormalmee lmadores de fluo ou, de forma mas smplfcada, uma vscosdade arfcal, ue ese eo é dada pela seue euação (Aderso, 995, p.363): C S (5)

12 em ue C é um parâmero arbráro admesoal. alores ípcos para C esão compreeddos o ervalo, a,3 (Aderso, 995, p.38) para o caso de escoameo supersôco em bocas. Esem dferees formulações para a vscosdade arfcal. Esa escolha fo fea com base a eperêca obda com a solução do problema de localzação de uma oda de choue ormal o eror de um bocal coveree-dveree. De acordo com Leeue (4, p.7), os prmeros a propor ese po de écca foram vo Neuma e Rchmer. O uso da vscosdade arfcal alera o méodo de MacCormack para a seue forma: ) Predor. Deve-se somar a vscosdade calculada o empo uado for calculado o passo predor. Para o cálculo de cada compoee em +, deve-se somar a compoee S correspodee (oa-se ue há cossêca dmesoal esa soma): S (5) ) Correor. deve-se somar a vscosdade calculada com base os valores obdos o passo predor. S (53) CONSISTÊNCIA, ESTABILIDADE E CONERGÊNCIA Um esuema umérco de dscrezação deve ser cossee com a euação dferecal oral, esável e coveree. A cossêca de uma euação a forma dscrea ese se o erro de rucameo ede a zero uado os espaçameos da malha edem a zero. Ese é um aspeco mporae, pos um dos reusos para haver coverêca do méodo umérco é a cossêca. O seudo reuso ecessáro para ue ocorra coverêca é a esabldade. Ese é um coceo de rade relevâca e ue é basae empreado em hdráulca compuacoal, como em problemas ue reuerem a solução das euações do olpe de aríee e Sa-ea. Um méodo umérco é esável se os erros ou perurbações presees a solução ão crescem sem lmes. Esse al crescmeo descorolado pode produzr úmeros ue aem os lmes da máua, com valores rreas como, por eemplo. Codções de cooro ou cas correas podem ser resposáves por ese po de erro, assm como o acúmulo de erros de arredodameo ocorrdo durae o processameo. Se as codções de cooro e cas forem correas, o acúmulo de erros de arredodameo passa a ser o resposável por uma possível sabldade de um méodo umérco. Para uma dscrezação cossee, se o refameo proressvo da malha produz resulados ue se apromam da solução aalíca da EDP, dz-se ue há coverêca. De acordo com o eorema da euvalêca de La, pode-se escrever ue um esuema umérco cossee é coveree se e somee se ele for esável (ver prova em Daura e Los,, p.37).

13 Esabldade e o méodo de La-Fredrchs Embora a meodoloa aalíca para aálse de esabldade seja bem cohecda para problemas leares, cosdera-se váldo eplorá-la ese rabalho com uma aplcação drea às euações de Sa-ea learzadas. A dscussão é desevolvda com base o esuema de dscrezação cerado e, em seuda, com o esuema umérco de La-Fredrchs. O méodo de La-Fredrchs é uma varação sul e ecessára do esuema cerado. No esuema cerado, as dervadas espacas são apromadas por dfereças fas ceradas de seuda ordem o sae e as emporas por dfereças fas avaçadas de prmera ordem a posção, como apreseado a seur: f () f () f () (54) (55) Há um rave problema com a escolha das apromações 54 e 55 para os ssemas hperbólcos de um modo eral, ue é a sabldade umérca. Para um ssema hperbólco lear é possível provar ue o esuema cerado é codcoalmee sável. Com o uo de verfcar a esabldade de um méodo umérco, ormalmee é ulzada a aálse de esabldade de vo Neuma. Como o ssema deve ser lear para ue essa aálse seja empreada, cosdera-se um esado de referêca ue perme defr h = h + e = + v, em ue h e são cosaes e e v são perurbações em oro desses valores cosaes. Icalmee, empreado a rera do produo e desprezado os ermos foe, as euações para áuas rasas são reescras a forma ão-coservava, como apreseado a seur: h h h h (56) Subsudo as defções aerores para h e a euação 5 e elmado as dervadas de cosaes, obém-se: v (h ) ( v ) v v v ( v ) (57) Desprezado os ermos ue evolvem produos de fluuações, o ssema é learzado, assumdo a seue forma:

14 v v v h (58) Apromada com o esuema cerado, a euação 58 pode ser escra da seue maera: v h v h v v (59) A aplcação do méodo de vo Neuma reuer a defcação das marzes A e B presees a seue relação: U T B U T A (6) em ue: T U é um operador de raslação. Para a euação 59, as marzes são: A, B, h B B. Noe-se ue = - correspode à posção - da malha espacal, = ao ídce e = ao ídce +. Para + defca-se as marzes A e para o sae as marzes B. O prómo passo cosse em calcular o símbolo do esuema umérco, defdo como: ) ep(ik B ) ep(ik A S(k) (6) em ue: S(k) = símbolo ou rao especral, k R m e I = udade maára. Subsudo as marzes, obém-se: ) e (e h S(k) Ik Ik (6) Das relações roomércas elemeares, sabe-se ue e Ik -e -Ik = Isek. Porao:

15 Isek Isek Isek h Isek S(k) (63) Se o módulo de um dos auovalores do símbolo for maor do ue a udade o esuema é sável. Sedo assm, é ecessáro calcular os auovalores de S(k), o ue pode ser feo com a solução da fução caracerísca. Isek h Isek h auov[s(k)] k se I h auov[s(k)] Isek (64) Noa-se a euação 64 a defção do úmero de Coura (C ): h C (65) Teorema. O esuema umérco cerado é codcoalmee sável. Prova. auov[s(k)] > C. A parr dessa coclusão de cuho eral, de ue o esuema cerado ão é adeuado para as euações learzadas, verfca-se ue o problema ão lear ão pode se ulzar desse esuema. O méodo de La e Fredrchs, já mecoado, alera o esuema cerado com o uso da seue apromação para a dervada emporal: ) ( (66) Seudo os mesmos procedmeos, é possível demosrar a codção de esabldade do méodo de La-Fredrchs. O ssema de EDP s learzado e dscrezado com ese méodo assume a seue forma: v,5 h,5 v,5 h,5 v (67) Porao, o símbolo é:

16 auov[s(k)] Isek cos k S(k) Isek h Isek Isek cos k (68) Calculado os seus auovalores, obém-se: Isek auov[s(k)] Isek h h cos k cos k (69) Teorema. O méodo de La-Fredrchs é esável se C <. Prova. O módulo do seudo auovalor de S(k) é: auov[s(k)] C se k cos k se k(c ) C Sob a forma de ráfco, a Fura lusra o comporameo de auov[s(k)] para dferees úmeros de Coura. Uma descrção dealhada do méodo de aálse empreado pode ser ecorada em Daura e Los () e, uma abordaem leramee dferee, em Chaudhr (8, p.39).,,8 C =, C =, C =,75,4 C =,5 Fura Comporameo de auov[s(k)] em fução de C CONDIÇÕES E INICIAIS E DE CONTORNO As codções cas para um dado problema de escoameo varável em caas podem ser esabelecdas com a euação dferecal ordára ue represea o escoameo permaee e radualmee varado (euação 7): d d I I o f (7) cos Fr C =,5 k 3 Se a profuddade é cohecda em odos os poos do domío o sae cal, ambém é possível especfcar as velocdades. Para um caso smples em ue s=, os varaes de Rema são cohecdos ao loo das caraceríscas, pos são fuções de e

17 apeas. Iso dá a opção de especfcar ou ao loo das caraceríscas em ualuer poo, sedo a oura varável calculada com os varaes de Rema. Impor as codções cas desa forma em a vaaem de apromar o problema da realdade físca. Pode haver casos em ue o eresse maor ão é o de ober uma solução em reme varável, mas sm em reme permaee. Em uma suação como esa, a solução da euação 7 sera sufcee se ão houvesse descoudade. Havedo descoudades, pode ser vaajoso erar as euações de Sa-ea em suas formas coservavas aé o esado esacoáro e, como codção cal, ão é esramee ecessáro o uso da solução da euação dferecal ordára. Os auovalores calculados aerormee dcam de ue maera as codções de cooro devem ser esabelecdas. Observado as dferees possbldades, coclu-se ue, se o escoameo for subcríco, > e <. Iso sfca ue apeas uma varável prmva deve ser fada o cooro, euao a oura pode fluuar lvremee em fução do ue ocorre o domío, sedo so feo por meo de erapolação ou com o uso das euações obdas com o méodo das caraceríscas. Se Fr>, > e >, o ue mplca mpor valores para as duas varáves se ese reme ocorrer a erada. Se o escoameo for supercríco a saída, e são calculadas com erapolação ou com as euações desevolvdas com o méodo das caraceríscas. Se a caracerísca apoa para dero do domío a varável deve ser mposa, euao ue, se a caracerísca apoa para fora do domío, a varável deve ser deada lvre para assumr valores ue esejam relacoados à solução do problema os ós prómos ao cooro. Alumas codções de cooro ípcas de problemas de eehara podem ser ecoradas em Chaudhr (8, p ). A preseça de um reservaóro a eremdade de moae do ssema pode ser raada com a euação da eera, resulado a seue relação ere e : h K hres (7) Esa euação é obda cosderado-se uma dsrbução de pressões hdrosáca e a ocorrêca de perda de cara localzada a erada do reservaóro, com coefcee K. Para calcular a velocdade o sae +, ulza-se a caracerísca eava. Se a perda de cara e a eera céca forem desprezadas, ão há ecessdade de resolver a euação do seudo rau. Fura 3 Reservaóro a eremdade de moae Foe: Chaudhr (8) Para um reservaóro suado o cooro de jusae, a euação da eera, cosderado ue há dsspação localzada, resula em:

18 N K N res (7) Para um cooro dese po, a caracerísca posva deve ser empreada para fechar o ssema de euações do cooro. Uma compora pode ser modelada com a seue euação: Q N C d A c (73) N em ue: Q N + =vazão aravés da compora o sae fuuro (+) e o úlmo ó do domío, ou seja, em N, C d =coefcee de vazão, A c =área de aberura da compora e N + a alura desde o fudo aé a superfíce lvre medaamee a moae da compora. Nese caso a euação caracerísca posva deve ser empreada para fechar o ssema de euações o cooro. Ouros eemplos de codções de cooro são apreseados a seur, a Fura 4. Na eremdade a moae, a aberura da compora é feror à alura críca e, porao, o escoameo é supercríco. Nesa posção as caraceríscas são posvas e rasporam formações para dero do domío, o ue ee a mposção de valores para h e. Na eremdade drea, após o ressalo hdráulco, apeas uma caracerísca apoa para dero do domío. Sedo assm, uma varável é fada e a oura deve fcar lvre para fluuar, sedo calculada por erapolação ou com a caracerísca posva. Fura 4 Codções de cooro com escoameo supercríco a moae e subcríco a jusae. APLICAÇÕES Foram desevolvdos códos ue fucoam em Malab ou, com poucas adapações, em ouras luaes de proramação, especalmee o sofware GNU Ocave (uma versão raua muo parecda com o Malab ). Os eemplos apreseados foram calculados edo como poo de parda o cojuo de códos HdráulcaEESC (Smões e al., a,b), ue o esáo aual ulza os méodos de La-Fredrchs, MacCormack, Rchmer-La- Wedroff e o méodo das caraceríscas para problemas hperbólcos. Eemplo : Rupura de reservaóro em domío com froeras mpermeáves Ese em em como objevo apresear o resulado de uma smulação para o caso em ue as froeras do domío são mpermeáves. Esa codção de cooro é mposa com = e h calculado com erapolação. Como coseüêca, espera-se ue o fludo oscle o eror do domío. Alumas maes obdas com o méodo de La-Fredrchs podem ser

19 vsas a seur, a Fura 5. Com o códo S_La_Fredrchs_p_mp é possível acompahar a evolução da posção da superfíce lvre por meo de uma amação das soluções em cada sae. Para esa smulação fo cosderado ue ão há ressêca (f=). Smulações com f produzem resulados coerees com a físca do problema, assm como para o caso de declvdade de fudo dferee de zero. Os valores para as codções cas e demas formações para ese problema ecoram-se lsadas o referdo códo, ue pode ser obdo o edereço hp://soa.usp.br/hdraulca/fles/ Fura 5 Evolução da superfíce lvre. Isaes: ;,63;,35;,56;,5;,68 [s]. Dados: =, m, =7E-4 s, f=, ma(ma(c))=,97. Eemplo : Ressalo hdráulco Cosderações eras sobre o feômeo Para uma oda posva ue se desloca para moae em um caal com seção rasversal reaular, a parr das euações de coservação de massa e uadade de movmeo lear, pode-se demosrar ue a relação ere a velocdade do escoameo com a velocdade de propaação da oda e com as aluras do líudo aes (h ) e depos da oda (h ) é dada pela seue euação (Masse,, p.69-63; Poro, 6, p ): h / h c h (74) em ue os subscros e defcam as varáves aes e depos da oda. Não é dfícl verfcar epermealmee ue, para dadas codções, a oda pode esar parada com relação ao leo do caal, ou seja, c=. Uma oda esacoára dese po é cohecda como ressalo hdráulco, feômeo ue ocorre a passaem de um escoameo com Fr> (supercríco) para um escoameo com Fr< (subcríco). Iso pode ser cosaado com a euação 74, reescra para c=: h h / h h h / h h Fr h h h (75) Já ue h /h é sempre maor ue a udade, Fr >, o ue caracerza escoameo supercríco. Uma aálse semelhae, ulzado a euação 74 e a euação da coudade, perme provar ue Fr <. O escoameo supercríco a moae pode ser esabelecdo sob dferees codções. Um eemplo ípco é a suação a ual o escoameo o íco de um caal horzoal é

20 esabelecdo a parr de um escoameo proveee de um caal de fore declvdade e com curva de remaso do po S (h críco >h>h uforme ). Oura suação é auela a ual o fludo é descarreado em um caal, com elevada velocdade, por bao de uma compora. Nese eo fo smulado o caso em ue o escoameo subcríco em um caal horzoal ecora uma prouberâca o fudo. Iso pode ocasoar a passaem do reme subcríco para o supercríco (em aluma posção sobre a prouberâca o reme é críco). Coudo, o reme supercríco produzdo por um deses meos ão pode perssr defdamee, em um caal cuja declvdade de fudo seja sufcee para suseá-lo. Para uma dada vazão, a ruosdade dos cooros e a declvdade do caal deermam o valor da alura correspodee ao reme uforme o caal. Para um caal de fraca declvdade, essa alura é superor à profuddade críca, codção ue caracerza o escoameo subcríco. Em um caal horzoal o ual as codções de erada são supercrícas, as profuddades são crescees ao loo de (perfl do po H 3 ). À medda ue a profuddade do escoameo supercríco aumea, o ramo feror do darama de eera específca é seudo da drea para esuerda, ou seja, a eera específca dmu. Para prosseur com o aumeo da profuddade aé ser alcaçado o ível críco, sera ecessáro um aumeo de eera específca, para ober um acréscmo adcoal a profuddade, aé o valor correspodee às codções de eulíbro a jusae. Ereao, em as crcusâcas, o aumeo de eera específca é vável. Na codção de escoameo uforme a eera específca permaece uforme e a eera oal dmu a uma aa ue correspode à declvdade do caal. Para ualuer h feror à alura de eulíbro, a velocdade é superor e, como coseüêca, os efeos dsspavos cosomem eera a uma aa maor ue a da dmução de eera poecal. Em ouros ermos, o radee de eera é maor ue a declvdade de fudo e a eera específca deve dmur. O resulado desa arumeação dz ue o ressalo se forma aes de ser alcaçada a alura críca, de modo ue o eulíbro seja ado após o ressalo. Ele represea uma descoudade a ual a relação smples da eera específca é emporaramee válda porue as lhas de corree deam de ser relíeas e paralelas ao loo do ressalo, prcpalmee ao loo do rolo do ressalo. Nesa esruura o escoameo é alamee urbuleo e, como coseüêca, há uma cosderável dsspação de eera. Além dso, em fução da aação a superfíce e do movmeo relavo ere o rolo e o escoameo supercríco medaamee aes do rolo, ocorre cosderável erada de ar o meo líudo, orado o escoameo bfásco ao loo do ressalo. As maes da Fura 6 lusram alus aspecos físcos comeados aerormee.

21 Fura 6 Ressalo hdráulco em caal reaular. A prmera maem mosra o caal ulzado os epermeos ue, auela ocasão, esava com um derau de fudo para esabelecer o escoameo subcríco a moae e supercríco a jusae. A formação do ressalo fo coseuda com a elevação da solera esee a eremdade fal do caal. As rês maes seues lusram a elevada urbulêca e a caracerísca bfásca. A úlma maem coém resulados epermeas para a profuddade subcríca a posção correspodee à alura h= dcada a foo (Laboraóro de Hdráulca da Escola de Eehara de São Carlos, USP). Smulação da posção de um ressalo hdráulco Com a breve eposção apreseada aerormee sobre o feômeo físco em uesão preedeu-se evdecar ue as hpóeses areladas às euações Sa-ea ão são verdaderas para o caso do ressalo. Apesar dso, é eressae oar ue ese modelo maemáco é capaz de prever a ocorrêca dese feômeo e calcular a sua posção em um dado caal. Os resulados assm obdos serão mas prómos dos resulados reas se forem

22 coseudos ajuses adeuados para o faor de ressêca de Darc-Wesbach, além do uso de uma malha e um méodo umérco aproprado. Geomera do caal e codções cas A eomera adoada para a smulação pode ser vsa a seur a Fura 7. O íco do caal possu fudo varado defdo por meo da seue fução: z z se (76) em ue z é a alura máma do fudo em relação ao recho horzoal. A declvdade de fudo é calculada por: dz z I o cos (77) d Fura 7 Geomera do caal As codções cas podem ser calculadas com a euação 7 ou escolhdas pelo usuáro. Para ulzar esa euação, suere-se o uso do méodo de Rue-Kua de 4ª ou 5ª ordem. A Tabela lusra uma possível maera de defr a eomera e as codções cas. Para a smulação dese eemplo, em = a áua esá parada o caal e com profuddade ual a, m. Tabela Defção da eomera e codções cas %Codções Icas e eomera (o códo, h = ): =; for =:N %Geomera: (,)=(-)*d; f (,)<=*p z(,)=.5*dz*(s((,)-p/)+); Io(,)=-.5*dz*cos((,)-p/);%Lembrado ue Io=-dz/d. else z(,)=; Io(,)=; ed (,)=-z(,); (,)= ;%/(,); (,)=(,)*(,); f(,)=(,); f(,)=(,)*abs((,))/(,)+.5**(,)^; J(,)=*(,)*Io(,)- f*((,)/(,))*abs((,)/(,))/8;

23 Fr(,)=(,)/((*(,))^.5); c(,)=(*(,))^.5; C(,)=(abs((,))+c(,))/(d/d); Ed Smboloa: f= faor de ressêca de Darc-Wesbach; Fr=úmero de Froude; c=celerdade; C=úmero de Coura; p=profuddade em reme permaee. Codções de cooro Os auovalores calculados aerormee dcam de ue maera as codções de cooro devem ser esabelecdas. Observado as referdas euações, reescras a seur a forma admesoal, coclu-se ue, se o escoameo for subcríco, > e <. Iso sfca ue apeas uma varável prmva deve ser fada o cooro, euao a oura pode fluuar lvremee em fução do ue ocorre o domío, sedo so feo por meo de erapolação ou com o uso da euação caracerísca correspodee. Se Fr>, em-se > e >, o ue mplca mpor valores para as duas varáves se ese reme ocorrer a erada. Se o escoameo for supercríco a saída, e h são calculadas de acordo com o ue ocorre o eror do domío. Se a caracerísca apoa para dero do domío a varável deve ser mposa, euao ue, se a caracerísca apoa para fora do domío, a varável deve ser deada lvre para assumr valores ue esejam relacoados à solução do problema os ós prómos ao cooro (razão pela ual é empreada erapolação). Esas mesmas déas são empreadas o cálculo de escoameos supersôcos em bocal coveree-dveree, por eemplo. Nese po de problema, o úmero de Mach é aáloo ao úmero de Froude e o problema possu rês auovalores, pos há rês euações (coservação de massa, uadade de movmeo e coservação de eera). Fr c (78) c Fr (79) Resulados: méodo de La-Fredrchs Resulados obdos com o méodo de La-Fredrchs podem ser vsos a seur, a Fura 8. A prmera maem (fura 8a) mosra a forma da superfíce lvre e o úmero de Froude o domío para =3 s e ressêca ula. Assm como o problema de rupura do reservaóro (eemplo dese eo), a descoudade esperada fo suavzada pelo efeo dfusvo eree ao méodo umérco empreado. Aspecos cossees são observados as maes, como uma superfíce uforme ao loo de as reões após a elevação de fudo e o choue, já ue f=. Além dso, as promdades da crsa da salêca, a profuddade

24 resulou próma da críca (ou Fr). A Fura 8b coém os resulados para f=, e lusra o efeo da dsspação de eera a posção do ressalo e a forma da superfíce lvre a jusae dele, ue é uma curva do po H (curva para a ual h>h c em caal horzoal). Para vsualzar a evolução de h o códo ebe uma amação dos resulados após a coclusão de odos os cálculos. 3 [m] Fr Fudo X: 3.5 Y:.994 [m] (a) (b) Fura 8 Ressalo hdráulco (La-Fredrchs): (a) f=, ma(ma(c))=,97; (b) f=,5, ma(ma(c)) =,97. Dados: =h; L= m, =,5 m, =, s, =3 s, =9, m /s, z=,4 m, =9,8 m/s. Resulados: méodo de MacCormack A posção do íco do ressalo hdráulco calculada com o méodo de MacCormack fo semelhae a auela obda com o méodo de La-Fredrchs, como lusrado a Fura 9a,b. Observa-se a Fura 9c o efeo dspersvo do méodo, por meo de um dealhe eraído da Fura 9b. Apesar de as osclações, o méodo reproduzu a descoudade com uma ualdade superor à obda por La-Fredrchs. O uso de vscosdade arfcal com C=,6 ão elmou compleamee a dspersão umérca, mas fo capaz de reduzr cosderavelmee o seu efeo em relação a C= (a) (b)

25 (c) Fura 9 Ressalo (MacCormack): (a) f=, ma(ma(c))=,98; (b) f=,5, ma(ma(c)) =,98. Dados: L= m, =,86 m, =,3 s, =3 s, C=,6, =9, m /s, z=,4 m, =9,8 m/s. Noação semelhae à da Fura 8. Formação de ressalo hdráulco (Méodo de MacCormack) evolução emporal O códo desevolvdo é capaz de smular a formação do ressalo hdráulco de acordo com a descrção físca eposa aerormee. Ou seja, coseue-se acompahar a evolução emporal da formação do ressalo. Para esa smulação, a elevação de fudo, dada pela euação 76, fo poscoada de acordo com a Fura. Nesa fura ambém é dcado o perfl da superfíce lvre e h(=,)=. Noa-se ue aes e depos da elevação o perfl da superfíce lvre é do po H3, ue é caracerzado por profuddades crescees ao loo de em um caal horzoal..5 +z Fudo.5 [m] Fura Geomera e codções cas Dados: z=,4 m, = 9 m /s, f=,, =, (udades: SI) Para uma codção cal como esa, se forem fados os valores de e h os cooros como sedo uas aos valores em =, espera-se ue o códo foreça o mesmo perfl da superfíce lvre (eceo por peueos erros decorrees das dferees ordes dos méodos). Assm, é ecessáro roduzr uma perurbação do ssema para ue ocorra a formação do ressalo. A alerava adoada para ese eemplo fo reduzr a vazão específca para,7. Durae a solução, os sas dos auovalores devem ser verfcados para ue as codções de cooro sejam mposas correamee. No cooro esuerdo, se o úmero de Froude for maor do ue a udade, a profuddade e a velocdade são mposas com valores fos. Caso coráro a profuddade é avalada com erapolação e a vazão permaece fa. No cooro dreo, se Fr>, h= e são calculados com erapolação. Se Fr<, = cosae e é erapolada. A mposção das codções de cooro seudo ese créro esá baseada a aálse das caraceríscas, como dscudo aerormee. Para verfcar a mudaça o sal dos auovalores, fo ulzado o úmero de Froude, baseado o ue ocorre as adjacêcas dos cooros. Como lusrado a Fura, a aleração a vazão faz com ue apareça uma oda (ressalo) a parr da elevação de fudo e ue se desloca para rás e um ressalo a jusae da elevação. Para vsualzar a evolução da superfíce lvre, o códo S_MacCormack_HJ_FM perme observar a amação dos resulados.

26 (=,) Fr Fudo [m] Fura Evolução emporal da formação do ressalo hdráulco. Isaes: ;,77;3,85;6,5;6,9;9,3; [s]. Dados: z=,4 m, = 9 m /s, f=,, =,, =,77, C=,6.

27 EQUAÇÃO DE ÁGUAS RASAS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS A euação para o caso de áuas rasas pode ser reescra em coordeadas clídrcas com o uo de resolver problemas com smera radal, como a smulação de um ressalo hdráulco crcular, o echmeo de um reservaóro e a rupura de um reservaóro clídrco. As euações para áuas rasas escras sem ermos foe, ao serem rasformadas para o ssema clídrco são reduzdas a um ssema udmesoal, porém, com dos ermos foe orudos da mudaça de coordeadas. Sedo r a coordeada radal, o ssema de euações assume a seue forma: hu h hur Coudade r huu hu hu h r r Momeum (8) A forma veoral desa euação é: f r s (8) em ue: h hu (8) hu f hu h (83) hu r s huu r r r (84) O veor fluo pode ser escro em ermos das compoees e da seue maera: f (85) Observa-se ue o veor fluo para o presee caso possu a mesma forma do veor fluo para o caso udmesoal. Porao, os auovalores para o problema udmesoal e para o problema bdmesoal com smera radal são dêcos.

28 Eemplo 3: Echmeo de um reservaóro clídrco O códo ue resolve as euações para o preechmeo de um reservaóro clídrco é semelhae aos demas, eceo pelas codções de cas e de cooro. As codções cas são h(,) = 8 m para <, m, h(,) =,5 m para >, m, h(,, ) = (8+,5)/ e velocdade ula em oda pare. Em r= as codções de cooro são as mesmas dos problemas aerores e em r=l a profuddade é erpolada com a codção de parede sólda, ou seja, velocdade ual a zero. O códo é deomado echmeo_l_f, sedo ue uma coleâea de resulados para dferees saes pode ser vsa a Fura. Fura Evolução da profuddade da áua o reservaóro Dados: = ;,39;,6383; 3,95; 3 [s]; N=47, =,64 s, N = 5, =, m, L = 5 m, = 3 s, ma(c) =,9678, códo echmeo_l_f. EQUAÇÕES DE ÁGUAS RASAS EM DUAS DIMENSÕES Para obeção do modelo bdmesoal cohecdo como euações para o caso de áuas rasas em D ou euações de Sa-ea em D, as euações de N-S e coudade são eradas ao loo da vercal. Adcoalmee, cosdera-se ue a aceleração vercal do fludo é ula, ou seja, Dw/D=, em ue w é a compoee vercal da velocdade. Como resulado de al eração, se forem desprezados os efeos vscosos e para o caso de um caal com fudo plao, o ssema obdo é: h hu hv hu hu h huv hv huv hv Coudade h Momeum em ue: u=velocdade a dreção e v a velocdade a dreção, h é a profuddade do escoameo e =aceleração da ravdade. Esas euações carream a hpóese de dsrbução hdrosáca de pressões, assm como o caso D. Nese caso, o ssema de euações 86 pode ser escro a forma veoral como apreseado a seur: (86)

29 f (87) em ue: h hv huv hv, huv h hu hu f, hv hu h Pode-se verfcar ue: / /, / / f Reescrevedo as euações a forma uase lear (ou ão coservava), é possível calcular os auovalores da marz covecva, obedo-se: a ermos assocados para os, 3 c u u c u (88) a ermos assocados para os, 3 c v v c v (89) Os mesmos resulados são obdos calculado-se os auovalores das marzes Jacobaas de f() e (). Eemplo 4: rupura de barraem O uso do méodo de La-Fredrchs para o caso bdmesoal é feo seudo o mesmo prcípo de ulzar um valor médo, porém, levado em coa os uaro ós adjacees ao ó,j, ou seja, (/4)( +,j + -,j +,j+ +,j- ). A euação 87 a forma dscrea assume a seue forma:,j,j,j,j,j,j,j,j,j f f 4 (9) As codções de cooro ulzadas para ese problema cluem erapolações de prmera ordem para a profuddade h e para as compoees da velocdade ue são aecas às paredes. As velocdades ormas são uas a zero com o uo de reproduzr as própras paredes. A Fura 3 coém resulados obdos com o códo rupura_d_l_f,

30 para dferees saes. É eressae oar ue as odas se propaam de modo smérco, o ue mosra coerêca o fucoameo do códo, razão pela ual foram escolhdas duas barraes com caraceríscas uas e eüdsaes em relação à daoal do domío. Ouras formas de vsualzar os resulados esão dspoíves o códo desevolvdo. Ere elas, a evolução do campo veoral de velocdades e do ráfco de cooros para uma mesma profuddade. Fura 3 Rupura de duas barraes suadas os caos de um domío reaular com paredes mpermeáves. Dados: N=, =, s, N = N =, =, m, L = L = m, = s, códo rupura_d_l_f. Resulados obdos com o méodo de MacCormack O méodo de MacCormack fo ulzado para a elaboração do códo MacCormack_D_SW, cujos resulados podem ser vsos a seur, a Fura 4. As maes mosradas esa Fura correspodem a =, s e =,9 s. Tal escolha perme ue elas

31 sejam comparadas com auelas da Fura 3. Com esas maes é possível observar osclações decorrees do efeo dspersvo do esuema umérco de MacCormack. Fura 4 Resulados obdos com o méodo de MacCormack Dados: N=, =, s, N = N = 8, = =,5 m, L = L = m, = s, Cz=, (faor ulzado para poderar a vscosdade arfcal). Eemplo 5: Odas eradas pela mposção de pulsos Ouro recurso ue pode ser empreado para eração de odas é uma fução deomada pulsra, ue era odas uadradas. O seu uso é lusrado os códos MacCormack_D_SW_pulsos_ e MacCormack_D_SW_pulsos_. A Fura 5 coém resulados obdos com o prmero e lusra cofurações aadas da superfíce da áua em um reservaóro uadrado com ve meros de lado. Fura 5 Odas formadas a superfíce lvre da áua de um reservaóro uadrado Dados: N=, =, s, N = N = 8, = =,5 m, L = L = m, = s, Cz=,, códo MacCormack_D_SW_pulsos_.

32 A Fura 6 lusra os resulados de uma smulação semelhae à aeror, porém, para um reservaóro com L = m e L = 4 m. Nese caso os pulsos são erados em uma posção dferee, como dcado a prmera maem. Fura 6 Odas formadas a superfíce lvre da áua de um reservaóro reaular Dados: N=, =, s, N = N = 8, =,5 m, =,5 m, L = m, L = 4 m, = s, Cz=,, códo MacCormack_D_SW_pulsos_. CONCLUSÕES O presee eo roduz aspecos prácos e ddácos relacoados à solução das euações de Sa-ea em suações u e b-dmesoas, suações essas ue são ecoradas o uverso de rabalho dos ramos da eehara ue se ocupam com fludos. A sére de eemplos escolhdos evolve feômeos ue podem ser deomados de abrupos (ou coedo sulardades), por evolverem descoudades seja o espaço (por eemplo o ressalo hdráulco), seja o empo (por eemplo a rupura de uma barraem). A meodoloa de apreseação seuda ese eo mosra ue feômeos como esses podem ser assmlados e uafcados com razoável facldade pelo esudae ou profssoal ue se depara com eles. As ferrameas de rabalho aualmee dspoíves (códos aberos, compuadores acessíves) permem ue as compledades maemácas possam ser vsas como formações báscas erees aos feômeos, para as uas há procedmeos de aálse já cohecdos. Assm, demosrou-se ue o foco do esudae/eehero deve ser drecoado para o recohecmeo do po de sulardade com o ual se depara, para eão escolher a ferramea (umérca) ue perme superar essa sulardade. O cojuo de códos compuacoas ulzados ese eo é majoraramee abero ao públco ou de uso

33 amplo (laramee aplcado), o ue faz com ue o leor possa faclmee reproduzr os eemplos e domar as éccas au descras. Eede-se ue esse po de abordaem é ecessáro para ue o da-a-da da eehara se ore mas aprazível. Noe-se ue ão se descara ualuer busca de soluções aalícas ou empírcas vculadas à pesusa dos feômeos báscos. A pesusa em fludos ecessa de observação e de ovos poos de vsa, de forma ue prcípos e ferrameas maemácas mas abraees possam ser desevolvdos. Assm, a pesusa com cereza esará modfcado couamee a ossa forma de ver os fludos, e de resolver problemas relavos a eles. Todava, o presee momeo do osso cohecmeo, muo se coseue resolver com relavamee pouco ferrameal, o ue se procurou evdecar esse eo. Dessa forma, o presee eo valorza o recohecmeo do problema maemáco seudo seus desevolvmeos radcoas e busca movar a rodução de padrões de resolução ue se baseem o uso de proramas robusos e smples, sem efazar ao esudae/pesusador o cojuo de dealhes ue os erou (já sufceemee esados ao loo das décadas). Os ramos da Eehara ue raam com fludos ceramee se beefcarão com esse po de aplcação mas epeda. Como mecoado, o presee esudo o uverso de soluções orbou em oro das euações de Sa ea, mosrado ue dferees suações podem ser sufceemee bem uafcadas ulzado os mecoados proramas. REFERÊNCIAS ANDERSON, J.D. (995) Compuaoal flud damcs: he bascs wh applcaos. McGraw-Hll. CHAUDHRY, M.H. (8) Ope-chael flow. Sprer. DAUTRAY, R.; LIONS, Jacues-Lous. () Mahemacal Aalss ad Numercal Mehods for Scece ad Techolo. Sprer, Berl. GHARANGIK, A.M.; CHAUDHRY, M.H. (99) Numercal smulao of hdraulc jump. Joural of Hdraulc Eeer..7(9), pp.95-. LAMB, H. (945) Hdrodamcs. Dover Publcaos. LEEQUE, R. (7) Fe volume mehods for hperbolc problems. Cambrde Uvers press. MACCORMAC, R.W. (969). "The effec of vscos hperveloc mpac craer. Paper , Amerca Isue of Aeroaucs ad Asroaucs, Cca, Oho. MASSEY, B. S. (). Mecâca dos fludos. 6. ed. Lsboa: Fudação Calouse Gulbeka,. PORTO, R.M. (6) Hdráulca básca. EESC-USP/Projeo Reee.

34 SIMÕES, A.L.A.; PORTO, R.M.; SCHULZ, H.E. (a) Problemas hperbólcos em hdráulca: smulação umérca de escoameos ão-permaees em coduos forçados e lvres. XXI Coreso Laoamercao de Hdráulca, Pua del Ese, Uruua. SIMÕES, A.L.A.; SCHULZ, H.E.; PORTO, R.M. (b) Escoameo lamar desevolvdo em seção eérca: smulação umérca e cálculo do faor de ressêca. XXI Coreso Laoamercao de Hdráulca, Pua del Ese, Uruua.