O gráfico abaixo mostra um exemplo das vendas (em unidades vendidas) mensais de um produto. Exemplo de Serie Temporal mes

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1 Modelos de Prevsão Irodução Em omada de decsão é basae comum raar problemas cujas decsões a serem omadas são fuções de faos fuuros Assm, os dados descrevedo a suação de decsão precsam ser represeavos do que ocorre o fuuro Em corole de esoques, por eemplo, as decsões são baseadas de acordo com a demada para o em corolado durae um horzoe de plaejameo específco Em plaejameo facero, faz-se ecessáro prever o padrão do fluo de dhero em relação ao empo Séres Temporas A maora dos méodos de prevsão esaísca é baseada a ulzação dos dados hsórcos a parr de uma sére de empo ou sére emporal Uma sére de empo é uma sére de observações de alguma quadade de eresse (uma varável aleaóra) em relação ao empo Assm, se X é uma varável aleaóra de eresse o empo, e se observações são omadas os empos,,,, eão os valores observados { X, X,, X } são uma sére de empo O gráfco abao mosra um eemplo das vedas (em udades veddas) mesas de um produo 8 Eemplo de Sere Temporal 7 6 vedas mesas (em udades) mes Fgura - Eemplo de Sére Temporal Noas de Aula - Ferado Noguera

2 Porque uma sére emporal é uma descrção do passado, um procedmeo lógco para realzar prevsões é fazer uso desses dados hsórcos Se os dados passados são dcavos do que se esperar o fuuro, pode-se eão posular um modelo maemáco que é represeavo do processo O modelo pode eão ser usado para gerar prevsões Em suações reas, geralmee ão se em cohecmeo da forma eaa do modelo que gera a sére emporal, com sso, faz-se ecessáro escolher um modelo apromado Freqüeemee, a escolha é fea observado os padrões de uma sére emporal Algus padrões ípcos são: a Sére de empo é gerada por um processo com valor cosae superposo a fluuações aleaóras b Sére de empo é gerada por um processo lear superposo a fluuações aleaóras c Sére de empo é gerada por um processo com valor cosae superposo a varações sazoas e fluuações aleaóras A fgura abao, mosra eemplos gráfcos dos padrões ípcos a, b e c 3 a 3 b 3 c empo empo empo Fgura - Padrões Típcos de Séres Temporas 3 Méodos de Prevsão para Modelos com Valor Cosae A represeação maemáca para uma sére emporal com valor cosae superposa a fluuações aleaóras pode ser dada por: X k + e,,, () ode: X é uma varável aleaóra observada o empo ; k é o valor cosae do modelo; Noas de Aula - Ferado Noguera

3 e é o erro aleaóro ocorrdo o empo (geralmee assumdo er valor esperado gual a zero e varâca cosae) Seja F + a prevsão do valor da sére emporal o empo +, dado os valores observados { X, X,, X } 3 Méodo de Prevsão de Méda Móvel Ese méodo usa os úlmos valores da sére emporal, como a prevsão para o empo + Porao: F + + () Ese méodo é cohecdo como Esmador de Méda Móvel Eemplo: represea o volume de vedas mesas O valor F + represea o volume prevso de veda para o mês segue baseado o volume de vedas dos úlmos meses A segue abela mosra o volume de vedas de uma loja os úlmos meses e seus respecvos valores prevsos para algus valores de Tabela - Volume de vedas e seus respecvos valores prevsos F + para algus valores de mês F +, F +, F +, 3 F +, Noas de Aula - Ferado Noguera 3

4 e 6 A fgura abao mosra os gráfcos para os valores dados a abela para,, 3 3 Meda Movel para 3 Meda Movel para 5 5 vedas mesas (em udades) 5 vedas mesas (em udades) 5 5 observado esmado mes 5 observado esmado mes 3 Meda Movel para 3 3 Meda Movel para vedas mesas (em udades) 5 vedas mesas (em udades) 5 5 observado esmado mes 5 observado esmado mes Fgura 3 - Gráfcos para os valores da abela Observação: cabe ressalar que, de posse dos valores da sére para os meses aé, o valor prevso de eresse é apeas o referee ao mês 3 No eao, valores referees aos meses aerores foram calculados apeas para comparação com os valores reas A fgura 4 mosra os pesos (ese caso ou ) que cada valor da sére emporal é poderado para esmar o valor da sére emporal o sae + para os mesmos valores de ulzados a fgura 3 Noas de Aula - Ferado Noguera 4

5 Pesos para Pesos para peso 5 peso mes mes Pesos para 3 Pesos para peso 5 peso mes mes Fgura 4 - Pesos para dferees valores de A prcpal desvaagem dese méodo é que o peso dado sobre -+ é o mesmo que para, ou seja, as observações mas agas recebem o mesmo peso que as observações mas recees Uma alerava para coorar ese problema é ulzar o méodo abao 3 Méodo de Prevsão com Suavzação Epoecal Ese méodo ulza a segue epressão: F ( α) F + α + () ou, equvaleemee: ( F ) F + F + α (3) ode: α (<α<) é uma cosae de suavzação Noas de Aula - Ferado Noguera 5

6 Assm, a prevsão é smplesmee uma soma poderada da úlma observação e da prevsão F Devdo a esá relação recursva ere F + e F, F + pode ser escro como: ( α) + α( α) F + α + α + (4) A epressão (4) dea claro que ese méodo forece maor peso para o valor, decrescedo o peso para as observações aerores Eemplo : o mesmo eemplo para a seção 3 A abela mosra os valores prevsos para algus valores de α Obs: F (codção de calzação) Tabela - Volume de vedas e seus respecvos valores prevsos F + para algus valores de α mês F +, α F +, α 3 F +, α 5 F +, α A fgura abao mosra os gráfcos para os valores dados a abela para α, 3, 5 e 9 Noas de Aula - Ferado Noguera 6

7 3 Suavzaçao Epoecal para alfa 3 Suavzaçao Epoecal para alfa vedas mesas (em udades) 5 vedas mesas (em udades) observado esmado mes observado esmado mes 3 Suavzaçao Epoecal para alfa 5 3 Suavzaçao Epoecal para alfa vedas mesas (em udades) 5 vedas mesas (em udades) observado esmado mes observado esmado mes Fgura 5 - Gráfcos para os valores da abela A fgura 6 mosra os pesos que cada valor da sére emporal é poderado para esmar o valor da sére emporal o sae + para os mesmos valores de α ulzados a fgura 5 Noas de Aula - Ferado Noguera 7

8 Pesos para alfa 5 Pesos para alfa 3 peso 5 peso mes mes 5 Pesos para alfa 5 9 Pesos para alfa peso 3 5 peso mes mes Fgura 6 - Pesos para dferees valores de alfa Uma medda de efcêca dese méodo pode ser obda sob a cosderação que o processo é compleamee esável, assm que X, X,, são varáves aleaóras depedees e decamee dsrbuído (d ) com varâca σ Porao segue que (para grade ): var [ F ] + ασ α σ ( α) α (5) assm que a varâca é esascamee equvalee para a méda móvel com (-α)/α 9 Assm, em ermos de varâca, o Méodo de Suavzação Epoecal com ese valor de α é equvalee para o Méodo da Méda-Móvel que ulza 9 observações Ereao, se uma mudaça o processo ocorre, Suavzação Epoecal rá reagr mas rapdamee com melhor ajuse de que o Méodo da Méda Móvel Duas varáves aleaóras são depedees se P ( A B) P( A B )P ( B) P( A )P ( B) Duas varáves aleaóras são decamee dsrbuídas se possuem a mesma dsrbução de probabldade Noas de Aula - Ferado Noguera 8

9 Uma desvaagem dese Méodo esá a dfculdade em escolher um valor aproprado para α O Méodo de Suavzação Epoecal pode ser vso como um processo de flragem com um flro esaísco cujas eradas são os dados "puros" a parr de um processo esocásco e a saída são esmavas suavzadas de uma méda que vara com o empo Uma maera de car o processo recursvo é ulzar F (como ulzado para gerar os valores da abela ) 4 Méodos de Prevsão para Modelos com Valor Cosae e Tedêca A represeação maemáca para o processo (que gera a sére emporal) com valor cosae, edêca e fluuações aleaóras pode ser dada por: X a + k + e,,, (6) ode: X é uma varável aleaóra observada o empo ; a é a edêca do modelo; k é o valor cosae do modelo; e é o erro aleaóro ocorrdo o empo (geralmee assumdo er valor esperado gual a zero e varâca cosae) 4 Méodo de Prevsão com Suavzação Epoecal de Hol Ese méodo ulza a segue epressão: L ( α)( L T ) α + (7) + T ( L L ) + ( β) T β (8) F + L + T (9) ode: L é a compoee de ível; T é a compoee de edêca; Noas de Aula - Ferado Noguera 9

10 h é o horzoe de prevsão;,,,h; F + é a prevsão; α (<α<) é a cosae de suavzação da compoee de ível (L ); β (<β<) é a cosae de suavzação da compoee de edêca (T ); Em (7), pode-se perceber que o valor de ível L é uma soma (méda) poderada do própro valor da sére e L - e T - (ível e edêca prevsos o empo -, respecvamee) Para uma sére sea de erro aleaóro, a quadade (L - + T - ) é eaamee o valor de L, uma vez que a varação de empo ere e - é obvamee Assm, a epressão (7) pode ser eedda como: L ' ( α)( L ) α + () ode: L ' ( L, T ) f () Em (8), a parcela L L é a dervada dscrea que represea, porao, a edêca Para o resae, o racocío é aálogo ao realzado para a epressão (7) Cosderado que a prmera amosra da sére emporal é para, os valores L e T são fuções de L e T Como ão ese amosra da sére para, faz-se ecessáro calzar L e T Esem váras maeras de calzar esas varáves, dere as quas pode-se car: L () T () ou T () ou Noas de Aula - Ferado Noguera

11 T ( ) + ( ) + ( ) (3) Obs: uma vez que a compoee de edêca em uma sére é represeada apeas por um coefcee (coefcee agular da rea) as formas apreseadas em (), () e (3) para calzar T são possíves represeações para a dervada dscrea da sére calculada em Eemplo: A abela 3 mosra os valores prevsos para α 4 e β 4 Obs: L e T - (codção de calzação) Uma vez que o horzoe de prevsão ese eemplo é 3, os parâmeros α e β ómos deve ser aqueles mmzem algum créro de omzação cosderado o horzoe de prevsão Assm, o erro assocado ao empo deve ser calculado ere + e F +, para,,,h Eemplfcado, o erro assocado ao mês 6, deve ser calculado ere 7 e F 7, 8 e F 8 e 9 e F 9 e ão somee ere 7 e F 7 (ou mesmo ere 6 e F 6 ), porém com F 7, F 8 e F 9 calculados aravés da epressão (9) em 6 (F 7, F 8 e F 9 é fução apeas de L 6 e T 6 ) Os valores apreseados a abela 3 a colua F são os valores obdos aravés da epressão (9), porém para Os erros foram calculados ulzado-se as dfereças quadrácas, o eao, qualquer ouro créro podera er sdo usado (por eemplo, as dfereças absoluas) A abela 3 mosra a colua Cálculo de F + em 6 os valores de L 6 e T 6 ulzados para os cálculos de F 7, F 8 e F 9 A colua Somaóra das dfereças quadrácas mosra as dfereças quadrácas ere 7 e F 7, 8 e F 8 e 9 e F 9 e a colua erro o erro assocado ao mês 6 Noas de Aula - Ferado Noguera

12 Tabela 3 - Volume de vedas e seus respecvos valores prevsos F para valores de α 4 e β 4 mês L T F α 4 β Cálculo de F + em L 6 93 T 6 7 F 7 4 F 8 67 F Somaóra das dfereças quadrácas (5-4) (8-67) 37 (8-83) erro 474 A fgura abao mosra os gráfcos para os valores dados a abela 3 para α 4 e β 4 Noas de Aula - Ferado Noguera

13 45 Hol: alfa 4 bea 4 4 vedas mesas (em udades) observado esmado 5 5 mes Fgura 7 - Gráfcos para os valores da abela 3 5 Méodos de Prevsão para Séres Temporas Sujeas a Feômeos Sazoas É basae comum esr padrões sazoas com valores maores em dados saes de empo de que em ouros em uma sére emporal Por eemplo, ese feômeo ocorre para o volume de vedas de ozes, amêdoas, ere ouros produos ípcos de fesas aalas a época do aal, assm como roupas de lã para o período de vero, brozeadores e boés o período do verão, ec Ese feômeo vola a cosderação que o processo que gera a sére é por uma compoee de valor cosae ou edêca e oura compoee de fluuação aleaóra, cujos méodos descros as seções 3, 3 e 4 podem ser ulzados para prevsão Uma maera de realzar prevsões com padrões sazoas é corrgr a sére emporal do efeo da sazoaldade e eão ulzar os méodos descros as seções 3 ou 3 (para modelos de séres de valor cosae e sazoaldade) ou ada 4 (para modelos de séres com edêca e sazoaldade) Noas de Aula - Ferado Noguera 3

14 5 Méodo de Prevsão com Correção à Pror Cosderado que o modelo do processo que gera a sére emporal é dado por: X k + S + e,,, (4) ode: X é uma varável aleaóra observada o empo ; k é o valor cosae do modelo; S é a compoee sazoal o empo ; e é o erro aleaóro ocorrdo o empo (geralmee assumdo er valor esperado gual a zero e varâca cosae) O procedmeo pode ser resumdo como: Corrgr a sére emporal do efeo da sazoaldade aravés da dvsão (ou subração) dos valores da sére emporal pelos seus respecvos faores sazoas Realzar a prevsão aravés dos méodos descros as seções 3 ou 3 3 Mulplcar (ou adcoar) a prevsão pelos faores sazoas corporado a sazoaldade Quado o efeo da sazoaldade é rerado e corporado à sére por meo de dvsão e mulplcação, respecvamee, dos valores da sére emporal pelos faores sazoas o méodo é deomado mulplcavo Quado o efeo da sazoaldade é rerado e corporado à sére por meo de subração e adção, respecvamee, dos valores da sére emporal pelos faores sazoas o méodo é deomado advo Cosderado o méodo mulplcavo, o faor sazoal mede a relação da méda dos valores da sére emporal de um mesmo período com a méda de odos os valores da sére emporal De maera formal fca: FS µ µ (5) ode: µ é a méda dos valores da sére emporal para os períodos µ é a méda dos valores da sére emporal Noas de Aula - Ferado Noguera 4

15 Eemplo: o volume de vedas de um dado produo em um ao é dado pela segue sére emporal descra a abela 4 Tabela 4 - Volume de vedas para o eemplo da seção 3 mês mês quadrmesral quadrmesre Aalsado cudadosamee esa sére emporal, percebe-se que ese um período de 4 meses (quadrmesre) em que os valores reoram apromadamee aos valores do período passado, ou seja, ese cera perodcdade os dados, que o jargão ulzado em séres emporas é deomado sazoaldade Assm, o valor da sére emporal para o mês é apromadamee o mesmo para o mês 5 e o mês 9 O valor da sére emporal para o mês é apromadamee o mesmo para o mês 6 e o mês e assm por dae A abela abao mosra os valores médos µ para os meses quadrmesras (,, 3 e 4) e os faores sazoas FS sedo µ Noas de Aula - Ferado Noguera 5

16 Tabela 5 - Valores de µ e FS mês quadrmesral µ FS A abela 6 mosra os valores da sére emporal c corrgdos dos efeos sazoas aravés de: c FS (6) É mporae ressalar que os valores de FS são peródcos (ver abela 6) mês Tabela 6 - Valores de c mês FS c quadrmesral Noas de Aula - Ferado Noguera 6

17 A fgura 8 mosra o gráfco da sére emporal orgal (dados "bruos") e da sére emporal corrgda dos efeos sazoas 3 Vedas Orgas e Corrgda da Sazoaldade vedas quadrmesras (em udades) orgal corrgdo sazoal mes Fgura 8 - Sére Temporal Orgal e Corrgda dos Efeos Sazoas De posse dos valores da sére emporal corrgda dos efeos sazoas, pode-se ulzar um dos méodos de prevsão descros as seções 3 e 3 Ulzado o Méodo de Suavzação Epoecal para um valor de α 3 fca: Tabela 7 - Valores de F + a parr de c para o Méodo de Suavzação Epoecal com α 3 mês c F, α Noas de Aula - Ferado Noguera 7

18 A fgura 9 mosra os gráfcos para os valores dados a abela 7 Veda Prevsa Corrgda da Sazoaldade - Suavzaçao Epoecal para alfa 3 3 vedas quadrmesras (em udades) corrgdo da sazoaldade esmado corrgdo da sazoaldade mes Fgura 9 - Sére Temporal Corrgda dos Efeos Sazoas e Prevsa (esmada) Mulplcado os valores da sére emporal prevsa F pelos seus respecvos faores sazoas FS, êm-se os valores da sére emporal prevsa F S acrescda dos efeos sazoas De modo formal fca: F S F + + * FS (7) A abela 7 mosra eses valores Noas de Aula - Ferado Noguera 8

19 Tabela 8 - Valores de F S mês FS F, α 3 F S A fgura mosra os valores da abela 8 Veda Prevsa com Sazoaldade -Suavzaçao Epoecal para alfa vedas mesas (em udades) 5 5 orgal esmado com sazoaldade mes Fgura - Sére Temporal Orgal e Prevsa (esmada) Acrescda dos Efeos Sazoas Noas de Aula - Ferado Noguera 9

20 A fgura mosra as séres emporas das fguras 8, 9 e superposos 3 Veda Sazoal - Suavzaçao Epoecal para alfa 3 5 vedas mesas (em udades) 5 5 orgal corrgdo da sazoaldade esmado corrgdo da sazoaldade esmado com sazoaldade mes Fgura - Sére emporal orgal, corrgda dos efeos da sazoaldade, prevsa (esmada) corrgda dos efeos da sazoaldade e prevsa (esmada) acrescda dos efeos da sazoaldade É mporae desacar que ese méodo é basae smples uma vez que cosdera cosaes os faores sazoas (o eemplo o faor sazoal para o mês é repedo para o mês 5 e mês 9; o faor sazoal para o mês é repedo para o mês 6 e mês ; e assm por dae) Ese méodo fo descro prcpalmee para fs ddácos a fm de faclar a compreesão do méodo de Hol-Wers descro a seção 5 Ada, ese prcípo podera ser ulzado de maera aáloga para processos com edêca, de al modo que a sére calmee é corrgda da compoee de edêca, realza-se a prevsão aravés dos méodos descros as seções 3 ou 3 e eão corporase a edêca os valores prevsos 5 Méodo de Prevsão com Suavzação Epoecal de Hol-Wers Cosderado que o modelo do processo que gera a sére emporal seja dado por: Noas de Aula - Ferado Noguera

21 X k + a + S + e,,, (8) ode: X é uma varável aleaóra observada o empo ; a é a edêca do modelo; k é o valor cosae do modelo; S é a compoee sazoal o empo ; e é o erro aleaóro ocorrdo o empo (geralmee assumdo er valor esperado gual a zero e varâca cosae) Ese méodo ulza a segue epressão: L α S m + ( α)( L + T ) (9) T ( L L ) + ( β) T β () S γ L + ( γ) S m () ( L T ) S m+ mod(,m ) F () ode: L é a compoee de ível; T é a compoee de edêca; S é a compoee de sazoaldade; m é o período sazoal; h é o horzoe de prevsão;,,,h; mod(,m) é o reso da dvsão de por m; F + é a prevsão; α (<α<) é a cosae de suavzação da compoee de ível (L ); β (<β<) é a cosae de suavzação da compoee de edêca (T ); γ (<γ<) é a cosae de suavzação da compoee de sazoaldade (S ); Noas de Aula - Ferado Noguera

22 Em (9), pode-se perceber que os valores da sére ( ) são dvddos pelos faores sazoas, da mesma forma que em (6) a fm de corrgr os valores da sére dos efeos da sazoaldade, as demas parcelas da epressão são aálogas as da epressão (7) o méodo de Hol A epressão () é gual à epressão (8) o méodo de Hol A dvsão dos valores da sére ( ) pelos valores de ível (L ) a epressão () pode ser eedda como a medda de faor sazoal saâea Em () a sazoaldade é corporada à sére aravés da mulplcação da soma dos valores prevsos para as compoees de Nível (L ) e Tedêca (T ) pela compoee sazoal S -m+ Esem váras maeras de calzar esas varáves, dere as quas pode-se car: L m + m ( + + ) m (3) T m m m+ m + m+ m + + m+ m m m (4),S,,S S m L L L m m (5) Eemplo: A abela 9 mosra os valores da sére emporal, e as compoees calculadas L, T, S e os valores prevsos F para α, β e γ Tas parâmeros foram deermados por eumeração eausva (força-brua) para odas as combações de valores de α, β e γ dscrezados em ervalos de O horzoe de prevsão é h 7 e o período sazoal é m 4 Uma observação mporae é a respeo do parâmero γ ser zero Esse fao ão sgfca que ão ese sazoaldade a sére, mas sm, que os faores sazoas foram calzados com valores que ão foram ecessáros serem corrgdos ao logo da prevsão Como pode ser observado a colua γ da abela 9, os faores sazoas esão quase guas (de 4 em 4 períodos) porque γ (prómo de zero) Caso ese fosse zero, os faores sazoas seram guas de 4 em 4 períodos As codções de calzação ulzadas foram as descras as epressões (3), (4) e (5) Noas de Aula - Ferado Noguera

23 O méodo para deermação dos parâmeros α, β e γ ómos é aálogo ao descro o eemplo para o méodo de Hol (em 4) Tabela 9 - Volume de vedas e seus respecvos valores prevsos F para valores de α, β e γ mês L T S F α β γ Noas de Aula - Ferado Noguera 3

24 A fgura abao mosra os gráfcos para os valores dados a abela 9 para α, β e γ Hol-Wers: alfa bea gama 9 8 vedas mesas (em udades) observado esmado mes Fgura - Gráfcos para os valores da abela 9 53 Um Méodo de Deermação do Período de Sazoaldade Uma maera de deermar o período do feômeo sazoal em uma sére emporal é aravés da própra speção vsual do gráfco desa (como por eemplo, o gráfco da fgura 8 ou ) Uma oura maera de deermar o período do feômeo sazoal é aravés da aálse da orma do resíduo orudo da regressão lear para os valores de um gráfco do po Scaer (espalhar, dspesar) para város valores de Leg (pera) Os coceos sobre regressão lear e ajusameo de fuções são abordados o em 6 O gráfco do po Scaer é um gráfco de poos que pode er qualquer dmesão No caso bdmesoal (D), o eo das abscssas represea os valores da sére emporal X e o eo das ordeadas represea os valores da sére emporal X +Leg Assm, para um valor de Leg, por eemplo, um poo dese gráfco erá coordeadas (X,X + ) O valor do Leg é o própro período do feômeo sazoal, porao, para uma sére emporal com período do feômeo sazoal gual a Leg, os poos com coordeadas Noas de Aula - Ferado Noguera 4

25 (X,X +Leg ) serão coleares se os valores da sére emporal forem perfeamee peródcos Nese caso, a orma da regressão lear será zero, dcado que o período do feômeo sazoal é Leg Em suações reas, dfclmee êm-se séres emporas perfeamee peródcas, o que resula em um valor dferee de zero para a orma do resíduo da regressão lear Com sso, pode-se eão escolher como o período do feômeo sazoal aquele que apresear o valor mímo para a orma do resíduo da regressão lear obdo para város valores de Leg Os gráfcos abao mosram os gráfcos Scaer para város valores de Leg para a sére emporal da fgura 8 6 Scaer Plo para Leg Norma Resduo Scaer Plo para Leg Norma Resduo X+Leg 8 6 X+Leg X X 6 Scaer Plo para Leg 3 Norma Resduo Scaer Plo para Leg 4 Norma Resduo X+Leg 8 6 X+Leg X X Noas de Aula - Ferado Noguera 5

26 6 Scaer Plo para Leg 5 Norma Resduo Scaer Plo para Leg 6 Norma Resduo X+Leg 8 6 X+Leg X X Fgura - Gráfcos Scaer para város valores de Leg Como era de se esperar, o meor valor da orma do resíduo ocorreu para o gráfco Scaer gerado com Leg 4, uma vez que a sére emporal ulzada fo a mesma da fgura 8 O gráfco da fgura 3 mosra os valores das ormas dos resíduos para cada valor de Leg 8 Norma do Resduo em fuçao do Leg Norma do Resduo da Regressao Lear Leg - Perodo do Feomeo Sazoal Fgura 3 - Normas dos resíduos da Regressão Lear em fução do Leg 6 Regressões por Mímos Quadrados O coceo de regressão pode ser eeddo como uma maera de "ajusar" um dado modelo maemáco a um cojuo de dados (geralmee observados ou mesurados) Noas de Aula - Ferado Noguera 6

27 Os modelos maemácos podem ser quasquer e ão apeas leares como é basae comum ecorar a leraura especalzada sobre o ema Algus eemplos que podem ser cados sobre regressões são: ) Um dvíduo mede a esão V em um compoee elerôco cuja ressêca R é cosae equao vara a corree I Uma vez que V RI, é de se esperar que as observações V se relacoem de maera dreamee proporcoal (lear) a corree I com R cosae No eao, esá codção de leardade ão é verfcada a práca devdo a város faores que podem, por eemplo, alerar a ressêca R durae o epermeo (al como varação de emperaura) volado a leardade do epermeo Porém, mesmo se a ressêca R ão varar, ada assm a leardade ão é perfea segudo os dados observados Ese fao se deve a evável mprecsão as observações (mesurações) coduzdas pelo homem (mesmo que ese ulze equpameos que aulem as mesurações) Porao, um modelo maemáco mas realsa para ese epermeo sera: V RI + e (6) ode: e é o erro ere V (observado) e RI O gráfco da fgura 3 mosra os valores observados de V em fução de I, e as reas deal e ajusada (óma o sedo de mímos quadrados) Noas de Aula - Ferado Noguera 7

28 Regressao Lear 8 esao (Vols) 6 4 deal observaçoes ajusado corree (Amperes) Fgura 3 - Regressão Lear A rea verde (ajusada) é a rea cuja soma dos quadrados das dfereças ere os valores de esão observados V e os valores de esão ajusados Va para os mesmos valores de corree I é míma Ese créro de calcular os parâmeros do modelo (o caso, o coefcee agular e lear da rea) é deomado de Créro de Mímos Quadrados ) Um dvíduo dspara um projél aravés de um cahão e observa algumas posções do mesmo É bem cohecdo que a rajeóra descra pelo projél é uma parábola o plao y (cosderado o comprmeo e y a alura) Com sso, o modelo a ser ulzado deve ser: y a + b + c + e (7) ode: a, b e c são os parâmeros da parábola e aálogo à defção para epressão (6) O gráfco da fgura 4 mosra os valores observados de y em fução de, e as parábolas óma e ajusada Noas de Aula - Ferado Noguera 8

29 Regressao - Polomo grau 8 alura (meros) 6 4 deal observaçoes ajusado comprmeo (meros) Fgura 4 - Regressão Polômo de o grau 4 O Méodo dos Mímos Quadrados (MMQ) O Méodo dos Mímos Quadrados fo orgalmee desevolvdo de maera depedee por Gauss e Legedre Noas de Aula - Ferado Noguera 9

30 Noas de Aula - Ferado Noguera 3 Joha Carl Fredrch Gauss (*777 em Bruswck (agora Alemaha); 855 em Göge (agora Alemaha) Adre-Mare Legedre (*75 em Pars, Fraça; 833 em Pars, Fraça) Cosdere que as meddas dreas de uma gradeza X, sejam: l, l,, l os valores obdos em uma sére de observações Uma vez que é mpossível ober o verdadero valor de X, adoa-se, com base em cero créro, o valor e calculam-se as dfereças:,,, v l v l v l v l (8) A as dfereças v dá-se o ome de resíduos, so é, os valores, a pror descohecdos, que somados as observações reproduzem o valor escolhdo Mudado o créro, pode-se eleger um valor dferee de deomado ' Com sso, um ovo cojuo de resíduos sera obdo:,,, v l v l v l v l (9)

31 Dá mesma maera, podem-se adoar ouros créros e deomar '', ''', Assm, qual dos valores, ', '',, adoar como sedo o valor úco, dado às observações l, dscrepaes ere sí, para represear a cóga X? O créro mas ulzado para ese po de problema é: "acear como melhor esmava de X o valor que ora míma a soma dos quadrados dos resíduos": v m (3) Ese créro fo elaborado, de maera depedee, por Gauss e Legedre, e a ese se deoma Créro dos Mímos Quadrados (como já cado o eemplo ) Quado as observações ão oferecem o mesmo grau de cofaça, esas são homogeezadas aravés de pesos p : p v m (3) Adoado-se oação marcal, o cojuo de resíduos { v } pode ser represeado por um veor V [ v, v,, ] e, porao, a epressão (3), fca: v V V m (3) e a epressão (3), fca: V PV m (33) ode: P é uma marz quadrada, deomada marz dos pesos, caracerzado a epressão 33, como uma forma quadráca Dado seqüêca, desgado por o valor adoado como esmava da gradeza sobre a qual foram eecuadas observações repedas em codções suposamee smlares, os resíduos são: l v,,, (34) Admdo que as observações sejam ão-correlacoadas, a marz P será dagoal e admdo ada que as observações ofereçam o mesmo grau de cofaça, a marz P Noas de Aula - Ferado Noguera 3

32 degeera-se para a marz dedade I Aplcado o Méodo dos Mímos Quadrados (MMQ): ( l ) f V PV V V m (35) Igualado a dervada de f em relação a a zero, fca: ( l ) df d (36) A epressão (36) pode ser escra como: ( l ) + ( l ) + + ( l ) l (37) A epressão (37) defca como a méda arméca das observações Sem demosrações, o MMQ forece uma solução de varâca míma, assm, a marz varâca-covarâca a ser forecda pelo ajusameo, e cujos elemeos dagoas são represeavos da precsão do veor dos valores ajusados, erá raço (somaóra dos elemeos da dagoal de uma marz) mímo O MMQ pode ser dvddo em rês "sub-méodos" deomados: Méodo Paramérco, Méodo dos Correlaos e Méodo Combado No Méodo Paramérco (ou Méodo das Observações Idreas), os valores observados ajusados são epressos eplcamee como uma fução dos parâmeros ajusados No méodo dos Correlaos (ou Méodo das Equações de Codção) os valores observados ajusados lgam-se aravés de equações de codção O Méodo Combado reúe ao parâmeros ajusados como valores observados ajusados lgados por uma fução ão eplíca O Méodo dos Correlaos ão será raado esas oas de aula 4 Méodo Paramérco No caso de observações dreas, as cógas são os valores observados ajusados No caso de observações dreas, objeva-se esmar gradezas que se vculam às observadas Para dsgu-las das prmeras é usual desgá-las de parâmeros, o que eplca a deomação do méodo Noas de Aula - Ferado Noguera 3

33 Em algumas aplcações o modelo maemáco adoado é ão-lear Com sso, o procedmeo ulzado mas comum é learzar o modelo medae um desevolvmeo em sére (geralmee a sére de Taylor * é a ulzada) Equações de Observação Seja o úmero de equações de observação e u o úmero de parâmeros: L b : veor ( ) dos valores observados; V: veor ( ) dos resíduos; L a : veor ( ) dos valores ajusados: L L V (38) a b + X : veor (u ) cujos compoees são valores apromados dos parâmeros; X: veor correção (u ) X a : veor dos parâmeros ajusados (u ): X a + X X (39) Nese méodo eão, o modelo maemáco fca: L F( ) (4) a X a Subsudo as epressões (38) e (39) em (4), learzado o segudo membro da epressão (4) com a fórmula de Taylor e desprezado os ermos de mas alas ordes, fca: L b + V F F X ( X + X) F( X ) + X a X a X (4) Desgado a fução dos parâmeros apromados por L : L F( ) (4) X * Sére de Taylor f ( ) f() f ( ) ( ) ( )! de f() com cero em Obs: f () é a -ésma dervada de Noas de Aula - Ferado Noguera 33

34 e a marz das dervadas parcas por A: F A X a X a X (43) a epressão (4) se escreve sucessvamee: L b + V L + AX V AX + L L (44) b e falmee fazedo: L L L b (45) obém-se o modelo maemáco learzado do Méodo dos Parâmeros: V A X + L (46) u u Equações Normas Mmzado a forma quadráca fudameal, obém-se: φ V PV ( AX + L) P( AX + L) m (47) ( X A + L ) P( AX + L) X A PAX + X A PL + L PAX + L PL m φ (48) o o e o 3 o membros da epressão (48) são guas, eão: φ X A PAX + X A PL + L PL m (49) gualado a zero a dervada prmera de (49) em relação a X: φ A PAX + A PL X (5) A PAX + A PL (5) Noas de Aula - Ferado Noguera 34

35 X ( A PA) A PL (5) fazedo: N A PA (53) U A PL (54) subsudo as epressões (53) e (54) em (5): X ( N) U (55) o veor dos parâmeros ajusados fca: X a + X X (56) Uma vez que fo realzada a learzação do modelo devem-se reper os cálculos aé que as compoees do veor X sejam desprezíves sob alguma cosderação Quado o modelo ulzado é lear o processo eravo ão é ecessáro (por movos óbvos) podedo com sso, ser ulzado quasquer valores para as compoees do veor X O dagrama abao mosra o processo eravo: eração L F(X ) A F'(X ) X -N - U X a X + X aualzação X X a eração L F(X ) A F'(X ) X -N - U X a X + X aualzação X X a eração L F(X ) A F'(X ) X -N - U X a X + X X < FIM Fgura 5 - Processo Ieravo para o MMQ sob o Méodo Paramérco para modelos ão-leares Noas de Aula - Ferado Noguera 35

36 Assm, a cada eração faz-se ecessáro calcular A, L, L, N, U e X As observações L b e os pesos P permaecem cosaes durae o processo eravo É mporae ressalar que ese processo de mmzação é o Méodo do Gradee (como já vso em Programação Não-Ler) e, porao, é eremamee depedee das codções cas, que ese caso, é o veor X (veor dos parâmeros apromados) Com sso, uma boa esmava a pror dos parâmeros apromados pode ser fudameal para a covergêca da solução para a solução óma (mímo global ao vés de mímos locas) Marz Varâca-Covarâca Aes do ajusameo, ecessa-se esmar a precsão das meddas efeuadas para compor a marz varâca-covarâca dos valores observados ( L b ) e a parr desa e da varâca da udade de peso a pror σ, ober a marz dos pesos: P σ L (57) b Após o ajusameo, pode-se esmar a varâca da udade de peso (varâca a poseror) e a marz varâca-covarâca das varáves aleaóras evolvdas o processo: X, X a, V, L a A marz varâca-covarâca das correções X pode ser deduzda a parr de: X ( N) U N A PL N A P( L L b ) N A PL + N A PL (58) b Aplcado a le de propagação das covarâcas: X G L b G (59) ode: G N A P (6) e por serem P e N - marzes smércas: G ( ) PAN P A N (6) subsudo (6) em (59), fca: Noas de Aula - Ferado Noguera 36

37 X N A P L PAN (6) b cosderado ada que: L σ P (63) b e: X σ N A PP PAN σ N A PAN σ N NN (64) Uma vez que ˆσ é uma esmava de σ, resula: X σ ˆ (65) N ode: ˆσ de acordo com a epressão (7) X a + A marz varâca-covarâca dos parâmeros X pode ser deduzda a parr de: X X (66) a sedo o veor X cosae: X a X (67) A marz varâca-covarâca dos valores observados ajusados L deduzda a parr de: a b b b b a a pode ser L L + V L + AX + L L + AX + L L L AX + L (68) Aplcado a le de propagação de covarâcas: L A XA (69) a A marz varâca-covarâca dos resíduos V pode ser deduzda a parr de: V L a L b (7) V L a L (7) b Noas de Aula - Ferado Noguera 37

38 Varâca da Udade de Peso A Varâca da Udade de Peso a pror, depedee do seu valor, ão flueca o veor das cógas X, porao, seu valor pode ser escolhdo arbraramee, desde que dferee de zero A Varâca da Udade de Peso a poseror, aqu represeada por ˆσ é esmada por: σ ˆ V PV V PV S u (7) Comparação ere σ e ˆσ Uma vez que o valor de σ ão flueca X, pode-se adoar, sem perda de geeraldade, σ, por eemplo A dscrepâca ere o valor de σ e ˆσ (obdo após o ajusameo) pode ser ulzada como um dcador da qualdade do ajusameo Se houver dscrepâca ere σ e ˆσ, aplca-se um ese de hpóese baseado a dsrbução de Qu-Quadrado χ a fm de cosaar se a dscrepâca é sgfcava a cero ível de sgfcâca Uma resposa posva dca que esem problemas o ajusameo A forma quadráca V L b V em dsrbução de χ com S ν graus de lberdade, so é: V L V χ ( ν) (73) b ou, de forma aáloga: σ ˆ S χ ( ν) (74) σ esa-se a hpóese básca (hpóese ula): H : ˆ σ σ (75) α P é a probabldade máma admda para correr o rsco de um erro Tpo I A probabldade de comeer um erro do Tpo II é acear H H falsa β P rejear H H falsa é cohecdo como a Poêca ível de sgfcâca ( rejear H H verdadera) β ( ) e ( ) P ou Poder do Tese A grosso modo pode-se dzer que quao meor o ível de sgfcâca, maor o ervalo de cofaça e, porao, maor dspersão em oro do valor esmado O ível de sgfcâca deve ser fado a pror Noas de Aula - Ferado Noguera 38

39 cora a hpóese alerava: H : ˆ σ > σ (76) compara-se o valor calculado: χ * σˆ σ V PV ν σ (77) com o valor eórco (abelado): χ (78) ν, α *, α A hpóese básca (H ) é acea, ao ível de sgfcâca α, se: χ < χ ν (79) No caso coráro, deve-se proceder a uma aálse cudadosa do ajusameo: pode haver erro a marz varâca-covarâca dos valores observados, ou podem os resíduos esar ecessvamee grades em decorrêca de uma fala grossera ou de erros ssemácos, pode o modelo maemáco ão ser cossee com as observações, ou o ssema ser mal codcoado, ec Eemplo: ajusar uma rea em relação a um cojuo de observações Ese eemplo é o caso clássco de regressão, deomado Regressão Lear: O modelo maemáco é dado por: y a + b (8) ode: a e b são os parâmeros do modelo maemáco (coefcee agular e lear, respecvamee); e e y formam as coordeadas de um poo o plao caresao O modelo maemáco empregado o méodo paramérco assume que F( ) L, a X a ou seja, as observações ajusadas são dadas eplcamee em fução dos parâmeros No eao, o modelo a epressão (8) ão esá esa forma O procedmeo, ese caso, mas adequado sera ulzar o Méodo Combado, porém, cosderado seo de erros, esa varável pode ser cosderada cosae (do poo de vsa esaísco) e eão, pode-se ulzar o Méodo Paramérco Noas de Aula - Ferado Noguera 39

40 Noas de Aula - Ferado Noguera 4 Cada poo observado forece uma equação (y a + b, y a + b,, y a + b) O úmero de parâmeros é u e o úmero de observações, maedo ada a geeraldade ese aspeco, é A marz A fca: b y b y b y a y b y a y A (8) Devdo ao modelo ser lear, pode-se escolher qualquer valor para os compoees do veor X A maera mas smples é adoar odas as compoees dese veor guas a zero e, porao, resulado em um veor ambém ulo para L O veor L eão fca: b y y y y y y L L L (8) Assumdo que odas as observações possuem a mesma precsão, a marz de pesos P degeera-se a marz dedade Assm, a marz N, fca: A A N (83) O veor U fca: y y y y y L A U (84) O veor X fca:

41 X ( N) U (85) E o veor X a é: X a + X X (86) A abela abao mosra um cojuo de dados observados Tabela - Valores observados Poo y Para os valores dados a abela, a marz N, N - e o veor U fcam: N N U (87) X a L a O veor X a fca: 86 5 O veor L a (valores ajusados) fca: (88) (89) Eses são os parâmeros que deermam a rea cuja somaóra dos quadrados dos resíduos é mímo A rea ajusada fca: y (9) Para gerar os dados da abela, cosderaram-se os parâmeros da rea a e b e acresceou-se ruído braco uforme A eses valores deomou-se de observações A fgura 6 mosra os valores observados, a rea ajusada e a rea deal (sea de ruídos) Noas de Aula - Ferado Noguera 4

42 3 Regressao Lear y deal observaçoes ajusado Fgura 6 - Regressão Lear para o eemplo A marz varâca-covarâca das correções X e dos parâmeros X é: a 4 X X a 66 (9) A marz varâca-covarâca dos valores observados ajusados L L (9) a a fca: A marz varâca-covarâca dos resíduos V fca: V (93) A gradeza V PV resula em: V PV 37 (94) Noas de Aula - Ferado Noguera 4

43 O Qu-Quadrado calculado fca: χ V PV 37 * σ 37 (95) Os valores eórcos (abelados) para -u 4- graus de lberdades e ível de sgfcâca de 5% é: χ 599 (96),95 A hpóese básca é acea, ao ível de sgfcâca 5%, se: χ < χ (97) *,95 < Como a epressão (97) é verdadera, a hpóese básca é acea ao ível de sgfcâca 5%, e, porao, o ajusameo ão "apresea problemas" e pode ser cosderado aceo 4 Méodo Combado O Méodo Combado pode ser eeddo como um méodo de aplcações geras, pos reúe ao parâmeros ajusados como valores observados ajusados, porém lgados por uma fução ão eplíca Em oação formal: F ( X, L ) a a (98) Fazedo: V L a L b (99) e X X a X () F A X a X () F B L a L b () Noas de Aula - Ferado Noguera 43

44 ( X, ) L b Modelagem e Smulação - Modelos de Prevsão W F (3) A learzação do modelo é: F F X ( X,L ) F( X + X,L + V) F( X,L ) + ( X X ) + ( L L ) a a b b a X a F L a Lb a b (4) porao: AX + BV + W (5) Cosderado que esam valores observados e u parâmeros lgados por r equações, resulam as segues dmesões para as marzes: r A u u X r B V + rw r + (6) Tem-se, porao, S r - u graus de lberdade, sedo ecessáro > r - u Equações Normas Além de mmzar a forma quadráca fudameal, deve-se proceder de maera que os resíduos (dos valores observados) e as correções X (dos parâmeros apromados) aedam à jução represeada por (5) Ulzado mulplcadores de Lagrage (como em Programação Não Lear), defe-se a fução: φ V PV K ( AX + BV + W) m (7) ode: K é o veor cujas compoees são os mulplcadores de Lagrage (ou dos correlaos) Aulado as dervadas parcas em relação a V, K e X: φ PV B K PV B K V φ K ( AX + BV + W) AX + BV + W φ A K A K X (8) (9) () Noas de Aula - Ferado Noguera 44

45 As equações marcas (8), (9) e () represeam um cojuo de + r + u equações algébrcas evolvedo + r + u cógas: resíduos (v), r correlaos (k) e u parâmeros () Ou, mas cocsamee, as rês equações marcas mecoadas evolvem rês cógas, os veores V, K e X, e podem ser reudas em uma hpermarz: P B B V () A + K W A X Resolvedo o ssema acma (ão demosrado), resula: ( A M A) A M W X () ode: M BP B (3) Obda as compoees do veor das correções X aravés de () a seqüêca pode ser: X a + X X (4) K M ( AX + W) (5) V P B K (6) L L V (7) a b + Para modelos ão-leares, faz-se ecessáro ulzar um processo eravo de mmzação O dagrama abao mosra o processo eravo (aálogo ao do Méodo Paramérco): Noas de Aula - Ferado Noguera 45

46 eração WF(L b,x ) A F'(X ) B F'(L b ) X -(A M - A) - A M - W X a X + X aualzação X X a eração WF(L b,x ) A F'(X ) B F'(L b ) X -(A M - A) - A M - W X a X + X aualzação X X a eração WF(L b,x ) A F'(X ) B F'(L b ) X -(A M - A) - A M - W X a X + X X < FIM Fgura 7 - Processo Ieravo para o MMQ sob o Méodo Combado para modelos ão-leares Marz Varâca-Covarâca a As marzes Varâca-Covarâcas serão dadas sem demosração A marz varâca-covarâca dos parâmeros X é dada por: ( A M A) X X σˆ (8) a ode: ˆσ de acordo com a epressão () A marz varâca-covarâca dos valores observados ajusados L a é dada por: L a σˆ P + P ( M A) A M BP P B M BP B M A A (9) A marz varâca-covarâca dos resíduos V é dada por: V σˆ P L a () A marz varâca-covarâca do erro de fechameo W é dada por: σˆ M () W Noas de Aula - Ferado Noguera 46

47 Varâca da Udade de Peso por: A Varâca da Udade de Peso a poseror, aqu represeada por ˆσ é esmada σ ˆ V PV V PV S r u () Comparação ere σ e ˆσ Idêco ao realzado para o Méodo Paramérco Noas de Aula - Ferado Noguera 47

48 Apêdce Tabela A - Perces da Dsrbução de Qu-Quadrado χ P,5,,5,5,,5,75,9,95,975,99,995 ν,,,,,,,3,7 3,84 5, 6,63 7,88,,,5,,,58,77 4,6 5,99 7,38 9,,6 3,7,,,35,58, 4, 6,5 7,8 9,35,34,84 4,,3,48,7,6,9 5,39 7,78 9,49,4 3,8 4,86 5,4,55,83,5,6,67 6,63 9,4,7,83 5,9 6,75 6,68,87,4,64, 3,45 7,84,64,59 4,45 6,8 8,55 7,99,4,69,7,83 4,5 9,4, 4,7 6, 8,48,8 8,34,65,8,73 3,49 5,7, 3,36 5,5 7,53,9,95 9,73,9,7 3,33 4,7 5,9,39 4,68 6,9 9,,67 3,59,6,56 3,5 3,94 4,87 6,74,55 5,99 8,3,48 3, 5,9,6 3,5 3,8 4,57 5,58 7,58 3,7 7,8 9,68,9 4,73 6,76 3,7 3,57 4,4 5,3 6,3 8,44 4,85 8,55,3 3,34 6, 8,3 3 3,57 4, 5, 5,89 7,4 9,3 5,98 9,8,36 4,74 7,69 9,8 4 4,7 4,66 5,63 6,57 7,79,7 7,,6 3,68 6, 9,4 3,3 5 4,6 5,3 6,6 7,6 8,55,4 8,5,3 5, 7,49 3,58 3,8 6 5,4 5,8 6,9 7,96 9,3,9 9,37 3,54 6,3 8,85 3, 34,7 7 5,7 6,4 7,56 8,67,9,79,49 4,77 7,59 3,9 33,4 35,7 8 6,6 7, 8,3 9,39,86 3,68,6 5,99 8,87 3,53 34,8 37,6 9 6,84 7,63 8,9,,65 4,56,7 7, 3,4 3,85 36,9 38,58 7,43 8,6 9,59,85,44 5,45 3,83 8,4 3,4 34,7 37,57 4, 8,3 8,9,8,59 3,4 6,34 4,93 9,6 3,67 35,48 38,93 4,4 8,64 9,54,98,34 4,4 7,4 6,4 3,8 33,9 36,78 4,9 4,8 3 9,6,,69 3,9 4,85 8,4 7,4 3, 35,7 38,8 4,64 44,8 4 9,89,86,4 3,85 5,66 9,4 8,4 33, 36,4 39,36 4,98 45,56 5,5,5 3, 4,6 6,47 9,94 9,34 34,38 37,65 4,65 44,3 46,93 6,6, 3,84 5,38 7,9,84 3,43 35,56 38,89 4,9 45,64 48,9 7,8,88 4,57 6,5 8,,75 3,53 36,74 4, 43,9 46,96 49,65 8,46 3,56 5,3 6,93 8,94,66 3,6 37,9 4,34 44,46 48,8 5,99 9 3, 4,6 6,5 7,7 9,77 3,57 33,7 39,9 4,56 45,7 49,59 5,34 3 3,79 4,95 6,79 8,49,6 4,48 34,8 4,6 43,77 46,98 5,89 53, ,9 8,5,57,47 4,8 9,5 4, 46,6 49,8 53, 57,34 6,7 4,7,6 4,43 6,5 9,5 33,66 45,6 5,8 55,76 59,34 63,69 66, ,3 5,9 8,37 3,6 33,35 38,9 5,98 57,5 6,66 65,4 69,96 73,7 5 7,99 9,7 3,36 34,76 37,69 4,94 56,33 63,7 67,5 7,4 76,5 79, ,73 33,57 36,4 38,96 4,6 47,6 6,67 68,8 73,3 77,38 8,9 85, ,53 37,48 4,48 43,9 46,46 5,9 66,98 74,4 79,8 83,3 88,38 9, ,38 4,44 44,6 47,45 5,88 56,99 7,8 79,97 84,8 89,8 94,4 98, 7 43,8 45,44 48,76 5,74 55,33 6,7 77,58 85,53 9,53 95,,43 4, 75 47, 49,48 5,94 56,5 59,79 66,4 8,86 9,6 96,,84 6,39,9 8 5,7 53,54 57,5 6,39 64,8 7,4 88,3 96,58,88 6,63,33 6, ,7 57,63 6,39 64,75 68,78 75,88 93,39,8 7,5,39 8,4,3 9 59, 6,75 65,65 69,3 73,9 8,6 98,65 7,57 3,5 8,4 4, 8, ,5 65,9 69,9 73,5 77,8 85,38 3,9 3,4 8,75 3,86 9,97 34,5 67,33 7,6 74, 77,93 8,36 9,3 9,4 8,5 4,34 9,56 35,8 4,7 75,55 78,46 8,87 86,79 9,47 99,67 9,6 9,39 35,48 4,9 47,4 5,95 83,85 86,9 9,57 95,7,6 9, 3,5 4,3 46,57 5, 58,95 63,65 3 9, 95,45,33 4,66 9,8 8,79 4,48 5,5 57,6 63,45 7,4 75,8 4,65 4,3 9,4 3,66 9,3 8,38 5,89 6,83 68,6 74,65 8,84 86,85 ν, α Noas de Aula - Ferado Noguera 48

49 5 9,4,67 7,98,69 8,8 37,98 6,9 7,58 79,58 85,8 93, 98,36 6 7,68,35 6,87 3,76 37,55 47,6 7,68 83,3 9,5 96,9 4,53 9,8 7 6,6 3,6 35,79 4,85 46,84 57,3 8,5 94,,4 8, 5,8,4 8 34,88 38,8 44,74 49,97 56,5 66,87 9,4 4,7,3 9,4 7,6 3,6 9 43,55 47,6 53,7 59, 65,49 76,5,76 5,37 3,6 3,6 38,7 43,96 5,4 56,43 6,73 68,8 74,84 86,7 3, 6, 33,99 4,6 49,45 55,6 3 4,66 45,97 53,9 6,88 69,7 83,4 36,4 33,79 34,4 349,87 359,9 366, ,9 337,6 346,48 354,64 364, 38,58 48,7 436,65 447,63 457,3 468,7 476,6 5 4,3 49,39 439,94 449,5 459,93 478,3 5,95 54,93 553,3 563,85 576,49 585, 6 54,53 5,37 534, 544,8 556,6 576,9 6,99 644,8 658,9 669,77 683,5 69, ,38 65,9 68,58 639,6 65,5 674,4 74,86 748,36 76,66 775, 789,97 8,3 8 7,73 79,9 73,5 735,36 749,9 77,67 86,6 85,67 866,9 88,8 895,98 96, ,48 84,5 88,76 83,37 846,7 87,3 98,4 954,78 97,9 985,3,63 3,4 FONTE: Seções, e 3: Hller & Leberma, CAP Seção 4: Caml Gemael Irodução ao Ajusameo de Observações, Edora UFPR, 994 Noas de Aula - Ferado Noguera 49

50 Eercícos - Modelos de Prevsão qualquer erro, favor evar e-mal para ferog@egprodufjfbr ) Uma compaha em as segues vedas durae os cco úlmos meses: 5, 7, 9, 4 O geree de vedas agora quer uma prevsão das vedas o prómo mês a) Qual o valor esmado para o Méodo da Méda Móvel com os 3 meses mas recees? b) Qual o valor esmado para o Méodo da Méda Móvel com o úlmo mês mas recee? c) Qual o valor esmado para o Méodo de Suavzação Epoecal com α 3? ) Uma loja possu os segues valores de lucros os úlmos das:,,3,78,5,,43,65, 33,,,,4,8,9,,7,43,43,4 Qual o lucro prevso para o prómo da cosderado: a) O Méodo da Méda Móvel com os úlmos 3 das? b) O Méodo de Suavzação Epoecal com α 3? c) O mesmo que b), porém cosderado sazoaldade 3) Quas os parâmeros ómos (segudo o créro de Mímos Quadrados) de um polômo de o grau para os segues valores observados: y ) Faça um programa que calcule a prevsão dos ídces de flação, poupaça, IGPM, IPC e coação do dólar Ulze o méodo de méda móvel e suavzação epoecal Deerme ambém créros para defr os parâmeros ómos ulzados os méodos mplemeados Resposas a) 9 b) 4 Noas de Aula - Ferado Noguera 5

51 c) 64 a) b) 3745 d) 3 3) a -659 b 938 c 9785 Noas de Aula - Ferado Noguera 5