A Estrutura a Termo da Taxa de Juros: Uma Síntese *

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1 TEXTO PARA DISCUSSÃO Nº 447 A Esruura a Termo da Taxa de Juros: Uma Síese * José W. Ross ** Ro de Jaero, dezembro de 996 * Esse esudo eve apoo facero do CNPq (Proc /96-0). ** Da Dreora de Pesqusa do IPEA e UERJ.

2 O IPEA é uma fudação públca vculada ao Mséro do Plaejameo e Orçameo, cujas faldades são: auxlar o msro a elaboração e o acompahameo da políca ecoômca e prover avdades de pesqusa ecoômca aplcada as áreas fscal, facera, exera e de desevolvmeo seoral. Presdee Ferado Rezede Dreora Claudo Moero Cosdera Luís Ferado Tro Gusavo Maa Gomes Marao de Maos Macedo Luz Aoo de Souza Cordero Murlo Lôbo TEXTO PARA DISCUSSÃO em o objevo de dvulgar resulados de esudos desevolvdos drea ou dreamee pelo IPEA, bem como rabalhos cosderados de relevâca para dssemação pelo Isuo, para formar profssoas especalzados e colher sugesões. ISSN SERVIÇO EDITORIAL Ro de Jaero RJ Av. Presdee Aôo Carlos, 5 4º adar CEP Telefax: (02) E-mal: edrj@pea.gov.br Brasíla DF SBS Q. Bl. J, Ed. BNDES 0º adar CEP Telefax: (06) E-mal: edbsb@pea.gov.br IPEA, 998 É permda a reprodução dese exo, desde que obrgaoramee cada a foe. Reproduções para fs comercas são rgorosamee probdas.

3 SUMÁRIO RESUMO ABSTRACT - INTRODUÇÃO O SPREAD ENTRE TAXAS DE JUROS COMO PREVISOR DA ATIVIDADE ECONÔMICA: O CASO DOS ESTADOS UNIDOS RELAÇÃO ENTRE AS TAXAS DE CURTO E LONGO PRAZOS O Caso do Tíulo com Descoo Puro (Cupom Zero) A Taxa de Juros Fuura Prevamee Coraada (Forward Rae) O Caso do Tíulo do Govero com Cupom O MODELO PARA A ESTRUTURA A TERMO DA TAXA DE JUROS TAXA DE JUROS DE LONGO PRAZO E TAXA DE INFLAÇÃO FUTURA SOBRE A IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO DE VALOR PRESENTE DIFICULDADES COM O TESTE EMPÍRICO O Caso dos Esados Udos O Caso do Brasl A ESTRUTURA A TERMO E O PERFIL DA DÍVIDA PÚBLICA...30 APÊNDICE...33 BIBLIOGRAFIA...38

4 RESUMO O argo ca com uma dscussão sobre o uso das axas de juros e do spread ere axas de juros como varáves úes em esudo de prevsão seja da avdade ecoômca ou da varação a axa de juros de curo prazo, ou da própra axa de flação. Em seguda dscue-se a relação ere as axas de juros de curo e logo prazos araves da chamada curva de reoro (yeld curve). Mosra-se, ambém, como realzar o ese empírco da relação ere essas axas. As dfculdades a realzação do ese empírco é, eão, apreseada à luz de duas experêcas dsas: a dos Esados Udos e a do Brasl. No prmero caso o ese empírco é dfculado por uma parculardade da políca operacoal do Federal Reserve que. por ser volada mas para a axa de juros de médo prazo, acaba elmado o elemeo passível de prevsão o meo da curva de reoro dos avos. Já o caso do Brasl, a dfculdade com o ese esá lgada ao fao de ão se dspor, em vsa da loga experêca vvda pelo país aé receemee com as alas axas de flação de aplcações faceras de logo prazo. De qualquer maera, mosra-se que mesmo ese caso pode-se realzar um ese evolvedo a relação ere a axa de juros do over (dáro) e aquela para aplcações de um mes, por exemplo. Falmee, dscue-se, com base a esruura a ermo da axa de juros, as vaages e desvaages de se er uma da dívda públca de curo prazo ao vés de uma de logo prazo.

5 ABSTRACT Ths arcle sars wh a dscusso of he use of he eres rae ad he spread bewee dsc eres raes as predcors of eher he level of he ecoomc acvy or he chage shor-ru eres rae, or eve he rae o flao. Followg hs, he yeld curve s used o expla he relaoshp bewee he shor-ru ad log-ru eres raes. Also show s how o carry ou he emprcal es of such a heory. The dffcules he realzao of he emprcal es are dscussed lgh of boh he experece of he Ued Saes ad he case of Brazl. I he frs case he dffculy s relaed o a parcular operaoal procedure of he Federal Reserve (Fed). More precsely, as he Fed s more cocered wh he medum-erm eres rae, hs makes he predco of he eres raes he mddle of he yeld curve more dffculy. I he case of Brazl, he dffculy he realzao of he emprcal es s due o a lack of log-ru facal applcaos vew of he hgh raes of flao expereced by he coury ul recely. I ay case, we show ha eve he case of Brazl oe ca carry ou a es whch he daly eres rae of he overgh marke applcaos s relaed o he mohly eres rae. Fally, we dscuss, based o he eres rae erm srucure, he advaages ad dsadvaages of havg a publc deb deomaed he shor-ru eres rae as agas he log-ru oe.

6 - INTRODUÇÃO Sabe-se que ceras varáves do mercado facero coêm úes formações sobre as codções fuuras da ecooma. Por exemplo, o preço das ações em sdo radcoalmee usado como um mporae dcador aecedee da avdade ecoômca. Esudos recees mosram que ambém a axa de juros e o spread ere as axas de juros de avos faceros aleravos êm sdo usados como prevsores do ível da avdade ecoômca e/ou das varações ao das axas de juros de curo prazo como do ível dos preços. O eresse o papel da axa de juros como prevsor a ecooma, em parcular, surgu com o rabalho de Sms (980). A esmação do seu modelo Veor Auo- Regressvo (VAR = Vecor Auoregresso Sysem) com dados do pós-guerra para os Esados Udos, usado varáves as como o ível da produção dusral, o ídce de preços o aacado e o esoque de M, mosrou que a expasão em M era, corroborado um resulado seu aeror [coforme Sms (972)], mporae para explcar varações a produção dusral; mas precsamee, aquela varável explcava cerca de 37% da varâca da produção dusral em um horzoe de 48 meses. Todava, quado a axa de juros dos íulos comercas era cluída o seu modelo, quase odo o poder predvo do esoque de moeda rasfera-se para a axa de juros, que passava a explcar, eão, 30% da varâca da produção dusral o mesmo horzoe de 48 meses. Agora, o esoque de moeda explcava ão-somee 4% da varâca da produção dusral. Mas mporae, os resulados obdos por Sms parecam ser robusos ao uso de dferees axas de juros, coforme cosaaram, por exemplo, Lerma e Wess (985) quado subsuíram o modelo de Sms a axa de juros dos papés comercas pela axa de juros das Leras do Tesouro amercao. Os resulados acma sugerem, à prmera vsa, a efcáca da políca moeára sobre o ível da avdade ecoômca. Essa grave coclusão movou um grade debae ere os ecoomsas. McCallum (983), por exemplo, fo um dos prmeros a quesoar as coclusões do rabalho de Sms, argumeado que, se a axa de juros for um melhor dcador da políca moeára do que a expasão da moeda, eão, a ulzação desa úlma varável ão podera servr como evdêca da efcáca da políca moeára. Esse poo de vsa fo corroborado por Berake e Blder (989) que mosraram ser a axa dos fudos federas (varável foremee correlacoada com a políca moeára) muo formava do curso fuuro da ecooma. Apesar de os esudos sprados em Sms erem ulzado a axa de juros como prevsor do ível da avdade ecoômca, muos dos rabalhos subseqüees cocluíram que ambém o spread ere as axas de juros de dsos avos sera úl a prevsão ão só do ível da avdade ecoômca mas ada das varações ao as axas de juros de curo prazo e da própra axa de flação. Esa e a próxma seções baseam-se em Berake (990). Como as referêcas elas codas provêm daquele esudo e muas ão puderam ser cosuladas, as cosderações feas acerca dos város rabalhos baseam-se em geral o relao apreseado por Berake.

7 Na próxma seção apresea-se um breve resumo da evdêca empírca do uso do spread ere axas de juros como prevsor da avdade ecoômca os Esados Udos, com base em Berake (990). A Seção 3 formalza a esruura a ermo para a axa de juros. A Seção 4 dscue a mplemeação do modelo de valor presee que resula da esruura a ermo. A Seção 5 apresea algumas das dfculdades com o desempeho empírco do modelo, seja com relação ao ao caso amercao quao ao caso braslero. A Seção 6 explora o uso da esruura a ermo a escolha do perfl (de curo ou logo prazo) da dívda públca. Falmee, a Seção 7 dscue-se, em apêdce, a volaldade relava das axas de juros o coexo da esruura a ermo. 2 - O SPREAD ENTRE TAXAS DE JUROS COMO PREVISOR DA ATIVIDADE ECONÔMICA: O CASO DOS ESTADOS UNIDOS Em Berake (983) o spread ere a axa de um papel comercal (Baa-rae corporae bods) e a axa das Leras do Tesouro amercao mosrou-se um efcee dcador aecedee da produção os Esados Udos o período ere as duas guerras mudas. Há, de fao, város rabalhos essa mesma lha. Esrella e Hardouvels (989), por exemplo, obveram boas prevsões a ecooma usado o spread ere as axas dos íulos do Tesouro amercao de curo e de logo prazos. Já em Berake e Blder (989), ao a axa dos fudos federas, coforme já fo mecoado, como o spread ere essa axa e a axa dos íulos do govero de logo prazo foram úes a prevsão da avdade ecoômca. Resulados semelhaes foram obdos por Laure (988 e 989). Ouros dos esudos ode o spread ere as axas de juros de dsos avos perme boas prevsões da ecooma amercaa são Fredma e Kuer (989), que usaram o spread ere as axas de papés comercas e das Leras do Tesouro, e Sock e Waso (989) que, para prever o cclo dos egócos, além desse mesmo spread, usaram ada aquele ere as axas das Leras do Tesouro amercao de curo e de logo prazos (so é, a clação da chamada curva de reoro, yeld curve, da esruura a ermo da axa de juros, cujo coceo é dscudo adae). Cabe por fm desacar que eses exausvos realzados por Berake (990) com dados mesas para os Esados Udos o período 96/89 mosraram ser o spread ere as axas de juros dos papés comercas de ses meses (commercal paper rae) e das Leras do Tesouro de ses meses (reasury bll rae), por ele deomada Shor para efazar raar-se de juros de curo prazo (essa mesma deomação é mada aqu e será usada com freqüêca o exo), fo o melhor prevsor para cerca de 0 varáves da ecooma, com uma delas sedo a axa de flação e as demas odas varáves macroecoômcas reas. Cumpre dagar por que o spread ere, por exemplo, as axas de juros dos papés comercas e das Leras do Tesouro sera úl as prevsões do rumo da ecooma. Nese parcular, duas hpóeses são geralmee cosderadas. A prmera (hpóese do rsco de falêca) é que o spread, por represear a percepção do mercado sobre o rsco de falêca a ecooma, dcara, eão, a possbldade de 2

8 ocorrêca de recessão. Uma seguda hpóese sugere que o spread só sera um bom prevsor por coer formação da posura da políca moeára (hpóese da políca moeára). Em Berake (990) efaza-se essa seguda hpóese, que em, de fao, duas verees. A prmera dz respeo ao apero de crédo e fo proposa por Cook (98). A déa é que como aé 978 hava os Esados Udos um eo para as axas de juros dos depósos bacáros (Regulao Q), eão qualquer aumeo a axa de juros decorree de um apero moeáro levava, va redução os depósos bacáros, à desermedação facera, com os recursos mgrado sobreudo para as aplcações em Leras do Tesouro. Isso porque os papés comercas exgam uma aplcação míma que esava além das possbldades de boa pare dos vesdores. O resulae aumeo o spread ere as axas desses dos avos fcou, alás, bem caracerzado durae os epsódos de apero de crédo em 966, 969 e 973/74. 2 Sedo a demada pelas Leras do Tesouro meos que perfeamee elásca com relação ao spread ere as axas desse avo e aquela dos papés comercas ou seja, os avos seram subsuos mperfeos (ver a oa de pé de pága do parágrafo aeror), eão sempre que hava um apero de crédo aumeava o spread Shor e como a políca moeára que causa o apero de crédo é a mesma que provocava a recessão, resula que o spread ajudara a prever as codções ecoômcas. Uma forma alerava da hpóese moeára sugere que o spread Shor respodera à políca moeára sempre que a axa dos fudos federas fosse usada como mea ermedára dessa políca. A políca moeára aperada aumeado a axa dos fudos federas aumeava ambém o cuso dos fudos para os bacos. As aleravas que os bacos ham para evar omar emprésmos às axas mas elevadas dos fudos federas seram, ese caso: a) a emssão de CDs (equvalees aos ossos CDBs); b) a veda de pare do seu esoque de Leras do Tesouro; e, falmee, c) o core as suas lhas de crédo 2 A quesão aqu é saber por que os bacos e os vesdores ão-sujeos à resrção mposa as aplcações dos papés comercas ão rocaram as Leras do Tesouro por papés comercas, aproveado-se de um spread maor. Apesar de er havdo alguma roca desse po, o fao é que, pelo meos com relação ao comporameo dos bacos, hava eresse as Leras do Tesouro que a além do seu reoro. É que esses avos servam de lasro os acordos de recompra as aplcações do overgh, além de poderem aeder às exgêcas de ecaxe dos bacos. Essas fuções ão eram aeddas pelos papés comercas. Sobre esses poos, ver Berake (990). 3

9 ou o aumeo a axa de juros dos seus emprésmos. Essas meddas edam, em geral, a aumear o spread. 3 Em suma, o spread Shor (e alvez ouros mas) só sera um bom prevsor da ecooma por coer formação ao sobre o rsco de falêca como da posura da políca moeára RELAÇÃO ENTRE AS TAXAS DE CURTO E LONGO PRAZOS 3. - O Caso do Tíulo com Descoo Puro (Cupom Zero) Para esabelecer a relação ere as axas de juros de curo e logo prazos o coexo de um íulo com descoo puro (cupom zero), cosdere-se calmee o caso sem cereza, sem cuso de rasação e com perfea vsão do fuuro. O vesdor compara eão o reoro de duas esraégas de aplcação facera. Na prmera, compra um íulo do govero com vecmeo em N, maedo-o aé essa daa. Na seguda, compra uma Lera do Tesouro de um período, revesdo o resulado (prcpal mas os juros) a compra e uma ova Lera do Tesouro para o período segue, repedo a operação os próxmos períodos aé N. Cumpre ressalar que a Lera do Tesouro é um po de avo com descoo puro, pos ão há qualquer pagameo de cupom. Vale dzer, o íulo é veddo com um descoo, sedo amorzado pelo seu valor de face. Desa forma, a perceagem do gaho de capal sobre o preço de compra é a axa de juros que o avo paga. A codção de equlíbro um mudo com perfea vsão e sem cuso de rasação é que seja dêco o reoro obdo com a aplcação $,00 as duas aleravas descras. Mas precsamee, se R N é a axa de reoro por período obda quado se maém o íulo aé o seu vecmeo (yeld), e r é a axa de juros da Lera do Tesouro por apeas um período, ambas o empo, em-se [ver Begg (982)]: 3 É evdee que as ações (a) e (c) aumearam a axa de juros dos papés comercas relavamee àquela das Leras do Tesouro. No prmero caso porque, para colocar mas Cds o mercado, em que se oferecer melhores axas de juros, e, como os Cds e os papés comercas são subsuos próxmos, ambém a axa de juros deses úlmos aumeara. Se, por ouro lado, os bacos aumeassem o cuso dos emprésmos feos às frmas, esas ram preferr omar empresado dreamee do públco aravés da emssão de papés comercas, o que, mas uma vez, aumeara a axa desses papés. Se, ao vés de (a) e (c), os bacos adoassem a ação (b), a edêca ao aumeo do spread podera ser reverda. Todava, coforme fo argumeado a oa aeror, os bacos reluavam em veder as Leras do Tesouro, já que a sua uldade a além do reoro facero. Assm, uma políca moeára aperada edera a aumear o spread Shor, orado-o, pos, úl a prevsão da avdade ecoômca [ver Berake (990)]. 4 Em Berake (990) a evdêca é que o spread Shor, apesar de ão er apreseado correlação parcularmee ala com varáves assocadas ao rsco de falêca, fo, ereao, a varável mas correlacoada com as varáves que dcavam a posura da políca moeára. 4

10 + R N N = ( + )( + ) ( r r r + N ) () que é aproxmada por: N R ( ) N r r r = N (2) pos se a varável x for pequea eão pode-se usar a aproxmação x=log(+x). 5 Iso é, a axa de juros de logo prazo, corree, é uma smples méda arméca das axas de juros por um período, váldas para cada período aé o vecmeo do íulo. É claro que, se as axas de curo prazo permaecerem cosaes, eão a axa de logo prazo, corree, será gual à axa de curo prazo, corree. Por ouro lado, com axas de curo prazo crescees (decrescees) ao logo dos períodos fuuros, segue que a axa de logo prazo, corree, esara acma (abaxo) da axa de curo prazo, corree. No mercado de íulos (com ou sem cupom) há, de fao, um amplo especro quao à daa dos seus vecmeos, do desde os íulos que esão por vecer aé o caso daqueles que a verdade uca vecem, como ocorre, por exemplo, com uma perpeudade que paga eeramee a axa de juros correspodee ao valor do cupom. A esruura a ermo da axa de juros é a relação, o empo, ere as axas de reoro R N para dsas daas de vecmeo dos íulos, dadas por N. Vale dzer, a esruura a ermo faz a lgação ere as axas de juros de curo e de logo prazos. Como as axas de juros de curo prazo respodem à políca moeára e essas axas afeam, coforme se verá, as axas de logo prazo, que são mporaes as decsões de vesmeo do seor prvado, é mporae que se coheça como essas axas se er-relacoam a váras suações. De fao, a relação ere as axas de curo e logo prazos é dada pela chamada curva de reoro (yeld curve), a ser formalzada abaxo, que é a expressão gráfca da esruura a ermo da axa de juros de íulos, e que dca, pos, a axa corree de reoro de logo prazo para dsos prazos de vecmeo dos íulos. A curva 5 Noe-se que, aplcado log a equação (), vem: Nlog (+R ) = log (+r ) + log (+r + ) + log (+r +N- ), que, em vsa da aproxmação descra acma, obém-se o resulado a equação (2). 5

11 de reoro ípca em clação posva. 6 Assm, se R N cresce com N é porque as axas fuuras de curo prazo esaram aumeado. 7 Caso haja cereza com relação às axas fuuras de juros, e sedo apeas as axas correes (de curo e logo prazos) cohecdas, a relação ere a axa de logo prazo e as axas de curo prazo sera dada por: R N = [ r Er Er ] (3) N ode E é a expecava com base o cojuo de formações dspoíves o empo. Com o vesdor edo aversão ao rsco, sera ecessáro adcoar um ermo esa relação para capar o rsco ex pos do desvo das axas de juros observadas daquelas calmee esperadas. Vale dzer, deve-se adcoar a equação (3) uma varável para o prêmo de rsco Coforme ressalado por Campbell (995), Hcks (939) sugere que os íulos de logo prazo devem er reoro maor do que os de curo prazo porque os omadores de crédo preferem o logo prazo equao os forecedores de crédo preferem o curo prazo. Campbell (995) faz, de fao, cosderações adcoas sobre esse poo. 7 Segmeos da curva de reoro com clação egava podem, ereao, ambém ocorrer, como mosra, por exemplo, Campbell (995) com dados para os Esados Udos; ver as suas Fguras e 3. De fao, há rês eoras báscas que eam explcar a clação da curva de reoro. Além da eora da preferêca pela lqudez, dscuda a oa aeror, que sugere ser posva a clação da curva de reoro, as duas ouras, que podem resular em qualquer clação para a curva, são a eora das expecavas e a dos mercados segmeados. Na eora das expecavas, a axa (forward) coraada para o fuuro será dada pela expecava do mercado com relação à axa spo esperada para o fuuro. Coforme se verá adae, por al eora se a curva de reoro em clação posva, eão a axa forward será maor do que a axa spo aual. Sedo a axa forward um prevsor da axa spo fuura, sso sgfca que o mercado espera um aumeo a axa spo ere o º e o 2º períodos. Já pela eora dos mercados segmeados, os íulos de curo e logo prazos êm mercados separados cujos preços são eão deermados pelas codções de ofera e demada os respecvos mercados. Um apero moeáro o mercado de logo prazo, por exemplo, resulara uma esruura a ermo com clação posva. Para cosderações adcoas sobre esses poos, ver Chace (992). 8 No caso com dos períodos, a equação (3) fca, após adcoar o ermo para o prêmo de rsco: R 2 = [ r + E r + ] 2 +θ ode θ é um ermo cosae (por pressuposo) para o prêmo de rsco. Cosdere-se agora que as expecavas sejam racoas, de modo que: r + = E r + + ε + ode ε + é o erro de prevsão, sedo orogoal à formação dspoível o empo. Após subsur essa equação a aeror e aplcado eão esperaça maemáca em ambos os lados da equação, vem: r ( ) + r = α + β R 2 r + v + Assm, coclu-se que o spread ere as axas de curo e logo prazos prevê varações a axa de curo prazo, com β =2.

12 É, freqüeemee, mas coveee rabalhar com capalzação coíua. 9 Assm, seja calmee a axa de reoro (yeld) para um íulo com descoo puro (cupom zero) dada por R m, que deve, pos, sasfazer a relação: P m = ( + R ) m m (4) ode P m é o preço do íulo em cujo vecmeo é em m aos e que em valor de face de $,00. Defa o reoro bruo como sedo (+R m ). Com capalzação coíua, o reoro aé o vecmeo pode ser aproxmado pelo log aural do reoro bruo, como é demosrado a segur. 0 Cosdere-se: m ( + Rm ) = + R m,, m (5) ode R m,, é a axa por período que com capalzação em vezes o período equvale à axa R m capalzada uma vez por período. Caso a capalzação seja coíua, em-se: lm + m,, R,, e m R = (6) Cosderado esse resulado a relação aeror, vem: ( ) R = + R = r (7) m,, l m m que usado a equação (4), resula em: p m = mr (8) m 9 No resae desa seção, segue-se Campbell (995), edo em vsa que muas das demosrações de pé de pága foram aqu desevolvdas. 0 Ressale-se que para valores usuas da axa de reoro essa aproxmação é apeas razoável. Para usar o mesmo exemplo de Campbell (995), se R m =7%, eão log (.07) = 0.068; ou seja, 7% a. a. com capalzação uma vez por ao equvale à axa de 6,8% a. a. com capalzação coíua. A relação ere as axas de juros com capalzação dscrea e coíua é como segue. Prmeramee, oe-se que a axa aual de juros r com capalzação semesral resula em ( + r ) 2. Se r ver capalzação rmesral, o resulado é ( + r ) 4 r, ec., assm, ( + ) r = ( + ) r / r 2 4, cujo lme, quado /r ede para fo, é e r. Se ao vés de um ao o período for de aos, eão (+r), com r capalzado couamee, sera e r. 7

13 ode p m = lp m, ou seja, o preço do íulo é versamee proporcoal à sua axa de reoro de logo prazo. Mas precsamee, a daa de vecmeo do íulo, m, é a elascdade do preço do íulo com relação à sua axa de reoro de logo prazo. Desa forma, se o íulo vece em 0 aos, segue que o aumeo de % a sua axa de reoro de logo prazo resula em queda de 0% o preço do íulo, equao que, se o vecmeo for em 30 aos, a queda de preço sera de 30%. Noe-se que quado se egoca um íulo aes do seu vecmeo obém-se a chamada axa de reoro por reeção. que é assm defda: 2 h = P P m, + m, + m (9) Em vsa do resulado em (8), em-se: 3 h = r ( m )( r r ) (0) m, + m m, + m Iso é, o (log do) reoro pela reeção do íulo por um ao é gual ao reoro cal de logo prazo do íulo, caso ese seja mado aé o vecmeo, meos a varação desse reoro (de logo prazo) durae o ao em que o íulo é redo, vezes o período resae aé o vecmeo do íulo por ocasão da sua veda. Da equação aeror vem: r = [ ] m h + m r, + ( ), + () m m m que pode ser escra como: 4 r m m m = h m + + 0, (2) 2 Em Campbell (995) o subídce do lado dreo dessa equação aparece como -, ao vés de +. Esse erro acaba afeado ambém o seu resulado correspodee à ossa equação (0), que em Campbell aparece com o subídce gualmee correo. 3 Noe-se que r m,+ = - (m-)y m-,+ + my m + y m - y m. 4 Para um período adae, a equação () sera: r m-,+ = /m-[h m-,+2 + (m-2)r m-2,+2 ] Após subsur esa equação a equação (), vem:r m = /m[h m,+ + h m-,+2 + (m-2)r m-2,+2 ]; oese que: r m = /m[h m,+ + m-/m-[h m-,+2 + (m-2)r m-2,+2 ]] Subsudo r m-2,+2 esa equação, produz: r m = /m[h m,+ + h m-,+2 + [h m-2,+3 + m-3/m r m-3,+3 ]]; oe-se que: r m = /m[h m,+ + h m-,+2 + (m-2)/m-2 [h m-2,+3 + (m-3) r m-3,+3 ]] Subsuções sucessvas desse po resulam, falmee, a equação (2), já que o úlmo ermo da equação sera (m-m)/m r m-m,+m = 0. 8

14 Assm, a axa de reoro de logo prazo é uma méda smples das axas de reoro pela reeção do íulo por um período durae os város períodos aé o vecmeo do íulo. 5 Como ao o reoro de logo prazo quao o reoro pela reeção por um período de um íulo de logo prazo são, em geral, meddos relavamee ao reoro de um íulo para um ao, esabelece-se aqu a relação ere essas váras axas com base o resulado da equação (0), a saber: h r = r r ( m )( r r ) (3) m, + m m, + m Os ermos h m, + r e rm r são, respecvamee, o excesso de reoro e o spread ere os reoros de logo e curo prazos. É bom ressalar que as axas de reoro (yeld) de curo prazo varam o empo, em geral, bem mas do que aquelas de logo prazo. Isso ão mpede, odava, que haja grade varabldade o reoro por período de reeção dos íulos de logo prazo. A decomposção em (3) pode ser, ese parcular, basae esclarecedora. Por exemplo, Campbell (995) mosra, com dados para os Esados Udos, que o excesso de reoro cresce para íulos aé um ao, decrescedo daí em dae aé orar-se egavo para íulos de 0 aos. Isso apesar de o spread ere os reoros de curo e logo prazos er aumeado o período e erem aumeado ambém as axas de reoro de logo prazo. Tal resulado, que é surpreedee à prmera vsa, ocorre porque varações as axas de reoro (yeld) provocam mudaças o preço dos íulos que são mas aceuadas para aqueles de logo prazo, coforme se vu a equação (8). A perda de capal que sso represea afea mas, obvamee, o reoro por período de reeção dos íulos de logo prazo; ver a equação (3). Nese poo cabe dscur a hpóese das expecavas que esão por rás da esruura a ermo da axa de juros. Prmeramee, ressale-se que, sedo a axa de reoro (yeld) de logo prazo de um íulo com cupom zero cohecda com cereza, eão, qualquer varação esperada o preço do íulo erá que ser compesada adae com varação esse preço que seja em sedo coráro, de modo a ober-se, dada a sua axa de reoro (yeld), o valor de face do íulo. Vale dzer, essas varações são egavamee auocorrelacoadas e, porao, prevsíves. O que ão mpede, ereao, ser mprevsível o excesso de reoro por período de reeção dos íulos de logo prazo. 6 Isso sugere que o vesdor ecessa formar expecavas a respeo do reoro esperado a sua aplcação facera. 5 Noe-se que ese resulado é semelhae àquele da equação (2), só que as axas de curo prazo daquele resulado são aqu subsuídas pelas axas de reoro por período de reeção dos íulos de logo prazo. 6 Ese resulado é formalzado adae o coexo de um íulo com pagameo de cupom. 9

15 Para mosrar como as expecavas são formadas esse mercado, usa-se aqu a mesma lusração adoada por Campbell (995). Supoha calmee que o reoro (yeld) de um íulo de 30 aos seja de 7%, equao aquele para um íulo de um ao seja de apeas 4%. Numa prmera aprecação, o íulo de 30 aos parece o mas reável. O fao, porém, é que, equao o reoro de 4% é cero em um ao, o reoro de 7% só o é em 30 aos. Assm, por se referrem a dsos horzoes de empo, os dos reoros ão são comparáves. Um racocío mas sofscado levara em coa o fao de o íulo de logo prazo poder ser egocado dero de um ao. Nese caso, o reoro de 7% o período (ou seja, um excesso de reoro por período de reeção de 3% sobre o íulo de um ao) só sera obdo caso o reoro (yeld) do íulo de logo prazo permaecesse alerado em 7%. Uma oura possbldade sera um excesso de reoro por período de reeção gual a zero, que ocorrera caso o preço do íulo aumeasse de 4% em um ao, ao vés dos 7% suposos calmee. Isso requer um aumeo a axa de reoro de logo prazo (yeld) do íulo de 30 aos, passado de 7 para 7,%. 7 Supoha agora a esraéga represeada pela rolagem sucessva dos íulos de um ao durae 30 aos (período de vecmeo do íulo de logo prazo). É claro que, dado o reoro de 4% do prmero ao, sso só redera o mesmo que o reoro (yeld) do íulo de logo prazo, se os 29 aos resaes o reoro médo das aplcações de curo prazo fosse de 7,%. 8 A hpóese das expecavas da esruura a ermo sugere um comporameo al de modo a orar dêco o reoro as esraégas de vesmeo de curo e logo prazos (descras acma, por exemplo). Coforme fo dscudo, se o reoro de logo prazo (yeld) excede o de curo prazo, o prmero deve aumear ada mas para que possa gerar uma perda de capal o íulo de logo prazo e, assm, compesar a vaagem cal do spread ere o seu reoro (yeld) e a do íulo de curo prazo. Mosrou-se a lusração aeror qual deve ser esse aumeo o 7 Isso pode assm ser demosrado. Da equação (9) em-se que o reoro por um período de um íulo de 30 aos é 30r 30, - 29r 29,+, que só é gual a 0.04 (quado r 30, = 0.07) se r 29,+ = Mas precsamee, em-se (+0,07) 30 = (+0,04)(+0,07) 29 que, com axas reduzdas, pode ser aproxmado por 30(0,07) = 0, (0,07). 0

16 reoro de logo prazo. De fao, da equação (3) vê-se que sso deve ser gual a /(m-) vezes o aual spread dos reoros (yeld) de curo e logo prazos. 9 Já da seguda lusração vu-se que a axa méda de curo prazo deve gualar (ao logo da vda do íulo de logo prazo) a axa corree de reoro (yeld) do íulo de logo prazo. Assm, requer-se que a dfereça ere a axa méda de curo prazo ao logo dos (m-) períodos resaes e a axa corree de curo prazo seja gual a m/(m-) vezes o spread corree ere as axas de reoro de logo (yeld) e curo prazos A Taxa de Juros Fuura Prevamee Coraada (Forward Rae) Em vsa da cereza com relação à axa de juros fuura o vesdor pode preferr coraar esse valor prevamee (forward rae). A axa de juros coraada é obda das axas (spo) de juros para períodos de empo o fuuro. Supoha, por exemplo, que as axas spo para vesmeos de um e dos aos sejam, respecvamee, 0 e %. Assm, a axa fuura, coraada para vgorar ere o prmero e segudo aos, deve er valor al que, uma vez cosderada a axa spo para o vesmeo de um ao (0%), redera o mesmo que uma aplcação de dos aos coraada à axa spo de %. Mas precsamee, usado-se capalzação coíua e cosderado-se um capal de $,00, em-se [ver Hull (993)]: 9 O ese empírco sera, pos, obdo da regressão: r m-,+ - r m = α+β(r m - r ) / (m-), com β =. Cudados especas devem ser omados para evar erro de mesuração com relação à axa de reoro de logo prazo, pos como essa varável em o sal egavo à esquerda da equação e posvo à drea al erro edera a produzr sal egavo para o coefcee β. O uso de varáves srumeas sera recomedado em as crcusâcas, ode os srumeos devem ser correlacoados com o spread dos reoros (yeld), mas ão com o reoro (yeld) que fo meddo com erro; para cosderações adcoas, ver Campbell (995). Esse auor sugere que a mesma formação coda essa regressão é ambém obda da regressão do excesso de reoro por período de reeção de um íulo de logo prazo cora o spread dos reoros (yeld) de curo e de logo prazos. O coefcee da clação dessa seguda regressão sera -β, que, sedo posvo, dcara obvamee uma relação drea ere o spread dos reoros (yeld) e o excesso de reoro por reeção de um íulo de logo prazo. 20 A dervação desse resulado é, usado o exemplo o exo, como segue: [(+x) 29 (+0,04)] /30 = (+0,07), ou [(+x)/(+0,04)] 29/30 = (+0,07)/(+0,04), ou aproxmadamee (x-0,04) = (30/29) (0,07-0,04), ode x é a axa de reoro desejada. Isso pode ser esado emprcamee aravés da regressão (resulado dêco é dervado a Seção 7): m r, + m r = α+ β ( rm r ), com β=. ( m ) ( m ) Campbell (995) sugere que essa regressão coém a mesma formação que aquela ere (/m) vezes o excesso do reoro por reeção, ao logo de m períodos, de um íulo com vecmeo em m cora o spread ere os reoros (yeld). O coefcee para a clação dessa regressão sera -β.

17 0, 0 f 0, ( 2) e. e = e (4) ou seja, f = 0,2, que é, pos, a axa fuura para o ao dos. 2 Cosdere agora que a axa spo de um vesmeo de cco aos seja 2,5% a.a. A axa fuura para o período ere os aos dos e cco sera ese caso (oe-se que a axa de um vesmeo de dos aos é % a.a.): 0, ( 2) f ( 5 2) 0, 25( 5) e. e = e (5) Iso é, f = 0.35 que é, pos, a axa fuura para o período ere dos e cco aos. 22 Vê-se, assm, que a relação ere a axa coraada para o fuuro e as axas spo é dada por: f = ( rm rm) ( m m) (6) ode f, r e r são, respecvamee, a axa fuura, e as axas spo para vesmeos em m e m, ode m > m. Noe-se que esa equação pode ser reescra como: 23 f = r + ( r r) m ( m m) (7) Observe-se que quado m aproxma-se de m e coseqüeemee r aproxma-se de r essa equação fca: 24 2 Com capalzação dscrea sso sera: 0 [ 2 ] [ ( 02 )] 2 [ + r( 02 ; )] [ ] 2 + =, que cosderadas as mesmas axas da [ + r( 0 ; )] ( + r( ; )) + r( ; ) = + r ; ou r( 2 ; ) equação (4) dara cerca de 2%. 22 Com capalzação dscrea sso sera: [ + ( 05) ] 5 = [ + ( 2) ] 2 [ + ( 25) ] 5 r ; r ; r ; 2 ( ) ou ( ( )) [ ] = + r ; r ; , que cosderadas as mesmas [ r( ; )] axas da equação (5) dara cerca de 3,5%. 23 Para ober esse resulado basa somar e smulaeamee subrar r * m/(m * -m) o lado dreo da equação (6). 24 Ver, a respeo, Hull (993) ou Campbell (995). Para uma demosração formal desse resulado basa usar o coceo de lme. Noe-se que a dervada ada mas é que o lme de uma razão quado o seu deomador ede a zero. Assm, se defrmos dr=r * -r e dm = m * -m segue que, quado m * ede para m, dm ede para zero e coseqüeemee o lme da razão δr/δm é a própra dervada. 2

18 f mr = r + m (8) ode dr/dm é a clação da curva de reoro. Essa equação dá a axa fuura saâea para vecmeo em m. Noe-se que a relação ere a axa fuura e a axa de reoro para um íulo com cupom zero é aáloga àquela ere os cusos médo e margal. Vale dzer, se a curva de reoro em clação posva (egava), eão a curva para a axa fuura (espéce de cuso margal resulae da exesão o período do emprésmo) sua-se acma (abaxo) da curva do reoro de logo prazo do íulo (cuso médo do emprésmo por m períodos). 25 É claro que, se a clação desa úlma curva for ula, eão, al as duas axas são dêcas. 26 A relação ere as axas spo (de curo e logo prazos) e as axas fuuras coraadas pode ser aleravamee apreseada como em Shller (990). 27 Assm, seja P(,T) o preço de mercado de um íulo o empo que promee amorzar, o seu vecmeo em T, o prcpal de $,00, ode < T. O ermo do íulo, m, é o empo aé o seu vecmeo, so é, m=t-. O sem preço P(,T) aumea gradualmee com o empo aé alcaçar o valor $,00 em T, e é ese aumeo de preço que dá o reoro do avo. Mas precsamee, o reoro r(,t) é a axa de juros o empo que um regme com capalzação coíua fara P(,T) agr o valor uáro o empo T; vale dzer: 28 PT e T (, ). r T ( ) (, ) = (9) de modo que a axa de reoro aé o vecmeo sera: 25 Ressale-se ada que, se a curva de reoro em clação posva, eão, a curva para os íulos com cupom fca abaxo da curva com cupom zero, pos, havedo o prmero caso pagameos aes do vecmeo do íulo, segue que a axa de descoo para as pagameos deve ser meor do que aquela para o úlmo pagameo. Assm, o caso de clação posva para a curva de reoro, a ordeação para as curvas das rês axas de reoro é da mas ala para a mas baxa: axa fuura saâea, axa de reoro com cupom zero e axa de reoro com pagameo de cupom. Ivere-se essa ordeação quado a curva de reoro em clação egava. Para cosderações adcoas sobre esses poos, ver Hull (993). 26 Esses resulados fcam claros ambém da equação aeror. Noe-se que se a curva de reoro em clação posva, eão r * >r. Segue que f>r * >r. 27 De fao, o agee ecoômco aes de fechar o corao em para a axa fuura a prevalecer o período + compara esa axa com aquela esperada para +, caso decda omar o emprésmo aquela ocasão. A eora das expecavas para a esruura a ermo supõe que as forças de mercado gualem a axa egocada para o fuuro à axa spo esperada para o fuuro, acrescda de um ermo para o prêmo de rsco. Desa forma, cosderado apeas o caso para um período, em-se, após smplfcar a oação: f=e (r + ) + θ, ode θ reflee a dfereça de rsco as duas esraégas (so é, coraar hoje a axa fuura de juros ou assumr o rsco de efrear uma axa maor, caso se ome o emprésmo adae à axa de juros corree). 28 É claro que com base esa equação o preço do avo o empo, < <T, sera: P(,T) e ( -)r(,t). 3

19 r(,t) = -lp(,t)/(t-) (20) É eressae oar que a esruura a ermo em qualquer daa coém mplcamee a axa de juros fuura. 29 Por exemplo, se a esruura a ermo for decrescee ere o prmero e o segudo ao, eão em-se mplcamee que a axa de juros de um ao será meor o próxmo ao do que o corree ao. Para garar a axa de juros fuura, o vesdor em de comprar e veder íulos com dso prazo de vecmeo. Assm, supoha que seja emdo hoje um íulo com maurdade de $,00 em T. Coforme vmos em (9), o preço desse íulo em sera P(,T). Supoha agora que essa quaa fosse aplcada em íulos para serem resgaados em '. Assm, em ' em-se: PT (, ). e, ( ) r (,, ) (2) Se o vesdor egocar, ada em, a aplcação dessa mporâca a uma axa fuura para o período (T-'), de modo que em T obvesse $,00, vra eão:,,,, ( ) r(, ) ( T ) f (,, T) PT (, ). e. e = (22), ode f (,, T) é a axa (forward) coraada em para vgorar de, a T. Noe-se que assm como se procedeu com relação à equação em (9), em-se aqu que o preço de um íulo, hoje, que promee pagar $,00 o vecmeo em ', deve sasfazer a equação:,,, ( ) (, ) P e (, ). r = (23) Combado (22) e (23), vemwazzu : f(,',t) = -l[p(,t)/p(,')]/(t-') (24) que é, pos, a axa fuura coraada em para vgorar de ' a T. De (24) é fácl ober: r(,t) = [('-)r(,') + (T-')f(,',T)]/(T-) (25) 29 A esruura a ermo da axa de juros dscuda aerormee é, agora, a fução que relacoa r(,t+m) a m, com a prmera dessas varáves sedo a axa de reoro de um íulo com vecmeo em m. 4

20 Iso é, a axa para o período compleo é uma méda poderada da axa spo do prmero subperíodo e da axa fuura do segudo subperíodo. 30 Resolvedo-se a equação (25) para f(,',t), em-se o mesmo resulado da equação (6) O Caso do Tíulo do Govero com Cupom Um íulo do govero caracerza-se pela daa de vecmeo e pelo fluxo de pagameos (valor do cupom) regulares. Assm, o preço corree de um avo desse po é smplesmee o valor presee do fluxo de pagameos aé o seu vecmeo mas o valor presee da quaa que o íulo promee pagar o seu vecmeo (valor de face). Mas precsamee, a relação ere essas varáves é, supodo valor de face uáro, dada por: P N N c 00, = + ( RN ) N + ( + R ) N Supodo que o equlíbro o mercado depede do reoro esperado, sera dêco eão reoro de odos os íulos com vecmeo em N, mesmo que eham dsos pagameos de cupom, c. É claro que, se o pagameo de cupom é meor, o preço de mercado do íulo ajusa-se de modo a compablzá-lo com a axa de reoro de logo prazo dos ouros íulos. Desa forma, se a daa de vecmeo dos íulos for dêca e ambém o seu valor de face, segue que os íulos com meor pagameo de cupom eram meor preço corree, e assm maor gaho de capal o seu vecmeo. 3 Para esabelecer agora um resulado semelhae ao da equação (8), que relacoa o preço do íulo com cupom zero à daa do seu vecmeo, cosdere-se o caso do íulo com pagameo de cupom gual a c, que ocorre o empo ( < < ). Nese caso, o preço do íulo, P, e a sua axa de reoro de logo prazo com capalzação coíua, r, esaram assm relacoados: (26) P = = c e r (27) 30 Como lusração, cosdere-se a suação com apeas dos períodos, edo-se, pos, = 0, = e T=2. Assm, a equação (24) fca f(0,,2) = 2r(0,2) - r(0,) e coseqüeemee, f( 0,,2) + r( 0, ) r( 0,2) =. 2 Iso é, a axa para dos aos é a méda da axa spo para um período (um ao) e a axa fuura ambém para um período. Desa forma, se a curva de reoro da esruura a ermo for decrescee ere os aos um e dos, pode-se assegurar que a axa para um ao será meor o próxmo ao do que o ao corree. 3 Nessas cosderações supôs-se o mesmo raameo rbuáro para os gahos de capal, e os redmeos com juros e dvdedos. Todava, se a práca o gaho de capal ver rbuação meor, eão, os íulos com meor cupom, edo uma parcela maor dos seus gahos represeada pelo gaho de capal, daram um reoro bruo meor. Sobre esses poos ver Begg (982). 5

21 A duração (durao) do íulo, que desempeha aqu papel semelhae à daa de vecmeo do caso do íulo com cupom zero, é defda como [ver Hull (993)]: 32 D = N = ce P r (28) A duração de um íulo é, a verdade, uma medda do amaho e mg do seu fluxo de caxa, ou o quao se deve esperar em méda para receber os pagameos que o íulo promee pagar. Noe-se, ese parcular, que um íulo com cupom zero em duração gual à daa do seu vecmeo. Já um íulo com cupom em duração meor do que a sua daa de vecmeo, pos há pagameos aerores a essa daa. Noe-se que: P r r = c e = PD = (29) Segue, pos: 33 P P = Ddr (30) que dfere do resulado em (8) apeas pela subsução do coceo de vecmeo pelo de duração do íulo. Uma vez mas, o preço do íulo é versamee proporcoal à sua axa de reoro de logo prazo (yeld). 32 Com capalzação dscrea sso sera N + D = = P c ( r). Quado é cosae o pagameo de c( + r) ( + r) T Tr( rf c) cupom, essa fórmula pode ser aleravamee escra como D = + rc ( + r) T, ode r P + 2 F é o valor de face do íulo [ver Chace (992)]. Isso facla o cálculo quado T for grade. 33 Caso o pagameo de cupom seja aual, essa expressão fca [ver Hull (993)]: dp Ddr =. Com P + r o pagameo do cupom sedo duas vezes por ao, o deomador dessa expressão sera + r/2, ao vés de + r [ver Chace (992)]. 6

22 4 - O MODELO PARA A ESTRUTURA A TERMO DA TAXA DE JUROS Shller (979) argumea que, dsamee do caso de um íulo com descoo puro (cupom zero), se o íulo for uma perpeudade ou em pagameo de cupom e vecmeo em, eão as axas de juros de um fuuro mas próxmo deveram er peso maor a formação da axa de logo prazo do que as axas de juros para um fuuro mas dsae. Mas especfcamee, a relação ere as axas de curo e logo prazos proposa por Shller é o segue modelo de valor presee: R = α α 0 ( ) α E r (3) + sedo obdo com base a learzação, ao redor de uma cosae α = /( + ρ), da relação exaa da esruura a ermo de um íulo com vecmeo em e pagameo de cupom; ode ρ é uma méda da axa de juros de logo prazo. 34 Nesa versão o esquema de pesos adoado segue uma fução expoecal rucada. Vê-se que, se ede a fo (caso de uma perpeudade), a equação acma reduz-se a: 35 R ( ) E( r+ ) = α α (32) A dervação do resulado em (32) é, com base em Makw (986), como segue. Se P é o preço de um perpeudade que paga $,00 cada período, o seu reoro de logo prazo (yeld) sera eão: Cushg e Acker (994) ressalam que há algus pressuposos resrvos por rás desse resulado, dere os quas o de um valor cosae para o ermo do prêmo de rsco. Além dsso, os auores argumeam que, ao mesmo empo em que Campbell (986) procura defeder essa equação, ambém recohece que a aproxmação lear usada a sua dervação só sera válda caso as axas de juros de curo prazo ão varassem muo o empo. Ocorre que, como sugere Shea (99), a varação dessas axas, pelo meos os Esados Udos do pós-guerra, é sufceemee grade para que a aproxmação lear possa ser jusfcada. 35 Com axas de juros varáves essa equação fcara [ver Mlls(993)]: R j = j + j Er δ = +, ode 0 δ =. ( + r ) 0 36 Noe-se que, se P0 = + + ( + r) ( + r) 2 ( + r), em-se eão P0 =. R 7

23 R = (33) P Chame agora o reoro pela reeção de uma perpeudade por um período de H. Como a axa de reoro pela reeção de uma perpeudade ere o período a + e que paga um cupom de $,00 por período deve levar em coa ao o valor do cupom quao o gaho de capal o período, em-se: H P P = + + P (34) Levado em coa esa equação o reoro de logo prazo (yeld) dado em (33), obém-se: H R R = R + + R + (35) Uma aproxmação obda pela learzação da equação (35) resula em: 37 H R R + ρ R (36) que evolve, pos, a mera subsução o deomador da equação (35), so é, do reoro de logo prazo em +, por uma espéce de axa méda de reoro de logo prazo, ρ. Pela equação (36) vê-se que, caso a axa de reoro de logo prazo (yeld) ão se alere ere os empos e +, o reoro pela reeção de uma perpeudade por um período sera gual à sua axa de reoro de logo prazo. Se, por ouro lado, a axa de reoro de logo prazo aumear (dmur), o vesdor era uma perda (gaho) de capal quado reém a perpeudade por um período, já que ese caso Os resulados em ada mudam se a perpeudade, ao vés de pagar $,00, pagasse qualquer d ouro valor. Se al valor fosse d, por exemplo, eão P =. R 37 Se ao vés de uma perpeudade o íulo vecesse em períodos, essa equação sera [ver Shller (979)]: H R R + = α + ( α ), ode α = α. α α ( ) 8

24 a sua axa de reoro por maer o avo de logo prazo por um período sera meor (maor) do que a sua axa de reoro de logo prazo. Para cosderar a eora das expecavas a esruura a ermo da axa de juros, defa-se o ermo do prêmo como sedo a dfereça esperada ere o reoro obdo em reer-se uma perpeudade por um período e o reoro de um íulo de curo prazo, r, mas precsamee: ( ) θ E H r = (37) Assm, o prêmo represea o reoro adcoal por se reer um avo de logo prazo ao vés de um avo de curo prazo. É úl reescrever essa equação levado em coa a relação dada em (36), ou seja: R r = ( ER R) + ρ + θ (38) mosrado que o spread ere as axas de curo e de logo prazo reflee as mudaças ao as axas de logo prazo como o ermo do prêmo de rsco. Removedo o operador da esperaça maemáca, o excesso de reoro pela reeção do íulo, H -r, pode ser escro como: R r = θ + v + (39) ode: v + ( R E R ) + + ρ (40) Supodo que o ermo do prêmo de rsco seja cosae o empo, vem: R r = θ + v + (4) Quado esa equação é escra levado em coa a equação (36), em-se: 9

25 ( ) R R = ρθ + ρ R r ρ v (42) + + ode o spread ere as axas de juros de curo e de logo prazos (clação da curva de reoro) é agora um prevsor da varação a axa de juros de logo prazo. Assm, se a clação da curva de reoro for posva (egava), segue que a axa de reoro de logo prazo deve aumear (car). A equação (42) pode ser aleravamee escra como uma relação ere a axa de logo prazo e as axas esperadas para o curo prazo. Assm, seja calmee: ρ ρ ρ R = r + ER+ + + ρ + ρ + ρ θ (43) que, quado resolvda recursvamee para free, produz: 38 R = θ + ( α) α E r+ j (44) 0 ode, uma vez mas, α =. Iso é, a axa de reoro (yeld) de uma + ρ perpeudade, R, é uma méda geomérca, com pesos decrescees, das axas fuuras de juros de curo prazo. A parr desa equação obém-se: Escreva a equação seqüecalmee em rês períodos, por exemplo, como: R = ( α) r + αer+ + ( α) θ () R+ = ( α) r+ + αe+ R+ 2 + ( α) θ (2) ( ) ( ) R+ 2 = α r+ 2 + αe+ 2R+ 3 + α θ (3) Susudo (3) em (2),vem: R+ = ( α) r+ + αe+ [ ( α) r+ 2 + αe+ 2R+ 3+ ( αθ ) ] + ( αθ ) (4) Após subsur (4) em (), em-se: R = α r + αe α r + αe ( α r + αe R + α θ + [ ] ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( αθ ) ] + ( αθ ) = ( ) αα r α( α) r α α ( α) R α ( αθ ) α( αθ ) + ( αθ, ) que, para ededo a fo, sera: R = ( α) α E r+ + θ 0 2 Noe-se que ( α)[ + α+ α α ] = ( α) lm α = lm = 0 + ρ 39 Esse resulado pode ser assm demosrado: α =, pos α 20

26 R r = θ + α E r+ (45) Desa forma, se o spread for elevado as fuuras axas de curo prazo devem esar em méda acma da axa corree de curo prazo. Aleravamee, o spread aual ere as axas de curo e de logo prazos é um prevsor das varações fuuras das axas de curo prazo. 40 Um aspeco úl dessa relação para o ese empírco é que se ao a axa de curo prazo como a axa de logo prazo verem ordem de egração gual a um, I(), so é, a prmera dfereça das respecvas varáves é esacoára, eão o spread deve ser esacoáro, ou seja, há co-egração ere as axas de curo e logo prazos, cujo veor de co-egração é (, -). Isso perme mosrar, coforme se verá, que o modelo de valor presee do po aqu dscudo equvale à esmação de um modelo VAR (Vecor Auoregressve Sysem) com resrções os seus parâmeros. R r = α Er+ r α α Er+ 0 0 (Noe-se que α 0 E r = r ). α Er + α Er + = α E r Resulado semelhae pode ser obdo do caso geral dado a equação (3) que, por coveêca, é aqu reproduzda: R α = E α ( r + ) α 0 Subraa-se λr de ambos os lados da equação, ode λ = ( α ) R λ r = λ E r α + λα α E r + λ r 0 0 = λα 0 λ + λ α r r Er + λ α E r + λ α E r λ α E r λα + + E r+ = λ α E r+ λα E r + que para λ= e α =0 produz o resulado em (45) [ver Mlls (99)]., obedo-se: 2

27 5 - TAXA DE JUROS DE LONGO PRAZO E TAXA DE INFLAÇÃO FUTURA Um segudo modelo de valor presee pode ser ada aqu obdo edo a axa de juros corree de logo prazo como prevsor das axas de flação fuura. Mas precsamee, com base a equação de Fsher e cosderado a learzação do reoro de uma perpeudade, os moldes da dscussão o coexo das equações (3) e (32), obém-se, coforme Shller e Segel (977) [ver Egsed (992)]: = ρ + ( ) j R b b E π j= + j (46) ode " é a axa de juros real (cosae) e π é a axa de flação e b = + ", como sedo a axa de juros real (presumda cosae). Assm como se precedeu o caso do spread ere as axas de juros de curo e logo prazos dado a equação (45), pode-se rasformar essa equação de modo a orá-la mas adequada ao ese 22

28 empírco. Com esse objevo, após subrar bπ de ambos os lados da equação, vem: 4 j R bπ = ρ+ b E π (47) j= + j Desa forma, se ao a axa de flação como a axa de juros de logo prazo forem I(), eão a dfereça ere essas varáves deve ser I(0), já que a prmera dfereça da axa de flação sera ese caso I(0). Vale dzer, as varáves axa de juros e axa de flação devem co-egrar, com veor de co-egração (, -b). Uma vez mas, reca-se, pos, um problema de esmação de um modelo VAR com resrções os seus parâmeros. 4 Ese resulado é assm obdo: R b b ( b) b j π = ρ π + E π + j = ρ+ ( b) b j E ( π + j π ). j= j= Noe-se que ( ) Além dsso, ( b) b b j = b b j ( b) π π ( ) π =. j= j= = + ou b = b + = b ( )( ) Segue que ( b) b π = bπ. Além dsso b j E ( π + j π ) ( b) b j E π + j. j= j= j= Defa-se agora: B b j = ( πl+ j π l), ode d=/+r. Como b j + r = + + =.... = r, + r r + r r j= j= pos lm ( + r) = ( π π ) π π π π ( π π ) Tem-se: 0, e ( π π ) + = π+ ;( + 2 ) = ( ) + + = π+ 2 + π+ ec.. + j = π+ + π π+ j, pos b j ( + j ) = b + b + + b j b b b j π π 2... π π j= Observe que: b ( π ) b b 2 ( ) b 2( ) b 3 + π = π +, π + 2 π = π + 2 π +, ( π + 3 π ) = = b 3 ( π+ 3 + π+ 2 + π+ ), e b b 2 b j = ( b) ; b 2 b 3 b j = ( b) + r r 2 ec. + Desa forma, ( ) ( ) Como ( b) ( ) b j π+ j π = b b j π + j. j= j= ( + r), o resulado em (46) fca, pos, demosrado. = r Noe-se que caso o somaóro em (46) ce em zero, ao vés de um, em-se: R b j E j b b j π = ρ π + π + E π + j = ρ + b j E π + j j= 0 j= 0 j= b j Eπ+ j = ρ + b j E π+ j j= j= 23

29 6 - SOBRE A IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO DE VALOR PRESENTE As duas versões do modelo de valor presee apreseadas as equações (45) e (47) equvalem, coforme já mecoado, a esmar um modelo VAR com resrções os parâmeros. Esse resulado é demosrado a segur com base em Campbell e Shller (987). Como os dos modelos êm bascamee a mesma forma, basa usar um deles a exposção. Assm, seja o modelo: 42 S = R r = α E r+ (48) que mosra, coforme já fo dscudo, o spread ere as axas de curo e de logo prazos, S, como uma fução das varações fuuras as axas de juros de curo prazo, r +. Sabe-se que se duas varáves de um dado modelo co-egram (so é, uma combação lear delas sera esacoára), eão como a prmera dfereça de cada uma dessas varáves sera ão-esacoára elas combadas eram uma represeação VAR bvarada de ordem fa (decomposção de Wold); embora o modelo possa ser aproxmado por um ssema VAR coedo apeas p defasages. Se ese for o caso das varáves do modelo de valor presee dado, por exemplo, a equação (48) eão a sua represeação VAR sera: r al S = cl ( ) bl ( ) ( ) dl ( ) r S u + u 2 (49) ode, ( ) 2 p al = a + al 2 + al al p, com L sedo o operador de defasages (lag operaor). Campbell (987) demosra eão que modelos de valor presee, como o da equação (48), equvalem a esmar modelos VAR após mpor resrções os seus parâmeros, que o caso aqu seram: a = -c,...,a p = -c p, d +b = α -, b 2 = -d 2,..., b p = -d p (50) Isso pode ser assm demosrado. Seja o modelo VAR em (49) represeado aleravamee por: r r p S S p + + a... apb... bp r u I p r 0 p 0 + c... cpd... dp S u2 0I p S p 0 (5) 42 Exceo pela exclusão do ermo para o prêmo de rsco, essa equação é dêca àquela dada em (45). 24

30 que em oação marcal sera: z = Az + v (52) ode:, [ ] z r r S S (53) e: = p+ p+ v [ = u ] (54) u Noe-se que da equação (52) obém-se a prevsão codcoada: j Ez + = Az (55) j Desa forma, a varável do lado dreo da equação (48) pode, em vsa da sua represeação em (5), ser escra como: E r + = h, A z (56) j ode h' é um veor lha edo a udade como prmero elemeo, com odos os demas elemeos sedo zero. Do mesmo modo, para a varável do lado esquerdo da equação (48) em-se: S = g, z (57) ode g' é um veor lha cossdo de p zeros, segudos do úmero um, e ovamee p - zeros. Esses dos úlmos resulados subsuídos o modelo de valor presee da equação (48) produzem:,, gz = α haz (58) Cosdere-se, em seguda, a segue aproxmação: 25