Dnâmca do Sstema Sola Intodução Poblema de dos copos Poblema de N copos e movmento planetáo Dnâmca de pequenos copos Poblema de 3 copos Movmento essonante Caos
Intodução Segunda le de Newton F = Le da gavtação de Newton j F m a j j = Gmm = j j j 3 j Equação de movmento d dt 2 2 = Gm j j 3 j
Poblema de dos copos O cento de massa é um sstema necal => eq. do movmento elatvo: 2 d 2 dt = G( m j + m) 3 O momento angula se conseva (3 constantes) A enega se conseva (1 constante) A foça não depende do tempo => equação da tajetóa
Poblema de dos copos Solução: óbtas kepleanas defndas po um conjunto de paâmetos chamados elementos obtas Sem-exo mao Excentcdade Posção do copo na óbta (ou anomala)
Poblema de dos copos Inclnação Posção do nodo Posção do pecento
Poblema de N copos Não ha sufcentes constantes do movmento => poblema sem solução Pocuam-se apoxmações e smplfcações: Modelos petubatvos Modelos esttos
Modelos petubatvos A déa é esceve as equações do movmento na foma: m d dt 2 2 = foça pncpal foça petubatva de foma que a foça petubatva seja pequena compaada com a foça pncpal +
Modelos petubatvos Poblema planetáo R é a denomnada função petubadoa ) ( ) ( ) ( 2 2 3 3 3 2 2 k j j j j j j R m M G dt d Gm m M G dt d + + = + + =
Modelos petubatvos Solução 1: método de vaação das constantes dx = f ( x) dt x( t, c) dx = f ( x) + εg( x) dt x( t, c( t))
Modelos petubatvos O movmento planetáo é epesentado po óbtas kepleanas que mudam com o tempo dc dt = h( c) c( t, c0) No caso planetáo é possível esolve estas equações fazendo-se cetas smplfcações na função petubadoa
Modelos petubatvos Solução 2: teoa de petubações dx dt dx = f ( x) + εg( x) dt x x = f ( x ) + ε n g ( x )
Modelos petubatvos A teoa de petubações leva mplícta a aplcação de um método de méda f ( x ) = f ( x ) + ε g( x ) Atavés da méda elmno os temos da petubação que osclam apdamente => movmento secula
Modelos petubatvos Paa manpula um modelo petubatvo é necessáo desenvolve a função petubadoa R( k ) R( ek ) Isto é feto, bascamente, atavés de sées de Foue R( e ) = n cos( θ k C n) n
Modelos petubatvos Assm, faze uma méda da função petubadoa é equvalente a cota da sée os hamôncos de cuto peíodo R( e ) = ( ) θ k R ek d paa cetos Fscamente, a méda é equvalente a espalha a massa do copo ao longo de um anel 2π 0
Modelos petubatvos Como os planetas se movem em óbtas quase cculaes e co-planaes, podemos fca apenas com os pmeos temos do desenvolvmento: O sem-exo dos planetas não tem vaações seculaes A excentcdade e nclnação apesentam vaações de longo peíodo O peélo dos planetas avança em sentdo deto O nodo das óbtas pecesa em sentdo etógado
Modelos petubatvos Pncpas conseqüêncas da aplcação de modelos petubatvos A compovação da establdade do sstema planetáo A descobeta de Netuno A descobeta da pecesão do peélo de Mecúo A evdênca de caos no sstema planetáo
Modelos petubatvos Os planetas teestes evoluem caótcamente
Modelos esttos A déa é smplfca o poblema assumndo que um dos copos tem massa despezível O poblema equvale ao de uma pátícula de teste movendo-se num dado potencal
Poblema de 3 copos estto Sol + Júpte + asteóde Sol + Tea + Lua Sol + Netuno + tans-netunano Satuno + Satélte + patículas dos anés Não é ntegável, mas podemos deduz cetas popedades do movmento
Poblema de 3 copos estto Pontos Laganganos e supefíces de Jacob
Poblema de 3 copos estto Pncpas esultados obtdos com o P3CR: Os asteódes Toanos
Poblema de 3 copos estto Pncpas esultados obtdos com o P3CR: A óbta da Lua é estável (fundamental paa que o exo de otação da Tea também seja estável!) Manobas de tasnfeênca de óbta Pocessos de captua de satéltes etógados O papel das essonâncas na dnâmca dos asteódes e dos objetos tans-netunanos
Poblema de 3 copos estto Pncpas esultados obtdos com o P3CR: Os fenômenos de maé nos satéltes galleanos (Io) A estutua dos anés de Satuno (Pan e o anel F)
Ressonâncas Ressonâncas ocoem quando algúm hamônco na função petubadoa tem uma feqüênca póxma de zeo θ n = n λ + n λ j + n ϖ + n ϖ 1 2 3 4 j + n5ω + n6 Ω j
Ressonâncas Nesse caso, é possível aplca uma tansfomação θ n θ n tal que as equações se tansfomam naquelas de um péndulo => θ n oscla em tono de um valo fxo
Ressonâncas Exemplo: na essonânca 2/1 com Júpte o asteóde completa duas voltas em tono do Sol no mesmo tempo em que Júpte completa uma. Nesse caso θ2/1 = 2λ λ j ϖ o que sgnfca que o asteóde e Júpte se eencontam quando o asteóde está no peélo 0
Caos no Sstema Sola
Caos no Sstema Sola Os asteódes póxmos da Tea
Caos no Sstema Sola O movmento de Plutão é caótco em escalas de 1 blhão de anos
Caos no Sstema Sola O cntuão tansnetunano
Caos no Sstema Sola Os planetas extenos
Caos no Sstema Sola A otação de Toutats e Hypéon