TRANSFORMADA Z A transformada Z (TZ) tem o mesmo papel, para a análise de sinais e sistemas discretos LTI, que a transformada de Laplace na análise de sinais e sistemas nos sistemas contínuos do mesmo tipo. Assim como no domínio da transformada de Laplace (TL), a convolução entre dois sinais o domínio do tempo corresponde ao produto de suas transformadas no domínio TL, a soma de convolução no domínio discreto corresponde ao produto de suas transformadas Z no domínio TZ. Esse procedimento simplifica muito a análise de sistemas discretos, alem disso a transformada Z permite a carcterização dos sinais e sistemas LTI em termos dos polos e zeros de suas respectivas funções de transferências discretas no domínio do plano Z. DEFINIÇÃO: A transformada Z de um sinal x(n) é definida como a série de potências: Onde z é uma variável complexa e pode ser indicada como. REGIÃO DE CONVERGÊNCIA: Como a transformada Z é a soma de uma série geométrica, ou seja a soma das potências negativas de z, ela deve ser utilizada com parcimônia, já que pode apresentar não convergência em seu uso, o que caracterizaria instabilidade do processo representado, assim é fundamental estabelecer as condições para que a série opere em uma região de convergência (ROC Region Of Convergence), ou matematicamente: É fundamental a especificação da ROC para que não hajam ambiguidades no uso da transformada Z, para dar um exemplo do que se trata, suponha que se deseje obter a transformada z de e de, as respectivas transformadas são: 1
Pela definição da série geométrica, a mesma converge apenas para a condição na qual, ou seja a ROC exige que ou que, que no plano complexo, define uma região no exterior de um círculo de raio, no plano Z complexo. No caso do segundo sinal temos, Fazendo obtemos: A ROC para esse caso ocorre na condição ou que o que ocorre no interior do círculo de raio no plano Z complexo. Conclusões gerais: A transformada Z de uma sequência discreta, juntamente com sua ROC define de forma inequívoca a referida sequência, ou seja não é possível determinar uma transformada Z sem conhecer sua respectiva ROC. Todas transformadas Z que tem sua forma como uma função racional em z, podem ser decomposta em termos da forma: PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z: a) Linearidade Se e então: Onde a ROC resultante é uma intersecção da ROC 1 e da ROC 2. b) Deslocamento temporal Se então: A ROC é mantida. c) Escalonamento no domínio Z. Se, ROC:, então: d) Inversão temporal: Se então: 2
e) Diferenciação em Z: Se então: Mesma ROC f) Convolução de duas sequências: Se e então: g) Correlação de duas sequências: Se e então:. h) Multiplicação de das sequências: Se e então: Onde C é um caminho fechado que contem a origem e se encontra na ROC comum a e. i) Relação de Parseval: Se são sequências complexas, então: Será vista oportunamente. j) Teorema do valor inicial: Se x(n) é causal, ou seja, para, então: TRANSFORMADA Z UNILATERAL: Se o sinal é causal,ou seja é nulo para índices temporais negativos, etão: 3
No caso geral, quando se obtém uma transformada Z cujos índices vão de 0 a diz-se que a mesma é uma transformada Z unilateral. O limite inferior é a única diferença, já que é sempre nulo indenpendente do sinal ser ou não causal ( ). Algumas propriedades importantes associadas a esta transsformada são: a) Não contem informações sobre para. b) É única apenas para sinais causais. c) A transformada Z unilateral satisfaz, sendo a função degrau unitário. d) Como é causal, a ROC de e portanto a ROC de é sempre exterior a um círculo de raio. Outras propriedades: Retardo temporal Se, então: Avanço temporal Se, então: Teorema do valor final Se, então: CAUSALIDADE E ESTABILIDADE Um sistema é estável quando, diante de entradas limitadas (finitas) se obtem saídas limitas (finitas), que classificamos como um sistema BIBO (Bounded Input Bounded Output). Utilizando a transformada Z, um sistema é estável no sentido BIBO quando a transformada Z de sua resposta impulsional apresenta todos os polos dentro de uma circunferência unitária no palno complexo Z. Esta característica torna a transformada Z uma ferramenta muito útil na análise de sistemas discretos. Para estudar a causalidade de um sistema, a transformada Z também pode ser utilizada. Assim um sistema é causal se e somente se a ROC de sua transformada Z para a entrada impulsional, situa-se no exterior do círculo. 4
CÁLCULO DA TRANSFORMADA Z INVERSA: A finalidade da transformada Z no processamento digital é a análise de sistemas lineares do tipo LTI no tempo discreto. A forma de procedimento na grade maioria dos casos, é passar do domínio temporal para a transformada Z para a realização de uma operação específica e posteriormente voltar novamente ao domínio do tempo discreto (ou temporal). Essa operação é realizada pela determinação da transformada Z inversa (TZI). Existem métodos mais ou menos formais para a realização desse procedimento, o qual pode ser definido matematicamente por: Onde C é qualquer contorno que envolva a origem e se encontra na ROC de X(z). A integral é realizada em uma circunferência em sentido anti-horário. Existem três formas básicas para o cálculo da transformada Z inversa: 1) Cálculo direto utilizando a integral de contorno Sempre que os polos forem simples. Se não tiverem polos dentro do contorno C para um ou mais valores de n, então para esses valores. 2) Expansão em uma série de termos em z e z -1. A idéia é expandir em uma série de potências da forma: Que converge na dada ROC. Como a transformada Z é única. Quando for racional, a expansão é feita dividindo o numerador pelo denominador 3) Expansão em frações parciais: A idéia é apresentar como uma combinação linear: 5
Onde são expressões com transformadas Z inversas de disponíveis em tabelas de pares de transformadas disponíveis na literatura. Se a decomposição for possível utilizado a propriedade de linearidade obtemos: Esse método é bastante útil se a transformada Z for expressada em uma forma racional do tipo: Como as sequências com as quais trabalhamos são quase sempre as mesmas, os dois últimos métodos são os preferidos por sua facilidade de operação. Método de Inspeção: O método de inspeção consiste no reconhecimento de determinados padrões utilizando as tabelas de transformadas, como a mostrada abaixo que é a bastante limitada, mas bastante útil para aplicações úteis. Sinal temporal Transformada Z ROC 1 Todo o plano Z Pequena tabela de transformadas Z. DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES SIMPLES: Em muitas ocasiões a transformada Z inversa não pode ser encontrada diretamente através da tabela, uma vez que os padrões da tabela não casam com a funcional racional encontrada, mas devido a propriedade de linearidade da transformada, é possível expandir a transformada original de modo a 6
expressa-la em conformidade com os padrões definidos nas tabelas de transformadas. É possível verificar a seguinte relação entre a transformada Z e os sinais temporais na ROC. Pode se verificar existem duas transformada Z para dois tipos diferentes de sequências temporais, porém as ROCs são diferentes segundo o tipo de sinal considerado (causal e não causal). Assim, uma transformada Z da forma: A expressão que define a transformada Z é: Se compararmos esse somatório com o resultado da divisão obtem-se:,,,,,, ANALISE DE SISTEMAS LTI UTILIZANDO A TRANSFORMADA Z: A transformada Z é uma importante ferramenta na análise e representação de sistemas LTI discretos. Isso ocorre principalmente devido a sua capacidade de realizar convolução de maneira simples, apenas uma multiplicação dos sinais em sistemas em convolução. Assim é possível a determinação da saída de um sistema sem a necessidade de realizar diretamente uma operação de convolução, mas apenas uma multiplicação no domínio da TZ. SISTEMAS LTI CARACTERIZADOS POR EQUAÇÕES A DIFERENÇAS LINEARES COM COEFICIENTES CONSTANTES: Uma das principais características da transformada Z é sua substituição prática da transformada Z nas operações de convolução, que transformam-se em simples multipicações. OS SISTEMAS LTI CARACTERIZADOS POR EQUAÇÔES A DIFERENÇAS COM COEFICIENTES CONSTANTES 7
Os sistemas LTI caracterizados por equações a diferenças com coeficientes constantes, de forma generalizada, podem ser descritos pela expressão: Aplicando-se a propriedade de deslocamento no tempo obtemos: O que define a função de transferência: Note-se que a função de transferência não traz informação alguma sobre a ROC. A partir dessa definição estabelece-se os seguintes modelos: Sistema FIR (media móvel): Se para temos: O sistema tem M zeros determinados por O sistema tem M zeros determinados por e um pólo de ordem M na origem ( ). Esse sistema também é conhecido como sistema tudo zero. Esse sistema tem uma resposta de duração finita (FIR=Finite Impulse Response) o que significa que para. Sistema IIR (autoregressivo): Se para, obtemos: Esse sistema tem N polos determinados por e um zero de ordem N na origem ( ). Isso torna esse sistema conhecido como sistema tudo polos. O sistema tem uma resposta impulsional de duração infinita (IIR, Infinite Impulse response), o que significa que para. Sistema ARMA. Quando se tem a expressão conjunta Tem-se um sistema ARMA (Autoregressive Moving Average) que possui zeros e polos em um sistema do tipo IIR. 8
A RESPOSTA EM FREQUENCIA UTILIZANDO A TRANSFORMADA Z A resposta em frequência de um sistema pode ser determinada utilizando a transformada Z substituindo pela variável complexa. Assim uma determinada transformada Z substituindo a variável complexa por é definida por: Onde e são os zeros e polos da transformada Z da resposta ao impulso, a resposta em frequência do sistema é dada por: Se houver interesse apenas no módulo da resposta em frequência esta expressão deve ser substituída pela seguinte expressão: Os termos que aparecem nos diferentes produtos são a distância que existe entre os zeros/polos e o número complexo do módulo 1 e da fase (pontos que definem a circunferência de raio unitário). Esta igualdade permite a determinação da resposta em frequência de forma intuitiva a partir de seus polos e zeros. Um exemplo disso é a eliminação de uma série de frequências. A transformada Z desse sistema terá seus zeros em, onde é a frequência de amostragem. Se for desejável determinar a resposta em fase, com a equação que define utiliza-se: OBTENÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS A PARTIR DE SISTEMAS CONTÍNUOS Existem numerosos métodos de projeto de controle de sistemas contínuos que estabelecem a base para os projetos de sistema discretos no tempo. Denomina-se a transformação de sistemas contínuos em sistema discretos de 9
transformações bilineares invariantes ao impulso e são bastante utilizadas nos projetos de filtros digitais, como será visto posteriormente. O esquema de transformação é o seguinte: O esquema parte da transformada de Laplace de um determinado sistema contínuo, a partir do qual é obtida a resposta ao impulso do sistema. A maioria dos sistema contínuos possui sua função de transferência na forma de um função racional em. que podem ser sintetizadas pela seguinte expressão: Cada um desses termos tem uma transformada de Laplace inversa igual a, assim a resposta ao impulso do sistema contínuo é: que amostrada com período fornece: Calculando a transformada Z deste sinal temporal discreto utilizando a conceituação ou uma tabela de transformadas, obtemos: Ou por caminho direto entre as transformadas: 10
OBTENÇÃO DE ESTRUTURAS DIGITAIS Os sistemas digitais podem ser configurados basicamente em sistemas em cascata ou sistema em paralelo, o que pode ser feito através da transforma Z sem maiores problemas. A relação que vincula a entrada a saída de um sistema no domínio da transformada Z é: Sendo que pode estar disposta de diferentes formas, as quais podem ser: Que no primeiro caso seria algo do tipo: Que conduz a transformada Z inversa: Onde é a transformada inversa de. Esta expressão indica que a saída do sistema é uma soma das saídas de uma série de sistemas uma vez que existe uma estrutura em paralelo. No segundo caso, a estrutura está conectada em cascata onde certamente deverá se levar em conta os atrasos e possíveis situações de saturação e não-linearidades disso decorrentes. 11
EXERCÍCIOS SOBRE TRANSFORMADAS Z ETZ1) Determine a transformada inversa de, aplicando: a) Diferenciação no domínio Z. b) Desenvolvimento em série de potências c) Divisão direta ETZ2) Determine a transformada inversa de propiedade de diferenciação direta. utilizando a ETZ3) Um sistema é excitado por uma entrada degrau discreta dada por, determinar:, a saída é a) A resposta ao impulso do sistema. b) As condições imposta a para que o sistema seja estável. c) Discuta a causalidade do sistema. ETZ4) Projetar um sistema digital causal, que excitado pela entrada elimine as duas primeiras componentes e deixe a terceira inalterada salvo por uma determinada defasagem e a partir desse projeto, determinar: a) A resposta ao impulso do sistema. b) A saída do sistema quando. ETZ5) Determinar a transformada Z inversa de utilizando: a) Série de potências b) Diferenciação no domínio Z. ETZ6) A série ou sequência de Fibonacci é bastante utilizada em economia e vem definida da seguinte forma: Dados dois termos iniciais quaisquer, o termo n ésimo é definido como a soma de seus dois termos anteriores (n-1) e (n-2). Utilize a transformada Z para determinar a expressão geral (sem recorrências) de um termo dessa série considerando os dois primeiros termos iguais a unidade. ETZ7) Determinar a resposta ao impulso do sistema causal definido or: ETZ8) Implementar utilizando o menor número possível, o sistema digital equivalente a sistema contínuo definido pela seguinte transformada de Laplace: 12
Com uma frequência de amostragem ETZ9) Determine a transformada Z da sequência temporal. com ETZ10) Dados os diagramas de blocos mostrados na figura abaixo, com as sequências: ETZ11) Implemente um sistema digital causal, utilizando o menor número de retardos cuja resposta impulsional seja correspondente ao seguinte oscilador: ETZ12) Dado o sistema de equações a diferenças acopladas Determinar: a) A relação existente, em termos de equações a diferenças, entre y(n) e x(n). b) A resposta ao impulso do sistema que define a relação entre as entradas. ETZ13) Um sistema bastante empregado em processamento digital de sinais é conhecido como prémediador móvel e é definido pela seguinte equações a diferenças: Que realiza uma pré mediação dos últimos N pontos de uma sequência. 13
a) Determinar um sistema recursivo equivalente desse prémediador. b) Comente, em virtude da posição dos polos e zeros do sistema, a resposta em frequência (magnitude) desse sistema. ETZ14) Determine a correlação cruzada dos sinais utilizando a transformada Z e sabendo que se cumpre a relação ETZ15) Dada a transformada Z da resposta ao impulso de um sistema causal e Determine a resposta ao impulso. ETZ16) Dado uma sistema definido por que tem polos e e com um par de zeros na origem, determinar a saída do sistema em estado estacionário quando a entrada é: Utilizando a transformada Z e a resposta em frequência do sistema. ETZ17) Determine a saída de um sistema cuja resposta ao impulso unitário é quando a entrada é: ETZ18) Um sistema causal é definido pelas seguintes equações a diferenças: a) Determinar a equação a diferenças entre. b) Discuta a estabilidade do sistema. c) Determine a saída de regime quando a entrada é: EZT19) Dois sistemas possuem funções de transferências discretas e tal que para toda entrada nas topologias apresentadas abaixo, ocorre a saída. Determinar: a) As respostas impulsionais e. b) A estabilidade dos sistemas. 14
ETZ20) Implemente um sistema digital, utilizando o menor número de tempos de retardos tal que o ganho máximo seja 10 na frequência e deixe o resto das frequências inalteradas. (. ETZ21) Determine um sinal discreto que dá lugar para a seguinte transformada Z. ETZ22) Um sistema causal tem transformada Z tal que, sua resposta ao impulso apresenta os polos e zeros mostrados na figura abaixo. Determinar a resposta desse sistema assim com esboce sua resposta em frequência. ETZ23) Dado o sistema definido por: Determinar sua resposta ao impulso.qual será a saída do sistema se sua entrada for? ETZ24) Dado o sistema definido pela função de transferência 15
Determinar: a) Os polos e zeros do sistema. b) Esboce o módulo da resposta em frequência do sistema para a entrada Com determinar a saída de estado estacionário do sistema para a entrada especificada. c) Determinar o valor mínimo de D se esse sistema for utilizado para eliminar a interferência de ruído de rede (60Hz) em um sistema de eletrocardiografia. ( ). ETZ25) Projetar um sistema para eletrocardiografia de forma que elimine a componente contínua e a componente de 60Hz, alternando o menos possível o restante das componentes de frequência do ECG. Implemente o sistema utilizando o menor número de retardos e frequência de amostragem de 300 Hz. ETZ26) Um sistema causal LTI tem saída dada por e entrada dada por Determinar sua função de transferência, o diagrama de polos e zeros e indique qual o tipo de filtro o sistema realiza. ETZ27) Um sistema estável de segunda ordem tem uma resposta ao impulso dada por. Se a entrada do sistema é uma sequência exponencial complexa do tipo, determinar a função de transferência do sistema e a saída para a entrada especificada. Obtenha a saída em regime estacionário para o caso particular dado por,,, e 16