Capítulo 9 A Derivada de uma Função 9. Definição No Cap. 5, motivados pela geometria, vimos que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função f, em um ponto ( 0, f( 0 )), é obtido tomando-se o ite das declividades de uma seqüência de retas secantes que convergem para a tangente, mais precisamente, o coeficiente angular m da tangente é dado por conforme mostra o diagrama a seguir: m = 0 f() f( 0 ) 0 Esta definição do coeficiente angular da tangente ao gráfico de uma função f, no ponto ( 0, f( 0 )), nos leva à definição de derivada de uma função em um ponto. Definição A derivada de uma função f em um ponto 0 do seu domínio, denotada por f ( 0 ) (lê-se f linha de zero) é f ( 0 ) = 0 f() f( 0 ) 0, se esse ite eistir. Neste caso, dizemos que a função f é derivável ou diferenciável nesse ponto. Se f for derivável em todos os pontos do seu domínio, dizemos, simplesmente, que f é derivável ou diferenciável. A razão f() f( 0) é chamada de razão incremental ou quociente de diferenças. 0 É importante notar que f ( 0 ) é a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 0, f( 0 )). Assim, a função f é derivável em 0 se e somente se eiste a reta tangente (não vertical) à curva y = f(), no ponto ( 0, f( 0 )). 9. Calculando derivadas: alguns eemplos Eemplo Considere a função f() =, 0. Para determinar a derivada dessa função, em um ponto 0 qualquer, precisamos f() f( 0 ) calcular, isto é, estudar o comportamento da razão incremental f() f( 0) 0 0, quando se aproima 0 de 0. Neste eemplo particular f() f( 0 ) 0 = 0 0.
6 Cap. 9. A Derivada de uma Função Com a eperiência adquirida no estudo de ites, sabemos que o comportamento desta razão, quando se aproima de 0, se torna claro após algumas manipulações algébricas. Assim, simplificando a fração, obtemos: A partir desta igualdade vemos imediatamente que 0 0 = 0 = 0 = 0 0 ( 0 ) 0 0 f ( 0 ) = 0 0 0 = = 0 0. 0 Eaminando o gráfico da função f (veja a seguir) podemos verificar que o resultado obtido é consistente com o significado geométrico da derivada de uma função. Como 0 é sempre positivo, a derivada f ( 0 ) = é sempre 0 negativa. Isso corresponde ao fato de que as retas tangentes ao gráfico da função f descem em direção à direita. (Por quê?) Além disso, quando 0 está próimo de zero é um número negativo de valor absoluto muito grande e, 0 portanto, a reta tangente é quase vertical; quando 0 cresce em valor absoluto, 0 é quase zero e a reta tangente é quase horizontal. 0 8 6 4 3 0 3 4 6 8 0 0 8 6 4 3 0 3 4 6 8 0 Na realidade, mais tarde, em vez de usarmos o gráfico da função para verificar se a derivada foi calculada corretamente, como foi feito neste eemplo, usaremos a derivada para nos ajudar a traçar gráficos de funções. Eemplo Considere a função f() = 3. Como das vezes anteriores, para calcular a derivada desta função no ponto 0 é 3 3 0 preciso calcular o. Este ite pode ser calculado facilmente simplificando-se a razão incremental, como 0 0 se segue: 3 3 0 = ( 0) ( + 0 + 0) = + 0 + 0 0 0 Daí, concluímos imediatamente que 3 3 0 = ( + 0 + 0 ) = 3 0. 0 0 0 Eemplo 3 De um modo geral, o raciocínio empregado no eemplo anterior para calcular a derivada da função f() = 3 pode ser empregado no cálculo das derivadas das funções f() = n, onde n é um inteiro positivo em um ponto 0 qualquer. Para isso é necessário calcular o n n 0. 0 0 Como ( 0 ) é um fator do polinômio n n 0, para calcular o ite acima, basta, como no eemplo anterior, simplificar o quociente n n 0 0. Nesse caso geral, teremos: n n 0 0 = (n ) + 0 (n ) + 0 (n 3) +... + (n ) 0 + (n ) 0. Desta última epressão, sem dificuldade, obtemos n n 0 0 0 = n (n ) 0, qualquer que seja o ponto 0. Assim, se n é um inteiro positivo, f () = n (n ).
W.Bianchini, A.R.Santos 7 Eemplo 4 Vamos, agora, calcular a derivada da função f() =, em um ponto 0 > 0 qualquer. Para isso temos que calcular 0. 0 0 Como ( 0 ) ( + 0 ) = 0, temos que 0 ( 0 ) = 0 ( 0 ) ( + 0 ) =. + 0 Logo, 0 0 0 = = 0 + 0. 0 Observe que este ite não eiste quando 0 = 0. Deste modo, o domínio de f é o intervalo (0, + ), que é menor que o domínio da função f. 9.. Eercícios. Seja f() =. (a) Calcule a derivada de f nos pontos =, = 3, =. (b) O que representa, geometricamente, o valor encontrado, em cada um dos pontos dados, no item anterior?. (a) Levando em conta a definição geométrica da derivada de uma função, o que se pode concluir a respeito da derivada de uma função constante? (b) Prove a sua conclusão, isto é, usando a definição, mostre que se f() = c, c um número real qualquer, então f () = 0 para todo. (c) Qual o maior domínio da derivada calculada no item anterior? (d) Os itens anteriores mostram que a reta tangente ao gráfico de uma função constante coincide com o gráfico desta função. Dê eemplo de uma função não constante, cujo gráfico coincida com a sua reta tangente em todos os pontos de seu domínio. Neste caso, o que se pode afirmar a respeito da derivada desta função? (Veja o próimo eercício) 3. (a) Se o gráfico de y = f() é uma reta, qual a derivada de f? (b) Qual a derivada da função f() = a + b? responder as perguntas anteriores!) (Observação: Você não precisa fazer nenhuma conta para (c) Se f() é a função definida no item anterior, prove, analiticamente, que f () = a. (d) Qual o maior domínio da derivada calculada no item anterior? 4. (a) Qual a declividade da reta tangente ao gráfico da função f() = 3 no ponto (, 8). (b) Seja g a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, a 3 ). Ache uma equação desta reta. (c) Se a 0, mostre que f e g se interceptam em dois pontos. 5. Use a fórmula obtida no Eemplo 3 para calcular a derivada de: (a) f() = 5 (b) f() = 00 6. Suponha que f() = 3. Calcule: (a) f (9), f (5), f (36) (b) f (3 ), f (5 ), f (6 ) (c) f (a), f (a ), f ( ) 7. Se f() é uma função diferenciável e c um número real qualquer, use o significado geométrico da derivada de uma função para obter uma fórmula para g () em cada um dos itens abaio: (Veja Atividades de Laboratório.) (a) g() = f() + c (b) g() = f( + c) (c) g() = c f() (d) g() = f(c ) (e) g() = c f(c ) (f) Use a definição de derivada para comprovar a sua intuição geométrica. (g) Use os resultados obtidos acima para calcular f (), nos seguintes casos: i. f() = ( + 3) 5 ii. f() = 5 + 00 iii. f() = ( 4 3) iv. f( + 3) = 5 v. f( + 3) = ( + 5) 7
8 Cap. 9. A Derivada de uma Função 9.3 Outras notações para a derivada de uma função Na definição de derivada de uma função f em um ponto 0, f ( 0 ) = 0 f() f( 0 ) 0 fazendo 0 =, ou seja, = 0 +, o ite acima se transforma em [ ] f f(0 + ) f( 0 ) ( 0 ) =. 0 Quando não estamos interessados em caracterizar um determinado ponto 0, escrevemos simplesmente para um ponto qualquer: [ ] f( + ) f() f () =. 0 Esta notação nos mostra claramente que a cada associamos o valor f (), obtendo assim uma nova função f, a derivada da função original f. O domínio de f é o conjunto de todos os pontos do domínio de f tais que este ite eiste. Outros símbolos podem ser empregados para denotar a derivada de uma função. Às vezes pode ser conveniente denotar f () por D (f()). O índice, em D, tem por objetivo designar a variável independente em relação à qual estamos calculando a derivada da função f. Por eemplo, se a função f é uma função da variável independente t, escreve-se f (t) = D t (f(t)). Quando não houver possibilidade de dúvida em relação a esta variável, isto é, quando a variável independente for claramente eplicitada, podemos escrever D(f()) ou, simplesmente, D(f) para designar a derivada da função f em relação a sua variável independente. Os símbolos D, D t, D são chamados operadores diferenciais, porque quando aplicados a uma função têm o efeito de uma operação, cujo resultado é a derivada (ou diferencial) da função dada. Os símbolos, acima, isoladamente, não têm significado algum, no entanto quando aplicados a uma epressão obtém-se a sua derivada. Veja os eemplos abaio: (a) D (3 5 + 4) = D (3 5 + 4) = 6 5 (b) D f() = f () (c) D (a + b) = a O Maple usa o símbolo D para calcular a função derivada de uma dada função f. Veja como isto pode ser feito nos eemplos abaio: > f:=->3*^-5*+4; > derivada:=d(f); > D(f)(); > D(f)(); > g:=y->a*y+b; > D(g); 9.3. A notação de Leibniz f := 3 5 + 4 derivada := 6 5 6 5 7 g := y a y + b y a Leibniz, ao desenvolver sua versão do cálculo (por volta de 675), denotou as derivadas pelo símbolo df d, em vez de f (). Sua notação provém da definição de derivada e nos ajuda a ter em mente seu significado geométrico. Para eplicar a notação de Leibniz, vamos começar com uma função y = f() e escrever o quociente f() f( 0) 0. Este quociente, que representa, geometricamente, a declividade da reta secante à curva y = f(), que passa pelos pontos ( 0, f( 0 )) e (, f()), pode ser escrito na forma y, onde = 0 e y = f() f( 0 ). O denominador, portanto, é a diferença de dois valores de e o numerador, a diferença correspondente nos valores de f. Por este motivo é chamado de quociente de diferenças. Este fato é ilustrado no desenho:
W.Bianchini, A.R.Santos 9 f() y f( ) o o É importante ressaltar que, neste conteto, y não é uma diferença entre quaisquer dois valores da função f, mas o incremento ocorrido nos valores da função f quando a variável independente muda de 0 para 0 +, isto é, quando há um incremento de valor na variável independente. Por este motivo este quociente é também chamado de razão incremental e pode ser interpretado como a razão da variação de y pela variação de ao longo da curva y = f(). (Veja o capítulo Velocidade, Aceleração e Outras Taas de Variação). O ite deste quociente de diferenças quando tende a zero é, como já vimos, a derivada da função f, isto é, se y = f(), f () = 0 Leibniz usou a notação dy d (leia-se: a derivada de y em relação a ou, simplesmente, dy,d) para denotar este ite. Assim, usando a notação de Leibniz, temos que isto é, dy d = 0 y. y, dy d = f (). Note que dy d, apesar da forma como é escrito, é um único símbolo individual, não o quociente de duas quantidades, dy e d, que, até agora, não foram definidas. (Para entender como é possível definir dy e d de tal modo que o símbolo dy d, usado para denotar a derivada de uma função y = f(), seja realmente a razão entre duas quantidades veja o Cap. 9 ). A notação de Leibniz apresenta a vantagem de nos fazer lembrar, rapidamente, de todo o processo de se formar o quociente de diferenças y e calcular o seu ite quando 0 (a passagem ao ite é simbolicamente epressa pela substituição da letra grega pela letra d). Há muitas variações sobre esta notação, escolhidas de acordo com as conveniências do conteto onde são empregadas. Por eemplo, se y = + dy d = 4 +, ou, ainda, se f() = + df d = 4 +, ou, ainda, d ( + ) = 4 +. d Todas estas são maneiras aceitáveis de se dizer que a derivada da função definida por f() = + é uma outra função dada por f () = 4 +. De maneira análoga, d (5 t 4 t) dt = 0 t 4, e se z = 4, então dz d = 4. A notação dy epressa a derivada da função y = f() calculada no ponto = 0, isto é, se d =0 y = f() dy d = f ( 0 ). =0 A notação de Leibniz é particularmente apropriada nas aplicações. Além disso, certas regras fundamentais e propriedades operatórias são mais fáceis de lembrar e usar quando as derivadas são escritas na notação de Leibniz. (Veja o capítulo Teoremas e Propriedades Operatórias.) O Maple usa o comando diff(f,) para calcular a derivada de uma função ou epressão algébrica em relação à variável. O programa usa também uma simbologia um pouco diferente para designar derivadas com a notação de Leibniz arredondando a letra d. Você verá posteriormente em Cálculo II a utilização deste símbolo para designar derivadas parciais para funções de várias variáveis. Assim, para o Maple, df d = f. Veja os eemplos abaio:
30 Cap. 9. A Derivada de uma Função > diff(^,); > f:=->^; > diff(f(),); > Diff(f(),)=diff(f(),); f := = 9.3. Eercícios. As afirmações abaio foram escritas usando-se a notação de Leibniz para derivadas. Interprete cada uma delas. (a) d n d = n (n ) (b) Se z = dz y, então dy = y (c) d [f()+c] d = d f() d. Seja y = f() e z = y + c. Calcule dz d. 9.4 Derivadas laterais e diferenciabilidade Pela nossa eperiência no estudo de retas tangentes é fácil concluir que eistem funções que, em alguns pontos, não têm reta tangente; portanto, em tais pontos, f não está definida. Conseqüentemente, em alguns casos o domínio de f é um conjunto menor que o domínio de f. Vamos ilustrar esta afirmação com alguns eemplos. Eemplo Considere a função f() =. Já vimos, geometricamente, que não eiste reta tangente ao gráfico dessa função no ponto (0, 0). Geometricamente também é fácil ver que, para cada > 0, a inclinação da reta tangente a esse gráfico é (por quê?); e que, para cada < 0, a inclinação da tangente é (por quê?)..8.6.4. 0.8 0.6 0.4 0. 0 Na primeira seção deste capítulo, definimos a derivada de uma função em um ponto 0 como a declividade da reta tangente ao seu gráfico neste ponto. Vamos usar esta definição para mostrar, rigorosamente, que a função f() =, não tem derivada no ponto (0, 0), portanto, não eiste reta tangente ao gráfico desta função neste ponto. Para isso f() f( 0 ) vamos calcular o, para 0 = 0. Neste caso particular, 0 0 0 f() f( 0 ) 0 = 0. Como, =, para > 0, então =, e como 0 + =, para <, temos que 0 =. Como os ites laterais são diferentes, podemos concluir que não eiste o ite procurado. Os dois ites laterais calculados no eemplo anterior são chamados derivada lateral à direita e derivada lateral à esquerda, respectivamente, da função f no ponto zero. A derivada desta função eiste em qualquer outro ponto 0 0. De fato, f () = {, > 0, < 0 0.8 0.6 0.4 0. 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.4 0.6 0.8 0. 0.4 0.6 0.8
W.Bianchini, A.R.Santos 3 Repare que f () não está definida para = 0 e, portanto, f não é diferenciável neste ponto. Eemplo Uma dificuldade semelhante àquela apresentada no eemplo anterior ocorre com a função { f() =, se 0, se < 0. { No ponto 0 = 0, temos que f() f(0) = Conseqüentemente, 0 + f() f(0) > 0, ou seja, < 0 f() f(0) = 0 e 0 = f() f(0) {, > 0, < 0. =. Como as derivadas laterais são diferentes, podemos concluir que não eiste f f() f(0) (0) =, isto é, f não 0 é diferenciável em zero. Novamente, podemos facilmente concluir que f () eiste para qualquer outro ponto 0 0. Eercício Demonstre que f () = {, > 0, < 0. Os gráficos de f e de f, respectivamente, são mostrados a seguir. y y 0 0 Eemplo 3 Vamos eaminar agora a função f() = ( 3 ) cujo gráfico traçamos abaio. Convém observar aqui que o Maple define esta função apenas para valores positivos de. Se quisermos considerar esta função definida em toda a reta real usando o Maple, precisamos utilizar uma sub-rotina, chamada surd, que faz esta conversão automaticamente da seguinte maneira: Se 0, então surd(, n) = ( n ). Se < 0, então surd(, n) = ( ( n ) ). Abaio, utilizamos este comando para traçar o gráfico desta função no intervalo [, ]. > f:=->surd(,3): > plot(f(),=-..,y=-..); y 0 Neste caso, para 0 = 0, f() f(0) = ( 3 ) = ( 3 ). A epressão acima se torna arbitrariamente grande quando 0; portanto, a função f não é diferenciável no f() f(0) zero, pois não eiste o. 0
3 Cap. 9. A Derivada de uma Função Observe os diagramas a seguir e eamine o comportamento das retas secantes à curva passando pela origem e por um ponto (, f()) qualquer da curva à medida que se aproima de zero pela esquerda e pela direita, respectivamente. Geometricamente, este comportamento significa que, embora f não seja diferenciável em (0, 0), o gráfico de f apresenta uma reta tangente vertical neste ponto. Eemplo 4 A situação se torna um pouco pior quando eaminamos a função y =, cujo gráfico é seguinte: 30 5 0 5 0 5 000 600 00 0 00 400 600 800 000 Calculando o quociente de diferenças para 0 = 0, obtemos: f() f(0) = {, > 0, < 0 = {, > 0, < 0. Neste caso, mais uma vez, como os ites laterais não eistem, f f() f(0) (0) = 0 conseqüentemente, f não é diferenciável em 0 = 0. Além disso, também não eiste e, 0 + f() f(0) = = +, 0 + pois os valores de se tornam arbitrariamente grandes quando se aproima de zero pela direita e, 0 f() f(0) = = 0 pois, quando se aproima de zero pela esquerda, os valores de se tornam arbitrariamente grandes em valor absoluto, mas são sempre negativos. O diagrama a seguir ilustra estas afirmações..8.6.4. 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.4 0.6 0.8
W.Bianchini, A.R.Santos 33 Estes dois últimos eemplos motivam a definição dada a seguir. Definição: Reta tangente vertical A curva y = f() admite uma reta tangente vertical no ponto ( 0, f( 0 )) se f é contínua em 0 e f () tende a + ou quando + 0 e/ou quando 0. Se f () tender a + por um lado e a por outro, dizemos que a função tem uma cúspide em 0. (A eigência de que f seja contínua em = 0 implica que f( 0 ) deve ser definida neste ponto, pois não teria sentido eigir uma reta (vertical ou não) tangente a uma curva y = f() em um ponto 0 onde a função não estivesse definida.) Dos eemplos acima, podemos concluir que, graficamente, o domínio de f é o conjunto de todos os pontos para os quais a função original f tem uma tangente não vertical. Portanto, a função f não é diferenciável nos pontos onde o seu gráfico forma bicos ou muda abruptamente de direção ou nos pontos onde a reta tangente é vertical ou nos pontos onde ela não é contínua. Nos eemplos dados, o domínio de f está contido (estritamente) no domínio de f. Até agora estudamos a diferenciabilidade de funções em determinados pontos. Como foi feito no estudo de continuidade (Cap. 8 ), podemos estender este conceito a todo um intervalo. As definições a seguir têm este objetivo. Definição: Diferenciabilidade em intervalos abertos Dizemos que uma função é diferenciável em um intervalo aberto (a, b) se o é para todo ponto 0 em (a, b). Esta definição é estendida, naturalmente, às funções definidas em intervalos do tipo (a, ), (, a) ou a toda reta. Definição: Diferenciabilidade em intervalos fechados Uma função f é diferenciável em um intervalo fechado [a, b] se é diferenciável em (a, b) e se eistem as derivadas laterais à direita no ponto a e à esquerda no ponto b, isto é, se eistem os ites h 0 + f(a + h) f(a) h e h 0 f(b + h) f(b). h Se f está definida em um intervalo [a,b], as derivadas laterais acima nos permitem, também, definir a declividade da reta tangente à curva y = f() nos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Assim, o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto (a,f(a)) é dado por h 0 + e o coeficiente angular da reta tangente no ponto (b,f(b)) por h 0 f(a + h) f(a) h f(b + h) f(b). h Veja os gráficos a seguir, onde a função y = + 4 está definida no intervalo fechado [a, b] = [, ]. O primeiro mostra a derivada lateral à direita em a = ; o segundo, a derivada lateral à esquerda em b =. 0 8 6 y 4 0 8 6 y 4 Utilizando-se as derivadas laterais em um dos etremos, define-se de maneira análoga a diferenciabilidade em intervalos da forma [a,b), [ a, ), (a,b] e (, b]. Da mesma maneira, dizemos que uma curva y = f() tem uma reta tangente vertical no etremo de um intervalo fechado onde estiver definida se f for contínua neste ponto e se as derivadas laterais (à esquerda ou à direita, conforme o caso) crescerem sem ite, em valor absoluto. Veja o gráfico a seguir que eemplifica esta situação para a função y = cujo domínio é o intervalo [0, ).
34 Cap. 9. A Derivada de uma Função 9.4. Eercícios. (a) Calcule a derivada da função f() = [[]], onde o símbolo [[. ]] denota o maior inteiro menor ou igual a. (b) Calcule 0 + f() f(0) (c) Qual o domínio de f. e 0 f() f(0). O que significam estes ites?. Mostre que a função f() = ( 3 ) apresenta uma reta tangente vertical em (0, 0). 9.5 Diferenciabilidade e continuidade Na seção Derivadas Laterais e Diferenciabilidade, estudamos alguns eemplos de funções que são contínuas mas não são diferenciáveis. Quando estudamos funções contínuas, afirmamos que ser contínua seria a primeira propriedade que uma função razoavelmente bem comportada deveria satisfazer. De uma certa maneira, as funções diferenciáveis têm um comportamento melhor do que aquelas que simplesmente são contínuas. Neste sentido, ser diferenciável é uma condição mais forte que ser contínua. O teorema abaio torna clara esta última afirmação. Teorema Se f é uma função diferenciável em um ponto 0, então f é contínua em 0. Demonstração Para mostrar que f é uma função contínua, precisamos provar que f() = f( 0 ). Isto é equivalente a mostrar 0 que (f() f( 0 )) = 0. Como 0 (por quê?), temos que 0 (f() f( 0 )) ( 0 ) (f() f( 0 )) =. 0 0 ( 0 ) f() f( 0 ) Como, por hipótese, f é diferenciável em 0, eiste o, e este ite é igual a f ( 0 ). Estes fatos 0 0 nos permitem afirmar que 0, o que demonstra o teorema. ( ) (f() f(0 )) ( 0 ) ( 0 ) = 0 ( ) f() f(0 ) 0. 0 ( 0 ) = f ( 0 ).0 = 0 É muito importante lembrar que a recíproca do teorema acima não vale. Uma função diferenciável é contínua, mas uma função contínua não precisa ser, necessariamente, diferenciável (se você se lembrar da função f() =, jamais esquecerá qual dessas duas afirmações é a verdadeira e qual é a falsa).
W.Bianchini, A.R.Santos 35 As funções contínuas, eaminadas na seção Derivadas Laterais e.5 Diferenciabilidade, são diferenciáveis, eceto em um ponto. É fácil dar eemplos de funções contínuas que não são diferenciáveis em 0.5 vários pontos, até mesmo em um número infinito de pontos (veja figura ao lado). 0.5 Eistem eemplos muito piores do que esse. Eistem funções que são contínuas em todos os pontos da reta mas não são diferenciáveis em.5 nenhum! 0 0 0 0 Em 87, o matemático alemão Weierstrass chocou a comunidade matemática com um eemplo deste tipo, apresentando a seguinte função: f() = ( )n cos(3 n π ) n=0 Evidentemente, num curso de Cálculo I não é possível demonstrar a afirmação acima, mas você pode ter uma ideia geométrica desta função observando o gráfico abaio para n = 5 e deduzindo como seria uma função deste tipo..5 0.5 0 0.5 0.5.5.5 3.5 9.5. Eercícios Eercício. Dê eemplo de uma função f : R R contínua em toda a reta e que não tenha derivada em =.. A figura a seguir mostra o gráfico da derivada de uma função f. Sabendo que f é contínua em =, trace um esboço do seu gráfico. 4 6 9.6 Derivadas de ordem superior Vimos nas seções anteriores que, por meio do processo de derivação, é possível obter, a partir de uma dada função f, uma outra função f, a derivada de f, cujo domínio pode ser consideravelmente menor do que o domínio da função f original. É claro que a noção de derivabilidade e o processo de derivação podem ser aplicados a esta nova função f, definindo-se, assim, uma outra função (f ), cujo domínio consiste de todos os pontos 0 tais que f é derivável em 0. A função (f ) é denotada, simplesmente por f (lê-se: f duas linhas) e chamada a derivada segunda de f. Se f ( 0 ) eiste, então dizemos que f é duas vezes derivável (diferenciável) em 0, e o número f ( 0 ) é a derivada segunda de f calculada no ponto = 0. Da mesma maneira podemos definir a derivada terceira de f como f = (f ), e assim por diante. De uma maneira geral, se k é um inteiro positivo, então f (k) denota a derivada de ordem k de f, que é obtida derivando-se f,
36 Cap. 9. A Derivada de uma Função sucessivamente, k vezes. As várias funções para k são, usualmente, chamadas derivadas de ordem superior de f. Às vezes, é conveniente pensar na função original como a derivada de ordem zero e escrever f = f (0). Muitas notações podem ser empregadas para as derivadas de ordem superior de uma função. Usando a notação de operadores escrevemos f () = D (f ()) = D (D (f())) = D (f()) e, de maneira geral, f (k) () = D k f(). Quando não houver possibilidade de dúvidas a respeito da variável independente podemos escrever, simplesmente, f = D f e f (k) = D k f. Usando a notação de Leibniz escreve-se f () = d f() d e, de maneira geral, f (k) () = dk f() d k De maneira análoga, o Maple denota estas derivadas usando a seguinte notação: f () = f(), f () = 3 3 f()... Os eemplos a seguir mostram como as derivadas de ordem superior estão relacionadas com a função original. 9.6. Eemplos Eemplo Seja f() =. Então, é fácil verificar que f () =, f () = e f (k) () = 0, para k 3. Observando os gráficos destas funções, traçados a seguir, tente relacionar as principais características da função original com o comportamento das suas duas primeiras derivadas. Eemplo 4 3 f 0 Um eemplo mais ilustrativo é dado pela função f() = Além disso, f f() f(0) (0) = 0 Como 0 + f() = 0 f(). = 0 + = 0 e Derivada de f 4 4 Derivada Segunda de f 3.8.6.4..8.6.4. 0 { {, > 0, > 0, 0. É fácil ver que f () =, < 0. 0 f() então f (0) = 0. Resumindo, f () =. Veja os gráficos de f e f, a seguir. = 0 = 0, 4 4 3 4 {, Neste caso, f () =, 0 > 0 < 0 e, como já vimos, não eiste f (0). Veja, abaio, o gráfico de f.
W.Bianchini, A.R.Santos 37 Repare que mesmo funções aparentemente suaves, como a analisada neste eemplo, revelam um certo tipo de irregularidade quando se eamina a sua segunda derivada. Portanto, eigir que uma função seja duas vezes derivável (diferenciável) é mais restritivo do que eigir, simplesmente, que ela seja derivável. De um modo geral, quando dizemos que uma função é bem comportada estamos afirmando que tal função é pelo menos duas vezes derivável em todos os pontos do seu domínio. Eemplo 3: Derivando funções com o auílio do Maple Veja como é possível usar o Maple para calcular as três primeiras derivadas da função f() = 4. definimos a função f > f:=->^4; f := 4 Primeiro, e a seguir calculamos as suas derivadas: > Diff(f,)=diff(f(),); > Diff(f,,)=diff(f(),,); > Diff(f,,,)=diff(f(),,,); ou, equivalentemente: > Diff(f,$3)=diff(f(),$3); f = 4 3 f = 3 3 f = 4 3 3 f = 4 Observe agora como podemos definir as três primeiras funções derivadas de f usando o Maple: > D(f); > D(D(f)); > (D@@)(f); > (D@@)(f)(); 4 3 9.6. Eercícios. Ache f () se: (a) f() = 3 (c) f () = 4 (b) f() = 5 (d) f( + 3) = 5. Seja f() = { 3, 0 3, < 0. Calcule f () e f (). Eiste f (), para todo? 9.7 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo labder.mws da versão eletrônica deste teto.
38 Cap. 9. A Derivada de uma Função 9.8 Eercícios adicionais. Considere o gráfico da função y = f(): 3 4 5 (a) Se f ( ) = a, quanto vale f ( )? (b) Eiste f ( 3 )? Justifique geometricamente sua resposta. (c) Qual o sinal de f ( 4 ) e de f ( 5 )? Justifique geometricamente sua resposta.. Nos eercícios abaio, supondo-se conhecido o valor de f ( 0 ), calcule f ( 0 ) se: (a) f é uma função ímpar, isto é, f() = f( ) em todos os pontos do seu domínio. (b) f é uma função par, isto é, f() = f( ) em todos os pontos do seu domínio. (c) Prove que, se f é uma função ímpar, então f () é par. (d) Prove que, se f é uma função par, então f () é ímpar. (e) Se f é par, o que se pode afirmar a respeito de f? E se f é ímpar? (f) Ilustre estes fatos usando funções polinomiais. 3. Em cada um dos itens a seguir, encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f() no ponto (, y ). Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto. Ache os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. (a) y = 9 (b) y = 4 (c) y = + 4. (a) Mostre que os gráficos das equações y = 3 e y = 3 + têm a mesma tangente no ponto (, 3). (b) Encontre as equações das retas que passam pelo ponto (3, ) e são tangentes à curva y = 7. (c) Ache duas retas que passam pelo ponto (, 8) que sejam tangentes à curva y = 3. 5. Em cada um dos itens abaio, encontre os valores de α e β para que eista f (). { { (a) f() =, < α + β, (b) f() = α + β,, > 6. Em cada um dos itens abaio: (a) Determine se f é contínua em. (b) Encontre as derivadas laterais de f no ponto, se eistirem. (c) Decida se f é diferenciável em. {, < i. f() = ( ),, = ii. f() = + +, = { iii. f() = (+),, =, = { iv. f() =,, =, =, 5 v. f() = 500 + 75 0, 5, = 5 e = 50 0 + 75, > 50 { 7. Seja f() = n, 0 0, 0. Prove que f (n) eiste para todo n e para todo 0 (ache uma fórmula para estas derivadas).
W.Bianchini, A.R.Santos 39 9.9 Problemas propostos. Com os conhecimentos obtidos nesse capítulo, você é capaz de resolver completamente o problema da caia, proposto na seção Motivação do Cap. 4? Isto é, qual o tamanho do corte que se deve fazer nos cantos de uma folha de plástico quadrada de 0 cm de lado, de modo a formar uma caia sem tampa que contenha o maior volume de água possível quando completamente cheia? Sugestão: Nessa mesma seção do Cap. 4 vimos que, para resolver esse problema, era necessário encontrar o valor do corte, entre 0 e 0, para o qual a função V = (0 ) atinge o seu valor máimo. Caracterize geometricamente esses pontos. Use a definição de derivada e a caracterização geométrica desses pontos para resolver esse problema.. Suponha que a reta L é tangente à curva y = f() no ponto (, ) como indicado na figura. L y=f() Sabendo que a reta L corta o eio no ponto (3, 0), ache f() e f (). 3. A curva a seguir representa a derivada de uma função y = f(). 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 3 4 5 6 7 (a) Esboce a curva y = f() a partir do ponto = π, onde a função vale zero. (b) Qual o ângulo de interseção da curva y = f() com o eio y? (c) Qual o ângulo de interseção da curva com o eio, em = π? 4. (a) Ache a equação da reta tangente à curva y = 4 no ponto (, ). (b) Verifique que a reta obtida no item anterior tangencia a curva em outro ponto e ache este ponto. 5. (a) Determine o valor de k, sabendo que a reta 3 4 y = 0 é tangente à curva y = 3 + k, definida para > 0. (b) Ache uma equação da reta que passa pelo ponto (, 5) e é tangente à curva y = 3. (c) Ache duas retas passando pelo ponto (, 8) que sejam tangentes à curva y = 3. (d) Determine as constantes a, b, c, e d para que a curva y = a 3 + b + c + d tenha tangentes horizontais nos pontos (0, ) e (, 0). (e) Prove que a curva y = 5 + não tem tangentes horizontais. Qual é o menor coeficiente angular que uma reta tangente a esta curva pode ter? (f) Ache a declividade máima do gráfico de y = 3 + 3 + 9 7. (g) Seja f() = 3 4 + 4. O ponto (a,b) pertence ao gráfico de f e a reta tangente ao gráfico de f em (a,b) passa pelo ponto (0, 8) que não está no gráfico de f. Ache o valor de a e b. { sen( 6. (a) Considere função g() = ), 0 0, = 0. Observe que g(), para todo. Esta função é diferenciável no zero? 0. 0.4 0. 0. 0.4 0. 0.4 0.4
40 Cap. 9. A Derivada de uma Função (b) A seguir traçamos o gráfico de uma função g() = todo. { sin( ), 0 0, = 0. Observe que g(), para 0. 0. 0.4 0. 0. 0.4 0. 0. i. Prove que g (0) = 0 e que o mesmo acontece para toda função com a propriedade acima. ii. Verifique que g () não tem ite quando tende a zero. (Os dois eercícios acima mostram que quando calculamos a derivada g () de uma função g em um ponto qualquer, o cálculo de g ( 0 ) só é possível se a derivada g for contínua em 0 ). iii. As funções f() =, g() =, h() = 3 possuem derivada no ponto zero? Em caso afirmativo, quanto vale a derivada neste ponto? 7. Utilize o gráfico de dy d = f () = ( ) ( ) ( 3) 3 a seguir para esboçar o gráfico de y = f(). 0.8 0.6 y 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 3 4 5 8. (a) Seja P um ponto da curva y = 3 e suponha que a reta tangente à curva em P intercepte-a novamente em Q. Mostre que a inclinação da reta tangente em Q é quatro vezes a inclinação da reta tangente em P. (b) Encontre os pontos P e Q na parábola y =, tais que o triângulo ABC formado pelo eio e pelas retas tangentes ao gráfico em P e Q seja equilátero. (c) Considere a parábola y = e um ponto 0 0 no eio das abscissas. Por 0, traça-se uma paralela ao eio das ordenadas, que ao interceptar a parábola, determina Q 0. Por Q 0 traça-se a reta normal à parábola cuja interseção com o eio das ordenadas determina P 0. Este procedimento define uma função f que a cada 0 0 associa P 0 = f( 0 ). Determine, se eistir, a posição ite de P 0 quando 0 0 tende a zero. 9.0 Para você meditar: Um sofisma Sabemos (seção Diferenciabilidade e Continuidade) que se uma função y = f() é diferenciável em um ponto 0, então é necessariamente contínua neste ponto. No entanto, a interpretação geométrica de derivada parece nos levar ao paradoo descrito a seguir. O gráfico a seguir mostra uma função contínua com a sua reta tangente no ponto de abscissa 0. 30 0 0 0 3 4 5 6 7 8 o Não eiste nenhuma dúvida quanto ao fato de a curva ser diferenciável em 0. Considere, agora, uma nova função f() obtida a partir da função anterior cortando-se a curva dada no ponto 0 e transladando-se para cima a parte da direita do seu gráfico. 50 40 30 0 0 0 3 4 5 6 7 8
W.Bianchini, A.R.Santos 4 Por construção, vemos que, no ponto de abscissa 0, a declividade da tangente ao arco de curva à esquerda (derivada lateral à esquerda) é igual a declividade da tangente ao arco de curva à direita (derivada lateral à direita). Portanto, o caso acima é um eemplo de uma função derivável em 0 e, evidentemente, descontínua neste ponto, o que contradiz o teorema citado! - Mostre onde está o erro no raciocínio acima, reafirmando, assim, a veracidade do teorema. 9. Um pouco de história: Curvas sem tangentes e Movimento Browniano Vimos, na seção Diferenciabilidade e Continuidade, que eistem curvas contínuas sem derivada em nenhum ponto, ou seja, funções contínuas cujos gráficos não têm tangente em nenhum ponto. Vários matemáticos, dentre eles Bolzano (78-849) e Weierstrass (85-897), construíram funções deste tipo. O eemplo que atraiu mais atenção foi o que Weierstrass apresentou à Academia de Ber em 87. Embora a idéia geométrica da construção de tais funções possa parecer simples (trata-se de obter, por um processo de ite, uma função cujo gráfico seja composto somente por pontos angulosos!), a construção analítica de uma função com esta propriedade é um processo muito delicado, que não cabe fazer num curso de Cálculo. A idéia de curva contínua sem tangente não condiz com a nossa intuição geométrica. Seria de esperar que tais curvas não passassem de eemplos matemáticos, sem aplicações no mundo físico. No entanto, acontece o contrário! Eiste na natureza um tipo importante de movimento, chamado movimento Browniano, cuja trajetória é uma curva contínua sem tangente. Em 87, um botânico escocês chamado Robert Brown (773-858), investigando o processo de polinização numa certa espécie de flor, observou no microscópio um rápido movimento desordenado de partículas em suspensão num meio fluido. Os físicos só começaram a estudar este movimento muito mais tarde, sem resultados significativos, até que, em 905, Albert Einstein, num estudo memorável sobre o efeito fotoelétrico, lançou a idéia deste movimento ser devido à agitação térmica das partículas. Nesta época, as idéias de átomos e moléculas eram mais usadas pelos físicos como um meio de eplicar determinados fenômenos e muito pouco como partículas com eistência real. Einstein procurou deduzir conseqüências que pudessem ser verificadas eperimentalmente, o que confirmaria a eistência dessas partículas atômicas. Procedendo deste modo e considerando que partículas em suspensão num fluido sofrem o impacto de inúmeras moléculas à sua volta, Einstein foi levado a prever um movimento desordenado das partículas, o chamado movimento Browniano. É curioso notar que Einstein descobriu esse fenômeno num estudo puramente teórico, só vindo a conhecer os estudos anteriores sobre este movimento depois de ter terminado suas investigações. Na década de 90, o matemático americano Nobert Wiener (894-964) iniciou uma teoria matemática sobre o movimento Browniano, dando uma interpretação precisa de movimento ao acaso de uma partícula. Neste trabalho, ele demonstrou que a trajetória de uma partícula em suspensão num fluido é uma curva contínua sem tangente em nenhum ponto. Isto acontece porque a partícula, a cada instante, está recebendo o impacto desordenado das moléculas do fluido, de maneira que, em seu movimento, muda continuamente de direção, não possuindo velocidade instântanea definida em nenhum ponto.