GEOMETRI NLÍTIC 1
GEOMETRI NLÍTIC Foi com o francês René Descartes, filósofo e matemático que surgiu a geometria analítica. issetriz dos quadrantes pares º QUDRNTE ( -, + ) Y ( eio das ORDENDS ) 1º QUDRNTE ( +, + ) issetriz dos quadrantes ímpares ( eio das SCISSS ) 3º QUDRNTE ( -, - ) 4º QUDRNTE ( +, - ) Os quatro quadrantes são numerados no sentido anti-horário, e os eios e a intersecção entre eles são denominados, respectivamente, eio das abscissas ( ), eio das ordenadas ( ) e origem ( 0 ) do sistema de coordenadas cartesianas. reta que divide ao meio os quadrantes ímpares é chamada de bissetriz dos quadrantes ímpares e a que divide os quadrantes pares é a bissetriz dos quadrantes pares. Observações: I. Os pontos pertencentes ao eio 0 possuem ordenadas nulas. II. III. Os pontos pertencentes ao eio 0 possuem abscissas nulas. P Є 0 P = (, 0 ) P Є 0 P = ( 0, ) Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes ímpares possuem abscissas iguais à ordenada e vice-versa. Є bi = ( a, a ) IV. Todos os pontos da bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas opostas e vice-versa. Є bp = ( b, -b )
0. DISTÂNCI ENTRE DOIS PONTOS b d b - a a b a a b Dados dois pontos distintos do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por etremidade. Sendo (a, a) e (b, b), aplicando Pitágoras temos: d = (X -X ) + (Y -Y ) E: (UFRGS) distância entre os pontos (-, ) e (6, 7) é 10. O valor de é: a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 d) -1 ou 10 e) ou 1 03. PONTO MÉDIO Sendo (a, a), (b, b) e M( M, M ) o seu ponto médio, temos: M M M, M X M é o ponto que divide o segmento ao meio. 01. Sendo (1, 3) e (7, 13) as etremidades do segmento, seu ponto médio é: a) (4, 8) b) (, 4) c) (8, 16) d) (1, ) e) (3, 4) 3
0. Sendo (-5, ) uma das etremidades do segmento de reta e M(-, 4) o seu ponto médio, o ponto vale: a) (1, 6) b) (, 1) c) (-5, 4) d) (-, ) e) (0, 1) 04. ÁRE DE UM TRIÂNGULO, QUDRDO... Consideramos um triângulo de vértices (, ), (, ) e C( C, C ) a sua área é dada por: (, ) (, ) C(C, C) = 1 C C 1 C C ou = 03. Calcular a área do triângulo de vértices (1,3), (4,1) e C(6,5). a) 16 b) 4 c) 10 d) 1 e) 8 04. Calcular a área do quadrilátero de vértices (1,3), (5,1), C(6,5) e D(3,7). a) 17 b) 34 c) 10 d) 6 e) 8 05. CONDIÇÃO DE LINHMENTO DE TRÊS PONTOS Sendo (, ), (, ) e C( C, C ) três pontos distintos dois a dois, são colineares ou estão alinhados, se e somente se: (, ) (, ) C( C, C ) C C 0 ou C C 0 4
06. O valor de para que os pontos (,0), (3,1) e C(-4,) sejam colineares é: a) 0 b) 10 c) 3 d) 1 e) -4 07. Os pontos (1,3), (,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se, e somente se: a) k = 11 b) k = 1 c) k = 13 d) k = 14 e) k = 15 06. EQUÇÃO REDUZID D RET É toda equação do tipo = a + b, onde a é chamado de coeficiente angular (ou declividade) e b é chamado de coeficiente linear. a Eemplos: a 1 0 3 1 3 b b 3 3 a 5 5 1 b 1 5 a 5 4 0 b 0 4 07. COEFICIENTE NGULR DE UM RET O coeficiente angular de uma reta é um número real a que representa a sua inclinação (). Por definição, temos que: a = tg Reta inclinada para a direita Reta inclinada para esquerda é agudo a > 0 é obtuso a < 0 5
Para determinarmos o valor do coeficiente angular (a) faremos: a = ou a = Observação: b é a ordenada do ponto onde a reta intersecciona o eio. 08. Os coeficientes angular e linear da reta 3 - + 1 = 0 são respectivamente: a) /3 e 4 b) 3/ e 1 c) -/3 e -1 d) /3 e -4 e) -3/ e 4 09. reta da figura abaio tem como coeficiente angular e linear, respectivamente: a) 1/ e - b) e -1/ c) -1/ e - 4 d) - e -1/ e) 1/ e -1/ - 10. Determine a equação reduzida da reta: a) = + 3 b) = - + 3 c) = +6 d) = 3 e) = - 3 + 3 3 11. Determine a equação geral da reta a) - 8 = 0 b) + = 0 c) 4 4 = 0 d) + = 0 e) + 4 = 0 8-4 1. Determine a equação da reta que passa pelos pontos (-3, ) e (5, -4) a) 4 + 3 + 1= 0 b) 3 + 4 + 1= 0 c) + + 3 = 0 d) + 4 = 0 e) 1 = 0 6
08.PONTO DE INTERSECÇÃO ENTRE DUS RETS Para determinarmos o ponto de intersecção entre duas retas basta resolvermos o sistema formado pelas suas equações. 13. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: + 5 9 = 0 e s: = - 3. a) (-3, 3) b) (, -) c) (5, ) d) (1, ) e) (3, 4) 14. Obtenha o ponto de intersecção entre as retas r: = - 6 e s: = 3 +. a) (-8, -) b) (1, ) c) (4, -10) d) (5, 6) e) (-4, 1) 09. EQUÇÃO DO FEIXE DE RETS s retas não-verticais que passam por P( 0, 0 ) são dadas pela equação: 15. Obtenha a equação da reta que por P e tem declividade a. a) P(, 3); a = b) P(-, 1); a = - c) P(4, 0); a = -1/ 16. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto P e tem inclinação. a) P(, 8) e = 45º b) P(-4, 6) e = 30º c) P(3, -1) e = 10º 10. POSIÇÃO RELTIV ENTRE RETS RETS PRLELS PRLELS DISTINTS 7
17. Determine o valor de m para que as retas + 3-1 = 0 e m + 4 3 = 0 sejam paralelas. a) 1 b) c) - 3 d) 6/3 e) 8/3 18. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 3-6 = 0. a) + 9 = 0 b) 3 15 = 0 c) 3 + 15 = 0 d) + 9 = 0 e) 3 + 15 = 0 19. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3, ) e é paralela à reta 4 + 1 = 0. a) = 3 b) = 4 10 c) = - + 15 d) = + 5 e) = - 4 +5 RETS PERPENDICULRES Dadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) = a 1 + b 1 (s) = a + b Para essas retas, temos a seguinte possibilidade: PERPENDICULRES 0. Determine o valor de k para que as retas 3-5 + 10 = 0 e k + 3 1 = 0 sejam perpendiculares. a) 1 b) 6 c) -10 d) 15 e) 5 1. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação + 3-1 = 0. 8
a) = - 1 b) = + 4 c) = 3 + d) = - + 5 e) = - 1. Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta, sendo (3, ) e (7, 4). a) = - + 13 b) = 13 c) = + 1 d) = 13 + e) = 4 11. DISTÂNCI ENTRE PONTO E RET distância entre o ponto e a reta (r) + + C = 0 é dada pela seguinte epressão: P(P, P) d d Pr 0 0 C 3. Calcule a distância do ponto P(, 6) à reta 3 4 = 0. a) 3 b) 10 c) 8 d) 4 e) 1. CIRCUNFERÊNCI EQUÇÃO REDUZID Consideremos uma circunferência de centro C(c, c) e raio R, teremos: P(, ) C R R = (X X ) + (Y Y ) C 4. Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R. a) C(3,5) R 9
b) C(0,0) R 7 5. Escreva a equação reduzida da circunferência de raio 1 e concêntrica com a circunferência ( ) + ( + 3) = 64. Qual é a área da coroa circular determinada por essas duas circunferências? 6. Determine a equação da circunferência de centro em (3, 5) e raio igual a 4. a) + 8 + 1 = 0 b) + + + 8-1 = 0 c) + 8 + + 1 = 0 d) + 8 8 + 4 = 0 e) + +-6 10-50 = 0 EQUÇÃO GERL + + D + E + F = 0 Condições para ser circunferência: 1. = O ( coef. de = coef. ). C = 0 ( não pode aparecer ) Coordenadas do centro: C (-D/ ; -E/) 3. R > 0 ( O raio de ver ser um número real ) Raio: R = X C + Y C - F 7. Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio R igual 4. a) + + 10 + 6-18 = 0 b) + + + 8-1 = 0 c) + 6-10 + 18 = 0 d) + 8 8 + 4 = 0 e) + + 8-7 = 0 8. Determine o centro e o raio da circunferência + 10 + 4-0 = 0, respectivamente: a) (-,5) e 7 b) (5,) e 5 c) (,) e d) (3,4) e 1 e) (5,-) e 7 9. Calcule a área de um quadrado inscrita na circunferência a) u.a. b) 4u.a. c) 8u.a. d) 16u.a. e) 3u.a. 4 6 3 0 10
30. Determine o valor de k para que a equação a) k > 5 b) k < 5 c) k > 10 d) k < 15 e) k = 0 4 k 0 represente uma circunferência: 30.Escreva a equação da circunferência de centro C(3,5) e tangente a reta (r) 5 + 1 10 = 0 a) + 6 10 + 9 = 0 b) + + 1 + 38-1 = 0 c) + 8 + 15 + 1 = 0 d) + 8 8 + 7 = 0 e) + + 11-8 = 0 13. POSIÇÕES RELTIVS PONTO E CIRCUNFERÊNCI Para uma circunferência de centro C(Xc,Yc) e raio R e um ponto P qualquer, compararemos o seguimento de reta PC com R. Há três casos possíveis: 1º) Se dpc = R, então P pertence à circunferência. º) Se dpc > R, então P é eterno à circunferência. 3º) Se dpc < R, então P é interno à circunferência. Interno Pertence Eterno P P P dpc < R dpc = R dpc > R E:. Determine a posição do ponto P(53) em relação a circunferência a) eterno b) interno c) pertence d) centro e) n.d.a. RET E CIRCUNFERÊNCI ( ) ( 4) 9 Se substituirmos o valor de uma das variáveis ( ou ) da reta na equação da circunferência, obteremos uma equação do º grau (na outra variável). Calculando o discriminante () da equação obtida, poderemos ter: 1º) Se > 0, então a reta será secante à circunferência ( pontos de interseção). º) Se = 0, então a reta será tangente à circunferência (1 ponto de interseção). 3º) Se < 0, então a reta é eterna à circunferência (não eiste ponto de interseção). 11
Secante Tangente Eterna > 0 = 0 < 0 31. Determine a posição relativa da reta + 1 = 0 em relação ao círculo 4 1 0 a) secante b) tangente c) eterna d) n.d.a. DUS CIRCUNFERÊNCIS Dadas duas circunferências, uma de centro C1 e raio R1 e a outra de centro C e raio R, compararemos o seguimento de reta C1C e R1 + R. Há três possibilidades: 1º) Se dc1c = R1 + R, então as circunferências são tangentes (1 ponto de interseção). º) Se dc1c > R1 + R, então as circunferências são eternas (não eiste ponto de interseção). 3º) Se dc1c < R1 + R, então as circunferências são secantes ( pontos de interseção). Tangentes Secante Eternas EXERCÍCIO dc1c = R1 + R dc1c < R1 + R, dc1c > R1 + R, Qual a posição relativa entre as circunferências () 6 10 9 0 e e) tangente f) secante g) eternas h) coincidentes i) n.d.a. () 4 4 0. 1
Respostas: 1-a; -a; 3-e; 4-a; 5-b; 6-e; 7-d; 8-a; 9-b; 10-a; 11-b; 1-a; 13-a; 14- a) =-1 b) =--3 c) =-/ + ; 15- a) =+6 b) = 3 /3+6+4 3 /3 c) =- 3 +3 3-1; 16-e; 17-b; 18-b; 19-e 0-c; 1-a; -d; 5-e; 6-c; 7-e; 8-e; 9-b; 30-a; 31-b Eercícios e Testes de Vestibular : 01) Calcule a distância entre os pontos (-3, 1) e (3, 9). 0) Determinar as coordenadas do ponto médio do segmento de etremos (-5, 0) e (1, 4). 03) Calcule a área do triângulo de vértices (-6, 3) ; (, 9) ; C(, 3). 04) (PUC) - área do polígono CD, onde (, ), (6, 6), C(4, 8) e D(0, 6) são seus vértices, é Calcular o coeficiente angular das retas abaio : 05) r 06) 3 r 45 o 1-3 07) 08) r - 10 o -4 09) Determine o coeficiente angular e linear da reta : 135 o - 13
10) Encontre a equação reduzida e geral da reta : 5 3 11) (UFRGS) - Considere a figura abaio. Uma equação cartesiana da reta r é 30 o 0 1 r 1) Encontre o ponto de interseção das retas : 3 - - 8 = 0 e + - 4 = 0. 13) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (0, 4) e é perpendicular a reta de e- quação = -/ + 10. 14) Qual é a equação da reta que passa pelo ponto P(-3, ) e é paralela a reta de equação 3 - + 7 = 0. 15)(UFRGS) Considere o gráfico de = f() abaio : 1 0 3 Então o gráfico de =. f() é: 16) Qual é a distância entre o ponto P(, 3) e a reta de equação 4 + 3-1 = 0. 17) Calcule a distância entre a origem e a reta 6 + 8-4 = 0. 14
18)(PUC)- área da região limitada pelos gráficos de + = 16 e + =1 é a) 15 u.a. d) 55 u.a. b) 15 u.a. e) 3 u.a. c) 55 u.a. Matemática Régis Cortes 19) Determine a equação da circunferência de centro C(5, ) e que é tangente ao eio das abscissas. 0) Determine a equação da circunferência de centro (3, 4) e que passa pela origem. 1) Qual é a equação da circunferência de centro na origem e que é tangente a reta de equação + = 0. ) Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação + - 6 + + 6 = 0. 3) Qual é o diâmetro da circunferência + - 4-9 = 0. 4) Encontre a equação da circunferência de centro C(1, ) e que passa pelo ponto P(4, 6) Verifique se as equações a seguir determinam uma circunferência : 5) 3 + 3 + 1 + 6-0 = 0 6) + - 10 + 6 + 40 = 0 7) (PUCRS) Um ponto situado em um plano onde está um referencial cartesiano se desloca sobre uma reta que passa pela origem e pelo centro da circunferência de equação + ( 1) = 1. equação dessa reta é ) = +1 ) = C) = 1 D) = 1 E) = 0 15
8) (UFRGS-010) Os pontos de interseção do círculo de equação ( 4) + ( 3) = 5 com os eios coordenados são vértices de um triângulo. área desse triângulo é (). () 4. (C) 5. (D) 6. (E) 8. Respostas : 01) 10 0) (-, ) 03) 4 04) 18 05) 1 06) /5 07) - 3 08) - 09) a = -1; b = - 10) = -5/3 + 5 ; 5 + 3-15 = 0 11 ) = ( 3 / 3) - ( 3 / 3) 1) (3, 1) 13) = + 4 14) =3+11 16)1 17),4 18)a 19) + - 10-4 + 5 = 0 0) + - 6-8 = 0 1) + - 4 = 0 ) C(3, -1) ; R = 3) 13 4) + - - 4-0 = 0 5) sim 6) não 7)e 8)b 16