Notas de Aulas 2 - Retas e Circunferências Prof Carlos A S Soares

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1 Notas de Aulas - Retas e Circunferências Prof Carlos A S Soares 1 Preliminares 11 Alguns fatos básicos Para iniciarmos o estudo da gemetria analítica é comveniente relembrarmos alguns fatos básicos de geometria euclidiana, quais sejam: 1 Dados dois pontos no plano eiste uma única reta que passa por eles Dada uma reta l e um ponto P no plano eiste uma única reta que passa por P e é perpendicular a l 3 Dada uma reta l e um ponto P no plano, fora de l, eiste uma única reta que passa por P e é paralela a l 4 Considere um triângulo retângulo em A, tal como ilustrado na figura abaio B a c C α b A Então temos: (a) a = b +c (Teorema de Pitágoras) (b) tangente de α=tg (α) = tg α = c b 5 Se duas retas r e s são ambas perpendiculares a uma terceira reta l, então r e s são paralelas 1

2 1 O Plano Cartesiano e o Ponto Você certamente está familiarizado com o plano cartesiano desde o ensino fundamental Neste início do curso de Elementos de Cálculo I, estaremos interessados em estudar conjuntos de pontos no plano cartesiano e suas respectivas representações gráficas Observe abaio a representação de um sistema de eios onde estão assinalados a escala e alguns pontos de coordenadas inteiras Figura A seguir temos a representação de um sistema de eios, onde a escala é oriunda do sistema anterior, mas no eio estão assinalados alguns pontos onde a abscissa é múltipla de π/ Este tipo de representação é muito usada quando estamos trabalhando com funções trigonométricas F igura π/ π π/ π/ π 3π/ Observação 11 (O número π) Ainda que seja redundante, lembramos que o número π é um número irracional, isto é, sua representação decimal é infinita e não periódica Na prática, quando desejamos trabalhar com este número, devemos aproimá-lo por um número real de representação decimal finita, por eemplo, uma aproimação seria π

3 Como falado no início, nosso objetivo é estudar conjuntos de pontos no plano e suas representações Com certeza, os conjuntos mais simples são aqueles formados por uma único ponto Vejamos alguns Eemplo 1 Seja Γ = {(1, )} Ainda que você não tenha dúvidas de como representar tal conjunto no plano, segue abaio sua representação F igura Recordamos que, para um ponto P (, ), teremos (abscissa) indicando a distância do ponto ao eio e (ordenada) indicando a distância do ponto ao eio Um ponto P (, ) pertence ou está no: 1 Primeiro quadrante se, e somente se, > 0 e > 0 Segundo quadrante se, e somente se, < 0 e > 0 3 Terceiro quadrante se, e somente se, < 0 e < 0 4 Quarto quadrante se, e somente se, > 0 e < 0 Abaio temos os pontos P, Q, M e N respectivamente no primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes Figura4 Q P M N Eemplo 13 (Bissetrizes dos quadrantes) Neste eemplo, destacamos dois conjuntos de pontos no plano, a bissetriz dos quadrantes pares(b P ) e a bissetriz dos quadrantes ímpares(b I ) definidos por B P = {(, ); R} B I = {(, ); R} 3

4 Eemplo 14 Seja β o conjunto β = {(, + 1), N} É claro que β = {(1, ), (, 3), } e, daí, podemos fazer somente representações de β plotando uma quantidade finita de pontos Quantos pontos plotar, dependerá do objetivo Geralmente, marcamos pontos que de alguma forma evidencie o conjunto estudado, neste caso, β Figura Distância entre dois pontos Considere dois pontos P (a, b) e Q(c, b) no plano Como determinar a distância entre estes dois pontos? È simples, utilizando o teorema de Pitágoras e observando a figura a seguir, verificar que tal distância, indicada por D P Q, será dada por D P Q = (a c) + (b d) 4

5 Figura b P D d Q c a Recordamos que um ponto P é dito equidistante de dois outros pontos A e B se D P A = D P B Vejamos alguns eemplos Eemplo 15 Determine a distância entre os pontos P (3, 1) e Q(1, 0) Solução 16 D P Q = (3 1) + (1 0) = 5 Eemplo 17 Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são A(, ), B(5, 4) e C(3, 6) Solução 18 Como o perímetro de um triângulo é a soma dos seus lados, inicialmente, calculemos os lados do triângulo Teremos, então: Logo, perímetro= D AB = ( 5) + ( 4) = 13 D AC = ( 3) + ( 6) = 17 D BC = (5 3) + (4 6) = 8 Eemplo 19 Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares que é equidistante dos pontos A( 1, 4) e B(4, 3) Solução 110 Sabemos que qualquer ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares é do tipo (, ) logo, seja P (, ) o ponto procurado Como P deve ser equidistante de A e B, devemos ter D P A = D P B, isto é, ( + 1) + ( + 4) = ( 4) + ( 3) Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade vem ( + 1) + ( + 4) = ( 4) + ( 3) 1 Note que não é verdade que =

6 Desenvolvendo, teremos o que nos leva a = Logo, o ponto procurado é P (1/3, 1/3) 4 = 8 = 1/3 Observação 111 Dados dois pontos A e B, indicaremos por AB o segmento de reta que une os pontos A e B É simples verificar que, sendo A( 0, 0 ) e B( 1, 1 ), o ponto médio do segmento AB será o ponto M( 0+ 1, 0+ 1 ) Eemplo 11 Determine o ponto médio do segemento AB, sendo A( 1, 3) e B(, 5) Solução 113 Pela observação acima, temos M( 1 +, 3 + ( 5) ) = ( 1, 1) 14 Condição para três pontos estarem alinhados Definição 114 Três pontos serão ditos alinhados se eiste uma reta l que os contenha, isto é, se estão sobre uma mesma reta l Dados três pontos Q(a, b), P (c, d) e R(e, f), queremos determinar condições para que estes três pontos estejam alinhados Trataremos separadamente 3 casos Caso 1: Eistem dois dos pontos dados com a mesma abscissa Neste caso a reta que passa por estes dois pontos é uma reta vertical e os três pontos estarão alinhados se, e somente se, o terceiro ponto pertence a esta reta vertical, isto é, se, e somente se, o terceiro ponto possuir a mesma abscissa dos outros dois Caso : De maneira análoga, suponhamos eistirem dois dos pontos dados com a mesma ordenada Neste caso a reta que passa por estes dois pontos é uma reta horizontal e os três pontos estarão alinhados se, e somente se, o terceiro ponto pertence a esta reta horizontal, isto é, se, e somente se, o terceiro ponto possuir a mesma ordenada dos outros dois Caso 3: Dentre os três pontos dados não eistem dois com a mesma abscissa ou mesma ordenada Se os três pontos estão alinhados, temos uma representação tal como na figura abaio com os dois ângulos assinalados iguais(α) Vide figura abaio Então, observando os triângulos QT R e ROP devemos ter, respectivamente, tg α = f b tg α = d f, isto é, devemos ter c e f b e a = d f c e e a e Reciprocamente, se f b = d f, então os ângulos assinalados serão iguais e os três pontos e a c e estarão alinhados Logo, temos, neste caso, Q, P, R estarão alinhados f b e a = d f c e 6

7 d P f R α O b Q α T a e c Eemplo 115 Os pontos A(1, 1), B(3, ), C(5, ) estão alinhados? Justifique! Solução 116 Observando que = 3 ( ) 5 3 pelo eposto acima, emos que os pontos não estão alinhados =, Eemplo 117 Determine o valor de k de modo que os pontos (k, 4), (11, k), ( 1, 3) estejam alinhados Solução 118 Temos 3 4 = 1 k 3 k = 3 k 1 = 3 k 1 k 1 k+1 1 (3 k)(k + 1) = 1 3k + 3 k k + 1 = 0 k K 15 = 0 k = 3 ou k = 5 Eemplo 119 Calcule a mediana AM de um retângulo cujos vértices são A( 3, 3 ), B(1, 5), C(6, 1) Solução 10 O ponto médio M do segmento BC é logo, teremos D AM = M( 1 + 6, 5 + ( 1) ) = ( 7, ) ( 3 7 ) + ( 3 ) = = Eercícios 1) Mostrar que o triângulo cujos vértices são (-,-1), (,) e (5,-) é isósceles e calcular sua área segmento de reta unindo o vértice A ao ponto médio M do lado oposto, isto é, BC 7

8 ) Mostrar que o triângulo cujos vértices são (-8,4), (,-) e (5,3) é retângulo e calcular sua área 3) Mostrar que os pontos (0,1), (3,5), (7,) e (4,-) são os vértices de um quadrado 4) Sendo A( 5, k ), B(5, 5) e C(, ), determine k de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B 5) Os pontos A(1, ) e B(5, 1) são vértices consecutivos de um quadrado Determine as coordenadas dos outros vértices 6) Dados A(a, 4), B( 3, ) e C(5, ), determine o valor de a de modo que o ponto A seja equidistante de B e C 7) Determine os pontos do eio, cujas distâncias ao ponto A(, 3) são iguais a 5 8) Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes pares que é equidistante dos pontos A( 1, 4) e B(4, 3) 9) Determine o valor de a modo que o triângulo ABC, de vértices A(a, 4), B( 7, a 1), C(0, 0) seja retângulo em C 5 10) Determine o valor de a sabendo que a distância entre os pontos (7, 1) e (3, a) é igual a 11) Os pontos (, ), ( 1, 3), (1, 1) estão alinhados? Justifique! 1) Os pontos (1, 3), (4, 5), (, 1) estão alinhados? Justifique! 13) Para quais valores de a os pontos A(a 1, a), B( a, 1 a), C(a, a 1) estão alinhados? Justifique! Equações da Reta 1 Determinação de uma reta Tal como lembrado na primeira seção, sabemos que uma reta fica determinada conhecidos dois pontos pelos quais ela passa Temos, ainda, que uma reta também estará conhecida se sabemos um ponto pelo qual ela passa e sua direção no plano, por eemplo, o ângulo que esta reta forma com um dos eios coordenados Em geometria analítica iremos sempre cacterizar uma reta l de uma das seguintes formas: 1) Eplicitando dois pontos pelos quais l passa ) Eplicitando um ponto pelo qual l passa e o ângulo α que l forma com o eio tomado sempre a partir deste eio, no sentido anti-horário Vide figura a seguir 8

9 α α Note que teremos sempre 0 α < π(0 α < 180 o ) 3 e 0 α < que se a reta é vertical, então α = 0 Por razões que se tornarão óbvias a seguir, no caso () acima, se a reta não é vertical, ao invés de nos referirmos ao ângulo α nos referiremos sempre à tangente de α ou tg α Temos, emtão, a definição Definição 1 Seja l uma reta não vertical Chamamos coeficiente angular de l ou declividade de l, representado por m l, a tangente do ângulo α já referido acima, isto é, coeficiente angular de l = m l = tg α Observamos que sendo α > π (= 90o ) temos tg α = tg (π α) = tg (180 o α) e, daí, vemos que se α < π, temos tg α < 0 Lembramos ainda que tg π 3 = tg 60o = 3, tg π 6 = tg 30 o = 3 3 e tg π 4 = tg 45o = 1 Observe, abaio, a representação de uma reta l passando pelos pontos Q(a, b) e P (c, d) d P b Q O α a c Observando, na figura, o triângulo OP Q, vemos que m l = tg α = d b c a 3 Observe a diferença nos casos quando a medida de α é dado em radianos ou graus 9

10 Logo, se conhecemos quaisquer dois pontos (, ) e ( 1, 1 ) pelos quais passa uma reta não vertical l, podemos determinar seu coeficiente angular facilmente pois, teremos, m l = 1 = Insistimos que, para retas verticais, não temos o coeficiente angular! Eemplo Qual o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(, 1) e B( 1, )? Qual o valor de um dos ângulos que esta reta forma com o eio? Solução 3 Teremos logo um dos ângulos será π 4 = 45o m = 1 1 ( ) = 1 1 = 1, Eemplo 4 Qual o coeficiente angular de cada reta, r e s, representadas abaio? r s π/3 5π/6 Solução 5 Temos m r = tg 5π 6 = tg (π 5π 6 ) = tg π 6 = tg 30o = 3 3 m s = tg π 6 = tg 60o = 3 A equação geral Determinar a equação de uma reta l significa encontrar uma equação nas variáveis e que seja satisfeita por todos os pontos de l e só pelos pontos de l Consideremos dois casos: 1) Determinando a equação de uma reta l conhecidos dois pontos ( 0, 0 ) e ( 1, 1 ) pertencentes a l Neste caso, temos: 11) Se 0 = 1, é simples ver que a reta l é uma reta vertical e, portanto, uma equação para l será = 0 ou ainda 0 = 0 10

11 Note que a equação não é única, por eemplo, = 0 também seria uma equação para l 1) Se 0 1, um ponto (, ) estará na reta l se, e somente se, os pontos (, ), ( 0, 0 ), ( 1, 1 ) estiverem alinhados, isto é, se, e somente se, 1 0 = ou ainda o que nos leva a ( 1 ) = 1 = ( 1 ) + 1 Observe que, no caso em que 1 = 0, a reta l será horizontal com equação = 1 ) Determinando a equação de uma reta l conhecidos um ponto ( 0, 0 ) pertencentes a l e seu coeficiente angular m l Neste caso, um ponto (, ) estará na reta l se, e somente se, os coeficientes angulares das retas l e da reta que passa pelos pontos ( 0, 0 ) e (, ) são iguais, isto é, 0 0 = m l ou ainda 0 = m l ( 0 ) nos levando a = m l ( 0 ) + 0 Novamente observamos que, se a reta é horizontal, teremos m l = 0 e sua equação será = 0 Resumindo, poderíamos, facilmente, demonstrar o seguinte teorema Teorema 6 Um conjunto de pontos no plano será uma reta se, e somente se, seus pontos satisfazem uma equação do tipo A + B + C = 0, onde A, B e C são números reais que caracterizam tal reta, com A e B não simultâneamente nulos A equação referida no teorema acima é dita equação geral da reta Note que esta equação não é única, pois podemos multiplicar toda a equação por qualquer número diferente de zero e ainda teremos uma equação geral para a reta Eemplo 7 Em cada item abaio, determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: (a)( 3, 1) e (0, 9) (b)(1, 0) e (1, 1) (c)(3, 1) e (5/4, 1) Solução 8 (a) m = 9 1 = 8 Usando o ponto ( 3, 1) temos a equação 1 = 8 ( + 3), 0 ( 3) 3 3 ou, 3 3 = 8 + 4, o que nos leva à equação geral = 0 Note que poderíamos ter optado por usar o ponto (0, 9) (b) Como as abscissas dos pontos é a mesma, teremos uma reta vertical dada por = 1 ou equação geral 1 = 0 (c) Como as ordenadas dos pontos é a mesma, teremos uma reta horizontal dada por = 1 ou equação geral + 1 = 0 11

12 3 A equação reduzida da reta Consideremos uma reta l não vertical Então sua equação geral será do tipo A + B + C = 0 com B 0 e, então, podemos isolar, obtendo = A C, que pode ser escrita na forma B B = m + n e esta equação será dita equação reduzida da reta É claro que, conhecida a equação reduzida de uma reta, o número n é obtido após substituírmos = 0 nesta equação e, daí, temos que n é eatamente a ordenada do ponto onde a reta toca o eio e por isto n é dito coeficiente linear de l É óbvio que m é o coeficiente angular da reta l Novamente, insistimos que retas verticais não possuem equação reduzida! Eemplo 9 Determine, se eistir, a equação reduzida da reta representada na figura abaio F igura Solução 10 Note que a reta dada passa pelos pontos ( 1, ) e (1, 4) Devemos, então, encontrar uma equação do tipo = m + n que seja satisfeita pelos pontos ( 1, ) e (1, 4) Uma primeira solução seria resolver o sistema abaio { m1 + n = 4 m( 1) + n = ou ainda, devemos resolver o sistema { m + n = 4 m + n = É simples encontrar como solução m = 3 e n = 1 Logo, a equação procurada é dada por = Uma segunda solução pode ser obtida usando que o coeficiente da reta que é dado por m = 4 ( ) = 3 e, agora, podemos usar o que desenvolvemos na primeira seção encontrando a 1 ( 1) equação 4 = 3( 1) ou ainda =

13 Eemplo 11 Determine a equação reduzida da reta paralela ao eio representada na figura abaio F igura Solução 1 Neste caso, observamos que a reta é uma reta vertical e, portanto, sua equação reduzida será = 3 Note que nos dois últimos eemplos a equação geral de cada reta seria dada por 3 +1 = 0 e 3 = 0, respectivamente Eemplo 13 Determine, se eistir, a equação reduzida da reta paralela ao eio representada abaio F igura Solução 14 Como a reta é vertical não temos equação reduzida Uma equação geral seria 1 = 0 13

14 Eemplo 15 Em cada item abaio determine, se eistir, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos: (a)( 3, 1) e (0, 9) (b)(1, 0) e (1, 1) (c)(3, 1) e (5/4, 1) Solução 16 (a) Já sabemos por um eemplo anterior que a equação geral desta reta é = 0 Logo, isolando, obtemos sua equação reduzida, qual seja = (b) Sabemos que esta reta é uma reta vertical e, portanto, não temos equação reduzida neste caso (c) = 1 4 A equação segmentária da reta Consideremos uma reta oblíqua 4 que não passa pela origem Necessariamente, esta reta cortará os eios e conforrme, por eemplo, a figura abaio l b a A equação desta reta l pode ser determinada, facilmente, verificando que a reta passa pelos pontos (a, 0) e (0, b) e, daí, sua equação será b + a ab = 0 ou ainda b + a = ab Dividindo todos os termos por ab, teremos a equação escrita na forma a + b = 1 Nos referimos a esta equação como equação segmentária da reta l Eemplo 17 Determine, se eistir, a equação segmentária da reta cuja equação geral é = 0 Solução 18 Temos = = = 1 o que nos leva à equação segmentária = 1 4 Uma reta é dita oblíqua se não é vertical nem horizontal 14

15 Eemplo 19 Determine, se eistir, a equação segmentária da reta cuja equação geral é = 0 Solução 0 Temos o que nos leva à equação segmentária Lembre-se que a = 1 b b a 6 0 = = = 1 5/ + 3/4 = 1 Eemplo 1 Determine, se eistir, a equação segmentária da reta cuja equação geral é = 0 Solução Temos = = = 1 o que nos leva à equação segmentária 5/ + 3/4 = 1 Eemplo 3 Determine, se eistir, a equação segmentária da reta que passa pelos pontos: (a)( 3, 1) e (0, 9) (b)(1, 0) e (1, 1) (c)(3, 1) e (5/4, 1) Solução 4 (a) Sabemos que a equação geral desta reta é = 0, o que nos leva a 8 3 = = 1 obtendo, então, a equação segementária 7/8 + 7/3 = 1 (b) Reta vertical, não temos equação segmentária (c) Reta horizontal, não temos equação segmentária Eemplo 5 Determine as equações geral e reduzida da reta cuja equação segmentária é = Solução 6 Temos = 1 = 1 = + 1 = = 3 3 o que nos leva às equações 3 1 = 0 e = 3 3, respectivamente, equações geral e reduzida Eemplo 7 Para cada reta representada abaio determine, se eitir, sua equação segmentária Solução 8 reta r : 7/ + 7/ = 1 reta s : 3/ + = 1 15

16 7/ s 3/ 7/ r - 5 Retas paralelas e Retas perpendiculares A proposição abaio, que admitiremos sem demonstração, nos será muito útil Proposição 9 Sejam l e m duas retas de equações = a 1 + b 1 e = a + b respectivamente Então, teremos: 1 l e m serão perpendiculares se, e somente e, a 1 a = 1 l e m serão paralelas se, e somente e, a 1 = a Observe que, para utilizar o teorema acima, devemos trabalhar com as equações reduzidas das retas! Eemplo 30 Determine os valores de a para os quais as retas r e s de equações a+3+1 = 0 e 1 + a + 3 = 0, respectivamente, sejam paralelas Solução 31 A equação reduzida da reta r é dada por = a 1 Para determinarmos 3 3 a equação reduzida da reta s devemos considerar separadamente dois casos a 0 e a = 0 Supondo a 0, sua equação reduzida será = 1 3 e, neste caso, r e s serão paralelas a a se, e somente se, a 3 = 1 a isto é a = 36 ou ainda a = ±6 Se a = 0 as equações de r e s serão, repectivamente, = 0 e = 0 que não são paralelas pois uma é horizontal e outra vertical Logo, as retas dadas só serão paralelas se a = ±6 Eemplo 3 Determine os valores de a para os quais as retas r e s de equações a+3+1 = 0 e 1 + a + 3 = 0, respectivamente, seja perpendiculares Solução 33 A equação reduzida da reta r é dada por = a 1 Novamente, para 3 3 determinarmos a equação reduzida da reta s devemos considerar separadamente dois casos 16

17 a 0 e a = 0 Supondo a 0, sua equação reduzida será = 1 3 e, neste caso, r e s a a serão perpendiculares se, e somente se, a 3 1 a = 1 isto é 4 = 1 o que não é verdadeiro para nenhum a Se a = 0 as equações de r e s serão, repectivamente, = 0 e = 0 que são perpendiculares pois uma é horizontal e outra vertical Logo as retas dadas só serão perpendiculares se a = 0 Eemplo 34 Determine a equação de uma reta que passe pelo ponto ( 5, /3) e seja paralela à reta r de equação = 0 Solução 35 Note que o coeficiente angular de reta r é igual a 4 Como a reta procurada 9 deve ser paralela a r, seu coeficiente angular deve ser 4 e como deve, ainda, passar pelo ponto 9 ( 5, /3), temos que sua equação será 3 = 4 ( + 5) 9 Eemplo 36 Determine os valores de a para os quais as retas r e s de equações = 3 4 e 1 + a + 3 = 0, respectivamente, seja perpendiculares Solução 37 Se a = 0 as retas não serão perpendiculares pois uma é oblíqua e a outra vertical Se a 0 a equação reduzida de s será = 1 3 e, portanto, r e s serão a a perpendiculares se, e somente se, 1 3 = 1, isto é, a = 36 Logo, as retas r e s só serão a perpendiculares se a = 36 Eemplo 38 Determine a equação de uma reta s que passe pelo ponto ( 1, 4) e seja perpendicular à reta r de equação = 0 Solução 39 Temos que o coeficiente angular da reta r é 3 5 da reta s, m s, deve satisfazer m s 3 5 = 1 e, portanto, o coeficiente angular e daí obtemos m s = 5 Uma equação para s será, então, 3 4 = 5 ( + 1) 3 Eemplo 40 Determine a equação da mediatriz do segmento AB, sendo A(1, 5) e B(3, 9) 5 Solução 41 O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B é igual a 9 5 = 3 1 O ponto médio do segmento AB é o ponto ( 1+3, ) 5+9 = (, 7) Logo, uma equação para a mediatriz será 7 = ( ) 5 Mediatriz de um segmento de reta é a reta que é perpendicular a esse segmento e passa pelo seu ponto médio 17

18 6 Distância de Ponto a Reta Sejam l uma reta de equação A + B + C = 0 e um ponto P ( 0, 0 ) a distância entre l e P, indicada por D P l, é dada por D P l = A 0 + b 0 + C A + B 6 É possível mostrar que Poderíamos mostrar este resultado facilmente, determinando a equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta l A seguir, determinamos o ponto Q de interseção das reta l e s e, por fim, calculamos a distância entre P e Q(tente fazê-lo!) Eemplo 4 Determine a distância entre o ponto P (, 5) e a reta l de equação = 0 Solução 43 Teremos D P l = 8( ) + ( 15) ( 15) = = Eemplo 44 Determine o valor de k, de modo que a distância entre o ponto P ( 1, 3) e a reta s de equação k = 0 seja igual a 4 Solução 45 Temos D P s = Como, devemos ter, D P s = 4, vem k 3 5 4( 1) k = k 3 5 = 4 k 3 = 100 k 3 = 100 ou k 3 = 100 k = 103 ou k = 97 Eemplo 46 A distância entre o ponto A(3, 6) e uma reta r de coeficiente angular 4 é iguala 5 Determine a equação da reta r Solução 47 Como o coeficiente ngular da reta r é 4 sua equação reduzida será do tipo = 4 + n, o que nos leva a equação geral, Devemos ter, então, D Ar = 4 + n = n = 18 n 17 = 5 o que nos leva a 18 n = n = 5 17 ou 18 n = 5 17 n = ou n = Logo, temos duas soluções para a reta r, quais sejam = 0 ou = 0 6 Lembramos que, sendo R, teremos = = se > 0 e se < 0 Note que = a = a ou = a 18

19 Eemplo 48 Considere as retas r e s de equações = 0 e = +, respectivamente Determine um ponto P na reta s cuja distância à reta r seja igual a 6 Solução 49 Seja P (a, b) o ponto procurado Como P s, devemos ter, b = a + e, portanto, P (a, a + ) Como a distância de P a r deve ser igual a 6, teremos, D P r = 3a + ( 4)(a + ) ( 4) = 5a 5 5 = a 1 = 6 o que nos leva a a = 7 ou a = 5 Temos, então, duas soluções para o ponto P, quais sejam, P (5, 1) e P ( 7, 1) Eemplo 50 Considere o triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(1, ), B(3, 7) e C(6, 3) Determine a altura deste triângulo relativa ao lado BC Determine, ainda, a área deste triângulo Solução 51 A altura relativa ao lado BC é simplesmente a distância entre o ponto A e a reta r que passa por B e C A reta que passa por B e C tem equação = 0(certif ique se!) e, portanto, teremos, h = D Ar = = 3 5 = 3 5 A área S do triângulo será igual a D BCh Logo S = (3 6) + (7 3) 3/5 = 3 7 Eercícios 1) Determine a equação da reta que passa pelos pontos (1, ) e (0, 1) Qual o ângulo que a reta encontrada faz com o semi eio positivo? ) Determine a equação da reta de coeficiente angular e que paasa pelo ponto ( 3, 4) Determine outros dois pontos pelos quais a reta encontrada passa 3) a) Mostre que se ( 1, 1 ) e (, ) são dois pontos sobre a reta de equação = a + b então a = 1 = b) Qual o coefifiente angular da reta que passa pelos pontos (1/, 1) e (4, 0)? 4) (a) Determine a equação geral da reta paralela à reta de equação = e que paasa pelo ponto ( 3, 4) (b) Determine a equação geral da reta perpendicular à reta de equação = e que paasa pelo ponto ( 3, 4) 19

20 (c) Faça um esboço das retas no plano d) Qual a intereseção da reta inicial com a reta encontrada no item (b)? 5) Uma reta passa pelos pontos (-,-3) e (4,1) Calcular a ordenada de um ponto situado sobre esta reta e cuja abscissa é 10 6) Mostrar que os pontos (1,1), (5,3), (8,0) e (4,-) são os vértices de um paralelogramo 7) A reta que passa pelos pontos (-,5) e (4,1) é perpendicular à reta que passa pelos pontos (-1,1) e (3,7)? Justifique! 8) A reta l 1 passa pelos pontos (3,) e (-4,-6) e a reta l passa pelo ponto (-7,1) e pelo ponto A de ordenada -6 Determine a abscissa do ponto A sendo l 1 perpendicular a l 9) As interseções de uma reta sobre os eios X e Y são, respectivamente, e -3 Determine sua equação 10) Determine a equação da reta cula declividade é -3 e cuja interseção sobre o eio Y é - 11) Os pontos (-5,), (1,4) e (4,5) são colineares? Justifique! 1) Determine a área do triângulo retângulo formado pelos eios coordenados e pela reta cuja equação é = 0 13) Determine k se a reta k + (k 1) 18 = 0 deve ser paralela à reta = 0 14)Determine k se a reta k +(k+1)+3 = 0 deve ser perpendicular à reta 3 11 = 0 15) Determine a e b se as equações a+( b) 3 = 0 e (a 1)+b +15 = 0 repesentam retas que passam pelo ponto (,-3) 16) Determine k se a reta k = 0 deve formar com os eios coordenados um triângulo retângulo de área,5 17) Determine a distância da reta = 0 ao ponto (,-3) 18) Os vértices de um triângulo são os pontos A(-4,1), B(-3,3) e C(3,-3) Determine o comprimento da altura relativa ao lado BC e a área do triângulo 3 Circunferência 31 Conceitos Iniciais Sejam C(a,b) um ponto e r > 0 um número real Chamaremos circunferência de centro C e raio r o conjunto de todos os pontos P(,) tais que a distância entre C e P é igual r 0

21 Eemplo 31 Determine a equação da circunferência de centro (-1,) e raio 3 Solução 3 Claramente, temos ( + 1) + ( ) = ( 3) = 3 Eemplo 33 Determine os valores de k para os quais o ponto P (k, 5) pertence à circunferência de centro C(5, ) e raio 85 Solução 34 Como P pertence à circunferência, sua distáncia ao centro deve ser igual ao raio, isto é, devemos ter (k 5) + ( 5) = ( 85) ou ainda Portanto (k 5) + 49 = 85 (k 5) = 36 k 5 = ±6 k = 11 ou k = 1 Eemplo 35 Calcule o raio da circunferência de centro C(, 7) e que passa pelo ponto A(3, 1) Solução 36 Como a circunferência passa por A devemos ter D AC = raio, isto é, r = (3 + ) + ( 1 7) = 89 Eemplo 37 Determine a equação da circunferência que tem o segmento AB como diâmetro, sendo A( 3, ) e B(7, 6) Solução 38 Sendo AB o diâmetro, o centro será o ponto médio de AB e o raio será a distância do centro a qualquer um dos pontos A ou B ou, ainda, a metade da distância entre A e B Logo ( centro = C, + 6 ) = C(, 4) e r = D CA = ( + 3) + (4 ) = 9 Portanto, a equação será ( ) + ( 4) = 9 Observação 39 raio r é dada por É simples verificar que a equação de uma circunferência de centro C(a,b) e ( a) + ( b) = r (1) A equação acima, geralmente, é referida como equação padrão da circunferência de centro (a,b) e raio r 1

22 Ao desenvolvermos a equação (1), obtemos que pode ser escrita na forma + a b + a + b r = A + B + C = 0 () onde A = a, B = b e C = a + b r Segue, portanto, que a equação de qualquer circunferência pode ser escrita da forma (), denominada equação geral da circunferência A questão que naturalmente surge é, ao contrário, saber se cada equação da forma () representa uma circunferência Para responder tal pergunta, usaremos um procedimento conhecido como completar quadrados Vejamos um eemplo Eemplo 310 Verifique se cada equação abaio representa uma circunferência Se este for o caso, determine seu centro e raio (a) = 0 (b) = 0 (c) = 0 (d) = 0 Solução 311 (a) Temos = = ( 3) + ( + ) = 16 Circunferência de centro C(3, ) e raio r = 4 (b) Temos = = ( ) +( 3) = 0 Ponto P (, 3) (c) Temos + 4 = = ( 1) + ( ) = Não temos ponto que satisfaça tal equação (d) Temos = = = = ( 3) + ( + ) = 41 Circunferência de centro C(3, ) e raio r = 41 Note que em todos os eemplos acima, tomamos a equação + + A + B = C e somamos a ambos os lados da igualdade os números ( A ) e ( B ) Observação 31 Quando estivermos buscando determinar a equação de uma circunferência, em alguns casos, pode ser mais conveniente tentar encontrar uma equação da forma (1), já em outros da forma () É muito importante lembrarmos, e quando necessário usarmos, as propriedades de circunferẽncia conhecidas da geometria plana Vejamos alguns eemplos

23 Eemplo 313 1) Determine a equação da circunferência cujo centro se encontra sobre a reta = 0 e que passa pelos pontos A(6, ) e B(8, 0) ) Determine a equação da circunferência de raio 5 e que passa por A(1, 4) e B(7, ) 3) Represente no plano cartesiano os pontos que satisfazem = 9 4) Para quais valores de m a equação m = 0 representa uma circunferência? Justifique! Solução 314 1) Seja C(a, b) o centro da circunferência procurada Como este centro pertence à reta, devemos ter 3a + 7b + = 0 Como a circunferência passa pelos pontos A e B temos que DCA = D CB, isto é, ou ainda (a 6) + (b + ) = (a 8) + b a 1a b 4b + 4 = a 16a b 4a 4b = 4 Devemos, então, resolver o seguinte sistema { a b = 6 3a + 7b = Resolvendo, encontramos a soluçao, a = 4 e b =, ou seja, o centro é o ponto C(4, ) Calculando D CA, que é o raio, temos r = 0(Calcule!), o que nos leva à equação da circunferência ( 4) + ( + ) = 0 ) Suponhamos C(a, b) o centro da circunferência Então sua equação será ( a) + ( b) = 0 Como os pontos A e B pertencem à circunferência, substituindo suas coordenadas na equação da circunferência, teremos as equações (1 a) + (4 b) = 0(substituindo A)e (7 a) + ( b) = 0(substituindo B) Desenvolvendo, somos levados ao sistema { a + b a 8b = 3 a + b 14a + 4b = 33 Uma forma simples de resolver este sistems, é subtrair suas equações, obtendo 1a 1b = 36 ou a b = 3 Agora, podemos fazer a = b + 3 e voltar a uma das equações do sistema Escolhendo a primeira equação, teremos (3 + b) + b (3 + b) 8b = 3 ou b b = 0, o que nos leva à solução b = ou b = 0 e, dai, temos respectivamente, a = 5 e a = 3, consequentemente os centros C(5, ) e C(3, 0) Logo, temos duas circunferências que satisfazem o eercício, quais sejam ( 5) + ( ) = 0 e ( 3) + = 0 3) Observe que = 9 = 9 + = 9 Logo os pontos procurados fazem parte da circunferência de centro C(0, 0) e raio 3, mas somente os pontos de ordenada positiva ou nula nos interessam Na próima figura temos os pontos assinalados 3

24 3-3 C 3 4) Temos m = = m Logo, a equação representará uma circunferência se, e somente se, m + 10 > 0, isto é, m < 10 Eercício Resolvido 315 Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0, ), B(7, 5) e C(6, 6) Solução 316 Apresentaremos duas soluções para este eercício que devem ser bem entendidas Primeira solução: Inicialmente, relembremos uma propriedade que diz que se A e B são pontos distintos de uma circunferência, então a meiatriz do segmento AB passa pelo centro No nosso caso, então, as mediatrizes dos segmentos AB e BC devem passar pelo centro Logo, a ideia é determinar as equações dessas mediatrizes e depois buscar o ponto comum a elas, que será o centro Determinemos a equação da mediatriz r do segmento AB O coeficiente angular da reta que passa por A e B é igual a m AB = 1 e, como r deve ser penpendicular a AB, teremos m r ( 1) = 1 e, daí, m r = 1 Temos, ( ainda, que ) a reta r deve passar pelo 0+7 ponto médio de AB, isto, é, r deve passar pelo ponto, +( 5) = (7/, 3/) Logo uma equação para r será dad por 7 = ( + 3 ) ou 5 = 0 De maneira análoga determinamos a equação da reta s mediatriz do segmento BC, encontrado, + 1 = 0(Determine!) O centro da circunferência será a solução do sistema { = 5 + = 1 Resolvendo o sistema, encontramos o ponto D(3, ), que é o centro da circunferência 4

25 Para determinarmos o raio, basta calcular a distância de D a qualquer dos pontos A, B ou C, daí, temos r = D DA = 3 + ( ) = 5 Logo, a equação da circunferência é ( 3) + ( + ) = 5 Segunda solução: Pelo eposto aneriormente, sabemos que a equação de uma circunferência pode ser escirta na forma + + k + m + n = 0 (1) Se a circunferência procurada passa pelos pontos A(0, ), B(7, 5) e C(6, 6), devemos ter, substituindo estes pontos em (1), logo devemos resolver o sistema k0 + m + n = ( 5) + k7 + m( 5) + n = ( 6) + k6 + m( 6) + n = 0 m + n + 4 = 0 7k 5m + n + 74 = 0 6k 6m + n + 7 = 0 Para resolver tal sistema, basta escolher uma equação, isolar uma variável, susbstituí-la nas outras duas equações, obtendo, assim, um sistema de duas equações e duas variáveis Por eemplo, vamos isolando n na primeira equação, teremos n = m 4 Ao subsituírmos na segunda e terceira equações teremos 7k 5m + ( m 4) + 74 = 0 6k 6m + ( m 4) + 7 = 0 o que nos leva ao sistema { 7k 7m = 70 6k 8m = 68 Resolvendo este sistema temos a solução k = 6, m = 4 e, retornando, encontramos n = 1 e temos a equação = 0 3 Posição de um ponto em relação à uma circunferência Considere uma circunferência de centro C e raio P Diremos que um ponto P está: 1) No interior da circunferência, se a distância entre C e P é menor que r; ) No eterior da circunferência, se a distância entre C e P é maior que r; 3) Sobre a circunferência, se a distância entre C e P é igual a r Eemplo 317 Considere a circunferência de centro C(, 1) e raio 8 e os pontos A(1, 1), B( 4, ) e D(0, 1) Então: D CA = ( 1) + ( 1 + 1) = 9 = 3 > 8 A está no eterior da circunferência D CB = ( + 4) + ( 1 + ) = 5 < 8 B está no interior da circunferência D CD = ( 0) + ( 1 1) = 8 = 8 D está sobre a circunferência 5

26 Abaio temos representados a circunferência e os pontos D C A B Observação 318 Se temos a equação de uma circunferência C na forma ( c ) + ( c ) = r ou + + A + B + C = 0 não é difícil ver que: 1) Um ponto A( 0, 0 ) está no interior de C ( 0 c ) + ( 0 c ) < r ou A 0 + B 0 + C < 0 ) Um ponto A( 0, 0 ) está no eterior de C ( 0 c ) + ( 0 c ) > r ou A 0 + B 0 + C > 0 3) Um ponto A( 0, 0 ) está sobre C ( 0 c ) + ( 0 c ) = r ou A 0 + B 0 + C = 0 Eemplo 319 Verifique a posição do ponto A(7, 5) em relação à circunferência de equação = 0 Solução 30 Usando a observação anterior e substituindo as coordenadas do ponto na equação da circunferência, teremos portanto P está no eterior de C = 84 > 0 Eemplo 31 Verifique a posição do ponto A(3, ) em relação à circunferência de equação = 0 Solução 3 Novamente, usando a observação anterior e substituindo as coordenadas do ponto na equação da circunferência, teremos portanto P está no interior de C 3 + ( ) ( ) 17 = < 0 Eemplo 33 Esboce no plano o conjunto do pontos (, ) que satisfazem a inequação

27 Soluc a o 34 Observe que a equac a o + 3 = 0 representa uma circunfere ncia de centro (1, 1) e raio 5 Logo os pontos que satisfazem a inequac a o dada sa o todos os pontos que esta o sobre a circunfere ncia e os pontos que sa o interiores a circunfere ncia Logo, temos a regia o assinalada C 1 1 Eemplo 35 Esboce no plano o conjunto do pontos (, ) que satisfazem a inequac a o Soluc a o 36 Novamente, observe que a equac a o + 3 = 0 representa uma circunfere ncia de centro (1, 1) e raio 5 Logo os pontos que satisfazem a inequac a o dada sa o todos os pontos que esta o sobre a circunfere ncia e os pontos que sa o eteriores a circunfere ncia Logo, temos a regia o assinalada abaio C 1 1 7

28 Eemplo 37 Esboce no plano o conjunto dos pontos (, ) que satisfazem cada sistema de inequac o es abaio: { (a) / 0 { (b) / 0 { (c) / 0 { (d) / 0 Soluc a o 38 A primeira inequac a o representa todos os pontos que esta o sobre e sa o eteriores a circunfere ncia de centro (1, 1) e raio 5 A segunda inequac a o representa todos os pontos que esta o sobre e sa o eteriores a circunfere ncia de centro (, ) e raio 7/ Logo os pontos que satisfazem o sistema dada sa o todos os pontos que satisfazem as duas inequac o es, isto e, todos os pontos que esta o sobre e sa o eteriores a s duas circunfere ncias (a) (c) (b) C C 1 (d) 1 33 Posic a o de uma reta em relac a o a uma uma circunfere ncia Diremos que uma reta e uma circunfere ncia sa o: 1) Secantes, se possuem dois pontos comuns ) Tangentes, se possuem um ponto comum 3) Eteriores, se na o possuem pontos comuns Eemplo 39 Verifique a posic a o relativa da reta r de equac a o = 0 e a circunfere ncia = Verificar a posic a o relativa significa decidir se sa o secantes, eteriores ou tangentes 8

29 Solução 330 Para saber quantos pontos em comum a reta e a circunferência possuem, devemos saber quantas soluções possui o sistema { = = 0 Isolando na segunda equação obtemos = Agora, substituindo na segunda, teremos e, simplificando, vem ( ) + 10( ) = = 0 Não precisamos resolver esta equação, somente determinarmos quantas soluções temos e, para tanto, vemos que = ( 700) = > 0 Logo, a circunferência e a reta são secantes Observação 331 Considere uma reta l e uma circunferência C de centro num ponto P e raio r É simples ver que: 1) l e C serão secantes D P l < r ) l e C serão tangentes D P l = r 3) l e C serão eteriores D P l > r Eemplo 33 Solução do último eercício usando a observação acima Inicialmente determinamos o centro e o raio, fazendo = = ( 5) +( ) = 16 Logo, centro é C(5, ) e raio r = 4 Agora comparamos a distância do centro à reta com o raio, isto é, D Cr = 8 + ( 6) = 5 10 = 5 < 4 = r Eemplo 333 Verifique a posição relativa da circunferência = 0 e da reta = 0 Solução 334 Poderíamos resolver este eercício da mesma forma como resolvemos o último eemplo, isto é, verificando quantos pontos a circunferência e a reta possuem em comum Uma segunda solução, que faremos, é usar a observação anterior, isto é, determinar a distância entre o centro da circunferência e a reta Observe que o centro da circunferência é o ponto P (, 1) e o raio é igual a 13(Faça as contas para determiná-los!) Logo, teremos, D P l = ( ) = = 13 Portanto a reta e a circunferência são tangentes 9

30 Eemplo 335 Para quais valores de k a circunferência C de equação = 0 e a reta l de equação + k = 0 são secantes? Solução 336 Note que = = ( 3) +( 3) = 5, isto é, raio = 5 e centro = P (3, 3) Pela última observação, para que C e l sejam secantes devemos ter D P l > 5 Mas, D P l = k 5 = k e, portanto, devemos ter o que nos leva a k < 5 k + 3 < 5 5 < k + 3 < 5 8 < k < 8 Logo, a circunferência e a reta serão secantes se, e somente se, k ] 8, [ 34 Eercícios 1) Escreva a equação de cada circunferência cujos centros e raio são dados abaio: (a) C(5,3) e r= (b) C(/3,1) e r= (c) C(0,0) e r=8 (d) C(-1,0) e r= 3 ) Encontre o centro e o raio das circunferências dadas abaio: (a)( 3) + ( 4) = 49 (b)( 3) + ( 4) + 0 = 49 (c) + = 6 (d) = 0 (e) = 0 (f) = 0 3) Para quais valores de k a equação representa uma circunferência? Justifique! k = 0 4)Sendo k e m números reais, determine as condições para que a equação k + m = 0 represente uma circunferência que passa pelo ponto (3,5) 5) Represente no plano cartesiano as figuras correspondentes às equções: (a) = (b) 4 = 6 5 (c) = 16 6) Qual a equação da circunferência de centro C(-1,4) e que passa pelo ponto A(,-7) 7)Os pontos (-1,4) e (3,) são vértices consecutivos de um quadrado Determine as equações das circunferências circunscrita e inscrita ao quadrado 8 lembramos que < a a < < a 30

31 8) Uma circunferência passa pelos pontos A(3,1) e B(4,0) e seu centro está sobre o eio das ordenadas Calcule o raio dessa circunferência e escreva sua equação 9) Determine a equação da circunferência de raio 13 e que passa pelos pontos A(1,4) e B(,-1) 10) Verifique se os pontos dados abaio estão no interior, no eterior ou sobre a circunferência de equação = 0 (a)(1,-3) (b)(-4,3) (c)(-,-1) (d)(,) 31