Translações 1
Se reparares com atenção, podes observar que certos elementos se repetem periodicamente, numa determinada direcção e sentido. 2
Nos azulejos, por exemplo, podes observar essa repetição. 3
Na figura abaixo, ao passar-se de um elemento base para a sua réplica é como se todos os pontos desse elemento fossem deslocados segundo a mesma direcção, o mesmo sentido e percorrendo a mesma distância. 4
Em baixo, a figura B foi obtida da figura A deslocando todos os seus pontos segundo a mesma direcção, o mesmo sentido e percorrendo a mesma distância. É como se todos os pontos se deslocassem ao longo de rectas paralelas! A figura B diz-se que foi obtida por translação da figura A. A figura A é a figura original (o objecto) e a figura B é a sua imagem através de uma translação. 5
Na figura que podes observar agora, o deslocamento dos pontos foi feito segundo a mesma direcção e o mesmo sentido, mas não foi mantida a distância em todos os deslocamentos. A figura D não foi obtida por translação da figura C. Não existe nenhuma translação que permita obter a figura D a partir da figura C. 6
Uma translação transforma uma figura numa outra figura geometricamente igual. Todos os pontos da imagem resultam da figura original por um deslocamento dos seus pontos definido por: uma direcção; um sentido; um comprimento. 7
Mãos à obra: Manual - Vol. 3 Página 42 Analisar o exemplo Manual - Vol. 3 Página 43 Exercício 2 8
Para obtermos a imagem de uma figura através de uma translação, vimos que é necessário definir uma direcção, um sentido e um comprimento. Esta informação pode ser como que condensada naqulo a que se chama um segmento de recta orientado, o qual se representa desta forma: Um segmento de recta orientado define um vector. 9
Todos os segmentos orientados que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (ou norma) representam o mesmo vector. Na figura abaixo estão representados diversos segmentos de recta orientados que representam o mesmo vector, uma vez que têm a mesma direcção, o mesmo sentido e a mesma norma (ou comprimento). 10
Um vector fica então definido desde que se conheça: a direcção (que é dada pela recta onde esse vector se encontra: - a recta suporte do vector) o sentido (um dos dois possíveis na direcção) o comprimento (ou norma) 11
Consideremos o triângulo da figura abaixo e vamos obter a sua imagem através da translação associada ao vector representado a vermelho. 12
1.º passo: A partir de cada um dos vértices do triângulo, com régua e esquadro, vamos traçar paralelas com a direcção do vector dado 13
2.º passo: Abrimos o compasso com comprimento igual ao do vector dado 14
3.º passo: Marcam-se as imagens dos vértices, respeitando o sentido indicado pelo vector 15
4.º passo: Traçam-se os lados do novo triângulo cujos vértices são as imagens obtidas, obtendo-se a translação da figura original 16
Propriedades das translações Repara que na translação do triângulo da figura. Podemos retirar algumas conclusões sobre as propriedades das translações: 1. Uma translação transforma um segmento de recta num outro segmento de recta paralelo e geometricamente igual. 2. Uma translação transforma um ângulo noutro ângulo geometricamente igual (com a mesma amplitude). 3. Uma translação transforma uma figura noutra figura geometricamente igual. 17
Composição de translações Repara na figura que representa uma mesa de bilhar. Observa os deslocamentos da bola branca. A bola deslocou-se primeiro segundo o vector representado pela letra a e, de seguida, teve um novo deslocamento segundo o vector representado pela letra b, ficando então naquela posição. 18
Composição de translações Podemos imaginar a situação da mesa de bilhar como sendo a translação dos círculos representados na figura abaixo. Será que poderíamos chegar, de uma só vez, ao círculo representado a laranja? 19
Composição de translações A figura abaixo mostra a resposta à pergunta anterior. Se considerarmos o vector representado pela letra c e a translação associada a esse vector, podemos obter directamente o círculo a laranja, a partir do círculo a verde. Inicialmente fizemos uma composição de duas translações. A primeira associada ao vector a seguida de uma outra associada ao vector b. Aquela composição corresponde a fazer uma única translação, agora associada ao vector. c 20
Soma de vectores O vector c representa a soma dos outros dois vectores a e b e pode escrever-se: a b c 21