Relações Trigonométricas na Circunferência

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Lorena Balsemão Palmeira
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Relações Trigonométricas na Circunferência Introdução Uma das invenções mais importantes da história da humanidade foi a roda, por volta de 3000 a.c. Figura 1 Talvez essa ideia tenha surgido da observação de formas arredondadas existentes na natureza, por exemplo, um tronco de árvore que pode rolar quando empurrado.

1 Relações Trigonométricas na Circunferência Introdução Uma das invenções mais importantes da história da humanidade foi a roda, por volta de 3000 a.c. Figura 1 Talvez essa ideia tenha surgido da observação de formas arredondadas existentes na natureza, por exemplo, um tronco de árvore que pode rolar quando empurrado. A partir dessa ideia, foi possível chegar à roda e seus vários tipos: rodas de carroças, de carros, de locomotivas, rolamentos, engrenagens, entre outras. Nesta apostila daremos ênfase à linha que contorna o círculo, ou seja, à circunferência. Relações Métricas na Circunferência Na Figura 1 tem-se uma circunferência de centro O e raio R. Figura 2 Se considerarmos a circunferência mais a sua parte interna, temos um círculo (Figura 3). 26

2 Figura 3 Contornando um círculo com um fio e depois o esticando, obtemos o comprimento C da circunferência. Na figura 4 observa-se essa definição. C = πd ou C = 2πR π = 3, Figura 4 Desse modo, tem-se que C é o comprimento da circunferência, D é o diâmetro e R o raio. Além disso, é uma constante que equivale a aproximadamente 3,14. Arcos de Circunferência Os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é denominada arco da circunferência. arco AB O Arco menor é indicado por arco AB. Figura 5 Quando nos referimos ao arco maior, marcamos mais uma letra nesse arco. 27

arco AXB Figura 6 Arcos e Ângulos Dividindo uma

dessas partes é um arco de 1º (um grau).

360º. Esse raciocínio pode ser interpretado

Figura 7 Nas figuras abaixo se pode observar que

3 arco AXB Figura 6 Arcos e Ângulos Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma dessas partes é um arco de 1º (um grau). Por isso dizemos que a circunferência toda tem 360º. Esse raciocínio pode ser interpretado melhor na Figura 7. Figura 7 Nas figuras abaixo se pode observar que a medida em graus de um arco é igual à medida em graus do ângulo central correspondente. Como o ângulo destacado na cor laranja mede 90º, o arco destacado na cor vermelha também mede 90º. Figura 8 28

Figura 9 A mesma situação ocorre para os

4 Neste caso o ângulo mede 360º, logo, o arco destacado na cor vermelha também mede 360º. Figura 9 A mesma situação ocorre para os casos abaixo: med(ab)= 30º Figura 10 med(axb)= 270º Figura 11 med(ab)= 90º Figura 12 Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. Dessa forma, tem-se: Um minuto é igual a do grau. Um segundo é igual a do minuto. 29

Figura 13 Com isso, conclui-se que o comprimento de um arco é diretamente proporcional a sua medida em graus.

5 Usando a simbologia: Grau ' '' Minuto Segundo Exemplo: Se a medida de um arco é 50 graus, 15 minutos e 27 segundos, indicase: 50º 15' 27''. Comprimento de um arco de circunferência Observando a imagem abaixo, pode-se afirmar que: O arco AC mede 120º, e o arco AB mede 60º. O arco AD mede 180º, e o arco AB mede 60º. Figura 13 Com isso, conclui-se que o comprimento de um arco é diretamente proporcional a sua medida em graus. Retas e Circunferência Analisando a Figura 14, tem-se: C e F são pontos externos à circunferência. B e O são pontos internos à circunferência. A, E e G são pontos da circunferência. AE é uma corda onde os pontos A e E pertencem a mesma circunferência. Figura 14 AG é o diâmetro, pois, a corda passa pelo centro da circunferência. Em um plano, uma reta e uma circunferência podem ter em comuns dois pontos distintos, um único ponto ou nenhum ponto. Observe os casos a seguir: 30

6 A reta s e a circunferência têm dois pontos em comum, A e B distintos. Logo, s é secante à circunferência. Figura 15 A reta t e a circunferência têm um único ponto E em comum. Logo, t é tangente à circunferência. O ponto E é o ponto de tangência. Figura 16 A reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. (Ver aplicativo no Geogebra) A reta u e a circunferência não têm nenhum ponto em comum. Logo, u é externa a circunferência. Figura 17 Relação entre as Cordas Consideremos as cordas e que se interceptam no ponto P. Conforme a Figura 18. Figura 18 Observando os triângulos PAD e PCB, tem-se: A C (medem BD : ângulos inscritos no mesmo arco BD) 2 Além disso, observa-se também que (são opostos pelo vértice). 31

7 Logo, Como esses triângulos são semelhantes, podemos escrever: =. Fazendo meio pelos extremos tem-se: = Em resumo, se duas cordas de uma circunferência se interceptam, então, o produto das medidas das duas partes de uma delas é igual ao produto das medidas das duas partes da outra. Relação entre as Secantes Consideremos dois segmentos e ; traçados por um ponto P externo à circunferência, e suas respectivas partes externas e. Conforme a Figura 19. Figura 19 Observando os triângulos PAD e PCB, tem-se: A é o ângulo comum aos dois triângulos (medem 2 : ângulos inscritos no mesmo arco ) Logo:. Como esses triângulos são semelhantes, pode-se afirmar que: = Fazendo meio pelos extremos tem-se: =. Em resumo, se por um ponto externo a uma circunferência traçarmos dois segmentos secantes, então, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da parte externa deste segmento. Relação entre Secante e Tangente Consideremos um segmento secante, sua parte externa e um segmento tangente a uma circunferência, traçados de um mesmo ponto externo P. 32

8 Figura 20 Observando os triângulos PTA e PTB, tem-se: ângulo comum). (medem 2 : está inscrito no arco, e é ângulo de segmento correspondente ao arco ). Logo, Como esses triângulos são semelhantes, podemos escrever: =. Fazendo meio pelos extremos, tem-se: 2 =, passando o expoente para o segundo membro em forma de raiz, tem-se: =. Em resumo, se por um ponto externo a uma circunferência traçarmos um segmento secante e outro tangente a ela, então, a medida do segmento tangente é média geométrica entre as medidas do segmento secante e da sua parte externa. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática: Fazendo a diferença. São Paulo: FTD,

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