MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR CAMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO PR UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
= P o P " P 1. FUNÇÕES DE VARIAS VARIÁVEIS 1.1. Noçõs básicas d funçõs d várias variávis As funçõs rais d várias variávis rais aparcm naturalmnt m problmas práticos. Quando procuramos a ára S d um parallogramo d bas altura multiplicamos a bas pla altura. Então o valor d S dpnd dos valors da bas da altura. Dimos qu a ára S é função das duas variávis. Da msma forma concluímos qu o volum d um parallpípdo d dimnsõs é uma função d variávis pois V a cada trno d valors atribuídos a corrspond um valor dtrminado do volum. A Física através d suas fórmulas também ofrc inúmros mplos d funçõs d várias variávis. A notação " = f no domínio D P significará qu é dado como uma função d para todos os pontos d um domínio D do plano. As variávis são chamadas variávis indpndnts nquanto qu s di dpndnt. O gráfico d uma função = f é uma suprfíci contida m P gráfico stá contido m P qual não podmos visualiá-lo. Algumas Aplicaçõs: Constatarmos qu o studo das funçõs d três ou mais variávis difr muito pouco do studo d funçõs d duas variávis. Por isso vamos nst curso trabalhar mais com funçõs d duas variávis. Por outro lado vamos salintar as difrnças fundamntais ntr o cálculo d funçõs d uma variávl o cálculo d funçõs d várias variávis. para as funçõs u = f o 1 Dado podmos considrá-lo como por mplo o comprimnto a largura d um trrno rtangular associar a cada par : i A sua ára: A =. ii O prímtro do msmo: P = + iii A distância do ponto até a origm: D Dado podmos considrá-lo como por mplo as dimnsõs d uma caia rtangular parallpípdo rto-rtângulo associar a cada trna : i O volum do msmo: V =.. ii A sua ára latral: ABlB. +. +. iii A distância do ponto até a origm: D Considr o sguint nunciado: O volum V d um cilindro é dado por V r h ond r é o raio h é a altura. Analisando sss nunciados vrificamos qu as funçõs nvolvidas rqurm o uso d duas ou mais variávis indpndnts. Podmos por mplo dir qu o volum d um cilindro dnotado por V é uma função do raio r da altura h. Assim V V r h é uma função d duas variávis dfinidas por: V r h r h. Essas situaçõs mostram mplos práticos qu aplicam funçõs d vária variávis.
Domínio d uma função d várias variávis Sja f a li d corrspondência para rprsntar a função f nas variávis. Façamos uma rprsntação gráfica mais convnint. Tommos ios ortogonais a. A cada par corrspond um. O trno ordnado tm por imagm gráfica um ponto do spaço. A função d variávis rais é dfinida m crtos pontos do plano ral; portanto o conjunto D dsts pontos domínio da função é uma suprfíci d Quando a função f é d variávis. A cada trno corrspondrá através da li f um valor ral w f. O conjunto d todos os trnos ordnados d númros rais é o spaço. Logo toda função ral d variávis rais é dfinida m um subconjunto D do spaço tridimnsional ral..
Emplos: Dtrmin o domínio das funçõs d várias variávis a sguir rprsnt-o gomtricamnt. 1 Sja a função: Solução: A caractrística da função é um quocint l só é dfinido para 0 isto é. O domínio d é o conjunto D { / } conjunto dos pontos do plano 0 qu não prtncm à bisstri dos quadrants ímpars. Sja a função: Solução: Além do quocint tmos qu considrar a rai quadrada. A função é dfinida para: 0 D { / } 0
Sja a função: Solução: 5 Eaminando a função notamos qu ral acontc quando: 5 0-0. Rsolvndo as inquaçõs: 5 0 1 0 0 Então D { /1 0 } A sguir tm-s a rprsntação gráfica do domínio da msma. Sja a função: 1 Solução: Esta função é dfinida para ntão: Em outras palavras o valor d é dfinido m todo ponto D. Assim o domínio D é todo o plano ral.. 5
5 Sja a função: w 6 8 Solução: Esta função é dfinida para ntão:. Em outras palavras o valor d w é dfinido m todo ponto D. Assim o domínio D é todo o spaço ral. 6 Sja a função: Solução: w 1 9 Para w sr um númro ral dvmos impor as condiçõs: 1 0 0 9 0 A rsolução dssas dsigualdads nos lva a: Assim o domínio dssa função é dado por: 1 1 D { / 1 1 } Gomtricamnt o domínio D é um parallpípdo d facs parallas aos planos coordnados conform ilustra a figura a sguir. 6
7 Sja a função: ln Solução: Eaminando a função: ln vrificamos qu istirá ral para: 0 ou quivalntmnt 0. Assim o domínio dssa função é dado por: D { Vjamos o sboço do gráfico do domínio d. / 0} Rprsntmos a rta 0: Para 0 Para 0 Eprimntmos o ponto 00 na dsigualdad: 0 0 0 0. Assim o ponto 00 satisfa a inquação logo o domínio é o smi-plano hachurado ilustrado na próima figura. 8 Dtrmin o domínio das funçõs: a Solução: Domínio: D { / }. b f 16 Solução: D { / 16} 7
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE FUNÇÕES As funçõs d uma variávl podm sr rprsntadas graficamnt como curvas dsnhadas m um sistma d coordnadas bidimnsional. Como vrmos agora as funçõs d duas variávis podm sr rprsntadas graficamnt com suprfícis m um sistma d coordnadas tridimnsional. Inflimnt não há modo análogo d visualiar funçõs d mais d duas variávis. Para construir um sistma d coordnadas tridimnsional adicionamos um trciro io o io ao plano d coordnadas já conhcido como mostra a figura a sguir. Not qu o plano é colocado na horiontal. O io é prpndicular ao plano o sntido para cima é scolhido para sr a dirção positiva d por simplicidad apnas os ios das coordnadas positivas stão dsnhados nssa figura. Podmos dscrvr a localiação d um ponto m um spaço tridimnsional spcificando três coordnadas. Por mplo o ponto da figura a sguir qu stá a unidads acima do plano qu s situa dirtamnt sobr o ponto 1 é rprsntado plas coordnadas 1 é dnotado plo trio ordnado 1. Analogamnt o trio ordnado 1 rprsnta o ponto qu stá a unidads abaio do plano qu s situa dirtamnt sob o ponto 1. Para plotar uma função f d duas variávis indpndnts é usual introduir a ltra para rprsntar a variávl dpndnt scrvr f. Os pars ordnados do domínio d f são tomados como pontos no plano a função f associa uma altura a cada ponto dss. Assim s f 1 prssaríamos st fato gomtricamnt plotando 1 m um sistma d coordnadas tridimnsional. O gráfico d f consist m todos os pontos para os quais f. A função pod associar difrnts alturas a difrnts pontos do su domínio m gral su gráfico srá uma suprfíci no spaço tridimnsional. Esta situação sta ilustrada na figura a sguir: 8
Assim da msma forma qu no studo das funçõs d uma variávl ral a noção d gráfico dsmpnha um papl important no studo das funçõs d várias variávis rais. Isso ocorr principalmnt para as funçõs d duas variávis cujo gráfico m gral rprsnta uma suprfíci no spaço tridimnsional. A visualiação gométrica auilia muito no studo dssas funçõs. Tmos a sguint dfinição: Dfinição: O gráfico d uma função d duas variávis f é o conjunto d todos os pontos tais qu D f f. Simbolicamnt scrvmos: graf f { / f }. Emplos: 1 Dtrmin o domínio a imagm construa o gráfico da função:. Solução: Domínio: D { / }. Imagm: Im [0 ] Gráfico: graf f { / } gomtricamnt rprsnta o hmisfério suprior da sfra d cntro na origm raio conform ilustra a figura a sguir: A quação é a quação d um plano inclinado qu corta os ios coordnados m 1. Rsolvndo ssa quação para m função d obtmos a função: 1 cujo domínio é todo plano cuja imagm é todo io. A part do gráfico d f qu s ncontra no primiro octant stá rprsntado na próima figura. 9
Dada uma suprfíci S no spaço podmos nos prguntar s la smpr rprsnta o gráfico d uma função f. A rsposta é não. Sabmos qu s f é uma função cada ponto d su domínio pod tr somnt uma imagm. Portanto a suprfíci S só rprsntará o gráfico d uma função f s qualqur rta prpndicular ao plano cortar S no máimo m um ponto. Isso é ilustrada na figura a sguir. No caso das funçõs d uma variávl uma manira d obtr su gráfico é laborar uma tabla dtrminando os valors da função para uma séri d pontos d su domínio. Ess método rudimntar mbora não muito ficints constitui uma frramnta important. No ntanto para sboçar o gráfico d uma forma mais prcisa vários outros rcursos são utiliados tais como dtrminação d raís assíntotas intrvalos d crscimnto dcrscimnto pontos d máimos mínimos tc. Para uma função d duas variávis é praticamnt impossívl obtr um sboço do gráfico apnas criando uma tabla com os valors da função m divrsos pontos d su domínio. Para contornar ssa dificuldad vários procdimntos são adotados. O principal dls muito usado plos cartógrafos na laboração d mapas d rlvo consist m dtrminar os conjuntos d pontos do domínio da função m qu sta prmanc constant. Esss conjuntos d pontos são chamados d curvas d nívl da função são dfinidas a sguir. CURVAS DE NÍVEL Normalmnt não é fácil sboçar o gráfico d uma função d duas variávis. Uma manira d visualiar uma suprfíci é mostrada na figura a sguir. Not qu quando o plano C intrcpta a suprfíci f o rsultado é uma curva no spaço. O conjunto d pontos corrspondnts no plano qu satisfam f C é chamado curva d nívl d f m C uma família intira d curvas d nívl é grada quando C varia m um intrvalo d valors. Esboçando mmbros dssa família no plano podmos obtr uma rprsntação útil da suprfíci f. 10
Figura: Uma curva d nívl da suprfíci f. Por mplo imagin qu a suprfíci f é uma montanha cuja lvação no ponto é dada por f como mostrado na figura a qu sgu. A curva d nívl f C stá dirtamnt sob uma trajtória na montanha cuja altitud é smpr C. Para plotar a montanha podmos indicar as trajtórias d altituds constants sboçando a família d curvas d nívl m um plano colocando um aviso m cada curva para mostrar a altitud a qu la corrspond figura b a sguir. Esta figura plana é chamada mapa topográfico da suprfíci f. Figuras: a A suprfíci f como uma montanha. b As curvas d nívl proporcionam um mapa topográfico d f. 11
Emplo: 1 Discuta as curvas d nívl da função f. Solução: A curva d nívl f C tm a quação C. S C 0 obtmos o ponto 0 0 s C 0 tmos um círculo d raio C. S C 0 não há pontos qu satisfaçam C. O gráfico da suprfíci f stá mostrado na figura a sguir. As curvas d nívl qu acabamos d dscobrir corrspondm a scçõs prpndiculars ao io. Pod-s mostrar qu as scçõs prpndiculars ao io são parábolas tnt visualiar porqu isto é vrdadiro. Por sta raão a suprfíci tm a forma d uma cuia. Ela é chamada parabolóid circular ou parabolóid d rvolução. Figura: a As curvas d nívl d f são círculos C. b A suprfíci como uma cuia. Dfinição: Sja k um númro ral. Uma curva d nívl C k d uma função f é o conjunto d todos os pontos D f tais qu f k. Simbolicamnt scrvmos: { D f / f k} Emplo: 1 Para a função C k C : 0 ; C : 0 algumas curvas d nívl são: 1 C : 1 ; C : 1 15 ; 1 7 ; Para k a curva d nívl é dada por 0 0. Nss caso a curva s rdu a um ponto é chamada curva dgnrada. Para k 0 k as curvas d nívl C k são conjuntos vaios. 1
Na figura a sguir aprsntamos as curvas d nívl dtrminadas ilustramos a sção da suprfíci corrspondnt à curva d nívl C. Esboço d gráficos usando curvas d nívl As curvas d nívl são smpr subconjuntos do domínio da função f portanto são traçadas no plano. Cada curva d nívl f k é a projção sobr o plano da intrsção do gráfico d f com o plano horiontal k. Assim para obtrmos uma visualiação do gráfico d f podmos traças divrsas curvas d nívl imaginarmos cada uma dssas curvas dslocada para a altura k corrspondnt. Nas próimas figuras ilustramos ss procdimnto para as funçõs:. 1
1PU PU Obsrvando as figuras antriors vmos qu as curvas d nívl d ambas as funçõs: podmos tr dificuldad m sboçar o gráfico corrtamnt. Um outro rcurso muito útil para visualiar a forma do gráfico consist m dtrminar a intrsção dst com os planos coordnados. são circunfrências d cntro na origm. Assim utiliando somnt as curvas d nívl A intrsção do gráfico com os planos são as smi-rtas 0 rspctivamnt. Por sua v a intrsção d rspctivamnt as parábolas é um con qu com os planos são. Essa informaçõs ajudam-nos a vr qu o gráfico d é um parabolóid. Linhas d comando no softwarw MATLAB MAT = Matri; LAB = Labatório Emplo: Gráficos da suprfíci o UPDEFINIÇÃO DO DOMÍNIO >> =-5:0.01:5; >> =-5:0.01:5; >> [XY]=mshgrid; OU SIMPLESMENTE >> [XY]= mshgrid-5:0.01:5-5:0.01:5; O UPDEFINIÇÃO DA FUNÇÃO >> Z=X.^+Y.^; Rali cada um dos comandos ao lado vja a difrnça: >> mshz >> mshxyz >> surfz >> surfxyz >> surfacz >> surfacxyz >> countourxyz >> countourz >> countourxyz >> countourz >> countourfxyz >> countourfz Ercício: Dadas as funçõs a sguir utili o softwar MATLABP Ppara grar as curvas d nívl sus rspctivos gráficos: 1 f 5 6 1 1
P vrsão P PARA USANDO O SOFTWARE MAPLE V P GRÁFICOS DE SUPERFÍCIES PLOTAR AS CURVAS DE NÍVEL E 1 Construir usando o softwar Mapl VP curvas: a f Parabolóid > plotd^+^=-..=-..; > with plots: > contourplot^+^=-..=-..color=black; 7.0 os gráficos as curvas d nívl das sguints b f con > plotdsqrt^+^=-..=-..; > with plots: > contourplotsqrt^+^=-..=-..contours=0color=black; 15
c f > plotd^-^=-..=-..; > with plots: > contourplot^-^=-..=-..color=black; d f > with plots: > contourplot^-^=-..=-..color=blackcontours=10; f > with plots: > contourplot^+^=-..=-..contours=0color=black; 16
17 Outros mplos d gráficos tridimnsionais no Mapl V vrsão 7.0 a f > plotd**p-^-^ =-..=-..; b f > plotd*p-^-^ =-..=-..; c f > plotd*p-^-^ =-..=-..;
18 d 5 f > plotd^+*+^+/+/+5=-..=-..; 5 f > plotd^+*+^+/+/+5=-..=-..; f 5 f > plotd^+*+^+/+/+5=-..=-..;
19 Construir os sguints gráficos usando o softwar Mapl VP P vrsão 7.0 dada a função o domínio da msma. a 8 8 8 8 ln f na cor cina gra > plotdln^+^=-8..8=-8..8color=gra; b ln f na cor padrão do Mapl V vrsão 7.0 > plotdln^+^=-..=-..; c sn f na cor padrão do Mapl V vrsão 7.0 > plotd sinsqrt^+^^ =-..=-..;
0 d 1 5 f na cor aul blu > plotd-5*/^+^+1=-..=-..color=blu; sn f na cor vrd grn > plotdsin^+^/^+^=-..=-..color=grn;
Us a função TIMPLICITIPLOT => GRÁFICOS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS a 16 Circunfrência > withplots: > implicitplot^+^=16=-5..5=-5..5; b 1 Elips 9 > withplots: > implicitplot^/+^/9=1=-..=-..; c 1 Hipérbol 9 > withplots: > implicitplot^/-^/9=1=-..=-..; 1
d cons > withplots: > implicitplotd^=^+^=-..=-..=-..color=gra; > implicitplotd^=^+^=-..=-..=-..; 9 Esfra > withplots: > implicitplotd^+^+^=9=-..=-..=-..;
P P + P d LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 1 Dada a função f = P P calcul: a f0 0 = b f = c f t = d os valors d para os quais f = - P P Rsposta: a b c 6 tp = - ou = 1 Encontrar uma função d várias variávis qu nos dê: a O volum d água ncssário para nchr uma piscina rdonda d mtros d raio mtros d altura. b A quantidad d rodapé m mtros ncssária para s colocar numa sala rtangular d largura comprimnto. c A quantidad m mtros quadrados d papl d pard ncssária para rvstir as pards latrais d um quarto rtangular d mtros d largura mtros d comprimnto s a altura do quarto é mtros. d O volum d um parallpípdo rtângulo d dimnsõs. A distância ntr dois pontos P 1 1 1 1 P. f A tmpratura nos pontos d uma sfra s la m qualqur ponto é numricamnt igual a distância do ponto ao cntro da sfra. Rsposta: a V b f c f d V f T d P 1 P 1 1 1 Uma loja vnd um crto produto P d duas marcas distintas A B. A dmanda do produto com marca A dpnd do su prço do prço da marca comptitiva B. A dmanda do produto com marca A é: D A 1.00 50 0 unidads/mês do produto com marca B é: D B 1.700 1 0 unidads/mês ond é o prço do produto A é o prço do produto B. Escrvr uma função qu prss a rcita total mnsal da loja obtida com a vnda do produto P. Rsposta: a R 1.00 1.700 50 0 Dtrmin o domínio das sguints funçõs rais d várias variávis rais. a 7 b 1 Rsposta: D Rsposta: D { / 1} 5 5 c f u v Rsposta: D { u v / u v 0} u v Ess domínio não tm rprsntação gráfica pois são subconjuntos do spaço 5.
5 Dtrmin m cada caso o maior subconjunto d no qual são dfinidas as funçõs: a 9 f Rsposta: } 9 / { D ou sja uma bola abrto d cntro na origm raio b 6 w Rsposta: } 6 / { D ou sja uma sfra d cntro na origm raio 6. c w Rsposta: } 0 0 0 / { D. d 5 1 w Rsposta: } 5 / { - 1 - - D ou sja uma sfra d cntro no ponto 1 raio 5. 6 Dtrmin construa um sboço do domínio das funçõs: a f Rsposta: } 0 0 / { D ou sja } {00 D. b 1 Rsposta: } 0 - / { D c f Rsposta: Smi-planos abrtos } / { d ln f Rsposta: Smi-plano abrto } / {. 9 6 f Rsposta: } / { D
7 Dadas as funçõs rais d várias variávis rais dtrmin o domínio rprsnt-o gomtricamnt. a f 1 b f Rsposta: D { / } Rsposta: D { / } c f ln - d f 16 Rsposta: D { / } Rsposta: D { / 16} 5