200.2 Apostila de Matemática Fiaceira Prof. Davi Riai Gotardelo Dispoível o Xerox e o Quiosque Uiversidade Federal Rural do Rio de Jaeiro (UFRRJ) A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia
Coteúdo Agradecimeto especial à querida Prof. Silviha, que me esiou os primeiros passos da Matemática, por getilmete ter cedido o material para cofecção dessa apostila. CAPÍTULO 0 OPERAÇÕES COM MERCADORIAS. Cálculos de lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou de veda... 4.. Vedas com lucro... 4.2. Vedas com lucro sobre o preço de custo... 5.3. Vedas com lucro sobre o preço de veda... 6.4. Vedas com prejuízo... 6.5. Vedas com prejuízo sobre o preço de custo.... 6.6. Vedas com prejuízo sobre o preço de vedas... 7 2. Abatimetos e aumetos sucessivos... 8 2.. Abatimetos sucessivos... 8 2.2. Aumetos sucessivos... 0 3. Exercícios... CAPÍTULO 02 JUROS 2.. Coceito... 2 2.2. Uidade de medida... 2 2.3. Taxa de juros... 2 2.4. Diagrama de capital o tempo... 2 2.5. Juros Simples... 3 2.6. Juros compostos... 9 2.7. Coveção liear e expoecial para períodos ão iteiros... 22 3. Exercícios... 25 CAPÍTULO 03 DESCONTO 3.. Descoto simples... 33 3..3. Descoto bacário... 35 3..4. Relação etre os descotos : racioal e comercial.... 37 3.2. Descoto composto... 37 3.2.. Descoto composto racioal... 37 4. Exercícios... 39 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 2
CAPÍTULO 04 TAXAS 4. Taxas... 45 4. Taxas Nomiais... 45 4.2. Taxa omial efetiva... 46 4.3. Taxa real, aparete e de iflação... 47 4.4 - Taxa Over (Taxa por um dia)... 48 Exercícios... 50 CAPÍTULO 05 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES 5. - Defiições importates... 52 5.2 - Classificação das auidades... 52 5.3. Amortização composta... 53 5.4. - Auidades atecipadas imediatas... 6 5.5.- Reda ou auidade diferida (com carêcia)... 63 Exercícios... 66 CAPÍTULO 06 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 6.. Defiições básicas... 72 6.2. Sistema de amortizações costates - SAC... 73 6.3. Sistema de amortização fracês SAF - PRICE... 77 Exercícios... 8 BIBLIOGRAFIA... 83 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 3
Operações sobre mercadorias. Cálculos de lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou de veda QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO Como lidar com operações fiaceiras sobre compra e veda de mercadorias Quado se trabalha com compra e veda de mercadorias, tem-se a possibilidade de obteção de lucro ou prejuízo, que pode ser sobre o custo ou sobre a veda. Para isso é ecessário saber primeiro o que é preço de custo de uma mercadoria. O preço de custo de uma mercadoria compreede o preço de aquisição, acrescido das despesas diretas sobre a compra e a veda e, aida, das despesas de admiistração, tributárias (PIS, COFINS,ICMS e outras) e de fucioameto da empresa. Quado se fala em taxa de lucro ou de prejuízo, imediatamete se pesa em taxa de lucro ou de prejuízo sobre o preço de custo; pois é este que represeta o capital empregado pelo comerciate a compra das mercadorias a serem vedidas. Na prática, etretato, é mais cômodo ao comerciate calcular a taxa de lucro ou de prejuízo sobre o preço de veda; pois esse preço, presete as tabelas de uso comercial e também as etiquetas das mercadorias, é de mais fácil acesso do que o preço de custo. Além disso, o cohecimeto da taxa de lucro sobre o preço de veda possibilita a determiação da taxa de lucro sobre o preço de custo, uma vez que existe uma relação etre as duas taxas. CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Abatimetos Abatimetos e aumetos sucessivos.. Vedas com lucro Ao se veder uma mercadoria pode-se ocasioar um lucro, sobre o preço de custo ou sobre o preço de veda da mesma, lembrado-se que ao se comprar e ao se veder uma mercadoria, vale a lei da oferta e da demada. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 4
.2. Vedas com lucro sobre o preço de custo Desevolvedo a fórmula: V = preço de veda C = preço de custo L = lucro i = taxa uitária de lucro V = C + L ode L = ic logo, V = C + ic V - C = ic V C C i ou i V C C Exemplo: Uma loja de departametos coloca à veda uma determiada mercadoria com um lucro de 3% sobre o preço de custo da mesma. Determie o preço de veda sabedo-se que esta mercadoria custou R$230,00. i = 3% = 0,3 C = 230 V =? Como V C i, etão C 0,3 V 230 230 0,3 x 230 = V - 230 29,90 = V 230 29,90 + 230 = V V = 259,90 Resposta. O preço de veda é de R$ 259,90. ou 230 + 0,3 x 230 = 230 + 29,90 = 259,90 ou aida, 230 00% x 3% x = 230(3) : 00 x = 259,90 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 5
.3. Vedas com lucro sobre o preço de veda Desevolvedo a fórmula : V = C + L ode L = iv logo, V = C + iv V - iv = C V C V i ou i V C V Exemplo. O doo de uma loja de eletrodomésticos comprou uma mercadoria por R$689,00 e quer vedê-la com um lucro de 25% sobre o preço de veda. Qual deve ser o valor de veda dessa mercadoria? i = 25% = 0,25 C = 689 V =? i V C V V 689 0,25 0,25V = V - 689 V 0,25V - V = - 689 V (0,25 - ) = - 689-0,75V = - 689 ( - ) 0,75V = 689 689 V V = 98,67 0,75 Resposta. O valor de veda dessa mercadoria deverá ser de R$98,67..4. Vedas com prejuízo Aalogamete ao que ocorre com o lucro, uma mercadoria pode ser vedida com prejuízo sobre o preço de custo ou de veda..5. Vedas com prejuízo sobre o preço de custo. Desevolvedo a fórmula: V = preço de veda C = preço de custo P = prejuízo A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 6
i = taxa uitária de prejuízo V = C - P ode P = ic logo, V = C - ic V - C = - ic V C C i ou i V C C Exemplo. Um aparelho de jatar foi vedido com um prejuízo de 40% sobre o preço de custo. Sabedo-se que esse aparelho custou R$300,00, qual foi o preço de veda? i = 40%= 0,40 C = 300 V =? Como a fórmula de prejuízo sobre o preço de custo é i V C C, temos: 0,40 V 300 300-0,40 x 300 = V - 300-20 = V - 300-20 + 300 = V V = 80 Resposta. O preço de veda desse objeto foi de R$80,00. ou 00% - 40% = 60% etão, se 00% 300 60% x x = 300 x 60 : 00 x = 80.6. Vedas com prejuízo sobre o preço de vedas Desevolvedo a fórmula: V = C - P ode P = iv etão, V = C iv V - C = - iv V C V i ou i V C V Exemplo: A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 7
Uma mercadoria cujo custo é de R$96.000,00 foi vedida com um prejuízo de 20% sobre o preço de veda. Calcule o preço de veda dessa mercadoria. i = 20% = 0,20 C = 96.000 V =? i V C V V 96. 000 0,2-0,2V = V - 96.000 V -0,2V - V = - 96.000 -V (0,2 + ) = - 96.000 (-) V (,2) = 96.000 96.000 V V = 80.000,2 Resposta. O preço de veda da mercadoria é de R$80.000,00. 2. Abatimetos e aumetos sucessivos Na compra e veda de mercadorias tira-se uma fatura das mesmas. Essa fatura é a relação que acompaha a remessa de mercadorias expedidas, com a desigação de quatidades, marcas, pesos, valores uitários e totais de cada mercadoria, percetuais de descotos, impostos, etc. Muitas vezes são realizados descotos ou acréscimos sucessivos essas faturas, decorretes de ofertas, pagametos à vista, etc.(para descotos) e de multas, impostos, etc.(para acréscimos). 2.. Abatimetos sucessivos Uma empresa distribuidora pode oferecer abatimetos sucessivos sobre o valor da fatura. Para calcularmos o valor líquido da fatura podemos calcular os líquidos parciais correspodetes aos abatimetos sucessivos, respeitado a ordem das taxas, até obtermos o líquido fial ou, aplicarmos a fórmula desevolvida abaixo. Desevolvimeto da fórmula do "Valor Líquido". Determiemos que: a = abatimeto A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 8
PV = valor iicial da fatura i = taxa de abatimeto L = valor líquido da fatura Se a = PV x i logo, L = PV - a cosequetemete, a 2 = L x i 2 e L 2 = L - a 2 Substituido, temos: L 2 = L - L x i 2 L 2 = L ( - i 2 ) Geeralizado, temos: L k =L k - ( - i k ) Se atribuirmos a k os valores,2,3,4,...,k, temos: L = L 0 ( - i ) L 2 = L ( - i 2 ) L 3 = L 2 ( - i 3 ) L 4 = L 3 ( - i 4 ) L k = L k - ( - i k ) Multiplicado as igualdades membro a membro, temos: L k = L 0 ( - i ) ( - i 2 ) ( - i 3 ) ( - i 4 )... ( - i k ) Fazedo L 0 = PV e L k = L, temos: L = PV (! - i ) ( - i 2 )... ( - i k ) Ode: i, i 2,..., i k são as taxas sucessivas L = valor líquido da fatura, ou seja, depois dos descotos PV = valor iicial da fatura Exemplo. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 9
Uma fatura de R$8.000,00 sofre dois abatimetos sucessivos de 0% e 8%. Qual o valor líquido a pagar? i = 0% = 0, i 2 = 8% = 0,08 PV = 8.000 L =? a = PV x i = 8.000 x 0, = 800 logo, L = 8.000-800 = 7.200 a 2 = L x i 2 = 7.200 x 0,08 = 576 logo, L 2 = 7.200-576 = 6.624 Se fizermos pela fórmula, temos: L = 8.000 ( - 0,) ( - 0,08) L = 8.000 (0,9) (0,92) L = 6.624 Resposta. O valor líquido a pagar é de R$6.624,00. 2.2. Aumetos sucessivos Para aumetos sucessivos temos que: No lugar do valor líquido (L) teremos o motate ou valor futuro (FV) e como são aumetos, iremos adicioar as taxas ao ivés de subtraí-las como o descoto. Logo, ossa fórmula de aumetos sucessivos será: FV = PV ( + i ) ( + i 2 )... ( + i k ) Exemplo. Sobre um artigo de R$2.500,00 icide um imposto federal de 7% e um estadual de 3,5%. Determie o preço fial desse artigo. i = 7% = 0,07 i 2 = 3,5% = 0,035 FV = 2.500 ( + 0,07) ( + 0,035) FV = 2.500 (,07) (,035) FV = 2.768,62 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 0
3. Exercícios 3. - Operações sobre mercadorias Uma televisão foi revedida por R$859,00, dado um prejuízo de 20% sobre o custo. Quato havia custado? 2 Quato por ceto sobre o custo se perdeu, ao se veder por R$238,00 um objeto que custou R$280,00? 3 Vededo um imóvel por R$50.000,00 tive um prejuízo de 7% sobre o preço de veda. Por quato comprei? 4 Calcule o preço de veda de um objeto que comprei por R$540,00 tedo perdido 20% do preço de veda? 5 Vedi uma loja por R$32.000,00. Se tivesse vedido por mais R$.999,00, meu lucro seria de 40% sobre o preço da ova veda. Qual foi o meu lucro? 6 Certa mercadoria foi vedida por R$3.232,00 com um prejuízo de 8,7% sobre o preço de compra. Por quato deveria ser vedida, para dar lucro de 2% sobre o preço de custo? 3.2 - Abatimetos e aumetos sucessivos Calcule o líquido de uma duplicata o valor de R$8.600,00 que sofreu a redução de 5% sobre este valor e, em seguida, outro abatimeto de 8% sobre o líquido da primeira redução. 2 Uma pessoa comprou um automóvel de R$5.800,00 ( preço de tabela ) com descoto de 2,5%. No dia seguite, vedeu o automóvel pelo valor de 2% acima do preço de tabela. Qual foi a taxa percetual de lucro total dessa pessoa? 3 Qual será o valor líquido de uma fatura de R$36.000,00 que recebe descotos sucessivos de 2%, 5% e 4%? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia
Juros 2.. Coceito Juro é a remueração dada a qualquer título de capitalização, ou seja, pelo uso do capital empregado, ou pela aplicação do capital em atividades produtivas, durate um certo período e à uma determiada taxa. QUESTÕES PARA DISCUSSÃO INICIAL DO CAPÍTULO Juros Simples e Compostos: quado se usa qual? O que é o juro? Esse itervalo de tempo usado a aplicação do capital à uma referida taxa, é deomiado período fiaceiro ou período de capitalização. 2.2. Uidade de medida Os juros são fixados através de uma taxa percetual, que sempre se refere à uma uidade de tempo: ao, semestre, trimestre, mês, dia, etc.. CONCEITOS A SEREM DEFINIDOS NESSE CAPÍTULO Juros Simples Juros Compostos 2.3. Taxa de juros A taxa de juros mede o custo da uidade de capital, o período a que se refere. Essa taxa é fixada o mercado de capitais pela variação etre as forças que regem a oferta de fudos e a procura de créditos. É a razão etre os juros pagos ou recebidos e o capital aplicado, um determiado período de tempo. 2.4. Diagrama de capital o tempo Os problemas fiaceiros depedem basicamete do fluxo (etradas e saídas) de diheiro o tempo. Esse fluxo é mais cohecido a prática como fluxo de caixa e é geralmete represetado por um diagrama covecioal de setor. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 2
500 400 400 0 4 2 3 5 6 300 000 Essa represetação é muito útil para situações em que é ecessário visualizar o que está ocorredo, quado temos etradas e saídas de capital o tempo. Coveções empregadas: reta horizotal --- escala de tempo com progressão da esquerda para a direita; períodos de tempo --- represetados em itervalos cotíguos, de modo que cada úmero represeta períodos acumulados; flechas --- a) para baixo --- saída ou aplicação de diheiro (ou valor egativo) b) para cima --- etrada ou recebimeto de diheiro (ou valor positivo) O diagrama aterior também pode ser represetado também dos seguites modos:.000 500 300 400 400 0 3 4 5 6 2.5. Juros Simples Os juros são classificados em simples e compostos, depededo do processo de cálculo utilizado. Juros simples são aqueles calculados somete sobre o capital iicial. 2.5.. Cálculo do juro simples (comercial) Quado o regime é de juros simples, a remueração pelo capital iicial aplicado ( também chamado de pricipal ou aida, valor presete) é diretamete proporcioal ao seu valor (capital) e ao A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 3
tempo de aplicação. O fator de proporcioalidade é a taxa de juros, sedo que varia liearmete ao logo do tempo(% ao dia é igual a 30% ao mês, que é igual a 360% ao ao, etc.). PV capital iicial ou pricipal ou valor presete (PV = Preset Value) j -- juro ou valor moetário da remueração tempo de aplicação, ou seja, o úmero de períodos em que esteve aplicado o capital ou valor presete (como o juro simples é dito comercial, usa-se o tempo comercial para os cálculos, ou seja, 30 dias o mês e 360 dias o ao). i -- taxa uitária de juros(forma decimal) Logo, se J PV i J = PV.i. Exemplo: Um capital de R$00,00 foi emprestado por 2 meses, à taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor dos juros recebidos? o mês = R$00,00 x 0,03 = R$3,00 (R$00,00 de capital rederá R$3,00 de juros) 2 o mês = R$00,00 x 0,03 = R$3,00 (R$00,00 de capital rederá R$3,00 de juros) Total de juros os dois meses = R$3,00 + R$3,00 = R$ 6,00 Observe que os juros são sempre iguais; pois icidirá sempre sobre o capital iicial. Pela fórmula: J = PV.i. J = 00.0,03.2 J = 6 Notações. cosiderada. a) O prazo de aplicação deve sempre ser expresso a mesma uidade de tempo da taxa i Ex: a) 2% = 0,2 ao ao = 5 aos b) i = 0,05 ao semestre = 2 aos = 4 semestres A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 4
b) Observe que dados três valores da fórmula de juros simples ( j = PV.i. ), podemos obter o quarto valor, por simples trasformação algébrica. PV = i J J = PVi i J PV J PVi ou aida, J = FV - PV 2.5.2. Cálculo do juro exato Deomia-se juro exato aquele que é obtido quado o período está expresso em dias e quado é adotada a coveção de ao civil (365 dias). i J k = 365 J = PVi 365 Exemplo. 36% ao ao. Determie o juro exato de um capital de R$0.000,00 que é aplicado por 40 dias, à taxa de 0.000x0.36x40 J e = 365 J e = 394,52 Resposta. O juro exato é de R$394,52 Obs. Se o juro fosse comercial ficaria assim: J c = 0.000x0.36x40 360 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 5
J c = 400,00 Nota. Nas mesmas codições de aplicação o juro comercial é maior que o juro exato. J c > J e Notações. a) Obtemos o juro exato usado o úmero exato de dias (365 dias = ao civil ou 366 dias = ao bissexto). b) Ao bissexto: Um ao é bissexto quado o seu úmero é divisível por 4(um úmero é divisível por 4, quado seus dois últimos algarismos são 00 ou formam um úmero divisível por 4). Ex: 3.700 ou 3.732 2.6..3. Períodos ão iteiros Podem ocorrer situações em que o prazo de aplicação ão seja um úmero iteiro de períodos a que se refere a taxa dada, sedo etão ecessário se cosiderar frações de períodos, para que ão se cometa erro o valor fial. Exemplo: Qual é o juro e qual é o valor futuro de um capital de R$45.000,00 aplicado à taxa de juro simples de 8% ao semestre, pelo prazo de 5 aos e 9 meses? a solução: Trasforma-se o tempo em semestre: 5 aos e 9 meses = 69 meses que dividido por 6 (um semestre tem 6 meses) dará um período de,5 semestres. Logo, =,5 semestres i = 8% ao semestre = 0,8 PV = 45.000 a) J =? J = PV.i. J = 45.000 x 0,8 x,5 J = 93.50 b) FV =? FV = PV + J FV = 45.000 + 93.50 FV = 38.50 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 6
2 a solução: Trasformar o período e a taxa em meses. = 5 a. e 9 m. = 69 meses 8 i = 8% a. s. = 3% 6 a. m. a) J = PV.i. J = 45.000 x 0,03 x 69 J = 93.50 b) FV = PV + J FV = 45.000 + 93.50 FV = 38.50 3 a solução: A solução pode ser obtida em duas etapas: a) Calcula-se o juro relativo à parte iteira. b) Calcula-se o juro relativo à parte fracioária, determiado primeiramete a taxa proporcioal a este período. O juro total será a soma do juro referete à parte iteira com o juro da parte fracioária. O valor futuro ou motate será a soma do capital com o juro total. 5 aos = 0 semestres 9 meses = semestre e 3 meses 5 aos e 9 meses = semestres e 3 meses () Cálculo do juro semestral. J = 45.000 x 0,8 x = 89.00 (2) Cálculo da taxa proporcioal ao trimestre e do juro trimestral. semestre = 2 trimestres i k = k i i k = 0,8 2 i k = 0,09 J 2 = 45.000 x 0,09 x s = 4.050 (3) Cálculo do juro total. J t = J + J 2 J t = 89.00+4.050 = 93.50 (4) Cálculo do valor futuro. FV = PV + J FV= 45.000 + 93.50 = 38.50 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 7
2.5.3. Determiação do o exato de dias etre duas datas Obtemos o o exato de dias através das seguites formas: Pela cotagem direta dos dias em um caledário, icluido apeas um dos dias extremos. 2 Cosiderado o úmero exato de dias de cada mês. a) 3 dias = jaeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro. b) 30 dias = abril, juho, setembro e ovembro. c) 28 dias = fevereiro (29 se o ao for bissexto) Nota. Se o ao for bissexto, somamos um ao úmero de dias. 3 Pelo uso da tabela para cotagem de dias (ver tabela em aexo). Exemplos: - Determie o úmero exato de dias, de 20 de outubro a 5 de março do ao seguite. 20 de outubro a 20 de ovembro = 3 dias 20 de ovembro a 20 de dezembro = 30 dias 20 de dezembro a 20 de jaeiro = 3 dias 20 de jaeiro a 20 de fevereiro = 3 dias 20 de fevereiro a 28 de fevereiro = 8 dias 28 de fevereiro a 5 de março = 5 dias total = 46 dias Pela tabela de dias: a) Calculamos o úmero exato de 20 de outubro a 3 de dezembro 365 293 = =72 dias c) Somamos 72 dias com os 74 dias que vão de o de jaeiro até 5 de março 72 + 74 = 46 dias Nota: se o ao é bissexto somamos (um) ao o de dias. No caso: 46 + = 47 2 - Um empréstimo de R$3.580,00 foi realizado em 20/08 e pago em 29/2 do mesmo ao. Sabedo-se que a taxa foi de 37,8% ao ao, determie o juro total a ser pago. A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 8
Tabela 29/2 = 363 dias 20/08 = 232 dias (363-232) = 3 dias PV = 3.580 i = 37,8%a. a. = 0,378 a.a. = 0,378 360 = 0,0005 J = PV.i. J = 3.580 x 0,0005 x 3 J =.867,93 Resposta. O juro a ser pago é de R$.867,93 2.6. Juros compostos Juros compostos são aqueles calculados sobre o motate ou valor futuro relativo ao período aterior, a partir do segudo período fiaceiro. Portato, cocluímos que o motate o regime de juros compostos é igual ao de juros simples o o período e maior do que o regime de juros simples, a partir do segudo período. A difereça etre os dois regimes pode ser facilmete verificada através do exemplo seguite, pois o juro simples é liear e o juro composto é expoecial. Um capital de R$25.800,00 aplicados a,8% ao ao os regimes de juros simples e compostos, por um período de 4 aos, que juros rederão? PV = 25.800 = 4 a. i =,8% = 0,8 a.a. a) Juros simples J = Pvi J = 25.800 x 0,8 x 4 J = 2.77,60 b) juros compostos J = PV[(+ - ] J = 25.800[(,8) 4 - ] J = 25.800[,5623 - ] J = 25.800[0,5623] J = 4.507,60 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 9
2.6. - Cálculo do valor futuro ou motate FV = PV 0 (+ = 20.000(,25) = 22.500 FV 2 = FV (+ = 22.500(,25) = 25.32,50 FV 3 = FV 2 (+ = 25.32,50(,25) = 28.476,56 Se, FV = PV 0 (+ FV 2 = PV (+ ode PV = FV etão, FV 2 = PV 0 (+.(+ = PV 0 (+ 2 FV 3 = PV 0 (+ 2.(+ = PV 0 (+ 3 FV = PV 0 (+ - (+ = PV 0 (+ Portato, FV = PV(+ 2.6.2. Cálculo do valor presete Se FV = PV (+ etão, PV = FV ( ou PV = FV (+ - 2.6.3. Cálculo do juro Como juro é a difereça etre o valor futuro e o valor presete, temos: J = FV - PV = 22.500-20.000 = 2.500 J 2 = FV 2 - PV = 25.32,5-20.000 = 5.32,50 J 3 = FV 3 - PV = 28.476,56-20.000 = 8.476,56 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 20
J = FV - PV Substituido FV por PV(+, temos, J = PV(+ - PV Colocado PV em evidêcia, J = PV [ (+ - ] Exemplo Um empréstimo de R$4.500,00 foi feito para um prazo de 7 meses, à taxa de 2,3% ao mês. Calcule o valor futuro, os juros e, ovamete o valor presete dessa aplicação. PV = 4.500 = 7 m. i = 2,3% = 0,023 a.m. a) Valor futuro FV = PV (+ FV = 4.500 (+0,023) 7 FV = 4.500 (,023) 7 FV = 4.500 (,7254) FV = 5.276,45 Pela HP - 2C 4.500 CHS PV 2,3 i 7 FV =? b) Juros J = PV [(+ - ] J = 4.500 [(,023) 7 - ] J = 4.500 [0,7254] J = 776,45 J = 4.500 [,7254 - ] A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 2
c) Valor presete FV PV = ( 5.276,45 5.276,45 PV = 4. 500 coforme foi demostrado ateriormete. 7 (,023),7254 Pela HP - 2C 5.276,45 CHS FV 2,3 i 7 PV =? 2.7. Coveção liear e expoecial para períodos ão iteiros Nem sempre o prazo das operações fiaceiras é um úmero iteiro, com relação à taxa. Adota-se, etão duas coveções para se trabalhar com estes períodos ão iteiros. 2.7.. Coveção liear É aquela que admite a formação de juros compostos para a parte iteira do prazo e juros simples para a parte fracioária. FV PV( ( m i. ) k ode m k correspode ao período fracioário. Exemplo. Seja um capital de R$00.000,00 emprestado à taxa de 8% ao ao, pelo prazo de 4 aos e 9 meses. Calcule o motate desse empréstimo pela coveção liear. PV = 00.000 = 4a. m = 9m. k = 2 i = 8%= 0,8 a.a. FV PV( ( m i. ) k A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 22
9 FV = 00.000(,8) 4 (+0,8. ) 2 FV = 00.000(,938778)(,35) FV = 220.05,30 Resposta. Pela coveção liear, o valor futuro desse empréstimo é de R$220.05,30 2.7.2. Coveção expoecial A coveção expoecial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período (parte iteira e parte fracioária). Seja, Logo, = período iteiro m = período fracioário k FV = PV(+ + m/k Exemplo. Usado o mesmo exemplo da coveção liear, temos: FV = 00.000(,8) 4 + 9/2 FV = 00.000 (,8) 4 + 0,75 FV = 00.000 (,8) 4,75 FV = 00.000 (2,95025) FV = 29.502,50 Pela HP - 2C 00.000 CHS PV 8 i 4,75 FV =? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 23
ou, pela equivalêcia de taxas: +i a = (+i m ) 2,8 = (+i m ) 2 2, 8 = +i m,03888 = +i m Como são 4 aos e 9 meses, temos etão 57 meses. Logo, se FV = PV (+ FV = 00.000(,03888) 57 FV = 00.000(2,95025) FV = 29.502,50 A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 24
3. Exercícios Juros - Trasforme em taxa percetual: a) 0,009 b) 2,365 c) 8 d) 2, e) 0,8 f) 0,05 2 - Trasforme em taxa uitária: a) 6,5% b) 5 % c) 3% d) 0,2% e) 25,5% f) 4.568% 8 Juros simples - Um capital de R$ 740,00 aplicado por um ao e meio, redeu R$ 2.264,40 de juros simples. Ecotre a taxa mesal correspodete a essa aplicação. 2 - Tomou-se emprestada a quatia de R$ 3.250,00 pelo prazo de 5 aos, à taxa de 30% ao ao. Qual será o valor dos juros a serem pagos? 3 Quatos dias, um capital de R$ 7.500,00, aplicado a 30% ao bimestre, leva para produzir R$ 4.82,50 de juros simples? 4 A importâcia de R$ 860,00 foi aplicada em 0 de jaeiro de 2000, à taxa de 54,75% ao ao e produziu em seu vecimeto, juros simples de R$ 96,75. Em que data ocorreu o vecimeto da aplicação? ( Use ao civil, ou seja, 365 ou 366 dias). 5 Robso pediu a uma fiaceira um empréstimo de R$ 3.580,00 por 25 dias. A fiaceira cocordou em emprestar, desde que ele devolvesse R$ 4.922,50. Qual foi a taxa de juros cobrada? 6 Uma loja vede uma TV colorida de 4 polegadas por R$ 7.250,00 a vista, ou em 5 parcelas mesais iguais de R$.885,00. Qual a taxa de juros mesal que essa loja está cobrado? 7 Apliquei /3 do meu capital a 8% ao mês e o restate a 22,5% ao mês. Decorridos 2 ao e 5 meses obtive R$ 8.586,90 de juros simples pelas duas aplicações. De quato era o meu capital iicial? 8 Num período de 3 meses, apliquei R$ 6.200,00 e obtive R$ 4.836,00 de juros simples. Determie a taxa diária de juros desta aplicação. 9 A quatia de R$.780,00 foi aplicada à taxa de 42% ao ao, pelo prazo de 50 dias. Qual será o juro dessa aplicação, se for cosiderado: A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 25
a) juro comercial? b) juro exato? 0 Um capital de R$ 9.940,00 foi aplicado à taxa de 33% ao ao, o período compreedido etre 2/05 a 23/09 do mesmo ao. Qual o juro recebido?: Verificar se as taxas de 8% ao ao e 3% ao bimestre são proporcioais. 2 A quatia de R$ 9.874,00 empregada a 80% ao ao, durate meses, produziu R$ 0.367,70 de juros simples. Calcule. 3 Calcule a taxa mesal proporcioal a 30% ao ao. 4 Calcule a taxa mesal proporcioal a 0,08% ao dia. 5 Calcule a taxa aual proporcioal a 8% ao trimestre. 6 Que importâcia deve ser aplicada durate 7 meses, à taxa de 3,5% ao mês, para se obter R$ 2.20,72 de juros? 7 Qual o valor do capital que, aplicado durate dois aos e cico meses, à taxa de,85% ao mês, redeu R$ 8.869,90 de juros? 8 Calcule o juro e o motate correspodete ao capital de R$ 8.000,00,em regime de juro simples, durate ao e 3 meses, à taxa de 36% ao ao. 9 Um capital de R$ 4.000,00,aplicado pelo prazo de 9 meses, redeu a importâcia de R$ 3.528,00. Determie a taxa aual correspodete. 20 A que taxa mesal deve ser aplicada a importâcia de R$ 66.000,00 para que, em 3 meses e 0 dias,acarrete um juro de R$.000,00? 2 Determie o período fiaceiro relativo à aplicação do capital de R$ 25.880,00 que, à taxa de 0,8% ao mês, redeu R$ 9.063,36. 22 Durate quato tempo deverá ser aplicada a importâcia de R$ 46.760,00, à taxa de 25,2% ao ao, para se obter R$ 27.036,63 de juro? 23 - Um ivestidor aplica R$ 98.200,00 um prazo de 4 meses. Sabedo que irá precisar de algum diheiro durate esse prazo, resolve fazer retiradas mesais do juro, deixado o pricipal para o fial do prazo da aplicação. Qual deverá ser o valor de cada retirada, se o diheiro foi aplicado à uma taxa de 7,8% ao mês? 24 Um capital de R$ 0.500,00 redeu R$.225,00 de juro simples. Sabedo-se que a taxa de juro cotratada foi de 42% ao ao e que a aplicação foi feita o dia 20/0/88, qual foi a data do vecimeto? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 26
25 Um ivestidor aplica 2/5 do seu capital a 4% ao mês e o restate a 45% ao ao. Decorridos 4 aos e 5 meses, recebe um total de R$ 798.000,00 de juro. Calcular o seu capital iicial. 26 Uma pessoa aplica R$ 33.500,00 à 38,4% ao ao. Algum tempo depois, a taxa é aumetada para 4,5% ao mês. Determie o prazo em que vigorou a taxa de 4,5% ao mês, sabedo-se que em 0 meses os juros totalizaram R$ 2.462,00. 27 Uma pessoa cosegue um empréstimo de R$ 56.300,00 e promete pagar ao credor, após 0 meses, a quatia de R$ 79.383,00. Determie a taxa aual cobrada. 28 Uma imobiliária vede uma loja por R$ 25.350,00 à vista. A prazo, vede por R$3.445,25, sedo R$ 6.000,00 de etrada e o restate após 9 meses. Qual a taxa mesal de juros cobrada? 29 - Um ivestidor aplicou R$ 240.000,00 à uma taxa mesal de 26,% ao mês, o dia 8/08/2002. Em que dia o ivestidor pode retirar o motate de R$ 288.024,00? 30 Depositei certa importâcia a 8% ao ao. No fial do 2 o ao, somei os juros ao capital e depositei a soma a 2% ao ao, recebedo o fim de quatro aos os juros de R$ 89.32,00. Qual foi a quatia iicialmete depositada? 3 Calcular a taxa trimestral de juros, proporcioal às seguites taxas: a) 24% ao ao b) 36% ao biêio c) 6% ao semestre 32 Determiar a taxa aual de juros, proporcioal às seguites taxas: a) 3% ao trimestre b) 27% ao quadrimestre c) 5% ao mês 33 Calcular o juro simples, referete a um capital de R$.000,00, aplicado coforme hipóteses a seguir: Taxas de juros Prazo a) 7% ao ao 4 aos b) 26,8% ao ao 30 meses c) 30,8% ao ao 5 aos e meio d) 38% ao ao 4 aos e 8 meses 34 Quato tempo deve ficar aplicado um capital, para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras? Valor presete Valor futuro Taxa de juros a) R$ 800,00 R$ 832,00 6% ao ao b) R$.200,00 R$ 2.366,00 2,2% ao mês A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 27
35 Se um capital de R$ 7.300,00 redeu R$ 9.58,25 de juros em 5 aos, qual é a taxa de juros quadrimestral equivalete? 36 Uma pessoa aplicou R$ 9.800,00 o mercado fiaceiro e após 3 aos recebeu o motate de R$ 6.856,00. Que taxa equivalete semestral foi utilizada? 37 Um capital aplicado em 2/03/99 e resgatado em 23/07/99 à uma taxa de 57,6% ao ao, redeu R$ 2.234,40 de juro. De quato era o capital iicial? 38 Apliquei 2/3 de um capital a 6% ao mês e o restate a 0,25% ao dia. De quato era o meu capital iicial, se após 3 aos e 7 meses, obtive R$ 90.837,50 de juros simples, pelas duas aplicações? 39 Um empréstimo de R$ 8.540,00 foi realizado em 2/04 e pago em 5/0 do mesmo ao. Sabedo-se que a taxa foi de 58,5% ao ao, determie o juro total a ser pago. Juros compostos A que taxa de juros, um capital aplicado pode ser resgatado, o fial de 23 meses, pelo triplo do seu valor? 2 Em quato tempo um capital pode produzir juros iguais a 75% do seu valor, se aplicado a 6,25% ao mês? 3 Determiar o motate, o fial de 9 meses, resultate da aplicação de um capital de R$ 99.580,00 à taxa de 4,875% ao mês. 4 Uma pessoa empresta R$ 68.600,00 hoje para receber R$.069.23,07 o fial de dois aos. Calcular as taxas mesal e aual desse empréstimo. 5 Sabedo-se que a taxa quadrimestral de juros cobrada por uma istituição fiaceira é de 3,5%, determiar qual o prazo em que um empréstimo de R$42.000,00 será resgatado por R$ 69.700,00. 6 Quato devo aplicar hoje, à taxa de 63,42% ao ao, para ter R$ 2.000.000,00 o fial de 5 meses? 7 Uma idústria de calçados matém um empréstimo de R$ 980.000,00 que será liquidado, de uma só vez, o fial de três aos. Sabedo-se que a taxa de juros é de 32% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. 8 Em que prazo uma aplicação de R$ 25.480,00 à taxa de 3,75% ao mês, gera um resgate de R$ 202.497,60? A p o s t i l a d e M a t e m á t i c a F i a c e i r a - U F R R J - 2 0 0 Págia 28