Resolução das atividades complementares Matemática M Polinômios p. 68 Considere o polinômio P(x) x x. Determine os valores de P() e P(). x x P() 0; P() P(x) (x x)? x (x ) x x x P()? 0 P() ()? () () 8 Seja o polinômio P(a ) a a. a) Calcule P() e P(4). P() 8 e P(4) b) Determine P(a). P(a) a a a) a a Substituindo a no polinômio dado, temos: P( ) P()? () ()? 9 9 8 a 4 a Substituindo a no polinômio dado, temos: P( ) P(4)?? b) a x a x P(x)? (x ) (x ) x x Fazendo x a, temos: P(a) a a. (UnB-DF) Considere um polinômio P(x) do o grau com coeficientes reais. Dado que é raiz de P(x) e que o seu gráfico contém os pontos (0, ), (, ) e (, ), calcule P(). P(x) ax bx cx d P() 8a 4b c d 0 (I) P(0) d P() a b c (II) P() a 9b c (III) De I, II e III, vem: 8a 4b c a b c a 9b c Daí: a, b e c. P(x) x x x P()?
4 (Uniube-MG) O grau do polinômio q(x) (x )(x ) (x )... (x 00) 00 é igual a: a) 00 b) 00! c) 00 d) 0 00 O grau do polinômio é dado pela soma dos termos da PA (,,,..., 00). (a )n ( ) S n a n 00? 00 S 00 00 gr(q) 00 Qual é o polinômio que, subtraído de A(x) x x 4x, resulta no polinômio B(x) x x? x x 4 C(x) A(x) B(x) C(x) x x 4x x x C(x) A(x) B(x) C(x) x x 4 6 (UERN) Se A(x) x x, B(x) (x ) e C(x) x, então A(x) B(x)? C(x) vale: a) x x x c) x x x e) x x x b) x x x d) x x x A(x) B(x)? C(x) (x x ) (x )? (x) x x (x 4x 4)(x) x x x x x x x x Sabendo que P(x) x (a )x (b 4)x admite as raízes e, calcule os valores de a e b. a e b P() (a ) (b 4) 0 a b 8 0 (I) P() () (a )() (b 4)() 0 a b 0 (II) a b 8 a b a 0 a e b 8 Dados A(x) (a )x (b )x c e B(x) ax bx c, calcule a, b e c, para que A(x) B(x) 0. a ; b ; c 0 a a 0 a 0 a b b 0 b b c c 0 c 0 c 0
9 Ache a, b e c de modo que o polinômio P(x) (a )x (a b)x c seja identicamente nulo. a ; b e c 0 a 0 a a b 0 a b b c 0 0 (UFPA) O polinômio P(x) ax bx cx d é idêntico a Q(x) x x 4. Então, podemos dizer que a b c d é igual a: a) 6 c) 4 e) b) d) 0 P(x) Q(x) ax bx cx d x x 4 a 0; b ; c e d Logo, a b c d 6. 4 (UFJF-MG) Determine as constantes reais A, B e C que satisfazem à igualdade x (x x 9 Bx A C, para x IR e x. )(x ) x x Reduzindo ao mesmo denominador, temos: x x 9 A(x ) (Bx C)( x ) (x )(x ) (x )(x ) x x 9 Ax A Bx Bx Cx C (x )(x ) (x )(x ) x x 9 (x )(x ) (A B)x ( B C)x A C (x )(x ) A 4; B 6 e C Igualando os coeficientes, temos: A B A 4 B C B 6 A C 9 C (Fuvest-SP) Considere o polinômio não-nulo P(x) tal que [P(x)] x [P(x)] x[p(x )], para todo x real. a) Qual é o grau de P(x)? b) Determine P(x). P(x) x ou P(x) x a) grau [P(x)]? grau? [P(x)] grau x? [P(x)] grau [P(x)] grau x? [P(x )] grau [P(x)] grau [P(x)] grau [P(x)] grau [P(x)] grau [P(x)] Então, grau [P(x)]. b) Como grau [P(x)], então: P(x) ax b. ( ax b) x (ax b) x (ax b) x(ax b) (ax) (ax)? b axb b ax bx ax bx ax xb a x a x b axb b ax bx (I) bx bx 0 b 0 Substituindo em (I), temos: a x a x ax ax 0 ax (a ) 0 a 0 ou ax 0 e a 0 a Como é grau, então: a e b 0. P(x) x ou P(x) x
p. 69 (Faap-SP) Calcule a, b, c e d para que o polinômio P (x) a(x c) b(x d) seja idêntico a P (x) x 6x x 4. a ; b ; c e d P (x) P (x) a(x c) b(x d) x 6x x 4 ax acx (ac b)x (bd ac ) x 6x x 4 Igualando os coeficientes correspondentes, temos: a ac 6 ac b bd ac 4 Resolvendo o sistema, obtemos: a, b, c e d. 4 (UFPE) Determine p e q reais tais que x(x )(x )(x ) (x px q). Indique p q. 0 x(x )(x )(x ) (x px q) x 4 6x x 6x x 4 px (p q)x pqx q Igualando os coeficientes, temos: Portanto: p q 9 0. p 6 p q pq 6 q p q (UFG) Seja f uma função definida por f(x) x(x ). a) Determine os números A e B de modo que f(x) A B x x. A e B b) Considerando o resultado anterior, mostre que: f() f()... f(00) 00. 0 a) x(x ) A B x x, ou seja, x(x ) A B 0 Temos, então, o sistema linear: A b) Do resultado anterior, temos que: (A B)x a x(x ) A e B (A B)x A f() ; f() ; f() 4 ;...; f(99) 99 00 ; f(00) 00 Logo: ( ) ( ) ( ) ( ) f() f()... f( 00)... 4 99 00 00 0 A segunda parcela de cada parêntese, exceto a do último, cancela com a primeira parcela do parêntese subseqüente: f() f()... f(00) 00. 0 0 0 ( )
p. 6 6 (UFU-MG) Dividindo-se o polinômio p(x) por x 4x, obtêm-se x como quociente e x 8 como resto. É correto afirmar que o coeficiente do termo de grau é: a) c) 8 e) b) 4 d) p(x) (x 4x )(x ) x 8 p(x) x 4 x 4x 4x x x 8 p(x) x 4 4x 8x x O coeficiente de x é igual a 8. (UFPel-RS) Para que o polinômio x x x m dê resto quando dividido por (x ), m deve valer: a) c) e) b) d) p(x) x x m Pelo teorema do resto, P() ; então: () () () m m. 8 (UFSM-RS) Dividindo-se o polinômio p(x) x x x pelo polinômio q(x) obtém-se o quociente s(x) x e o resto r(x) x. Pode-se afirmar que: a) q() 0 c) q(0) 0 e) q() b) q() 0 d) q() 0 p(x) x x x ; s(x) x; r(x) x p(x) q(x)? s(x) r(x) e q(x) ax bx c x x x (ax bx c)( x) (x ) x x x ax ax bx bx c cx x x x x ax (a b)x (b c )x c a a b b 0 b c c 0 Logo, q(x) x q(). 9 (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x x resulta no quociente 6x x e resto x. Qual o resto da divisão de P(x) por x? P(x) (6x x )(x x) x 4 P(x) 6x x x 0x x 0 x 4 r p 6 ( r ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) r 6? 6 8
p. 0 (UFOP-MG) Sejam os polinômios P(x) x e Q(x) 4(A B)x (B C A)x (A C). ( ). a) Determine A, B, C IR, de modo que P(x ) Q x b) Determine o quociente e o resto da divisão de Q(x) por P(x). a) P(x ) x 6 ( ) ( ) A x Q x 4(A B) x (B ( ) ( ) Q x (A B)x (B C A)x A C A B 0 A B B C A B C (I) A C 6 B C 6 (II) De (I) e (II), vem: B e C. Então: A. A ; B e C e 0 C ) (A C) b) A B 0 B C A A C 8 6 Q(x) 4(A B)x (B C A) x ( A C) Q(x)? x ( 6) Q(x) x 6 (x ) Q( x) (x ) P(x) x Q(x) é divisível por P(x); portanto, o resto é zero. (UFPE) Considere o polinômio p(x) x mx nx, em que m e n são constantes reais. Sabese que p(x) é divisível por g(x) x e que deixa resto igual a () quando dividido por h(x) x. Nessas condições, tem-se: a) m 9 e n c) m 9 e n e) m n 6 4 b) m e n 9 d) m e n 4 4 4 p() 0 4 4m n 0 p( ) 4 4m n 4m m n Daí: 4 4m n n 9
(Unimep-SP) O resto da divisão do polinômio (x x ) 60 (x ) 0 por x é: a) c) e) nenhuma das alternativas b) 0 d) anteriores x : ( ) 60 ( ) 0 (UFPI) Seja R(x) o resto da divisão do polinômio P(x) x 0x 6x x por D(x) x(x )(x ). Então, pode-se afirmar que: a) R() 9 c) R() 8 e) R(x) x 8x b) R(0) d) R() D(x) x(x )(x ) x x x 0x 0x 6x 4 9x 6x x 9x 9x R( x) 6x 8x x x x x x x 9 R() 6? 8? 9 4 (Uneb-BA) Se o polinômio ax x 8x b é divisível por x 4, então ab é igual a: a) 4 c) e) 4 b) 6 d) 6 Se p(x) ax x 8x b é divisível por x 4, então é divisível por (x )(x ). Logo: p() 0 8a 6 b 0 p() 0 8a 6 b 0 8a b 8 Daí: 8a b 4 Logo: ab () 4. a b (UFPA) O polinômio P(x) x 4 ax bx é divisível por x e o resto de sua divisão por x é a abscissa do ponto médio do segmento MN, em que M(9, ) e N(, 4). Encontre os valores de a e b. a 0 e b x 9 m x 0 x P() 4 a? b? a b (I) x 0 x 4 P( ) 0 ( ) a? ( ) b? ( ) 0 a b (II) De (I) e (II), vem: a b a b 4a 40 a 0 e b
6 (Vunesp-SP) Considere o polinômio p(x) x mx m x m, em que m IR. Sabendo-se que i é raiz de p(x), determine: a) os valores que m pode assumir; ou b) dentre os valores de m encontrados em a, o valor de m tal que o resto da divisão de p(x) por (x ) seja. a) Se i é raiz, temos: p(i) 0 (i) m(i) m (i) m 0 8i 4m m i m 0 4(i m) m (i m) 0 (i m)? (m 4) 0 Daí: i m 0 m i (não satisfaz, pois não é real) m 4 0 m 4 m ou m b) m : p(x) x x 4x 8 p() 4 8 p() m : p(x) x x 4x 8 p() 4 8 p() Logo, o resto da divisão de p(x) por (x ) é, se m. (UnB-DF) O polinômio p(z) z mz n p é divisível por z i e deixa resto p na divisão por z i, em que i é a unidade imaginária. Para m, n, p reais, determine o valor de m n p. p(z) z mz n p p(i) i mi n p p(i) p p(i) i m(i) n p p(i) 0 i mi n p p 0 i mi n p 0 i(m ) n 0i 0 n 0 e p 0 i( m) n p 0i 0 m n p 0 0 i m 0 m n p 0 n p 8 (Fuvest-SP) Determinar um polinômio P(x) de grau 4, divisível por (x )(x )(x ), sabendo-se que P(0) 0 e que o resto da divisão de P(x) por x é 48. P(x) x 4 4x x 4x P(x) ax 4 bx cx dx e De (I) e (II), vem: a c. P(0) 0 e 0 De (III) e (IV), vem: a 8c 48. P() 0 a b c d 0 (I) Daí: a, c, b 4 e d 4. P() 0 a b c d 0 (II) Então: P(x) x 4 4x x 4x. P() 0 6a 8b 4c d 0 (III) P() 0 6a 8b 4c d 48 (IV)
9 (FURRN) Um polinômio P, dividido por x e x, dá restos e, respectivamente. Então, o resto da divisão de P por (x )(x ) é: a) x c) x e) x 4 4 4 4 4 b) x d) x 4 4 4 4 P(x) Q(x)? (x )(x ) ax b Resolvendo o sistema: a 4 ; b 4 P() a b P( ) a b Portanto: R(x) ax b 4 x 4 0 (Furg-RS) Na divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x a), ao usar o dispositivo prático Briot- Ruffini, encontrou-se: p 4 q 4 r Os valores de a, q, p e r são, respectivamente: a),, 6 e 6 c),, e 6 e),, 4 e 4 b),, e 6 d),, e 6 Observando o dispositivo de Briot-Ruffini dado: p 4 q 4 r Temos: a ; q q? () p 4 p? () 4 r r 6 (EEM-SP) O teorema da decomposição para polinômios afirma que: Todo polinômio p(x) a 0 x n a x n... a n x a 0 pode ser decomposto em n fatores de o grau multiplicados pelo coeficiente a 0, isto é, a 0 x n a x n... a n x a 0 a 0 (x x )(x x )... (x x n ), em que x, x,..., x n são as raízes de p(x) 0. Com base nesse teorema, escreva: a) a expressão geral dos polinômios de grau que admitem,,, 4 e como raízes; b) a expressão, na forma fatorada, do polinômio cuja expressão geral foi obtida no item anterior e que satisfaça p(0) 4!. a) P(x) a 0 (x )(x )(x )(x 4)(x ) P(x) a 0 (x x 4 8x x 4x 0) b) Se P(0) 4! 4??? 4, temos: P(0) a 0 (0 )(0 )(0 )(0 4)(0 ) 4 a0( 0) 4 a 0 Portanto: P(x) ( x )( x )( x )( x 4)( x ).
(UERJ) A figura representa o gráfico de um polinômio e de uma reta r que lhe é secante nos pontos A(, ) e B(4, ). a) Determine o resto da divisão de P(x) por x 4. b) Mostre que a reta r representa graficamente o resto da divisão de P(x) por (x )(x 4). Analisando o gráfico: a) P(4) ; logo, o resto da divisão de P(x) por (x 4) é. 4 b) P(x) Q(x)? D(x) R(x); D(x) (x )(x 4) A gr(p), pois o gráfico de P corta o eixo Ox em pontos. gr(d) e gr(r) < ou R(x) 0 R(x) ax b P(x) (x )(x 4)? Q(x) ax b Pelo gráfico: P() ( )( 4)? Q() a b P(4) (4 )(4 4)? Q(4) 4a b a b ( ) 4a b a 8 a 9 e b ; logo, R(x) 9x (I) Vamos encontrar a equação da reta que passa por (4, ) e (, ): x y 4 0 y 9x (II) Comparando (I) e (II), verificamos que r representa o resto da divisão de P(x) por (x )(x 4). y r B x (UEL-PR) Considere os polinômios p(x) x e q(x) x x. É correto afirmar: a) Os polinômios p(x) e q(x) não possuem raiz em comum. b) O gráfico de p(x) intercepta o gráfico de q(x). c) O polinômio p(x) possui uma raiz dupla. d) O resto da divisão de q(x) por p(x) é diferente de zero. e) O polinômio q(x) possui uma raiz dupla. p(x) x q(x) x x raiz: p(x) 0 raízes: x x 0 x 0 x(x )(x ) 0 x x 0 ou x ou x a) Não, pois p(x) e q(x) possuem a raiz em comum. b) Sim, pois os gráficos de p(x) e q(x) se interceptam no ponto (, 0). c) Não, pois p(x) possui uma única raiz. d) Não, pois q(x) (x x)? p(x). e) Não, pois as três raízes de q(x) são simples. 0
4 (Vunesp-SP) Considere um polinômio da forma f(x) x (cos u)x. Sendo i a unidade imaginária, demonstre que f(x) é divisível por x i (sobre o corpo dos complexos) se, e somente se, u kp (k Z). f(x) x (cos u)x f(i) i i cos u f(i) i i cos u f(i) i( cos u) (I) Se f(x) é divisível por (x i), temos: f(i) 0, ou i( cos u) 0; como i 0, então: cos u 0. Logo, cos u, ou seja, u kp (k Z). (II) Se u kp (k Z), então: cos u, ou seja, cos u 0. Logo, f(i) 0, isto é, f(x) é divisível por (x i). (Fuvest-SP) P(x) é um polinômio de grau > e tal que P() e P(). Sejam D(x) (x )(x ) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x). a) Determine o resto da divisão de P(x) por D(x). x b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8, determine o termo independente de Q(x). a) Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por D(x). Como D(x) é um polinômio de grau, podemos concluir que R(x) é da forma ax b, em que a e b são constantes. Então, temos: P(x) (x )? (x )? Q(x) ax b D(x) R(x) P() a b P() a b a b Resolvendo o sistema, obtemos: a b a e b. Portanto, o resto da divisão de P(x) por D(x) é x. b) O termo independente de P(x) é 8, isto é, P(0) 8. Do item a, temos que: P(x) (x )(x )? Q(x) x ; então, P(0) (0 )( )? Q(0) 0, ou seja, P(0)? Q(0). Logo,? Q(0) 8 Q(0). Portanto, o termo independente de Q(x) é. p. 8 6 (Unifor-CE) Sejam os polinômios f(x) (a )x e g(x) ax a nos quais a é uma constante. O polinômio f? g terá grau se, e somente se: a) a 0 e a c) a 0 e) a 0 e a b) a e a d) a O polinômio f? g terá grau se: (a )? a 0. 6a 4a 0 a(a ) 0 a 0 a 0 a 0 a
(Unicamp-SP) O polinômio P(x) ax bx cx satisfaz as seguintes condições: P( ) 0 e, qualquer que seja x real. Então: P(x) P( x) x a) P() c) P() 0 e) P() b) P() 0 d) P() 8 P( ) 0 P( ) a? ( ) b? ( ) c? ( ) 0 a b c P(x) x) (ax bx P( x cx ) [a? ( x) b? ( x) c? ( x) ] x ax bx cx ax bx cx x a a ax cx x c 0 c 0 b 0 b ( ) Logo, P(x) x x. Então: P() P()? 8? 4 4 6 0 P() 0 8 (FGV-SP) Sendo P(x) 4x 6 x x 4 x ax bx e G(x) x x x, determine os valores de a, b e que tornam P(x) divisível por G(x) e também o polinômio Q(x), quociente da divisão de P(x) por G(x). a ; b ; e Q(x) x x 6 4x x 4 x x ax bx x x x 6 4x x 4 4x x x x Q(x) 4 x x ax bx 4 x x x x x ( a )x ( b )x x x x ( a )x ( b )x Se P(x) é divisível por G(x), o resto é zero; logo: a 0 b 0 0 a b 9 (MACK-SP) Se P(x) = x kx é divisível por x, então k vale: a) c) 8 e) 4 b) 6 d) 64 Se P(x) é divisível por x, então P() 0:? () k? () 0 8 k 0 k, daí: k.
40 (UFU-MG) Considere o polinômio P(x) x x ax 9, em que a é uma constante real. Se P(x) é divisível por x, então ele também é divisível por: a) x 9 c) x 0x e) x 9 b) x 9 d) x 0x Se P(x) é divisível por x, P( ) 0: P( )? ( ) ( ) a? ( ) 9 0 8 9 a 9 0 a P(x) x x x 9 x x x 9 x x 9x x 0x 0x x 9 0x 0x x 9 x 9 0 Portanto, P(x) é divisível por (x )(x ) x ( ). (x 9) P(x) é divisível por x 9. x 0x 0 D 00 6 D 64 x 0 8 x 6 x x 0 x (x ) x ( ) ( ) 4 (MACK-SP) Se o polinômio P(x) x x a b é divisível por (x a)? (x b), então o produto dos números reais a e b é: a) c) e) b) 4 d) Se P(x) é divisível por (x a)? (x b), suas raízes são a, a e b. Aplicando as relações de Girard, temos: a a b a b b a a? a a? b a? b 0 a ab 0 a b a b a b a b Substituindo na segunda equação, teremos: a a( a) 0 a 6a 4a 0 a 6a 0 a(a ) 0 a 0 ou a a Como b a, teremos: b? ( ) b. O produto a? b será ( )?, ou seja,.
4 (UA-AM) Se o polinômio P(x) x x mx n é divisível por H(x) x x, então o valor de m m é: a) c) e) 8 b) d) Se P(x) é divisível por H(x), o resto da divisão é igual a zero, logo: x x mx n x x x x x x x (m )x n x x ( m )x n Então: m 0 e n 0 m n Portanto, m n. 4 (FGV-SP) O gráfico representa a função polinomial P(x) x x 49x 98. Sendo r, s, t e as únicas intersecções do gráfico com os eixos, o valor de r st é: a) c) e) b) 4 d) Do gráfico, s, e t são raízes de P(x). P(0) 0? 0 49? 0 98 98 r Por uma das relações de Girard: s?? t r r s? t. y r s 0 t x 44 (Unifesp-SP) Dividindo-se os polinômios p (x) e p (x) por x, obtêm-se, respectivamente, r e r como restos. y 0 y ax bx c x Sabendo-se que r e r são os zeros da função quadrática y ax bx c, conforme o gráfico, o resto da divisão do polinômio produto p (x)? p (x) por x é: a) c) 8 e) b) d) Sendo r e r os zeros da função, e sabendo que a abscissa do vértice da parábola é, temos: r r r Desse modo, podemos afirmar que r p () e r p (), e também que o resto da divisão de p (x)? p (x) por x será p ()? p ()?. 4
4 4 (MACK-SP) ax x ax 4 x 4 r(x) Q(x) Considerando o resto r(x) e o quociente Q(x) da divisão acima, se r(4) 0, Q() vale: a) c) e) b) d) 4 Efetuando a divisão, encontraremos: 4 ax x ax 4 x 4 4 ax 4ax ax ( 4a) ( 4a)x ax 4 ( 4a)x 4( 4a) ax 4 6a Se r(4) 0, temos: a? 4 4 6a 0 a 4 a Assim: Q(x) x, então Q()?. 46 (IBMEC) Um polinômio de o grau p(x), com coeficientes reais, é divisível pelos polinômios q(x) x 9 e r(x) x x 4. Se n é o número de raízes reais do polinômio p(x), então: a) n ou n c) < n < 4 e) n > b) n 4 ou n 6 d) n < p(x) é divisível por q(x) (de grau ), r(x) (de grau ) e por s(x) de grau ; q(x) tem duas raízes reais; r(x) não tem raízes reais (D, 0), apenas complexas e s(x) pode ter uma ou três raízes reais, pois o número de raízes complexas é sempre par (Teorema das Raízes Complexas). Assim, p(x) pode ter raízes reais (se s(x) tiver apenas uma) ou raízes reais (se s(x) tiver três raízes).
4 (MACK-SP) Se as três raízes reais, não necessariamente distintas, do polinômio p(x) x a x ax, a IR, formam uma progressão geométrica, então o valor de a a é: a) c) 0 e) b) d) Se as três raízes do polinômio estão em PG, podem ser escritas na forma x, x, x? q, onde q é a q razão da PG. Por uma das relações de Girard, temos x q? x? x? q ( ) ; logo, x ou x. Como é uma das raízes do polinômio p(x), então p() 0, desse modo: a? a? 0 a a 0 a a 0 48 (ITA-SP) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau, que admite i como raiz de multiplicidade. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 0 e 40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são: a) b) 9,, 9 c) 4,, 8 e),, 6 6 4,, 4 d),, 8 Se p admite i como raiz dupla, também admitirá (como raiz dupla) o número i (Teorema das Raízes Complexas). Se as três raízes reais restantes formam uma PA, podem ser escritas na forma x r, x, x r, em que r é a razão da PA. Sabendo que a soma de todas as raízes é 0, temos: ( i) ( i) ( i) ( i) (x r) x (x r) 0 4 x 0 x Sabendo também que o produto de todas as raízes é 40, temos: ( i)? ( i)? ( r)?? ( r) 40 (i)? (i)? (4 r )? 40 4 r r 9 r As raízes do polinômio são:, e. 6