Versão prelmnr 6 de setemro de 00 Nots de Aul de Fís 0. VETORES E ESCALARES... UM POUCO DE TRIGONOMETRIA... MÉTODO GEOMÉTRICO... MÉTODO ANALÍTICO... 3 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES... 3 Multplção de um vetor por um eslr... 4 Produto eslr... 4 Produto vetorl... 5 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS... 7 0... 7 06... 7 3... 8 39... 8 45... 9 46... 9 47... 10 51... 10
Prof. Romero Tvres d Slv 0. Vetores e eslres Algums grndes físs fm ompletmente defnds qundo nformmos um número e um undde. Qundo demos que tempertur de um pesso é 37 0 C nformção está omplet. A tempertur é um grnde eslr. Se dssermos que velodde de um utomóvel é de 50m/h não defnmos ompletmente nformção. Não fo dto em que dreção e sentdo esse orpo se movmentv. A neessdde dess nformção omplementr - dreção e sentdo - rter velodde omo um vetor. Os vetores são representdos por sets, e ostum-se representr um vetor om módulo mor que outro por um set de tmnho mor. Usmos smente de dos modos de representr os vetores, o método geométro e o método nlíto. Um pouo de trgonometr Vmos onsderr um trângulo retângulo om hpotenus e tetos e respetvmente. O teorem de Ptágors d que: As funções seno e osseno são defnds omo: sen osα os senα α E do Teorem de Ptágors, enontrmos que: sen os 1 sen tn otα os osα senα Método geométro No método geométro, vsulção dos vetores f ms óv, ms não é dequdo pr operções om dversos vetores. A forç é um grnde vetorl. Método geométro Qundo onsdermos dus forçs tundo sore um ddo orpo, o efeto resultnte será gul à tução de um ún forç que se som vetorl ds dus forçs menonds. A som desses dos vetores pode ser efetud usndo-se regr do prlelogrmo. Cp 0 romero@fs.ufp.r
Prof. Romero Tvres d Slv Método nlíto O método nlíto onsste smente em defnr um sstem de oordends rtesns e deompor os vetores segundo s sus omponentes nestes eos. Vmos onsderr um sstem de oordends dmensonl, defndo pelos eos e, omo mostrdos n fgur o ldo. O vetor tem omponentes rtesns e que tem form: Ou de mner nvers:. os. sen tn Um mner de representr vetores é trvés de sus omponentes num ddo sstem de oordends, omo fo ntepdo n fgur nteror. Desse modo: onde e são vetores untáros (ou versores) que pontm ns dreções dos eos e respetvmente e têm módulos gus um. A som de dos vetores será então defnd omo: ou se: " onde e onde e ( ) ( ) Multplção de vetores As operções om vetores são utlds de mner muto mpl n Fís, pr epressr s relções que estem entre s dverss grndes. Cp 0 romero@fs.ufp.r 3
Prof. Romero Tvres d Slv Multplção de um vetor por um eslr Sem dos vetores e e um eslr. Defnmos multplção menond omo: O vetor tem mesm dreção do vetor. Terá mesmo sentdo se for postvo e sentdo ontráro se for negtvo. Produto eslr Defne-se o produto eslr de dos vetores e omo operção: osϕ ϕ onde ϕ é o ângulo formdo pelos dos vetores. Podemos der que o produto eslr de dos vetores é gul o módulo do prmero vees omponente do segundo no eo determndo pelo prmero, ou ve-vers. Isso pode-se resumr n propredde : Um plção do produto eslr é defnção de trlho W eeutdo por um forç onstnte que tu o longo de um perurso d: W F. d Fd os Usndo o oneto de vetor untáro enontrmos que: os0 0 1 1 1 e de modo equvlente: os90 0 0 î ĵ 0 0 Podemos utlr deomposção de um vetor segundo s sus omponentes rtesns e defnr o produto eslr: Cp 0 romero@fs.ufp.r 4
Prof. Romero Tvres d Slv ( ) ( ) e portnto: F fál pereer que: Como. osϕ, temos que os ϕ, e ssm poderemos lulr o ângulo entre os dos vetores, em função de sus omponentes rtesns: osϕ Produto vetorl Defne-se o produto vetorl de dos vetores e omo operção: e módulo é defndo omo: ϕ senϕ onde é um vetor perpendulr o plno defno pelos vetores e e ϕ é o ângulo formdo por esses dos últmos dos vetores. Um plção do produto vetorl é defnção d forç F que tu em um rg elétr q que penetr om velodde v num regão que este um mpo mgnéto B : F q v B ou nd: F q v B senϕ Cp 0 romero@fs.ufp.r 5
Prof. Romero Tvres d Slv Cp 0 romero@fs.ufp.r 6 Usndo defnção de produto vetorl, enontrmos que: 0 î ĵ De modo genéro, podemos defnr o produto vetorl omo: ( ) ( ) e usndo os resultdos dos produtos vetors entre os vetores untáros, enontrmos que: ( ) ( ) ( ) Usndo s propreddes de mtres, enontrmos que o produto vetorl pode ser epresso omo o determnnte d mtr defnd segur:
Prof. Romero Tvres d Slv Solução de lguns prolems Cpítulo 3 - Hlld, Resn e Wler - 4. edção 0 Qus são s propreddes dos vetores e ts que: ) e Temos que: ( ) ( ) ou se: os Pr que é neessáro que 0 pos ( ) Portnto ) D equção m, temos que: 0 0 ) e Como os, pr que ( ) devemos ter π portnto Cpítulo 3 - Hlld, Resn e Wler - 4. edção 06 O vetor tem módulo de 3 unddes e está drgdo pr Leste. O vetor está drgdo pr 35 0 Oeste do Norte e tem módulo 4 unddes. Constru os dgrms vetors pr e -. Estme o módulo e orentção dos vetores e - prtr desse dgrms. 3 sen 4 sen35 os 4os35 0 0,9 3,7 Oeste Leste Cp 0 romero@fs.ufp.r 7
Prof. Romero Tvres d Slv ) 3 -,9 0,71 3,7 3,34 ) d d d d -,9-3 -5,9 d 3,7 d d d 6,1 Cpítulo 3 - Hlld, Resn e Wler - 4. edção Prove que dos vetores devem ter o mesmo módulo pr que su som se perpendulr á su 3 dferenç. ( ) ( ) 0 Cpítulo 3 - Hlld, Resn e Wler - 4. edção 39 Mostre que num sstem de oordends destrógro: e 1 0 A defnção de produto eslr é tl que: os, onde é o ângulo formdo pelos vetores. Logo: 0 os0 1.1.1 1 e 0 os90 1.1.0 0 Os outros tens seguem-se omo etensão desses nterores. Cp 0 romero@fs.ufp.r 8
Prof. Romero Tvres d Slv Cpítulo 3 - Hlld, Resn e Wler - 4. edção 45 A som de três vetores é gul ero, omo mostr fgur. Clule: )? π os 0 ) - os - (/) - ) - osα - (/) - α logo: Podemos onlur que: 0 0 Cpítulo 3 - Hlld, Resn e Wler - 4. edção 46 Pr o prolem nteror, lule: )? Suponhmos que o eo se perpendulr o plno defndo pelos vetores e. ẑ sen(π/) ẑ β )? sen (- ẑ) sen - ẑ (/) - ẑ )? senα ẑ senα ẑ (/) ẑ α Cp 0 romero@fs.ufp.r 9
Prof. Romero Tvres d Slv Cpítulo 3 - Hlld, Resn e Wler - 4. edção 47 Produto eslr em função ds oordends: Suponh que dos vetores sem representdos em termos ds oordends omo: mostre que: Por defnção temos que: e ( ) ( ) Usndo os resultdos do prolem 39, resolvdo nterormente, temos respost pedd. Cpítulo 3 - Hlld, Resn e Wler - 4. edção 51 Dos vetores são ddos por 3 5 )? 3 5 0 ( 3.4 5.) 4 0 )? e 4. Clule: 3. 5.4 6? ) ( ) ( ) ( 5 9 ) ( 4 ) 5. 9.4 46 Cp 0 romero@fs.ufp.r 10