Unconditionally Secure Quantum Communications via Decoherence-Free Subspaces

2017 Unconditionally Scur Quantum Communications via Dcohrnc-Fr Subspacs E B Gus and F M Assis Abstract W show how to us cohrnc-fr subspacs ovr collctiv-nois quantum channls to convy classical information in prfct scrcy W argu that cos find ovr cohrnc-fr subspacs ar cos for quantum wirtap channls in which th gain of information by a non-authorizd third part is zro W also show that if som symmtry conditions ar guarantd th maximum rat on which such scrt communications tak plac is qual to th ordinary capacity of a quantum channl to convy classical information As a consqunc of ths rsults w show how som protocols for scur communication can b simplifid rducing significantly th numbr of communications prformd Kywords Dcohrnc-fr subspacs Quantum wirtap channls Unconditional Scurity P I INTRODUÇÃO REVENIR rros na informação quântica é um dos principais objtivos da Toria Quântica da Informação Erros surgm do acoplamnto ntr um sistma intrss o ambint m função da subsqunt scorência induzida por st acoplamnto Consirando a naturza frágil dos sistmas quânticos a scorência é tida como o principal obstáculo na transmissão informação cornt [1] No contxto das Comunicaçõs Quânticas a scorência é rsponsávl plo vazamnto da informação para o ambint m um canal quântico ruidoso S mnsagns scrtas são transmitidas por st canal plo mnos part las po sr capturadas por um rcptor não-autorizado aqui chamado spião Esta situação é insjada m um cnário criptográfico v sr vitada Cai t al [2] Dvtak [3] molaram st cnário por mio dos chamados canais wirtap quânticos Els também stablcram as condiçõs para ralizar a troca informaçõs clássicas por canais quânticos sm qu o contúdo das mnsagns foss scobrto por um spião Nsta formulação apnas são consirados aquados códigos qu minimizm a probabilida rro codificação ntr os participants lgítimos ao passo qu maximizm a quivocação um spião Apsar disso a taxa máxima m qu stas comunicaçõs scrtas pom acontcr a chamada capacida quântica sigilo é E B Gus - Escola Suprior Tcnologia Univrsida do Estado do Amazonas Manaus Amazonas Brasil lloagus@gmailcom F M Assis - Cntro Engnharia Elétrica Informática Univrsida Fral Campina Gran Campina Gran Paraíba Brasil fmarassis@gmailcom usualmnt mnor qu a capacida ordinária para nvio informação clássica nst msmo canal Para minimizar a scorência divrsos métodos foram propostos tais como códigos corrtors rros quânticos (QECC Quantum Error-Corrcting Cos) sacoplamnto dinâmico subspaços livrs scorência (DFS Dcohrnc-Fr Subspacs) ntr outros [4] Em s tratando dos DFS m particular s os opradors rro qu aftam os qubits possuírm algumas simtrias ntão sts qubits irão sofrr o msmo tipo rro ao passarm plo canal quântico Em alguns casos isto fará com qu trminados stados sjam invariants ao rro significando qu a scorência não ocorr m trminados subspaços [5] Dsta manira vrifica-s um potncial no uso sts subspaços para a construção códigos qu minimizm o vazamnto da informação para o ambint Nos dias atuais alguns trabalhos na litratura já xploram o potncial dos DFS nas Comunicaçõs Quânticas Ests trabalhos consistm protocolos contra crto tipo ruído coltivo (a xmplo rotação fasamnto amortcimnto amplitu) consiram o uso DFS pqunos (com dois ou três qubits por xmplo) [6]-[10] Até msmo ralizaçõs xprimntais já foram construídas objtivando o procssamnto da informação quântica [11]-[14] Na prspctiva sts trabalhos a protção da informação significa vitar a prda corência mantndo a filida dos stados quânticos Nst artigo srão invstigadas consquências mais grais do uso DFS m Comunicaçõs Quânticas Em particular consirando a prspctiva da troca sgura mnsagns Para tanto srá aprsntada uma finição formal canais quânticos qu satisfazm aos critérios simtria para a xistência DFS postriormnt srão finidos códigos sobr sts subspaços por fim srão stablcidas as condiçõs para a ralização comunicaçõs sigilosas A partir uma anális formal ralizada foi possívl concluir qu os códigos finidos sobr os DFS também são códigos aquados para os canais wirtap quânticos Isto significa qu a utilização DFS possibilita a ralização comunicaçõs quânticas incondicionalmnt sguras Mais além foi vrificado qu a capacida sigilo nst cnário iguala-s à capacida para nvio informação clássica ordinária Est é um caso particular m qu a capacida sigilo é máxima Após a aprsntação sts rsultados srão xploradas algumas implicaçõs rsultants m trminados protocolos para comunicação quântica sgura dirta para comunicação

2018 quântica sgura trminística Alguns autors aprsntaram stratégias para comunicaçõs sguras sobr canais quânticos com ruído coltivo via DFS mas o sforço rqurido por alguns sts protocolos para chcagm spionagm aumnta significativamnt o númro opraçõs a srm implmntadas bm como o númro qubits trocados Em fac dos novos rsultados sobr sgurança incondicional DFS srão sugridas simplificaçõs nsts protocolos qu diminum a complxida implmntá-los também qu rduzm substancialmnt o númro comunicaçõs ralizadas O artigo stá organizado como sgu As condiçõs para privacida quântica stablcidas por Schumachr Wstmorland [15] srão aprsntadas na Sção II Os concitos dos canais wirtap quânticos srão rcapitulados na Sção III Os fundamntos m DFS srão introduzidos na Sção IV As contribuiçõs sobr o uso DFS para a ralização comunicaçõs incondicionalmnt sguras srão aprsntadas na Sção V Na sção VI srá mostrado um xmplo talhado como nviar informação scrta utilizando DFS Os impactos dos rsultados obtidos na simplificação alguns protocolos xistnts srão mostrados na Sção VII Por fim as consiraçõs finais srão aprsntadas na Sção VIII II PRIVACIDADE QUÂNTICA Suponha qu um missor (Alic) prpar um sistma quântico m um stado inicial O objtivo Alic é nviá-lo a um rcptor (Bob) por mio um canal quântico ruidoso notado plo suproprador Dsta manira o stado rcbido por Bob é Dvido à prsnça do ruído para provr uma scrição unitária da volução ao longo do canal é ncssário consirar a intração com o ambint qu é assumido iniciar m um stado puro Nst caso o suproprador é dado por m qu rprsnta a opração unitária intração A troca ntropia notada por é finida como uma mdida da informação trocada ntr o sistma o ambint durant o príodo intração Consirando qu o ambint inicia m um stado puro a troca ntropia é dada m qu é o stado final do ambint A por troca ntropia é trminada intiramnt plo stado pla dinâmica do suproprador isto inicial significa qu a troca ntropia é uma proprida intrínsca ao sistma à sua dinâmica [15] Suponha qu Alic stja usando o canal quântico para nviar informaçõs clássicas para Bob Alic ntão prpara o sistma quântico m um dos possívis stados com probabilidas a priori O stado nviado por Alic po sr notado por uma média Bob obtém o -ésimo stado como sndo Uma vz qu é linar a média do stado rcbido por Bob é Para codificar a mnsagm rcbida Bob raliza uma mdição utilizando algum obsrvávl codificação A quantida informação clássica transmitida Alic para é govrnada pla quantida Bob notada por Holvo finida como Algumas consiraçõs sobr a quantida Holvo nst cnário vm sr mncionadas: (i) inpnnt do obsrvávl codificação scolhido; (ii) po sr arbitrariamnt próxima por mio uma scolha aquada um código um obsrvávl codificação Nst caso rprsnta um limitant suprior para a informação clássica transmitida Alic para Bob Ao consirar os fins criptográficos do canal ntão é stablcido qu uma spiã (Ev) v tr acsso a alguma part ou a todo o ambint com o qual intrag O suproprador volução scrv todos os fitos da spiã no canal ou m outras palavras todos os sforços para a spionagm Alic Bob stão contidos no oprador intração Dsta manira a informação acssívl à Ev srá limitada por notada por é vrdaira qur Ev tnha A sigualda acsso total ou não ao ambint A privacida quântica é finida como Alic Bob sjam maximizar ao máximo possívl Mas ls também vm assumir qu a spiã stá adquirindo o máximo informação disponívl A privacida garantida é o ínfimo sobr todas as possívis stratégias ntão adoptadas por Ev Uma vz qu Por outro lado Alic Bob sjam usar tão o canal modo qu tornm a privacida garantida gran quanto o possívl Sja O mlhor squma qu Alic Bob pom utilizar aproxima Dsta manira é possívl notar como

B GUEDES AND MARCOS ASSIS : UNCONDITIONALLY SECURE QUANTUM 2019 Figura 1 Idéia gral do canal wirtap quântico Apsar da caractrização da privacida quântica é ncssário stablcr squmas qu scrvam como Alic Bob vm procr para stablcr as propridas ncssárias para a ralização comunicaçõs sguras msmo na prsnça da spiã Ests aspctos srão discutidos na próxima sção III CANAIS WIRETAP QUÂNTICOS Na tntativa provr uma scrição das propridas do canal para stablcr comunicaçõs scrtas sm possibilitar a scobrta informaçõs por um spião Cai t al [2] Dvtak [3] simultanamnt finiram os canais wirtap quânticos cuja formalização é aprsntada a sguir Dfinição 1 Um canal wirtap quântico sm mmória é scrito por um par supropradors um spaço Hilbrt complxo Quando Alic nvia um stado Bob rcb Ev rcb quântico m qu é a dimnsão do spaço Hilbrt ntrada Os códigos utilizados plos participants lgítimos da comunicação são caractrizados na Dfinição 2 Dfinição 2 Um conjunto palavras código comprimnto para um conjunto mnsagns clássicas é um conjunto stados ntrada rotulados por mnsagns m uma codificação mdição comprimnto com saída m i um conjunto opradors com O par é chamado um código comprimnto para o conjunto mnsagns A taxa st código é D acordo com ambas as finiçõs aprsntadas a Figura 1 ilustra os procdimntos rquridos para o cnário quântico Alic v criar um stado quando sjar nviar uma mnsagm para Bob Dvido ao ruído Bob rcb raliza a codificação da mnsagm original utilizando um POVM qu (Positiv Oprator-Valu Masurmnt) rsulta m uma stimativa para A spiã Ev por sua vz rcb o stado irá tntar obtr o máximo possívl informação sobr a mnsagm originalmnt nviada por Alic Para tanto la irá tntar construir um POVM basando-s na tipicalida dos stados qu rcb do canal sguindo uma stratégia aprsntada m [2 Sc 4] Entrtanto mbora a stratégia comunicação tnha sido talhada os argumntos sgurança sobr a troca mnsagns ainda não foram finidos É ncssário garantir uma baixa probabilida rro na codificação ntr os Alic Bob ao passo qu Ev não aprn praticamnt nada a rspito da mnsagm scrta qu passou plo canal A formalização sts dois rquisitos é satisfita plos códigos da Dfinição 3 Dfinição 3 (Código Wirtap) comprimnto código wirtap com parâmtros Um código é chamado um s para m qu é a taxa st código Na finição um código com parâmtros a Eq (9) garant qu a probabilida média rro na codificação por Bob é mnor qu um parâmtro a Eq (10) limita a informação mdia acssívl por Ev tal manira qu sta não captura praticamnt nada a rspito da mnsagm scrta nviada por Alic Por fim a capacida quântica sigilo é finida Dfinição 4 (Capacida Quântica Sigilo [2]) A capacida sigilo um canal quântico é o maior númro ral tal qu para todo suficintmnt gran xist um código com Apsar das finiçõs antriors assumirm mnsagns uniformmnt distribuídas o sguint torma [2 Sc 5] sobr a capacida quântica sigilo é um rsultado mais gral como Torma 1 Para um canal wirtap quântico caractrizado na Dfinição 1 a capacida quântica sigilo satisfaz m qu o máximo é tomado sobr todas as distribuiçõs são as quantidas probabilida sobr ; Holvo dadas nas Eqs (5) (6) rspctivamnt A capacida quântica sigilo po sr comprndida como a capacida um canal quântico para nviar informação clássica m sigilo absoluto Esta capacida é

2020 quivalnt ao suprmo da privacida garantida finida na Eq (8) A capacida sigilo finida na Eq (12) é o análogo quântico da capacida sigilo clássica proposta por Wynr [16] É possívl vrificar algumas similaridas ntr ambas as finiçõs: as duas limitam a probabilida rro na codificação também a informação qu v sr acssívl por um spião Entrtanto o caso quântico utiliza-s mdidas informação próprias st domínio tais como a ntropia von Numann a quantida Holvo Uma caractrística particular da capacida quântica sigilo é qu sta não possui uma caractrização ltra isolada significando qu a msma não é computávl por consirar todos os possívis stados ntrada todas as possívis distribuiçõs sobr ls [2] [3] IV SUBESPAÇOS LIVRES DE DESCOERÊNCIA Dvido à scorência um sistma quântico cai para um stado baixa nrgia m função das prdas sofridas para o ambint tm sua fas svancida por fim a informação qu armaznava é prdida [17] Sja um sistma quântico fchado composto por um sistma intrss plo ambint O hamiltoniano qu scrv st sistma é finido como sgu m qu nota o oprador intida; notam os hamiltonianos do sistma intrss do ambint da intração sistma-ambint rspctivamnt Para prvnir rros sria ial qu foss igual a zro indicando qu o sistma o ambint stão sacoplados volum inpnntmnt unitariamnt acordo com sus rspctivos hamiltonianos [5] Porém m cnários práticos sta situação ial não é possívl uma vz qu limitaçõs tcnológicas impm a construção um sistma compltamnt livr ruído Assim após isolar o sistma da mlhor manira possívl o aquado é vislumbrar objtivos ralísticos para intificar corrigir rros quando ls ocorrrm vitar o ruído quando possívl ou ntão até msmo tntar suprimir o ruído do sistma [4] S algumas simtrias xistirm na intração ntr sistma ambint ntão é possívl ncontrar locais sguros no spaço Hilbrt do sistma qu não sofrm os fitos da um conjunto opradors na scorência Sja rprsntação da soma opradors (OSR Oprator-Sum Rprsntation) corrsponndo à volução do sistma Dizs qu a matriz nsida é invariant prant os opradors OSR s Lvando isto m consiração é possívl finir os subspaços livrs scorência cujos stados são invariants apsar da xistência um acoplamnto não-trivial ntr sistma intrss ambint Dfinição 5 (Subspaço Livr Dscorência [16]) Um subspaço um spaço Hilbrt é chamado DFS m rlação ao acoplamnto ntr sistma ambint s cada stado puro st subspaço é invariant prant a corrsponnt volução OSR para qualqur condição inicial do ambint isto é Apsar da finição DFS aprsntada tr sido fita m trmos stados puros um stado maranhado qu tnha suport apnas m stados puros um DFS também srá invariant portanto protgido da scorência [18] Sistmas quânticos finidos sobr DFS são totalmnt sacoplados do ambint por sta razão compltamnt imuns aos fitos da scorência Códigos quânticos construídos a partir stados um DFS são classificados como códigos quânticos prvnção rros (QEAC Quantum rror-avoiding cos) as tarfas prturbação rcupração nsts códigos são triviais [19] Sja o hamiltoniano da intração sistma-ambint dado por m qu são os opradors do sistma do ambint rspctivamnt Consira-s qu os opradors do ambint são linarmnt inpnnts As simtrias rquridas para a xistência DFS são scritas no torma a sguir Para um prova talhada ou difrnts formulaçõs vr [5 Sc 5] Torma 2 (Condiçõs para DFS) Um subspaço é um DFS s somnt s os opradors do sistma atuarm proporcionalmnt à intida nst subspaço Na prática intificar uma simtria útil tirar provito la po sr uma tarfa bastant difícil Isto acontc porqu é ncssário (i) intificar a simtria; (ii) ncontrar stados qu sjam invariants a intração por fim (iii) construir s possívl opraçõs no sistma qu prsrvm as simtrias ncssárias Apsar stas dificuldas quando comparados aos QECCs por xmplo os DFS possum algumas vantagns a xmplo frquntmnt rqurrm mnos qubits físicos para rprsntar um qubit lógico também não mandarm uma rptida intificação corrção rros [4] Em s tratando dos DFS como QEACs ls pom sr contrastados com os QECCs m alguns aspctos Enquanto os QECCs são projtados para corrigir rros após a sua ocorrência QEACs não possum a habilida corrigir rros uma vz qu os prvinm; QECCs adotados m cnários práticos prtncm a class dos códigos nãognrados nquanto QEACs são códigos altamnt gnrados; QEACs possum distância infinita nquanto os QECCs não-gnrados possum distância infinita Em particular s a gnrscência ating o máximo um QECC s rduz a um QEAC o qu ilustra a circunstância m qu um tipo código torna-s quivalnt ao outro [19]

B GUEDES AND MARCOS ASSIS : UNCONDITIONALLY SECURE QUANTUM A ausência scorência m DFS têm s mostrado gran importância para implmntaçõs mmórias quânticas algoritmos quânticos Outras aplicaçõs inclum codificação da informação m pontos quânticos dissipação coltiva rdução ruído ntr outros [4] [5] 2021 Utilizando o código finido s Alic sja nviar a mnsagm para Bob la v codifica-la no QEAC finido sobr obtndo Quando la nvia o stado rsultant plo canal st intrag com o ambint Bob ntão rcb Ev rcb os quais são dados por V DFS EM COMUNICAÇÕES SEGURAS A partir agora srão consiradas as aplicaçõs dos DFS nas Comunicaçõs Quânticas Srá consirado como rfrência o molo canais quânticos com ruído coltivo i um molo canal no qual os qubits s acoplam inticamnt ao msmo ambint ao passo qu sofrm fasamnto dissipação [20] Apsar não sr um molo abrangnt st caso spcial traz à tona algumas consquências particulars do uso DFS m comunicaçõs quânticas O foco a sr consirado m particular srá nos aspctos da troca sgura mnsagns Consira-s o caso m qu Alic qur nviar mnsagns clássicas scrtas para Bob por um canal quântico Estas mnsagns vm sr protgidas da spiã Ev qu tm acsso total ao ambint O canal ntr Alic Bob possui um subspaço livr scorência qu srá utilizado para codificar as mnsagns scrtas A finição a sguir caractriza st canal quântico Dfinição 6 (Canal Wirtap Quântico com Ruído Coltivo) Um canal wirtap quântico com ruído coltivo é um canal como na Dfinição 1 mas cuja composição Kraus satisfaz o Torma 2 satisfaz ao Torma 2 Nsta finição uma vz qu ntão o canal possui um DFS Quando Alic sja nviar um stado para Bob la o faz plo canal quântico st stado intrag com o ambint Bob rcb o stado rsultant do traço parcial sobr o ambint A spiã Ev por sua vz captura o qu vazou para o ambint Sm prda gnralida srá consirado aqui qu o Esta é uma ambint inicia m um stado puro hipóts plausívl pois smpr é possívl imaginar qu um ambint local m um stado misto é apnas part um sistma maior m um stado puro maranhado [15] para codificar O passo sguint é finir o QEAC sobr as mnsagns ntr Alic Bob Dfinição 7 Sja um DFS grado por um conjunto i Um conjunto autovtors palavras código comprimnto para um conjunto mnsagns clássicas é um conjunto stados ntrada rotulados por mnsagns m um procsso mdição trivial composto por um conjunto POVM com a rstrição O par é chamado um QEAC comprimnto para o conjunto mnsagns A taxa st código é Uma vz qu Alic utilizou um QEAC como na Dfinição 7 ntão a simtria dinâmica xistnt protgu a informação quântica da intração com o ambint Isto significa qu a volução conjunta ntr sistma ambint acontcu manira sacoplada Assim o stado é m qu a Eq (20) v-s à invariância dos stados do DFS prant os opradors OSR Lvando m consiração o hamiltoniano dado na Eq (13) o fato do sistma intrss do ambint não trm intragido st é o caso m qu o ambint sofru apnas a ação indicando uma volução unitária rstrita ao ambint Isto significa qu é um stado puro O lma a sguir formaliza como o QEAC protg a informação transmitida plo canal da atuação um spião Lma 1 Um QEAC como na Dfinição 7 sobr um canal wirtap quântico com ruído coltivo como na Dfinição 6 é um código wirtap com parâmtros Prova A prova é fita manira dirta mostrando como o QEAC satisfaz aos critérios das Eqs (9) (10) Primiro srá analisada a probabilida rro na codificação Uma vz qu prtnc a sab-s qu st stado não intragiu com o ambint Então como mostrado nas Eqs (18)-(21) Vrifica-s qu o procsso codificação é trivial qu a mnsagm nviada por Alic po sr prfitamnt rcuprada visto qu há um oprador para cada É possívl concluir codificação portanto qu há uma probabilida sprzívl rro na codificação por Bob Logo o critério da Eq (9) é satisfito Prossgu-s para a anális do critério da Eq (10) É intrssant vrificar qu sta quação rprsnta a média da informação acssívl por Ev a qual é limitada pla quantida Holvo finida na Eq (6) A quantida Holvo srá obtida primiramnt

2022 Apsar do stado final do ambint (vi Eq (20)) não sr conhcido o fato Alic Bob trm utilizado apnas stados um DFS garantiu qu o hamiltoniano intração não govrnou a volução conjunta ntr sistma intrss ambint Ao contrário é possívl garantir qu cada sistma voluiu manira compltamnt unitária acordo com su próprio hamiltoniano o qu implica qu o ambint apnas sofru a atuação No contxto m qustão isto significa qu o ambint trminou m um stado puro Utilizando st rsultado para calcular a quantida Holvo tm-s do Torma Holvo-Schumachr-Wstmorland [21] qu afirma qu a taxa um código v sr limitada pla quantida Holvo Po-s concluir ntão qu é possívl ralizar comunicaçõs quânticas com sigilo absoluto m canais quânticos spionados s qu os opradors rro satisfaçam algumas simtrias O critério sgurança incondicional é satisfito uma vz qu A xprssão rsultant da capacida sigilo um DFS possui rlação com rsultados aprsntados por Schumachr Wstmorland [15] Ests autors argumntam qu a habilida um canal quântico nviar informação privada é plo mnos tão gran quanto a habilida nviar informação cornt Uma vz qu a informação codificada m um DFS não pr corência ntão a capacida nviar informação privada é maximizada particularmnt quando comparada a outros tipos canais quânticos Um fato conhcido sobr a quantida Holvo é qu Uma vz qu para qualqur qu para todo ntão st é o caso qu o trmo rmanscnt é igual a zro Portanto Dado qu a quantida Holvo é um limitant suprior para a informação acssívl st é o caso m qu a Eq (10) também é igual a zro Est rsultado significa qu a quantida informação capturada por Ev não pô rduzir a incrtza sobr a mnsagm scrta nviada Alic para Bob implicando m sigilo absoluto um rquisito ssncial para códigos wirtap Isto conclui a prova Outra mdida informação qu nfatiza a ausência intração ntr sistma ambint é a troca ntropia cuja mdida é trminada intiramnt plo stado inicial pla dinâmica do canal [15] Nst caso sta mdida é igual a uma vz qu é um stado puro Assim é possívl rforçar a conclusão qu sistma ambint voluíram manira compltamnt sacoplada Por fim part-s para a caractrização da capacida sigilo um canal wirtap quântico com ruído coltivo Para ilustrar os rsultados scritos nst artigo nsta sção srá mostrado um xmplo talhado do nvio sigiloso informação clássica por um canal quântico com fasamnto coltivo Nst molo canal os qubits s acoplam ao ambint manira simétrica ao passo qu sofrm fasamnto finido como: VI EXEMPLO DEFASAMENTO COLETIVO Alic sja nviar mnsagns clássicas scrtas para Bob porém Ev spiona o canal com acsso total ao ambint S há scorência ntão é possívl qu Ev adquira alguma informação acrca da mnsagm scrta trocada ntr Alic Bob Para contornar os fitos da scorência Alic Bob pom tirar provito uma simtria xistnt no canal S ls codificarm as mnsagns utilizando stados imuns à scorência ntão Ev não irá capturar nada a rspito das mnsagns scrtas Para tanto Alic Bob utilizarão o sguint squma codificação Torma 3 A capacida sigilo uma canal wirtap quântico com ruído coltivo caractrizado na Dfinição 6 satisfaz Um m qu o máximo é tomado sobr todas as distribuiçõs sobr ; é a quantida Holvo probabilida dada na Eq (5) Prova Sja um QEAC utilizado no canal Como visto no Lma 1 st é um código wirtap Um fato vrificado na prova st lma foi qu a quantida Holvo Ev é Primiro substitui-s st rsultado na Eq (12) A igualda final é advinda como consquência qubit po portanto sr codificado É possívl constatar qu sofr os fitos da scorência ao passar plo canal como não

B GUEDES AND MARCOS ASSIS : UNCONDITIONALLY SECURE QUANTUM porqu o fator fas global adquirido durant o procsso fasamnto não possui significância física Isto significa prtncm a um DFS do qu ambos os stados no canal quântico fasamnto spaço Hilbrt coltivo Nst xmplo as mnsagns nviadas por Alic são binárias logo Fazndo uso st código para nviar a mnsagm Alic a codifica no stado corrsponnt o qual srá nviado plo canal Assums aqui qu os bits 0 1 são quiprovávis qu o ambint inicia no stado puro Dado qu Alic utilizou stados do DFS para codificar mnsagns para Bob o sistma intrss o ambint não intragiram Como já provado antriormnt Ev não captura qualqur informação a rspito da mnsagm scrta Em rlação a Bob acordo com o squma caractrizado o stado rcbido é dado por Para codificar a mnsagm rcbida Bob v sguir as instruçõs do QEAC na Dfinição 7 vndo construir os projtors POVM A quantida Holvo Bob como finida na Eq (5) assum o sguint valor nst cnário: Utilizando st rsultado na Eq (25) é possívl concluir qu a capacida quântica sigilo para st cnário é igual a bit por uso do canal Est é um xmplo como nviar mnsagns scrtas a uma taxa positiva utilizando DFS m um canal quântico ruidoso utilizando um procdimnto codificação-codificação bastant simplificado VII IMPACTOS EM PROTOCOLOS QSDC E DSQC A Mcânica Quântica provê novas maniras para ralização transmissão procssamnto da informação Em um contxto criptográfico a distribuição quântica chavs (QKD Quantum Ky Distribution) é uma das técnicas mais maduras atualmnt a qual possibilita a criação chavs privadas clássicas com o intuito prmitir qu duas parts ralizm comunicaçõs forma sgura [22 p 586] Estas chavs pom sr usadas para cifrar mnsagns m squmas criptografias clássicos tais como o on-tim pad Dst modo prcb-s qu há plo mnos duas transmissõs m 2023 um protocolo QKD: a primira las via um canal quântico com o intuito criar uma chav sgura ntr as parts; a sgunda na qual a mnsagm cifrada é transmitida Muitos protocolos para QKD já foram propostos inclusiv com suas provas sgurança aquadamnt stablcidas [23] Porém m transmissõs práticas o ruído do canal não po sr vitado compltamnt Est ruído não apnas aumnta a taxa rro no nvio da mnsagm mas também po dificultar a tcção um spião num procsso chcagm sgurança [10] Rcntmnt a comunicação quântica sgura dirta (QSDC Quantum Scur Dirct Communication) foi proposta como uma nova técnica comunicação Ela tm por objtivo transmitir mnsagns scrtas dirtamnt sm o auxílio chavs privadas nm comunicaçõs clássicas Nst squma tm-s qu a QKD a transmissão clássica da mnsagm cifrada são connsadas m uma única comunicação quântica Por sta razão consira-s qu o QSDC como uma técnica compltamnt basada na Mcânica Quântica [24] Outra técnica qu prmit a comunicação quântica sgura é intitulada comunicação quântica trminística sgura (DSQC Dtrministic Scur Quantum Communication) Nsta técnica a mnsagm é nviada trministicamnt plo canal quântico mas po sr duzida apnas após uma transmissão informação clássica [25] D fato a difrnça fundamntal ntr QSDC DSQC é sta ncssida mais um nvio comunicação clássica [24] Até os dias atuais muitos protocolos para QSDC DSQC já foram propostos na litratura consirando o uso difrnts rcursos métodos tais como troca maranhamnto [26] tlportação [25] [27] [28] on-tim pad quântico [29] rarranjo da orm partículas [30] ntr outros O survy Long t al [24] contmpla snvolvimntos rcnts tanto sobr QSDC quanto DSQC O uso canais com ruído coltivo também foi consirado na proposição alguns protocolos QSDC DSQC m uma tntativa prvnir o ruído Tais protocolos xploram as simtrias xistnts no DFS para transmitir informação Dcaimnto amplitu [9] rotação [6] [10] fasamnto [6] são molos canais com ruído coltivo qu já foram consirados por sts protocolos Porém como provado na Sção V codificar informação m um DFS habilita comunicação quântica incondicionalmnt sgura Dst modo uma qustão qu mrg é: xistm modificaçõs qu pom sr fitas nsts protocolos visando uma simplificação ou aumnto ficiência? As subsçõs a sguir irão caractrizar sts protocolos acordo com o tipo canal irão aprsntar algumas sugstõs nsta dirção A Canal Dcaimnto Amplitu Coltivo O fnômno dissipação nrgia ao transmitir um stado quântico é molado plo canal caimnto amplitu coltivo Est canal possui a sguint rprsntação OSR m qu os opradors possum a sguint finição

2024 m qu nota a taxa caimnto qu po sr pnsada como a probabilida prda um fóton [22 p 380] Um protocolo QSDC sobr o canal caimnto amplitu coltivo foi proposto por Qin t al [9] Est protocolo faz uso dois stados um DFS finidos sobr st canal ( ) também dois outros stados basados numa suprposição ls ( ) Ests stados quânticos são Comunicacional Quântica (A complxida comunicacional é uma mdida quantas comunicaçõs são ncssárias para qu duas parts possam concluir uma tarfa distribuída utilizando o mínimo comunicaçõs possívl [31]) st protocolo Na proposição original s a mnsagm possui tamanho ntão é vint qu mais bits qubits prcisam sr trocados para ralizar a comunicação Utilizando a simplificação aprsntada st númro iguala-s xatamnt a com a vantagm adicional não sr ncssário utilizar um canal clássico Além disso o procsso codificaçãocodificação s torna mnos complxo o qu rduz o númro portas quânticas rquridas para implmntar st squma B Canal Quântico Rotação Coltiva Um canal quântico rotação coltiva po sr notado como O protocolo Qin t al é finido como sgu: 1) Alic gra uma sqüência alatória dos sguints stados os nvia para Bob; 2) Bob scolh alguns qubits para ralizar uma chcagm spionagm El os m m uma das duas bass possívis alatoriamnt scolhidas ( ou ) publica os rsultados obtidos Alic chca as saídas julga quando xistm spiõs no canal Bob raliza algumas opraçõs nos qubits rmanscnts introduz alguns bits alatórios os nvia volta para Alic; 3) Alic m os qubits rcbidos na msma bas qu la originalmnt os prparou A pnr da rlação ntr as saídas obtidas os stados originalmnt prparados Alic po trministicamnt codificar a mnsagm nviada por Bob; 4) Bob clara a posição os valors dos bits alatórios Alic julga a sgurança rcupra a mnsagm nviada Nst protocolo o númro comunicaçõs rqurido para a troca da mnsagm também para a chcagm spionagm inclui rdundância bits alatórios também comunicaçõs clássicas para divulgar a saída trminadas mdiçõs Val mncionar também qu a taxa st protocolo é 1 bit informação por uso do canal uma vz qu um stado dois qubits é utilizado Os stados do DFS xistnt no canal também possibilitam o nvio 1 bit informação por uso do canal mas com a vantagm qu não é ncssário ralizar chcagm spionagm pois os DFS habilitam sgurança incondicional Formalizando Alic Bob pom usar um QEAC para ralizar a troca mnsagns forma sgura Apsar da taxa rsultant sr a msma o uso do QEAC sugrido provê uma rdução significativa na Complxida m qu nota o parâmtro rotação o qual flutua com o tmpo Dois stados imuns aos fitos st canal são stados Bll Rcntmnt Gu t al [6] propusram um DSQC o qual faz uso do DFS xistnt nst canal D acordo com sts autors a comunicação sigilosa po sr fita da sguint forma: 1) Alic prpara um stado maranhado três fótons para Bob; Ela mantém o qubit nvia os qubits 2) Após rcbr a sqüência Alic Bob scolh algumas amostras para chcar a xistência spionagm Para tanto l m alguns qubits utilizando as bass scolhidas manira alatória; 3) Bob divulga para Alic quais os qubits scolhidos para chcagm spionagm o rsultado obtido da mdição tais amostras; 4) S Bob scolhu mdir com a bas ntão Alic scolh a bas para mdir su fóton corrsponnt; m caso contrário la o m utilizando ; 5) Alic Bob utilizam a corrlação xistnt ntr as suas amostras para analisar a taxa rro S o rro é maior qu um limiar ls rptm o protocolo s o início Em caso contrário irão codificar as saídas como corrsponndo ao bit clássico 0 nquanto as

B GUEDES AND MARCOS ASSIS : UNCONDITIONALLY SECURE QUANTUM saídas como corrsponndo ao bit clássico 1; 6) Alic divulga para Bob a saída m qu é o rsultado das mdiçõs qu la obtv no fóton é a mnsagm scrta qu la sja mandar para Bob manira privada; 7) Bob lê a mnsagm scrta dirtamnt i m qu é o rsultado das mdiçõs qu Bob ftuou nos fótons Ants iniciar a anális st protocolo primiramnt algumas consiraçõs srão fitas sobr l Os stados do DFS são stados Bll a corrlação xistnt ntr as amostras Alic Bob prmit uma chcagm spionagm por último uma cifragm do tipo on-tim pad é ftuada ants a mnsagm sr nviada Em fac do DFS xistnt algumas simplificaçõs são passívis aplicação nss protocolo S Alic Bob sjam nviar a mnsagm dirtamnt plo canal quântico uma codificação apropriada utilizando apnas os stados po sr fita alcançando a taxa um bit informação por uso do canal Ests bits pom sr utilizados para criar uma chav scrta privada para codificar as mnsagns utilizando on-tim pad acordo com os dois últimos passos do protocolo Gu t al [6] Outra sugstão qu po sr xplorada tira provito da corrlação xistnt ntr os stados Alic Bob para criar sta chav Em ambas as sugstõs a sgurança incondicional provida plo DFS é um ingrdint chav para as simplificaçõs ralizadas Como po sr obsrvado m nnhum dos casos a chcagm spionagm é rqurida o qu rduz substancialmnt o númro comunicaçõs ralizadas Estas sugstõs pom sr aplicadas manira similar no DSQC proposto por Dong t al [10] qu é bastant similar ao protocolo Gu t al [6] mostrado nsta sção A principal difrnça ntr ls consist no uso do canal clássico: nquanto o protocolo Gu t al utiliza st canal para nviar uma vrsão cifrada da mnsagm o protocolo Dong t al o utiliza para convrtr os rsultados das mdiçõs nos bits apropriados da mnsagm scrta Nst protocolo nviar uma mnsagm bits rqur qu Alic Bob troqum bits qubits Sguindo a primira sugstão plo mnos modificação st númro comunicaçõs sria rduzido a qubits C Canal Quântico Dfasamnto Coltivo O canal quântico fasamnto coltivo já foi caractrizado antriormnt na Sção VI Um protocolo qu faz uso st DFS foi proposto por Gu t al [6] o qual é bastant similar ao QSDC proposto por sts msmos autors para o canal rotação coltiva discutido prviamnt na sção VII-B Também foi mostrado na Sção VI como nviar 1 bit informação por uso do canal sm a ncssida chcagm spionagm A msma idéia po sr utilizada aqui para simplificar significativamnt o protocolo m qustão 2025 VIII CONSIDERAÇÕES FINAIS A partir da anális ralizada é possívl concluir qu s um canal quântico é caractrizado como na Dfinição 6 ntão a xistência crtas simtrias po sr xplorada para nviar informação clássica com sgurança incondicional A codificação da informação m um DFS po sr vista como uma instância um código wirtap com a particularida qu nnhuma informação é capturada por um spião A xprssão da capacida sigilo sts canais mostrada na Eq (25) é igual à capacida um canal quântico para o nvio mnsagns clássicas [21] Est é um caso particular m qu a habilida um canal quântico para nviar informação scrta é tão gran quando a sua habilida nviar informação clássica ordinária Em s tratando da capacida quântica sigilo Cai t al [2] argumntam qu sta não possui ltra isolada m virtu disso obtr uma vrsão computávl da msma torna-s ainda mais difícil qu obtr uma vrsão computávl para a capacida clássica um canal quântico O caso particular para canais quânticos com ruído coltivo aprsntado nst trabalho mostra qu sta capacida sigilo é igual à capacida clássica um canal quântico o qu indica uma mnor complxida na obtnção sta capacida Apsar das dificuldas xistnts atualmnt para construir sistmas quânticos compltamnt fchados [8] os rsultados mostrados aqui pom sr aplicados para construir dispositivos qu ralizam a troca mnsagns com sgurança incondicional msmo na prsnça da scorência Isto é bastant promissor para implmntaçõs práticas spcialmnt consirando os rsultados já xistnts sobr o uso DFS m comunicaçõs [32]-[34] incluindo longa distância [35] Uma primira consqüência dos rsultados st trabalho foi mostrar uma simplificação substancial m protocolos QSDC DSQC xistnts na litratura O númro comunicaçõs ralizadas opraçõs pô sr significativamnt rduzido m função dos novos rsultados sobr sgurança incondicional DFS Isto rforça a viabilida prática do uso DFS m comunicaçõs É important nfatizar qu os rsultados aprsntados não pom sr gnralizados para todos os tipos canais quânticos pois nm todos ls satisfazm às condiçõs para xistência DFS Zanardi Rastti [20] argumntam qu só xistm DFS m cnários on há scorência coltiva Apsar sr um caso spcial as vantagns alcançadas m trmos sgurança taxa são significativas Em trabalhos futuros sugr-s a invstigação condiçõs mais grais para a xistência sigilo absoluto m comunicaçõs quânticas AGRADECIMENTOS Os autors agracm o apoio provido plas agências fomnto brasiliras CAPES CNPq plo projto QUANTA/RENASIC/FINEP REFERÊNCIAS

2026 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] M Schlosshaur Dcohrnc and th Quantum-to-Classical Transition Springr Ed Springr 2007 N Cai A Wintr and R W Yung Quantum privacy and quantum wirtap channls Problms of Information Transmission vol 40 pp 318 336 2004 I Dvtak Th privat classical capacity and quantum capacity of a quantum channl IEEE Transactions on Information Thory vol 51 no 1 pp 44 55 2005 M S Byrd L-A Wu and D A Lidar Ovrviw of quantum rror prvntion and lakag limination Journal of Morn Optics vol 51 no 16-18 pp 2449 2460 2004 D A Lidar and K B Whaly Dcohrnc fr subspacs and subsystms arxiv:quant-ph/0301032v1 pp 83 120 2003 G Bin P ShiXin S Biao and Z Kun Dtrministic scur quantum communication ovr a collctiv-nois channl Scinc in China Sris G: Physics Mchanics and Astronomy vol 52 no 12 pp 1913 1918 2009 K Majgir H Maassn and K Zczkowski Protctd subspacs in quantum information Quantum Inf Procss vol 9 pp 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Wstmorland Quantum privacy and quantum cohrnc Phys Rv Ltt vol 80 no 25 pp 5695 5697 1998 A D Wynr Th wir-tap channl Th Bll Systm Tchnical Journal vol 1 pp 1355 1387 1975 A Shabani and D Lidar Thory of initialization-fr cohrncfr subspacs and subsystms Phys Rv A vol 72 p 042303 2005 D M Bacon Dcohrnc control and symmtry in quantum computrs PhD dissrtation Univrsity of California at Brkly 2001 L-M Duan and G-C Guo Quantum rror avoiding cos vrsus quantum rror corrcting cos Phys Ltt A vol 255 pp 209 212 1999 P Zanardi and M Rastti Noislss quantum cos Phys Rv Ltt vol 79 p 3306 1997 B Schumachr and M D Wstmorland Snding classical information via noisy quantum channls Phys Rv A vol 56 pp 131 138 1997 M A Nilsn and I L Chuang Quantum Computation and Quantum Information C U Prss Ed Bookman 2010 D Mayrs Unconditional scurity in quantum cryptography Journal of th ACM vol 48 no 3 pp 351 406 2001 G Lu Long F Guo Dng C W X Han Lo K Wn and W Ying Wang Quantum scur dirct communication and trministic 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com pós-doutorado na Univrsida Toronto Canadá Os principais intrsss psquisa do autor são Toria da Informação Clássica Quântica Sistmas Tlcomunicação Algoritmos Complxida Computacional Atualmnt é prsint do Instituto Estudos m Computação Informação Quânticas (IQuanta) também coornador do Programa Pós-Graduação m Engnharia Elétrica da Univrsida Fral Campina Gran