APOSTILA DA DISCIPLINA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA I

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA APOSTILA DA DISCIPLINA INFERÊNCIA ESTATÍSTICA I CURSO DE ESTATÍSTICA Prof. Paulo Rcardo Bttecourt Gumarães O SEMETRE DE 003

PLANO DE ENSINO Fcha º Dscpla: Iferêca Estatístca I Códgo: CE09 Turma : A Curso : Estatístca - 3 o período Professor resposável: Paulo Rcardo Bttecourt Gumarães Pré-requsto: CE03+CE05+CM008 Programa: I - Cocetos Báscos.. Defção de Estatístca, População alvo, Amostra aleatóra, estatístca e mometos amostras... Amostragem da dstrbução ormal: dstrbuções Ququadrado, t de Studet e F de Sedecor, prcpas resultados. II - Sufcêca.. Defção de estatístca sufcete... Teorema da Fatoração..3. Famíla epoecal uparamétrca. III - Propredades dos Estmadores Potuas 3.. Estmação potual: defção de estmador e estmatva. 3.. Defção de Cosstêca, desgualdade de Tchebychev. 3.3. Defção de Erro Médo Quadrátco e estmador ão-vcado. IV - Métodos de Estmação 4.. Método da Máma Verossmlhaça. 4.. Método dos Mometos. 4.3. Método dos mímos Quadrátcos. V - Propredades Ótmas dos Estmadores 5.. Defção de estatístca completa e estatístca ótma. 5.. Teorema de Lehma-Scheffé: estmador UMVU. 5.3. Ivarâca a locação e a escala.

Referêcas Bblográfcas:. Mood, A.M., Graybll, F.A., Boes, D.C. (974). Itroducto to the theory of Statstcs. 3 ed. New York: McGraw Hll. Hogg & Crag Itroducto to Mathematcal Statstcal. 3. Bckel, P. J., Doksum, K.A. Mathematcal Statstcs, Holde Day Ic. 4. Kreyszg, E. (970). Itroductory Mathematcal Statstcs. Joh Wley & Sos. 5. Rohatg, V.K. (976). A Itroducto to Probablty Theory ad Mathematcal Statstcs. Joh Wley & Sos 3

ÍNDICE I CONCEITOS BÁSICOS... 5. INTRODUÇÃO...5. NOÇÕES DE POPULAÇÃO E AMOSTRA...6.3 ESTATÍSTICA : MOMENTOS AMOSTRAIS...7.4 AMOSTRAGEM DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL...9 II SUFICIÊNCIA... 3. INTRODUÇÃO...3. DEFINIÇÃO: ESTATÍSTICA SUFICIENTE:...3.3 TEOREMA DE NEYMAN-FISHER OU TEOREMA DA FATORIZAÇÃO...6.4 FAMÍLIA EXPONENCIAL UNIPARAMÉTRICA...8.5 FAMÍLIA EXPONENCIAL K-PARAMÉTRICA...9 III MODELOS PARAMÉTRICOS... 0 3. CONCEITO...0 3. DEFINIÇÕES...0 IV ESTIMAÇÃO... 4. ESTIMAÇÃO POR PONTO... 4.- PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES PARAMÉTRICOS... 4..- Cosstêca... 4...- Estmadores Não-vcados...3 4.3 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO...4 4.3. Método da Máma Verossmlhaça (Fsher)...4 4.3.3. Método dos Mímos Quadrados (Gauss)...7 4.4 ESTIMADORES NÃO-VICIADOS UNIFORMEMENTE DE MÍNIMA VARIÂNCIA (UMVU) E INTERVALOS DE CONFIANÇA...8 4.4. Estatístcas Completas...8 4.4. Estmadores UMVU...9 4

I CONCEITOS BÁSICOS. INTRODUÇÃO Latm: INFERENTIA Ato de ferr (trar por coclusão). Admte-se uma proposção como verdadera, que ão seja cohecda dretamete, através da relação dela com outras proposções já sabdamete verdaderas. Casos especas: Iferêca Dedutva (certa). Iferêca Idutva (certa, há um ível de probabldade evolvdo). E.: Dedutva: Premssa prcpal - um dos âgulos de um trâgulo retâgulo tem sempre 90º. Premssa secudára - Τ é um trâgulo retâgulo. Coclusão: T tem um âgulo de 90º (partcular geral). Idutva: 0 7 semetes são platadas, deseja-se saber quatas darão flores bracas e quatas vermelhas. Há um ível de probabldade evolvdo para cada flor (cor) (geral partcular). A ESTATÍSTICA Usualmete, é mpratcável observar toda uma população, seja pelo custo alto seja por dfculdades operacoas. Eama-se etão uma amostra, de preferêca bastate represetatva, para que os resultados obtdos possam ser geeralzados para toda a população. Um epermeto pode ter por faldade a determação da estmatva de um parâmetro de uma fução. Toda coclusão trada por amostragem, quado geeralzada para a população, apresetará um grau de certeza. Ao cojuto de téccas e procedmetos que permtem dar ao pesqusador um grau de cofabldade as afrmações que faz para a população, baseadas os resultados das amostras, damos o ome de Iferêca Estatístca OBJETIVOS PRINCIPAIS a) Plaejar o processo amostral e epermetal; b) Obter ferêcas sobre a população; c) Estabelecer íves de certeza evolvdos essas ferêcas. 5

. NOÇÕES DE POPULAÇÃO E AMOSTRA DEF. : POPULAÇÃO ALVO é a totaldade de elemetos que estão sob dscussão e das quas se deseja formação. EXEMPLO :- Supoha que se teha armazeado um depósto 0 mlhões de semetes de flores das quas sabe-se que produzem flores bracas e vermelhas. Os 0 mlhões de semetes é a população e deseja-se a formação: quatas destes 0 mlhões de semetes produzem flores bracas?. DEF. : AMOSTRA ALEATÓRIA: Sejam as varáves [X, X,...,X ] que têm a desdade cojuta f,,..., ) que fatora as desdades margas segutes: (,,..., f ( ) = f,..., (,,..., ) f ( ). f ( )... f, = ( com f(.) sedo a desdade comum a todas as X. Etão (X, X,..., X ) é defda como amostra aleatóra (a.a.) de tamaho da população com desdade f (.). Nota: Um valor específco da a.a. X ;...;X é deotado por ; ;...;. No eemplo das 0 7 semetes, pode-se ter: flor - braca valor 0 - vermelha valor X = 0 se braca se vermelha Assm, uma a.a. ( = 50) pode ser: = 0; = ;...; 50 = 0 ) EXEMPLO :- No eemplo tomado, pode-se assocar a flor braca e 0 a flor vermelha, etão este um úmero assocado a cada elemeto da população. Se a amostragem de semetes é feta de tal forma que as varáves X, X,...,X são depedetes e têm a mesma desdade a amostra é dta aleatóra. DEF. 3: POPULAÇÃO AMOSTRADA: Seja [X, X,...,X ] a.a. da população com desdade f (.), etão esta população é chamada população amostrada. Resultados com base a a.a. só são váldas para a população amostrada, a meos que a população alvo seja a população amostrada. 6

EXEMPLO 3: Supoha que um socólogo deseja eteder os hábtos relgosos dos homes com 0 aos de dade em certo país. Ele etra uma amostra de homes com 0 aos de uma grade cdade para estudar. Neste caso tem-se: População alvo: homes com 0 aos do país; População amostrada: homes com 0 aos da cdade grade amostrada. Etão ele pode fazer coclusões váldas apeas para os elemetos da grade cdade (população amostrada), mas pode usar o seu julgameto pessoal para etrapolar os resultados obtdos para a população alvo, com muta cautela e certas reservas. EXEMPLO 4:- Um pesqusador agrícola está estudado a produção de certa varedade de trgo em determado estado. Ele tem a sua dsposção 5 fazedas, espalhadas pelo estado, as quas ele pode platar trgo e observar a produção. A população amostrada, este caso, cosste das produções de trgo estas 5 fazedas, equato a população alvo cosste das produções de trgo em todas as fazedas do estado..3 ESTATÍSTICA : MOMENTOS AMOSTRAIS DEF. 4: ESTATÍSTICA: Uma estatístca é uma fução das varáves observáves, e é por s própra uma varável observável que ão cotém qualquer parâmetro descohecdo. EXEMPLO 5: Seja a a.a. [X, X,...,X ]. A méda amostral = estatístca. é uma EXEMPLO 6: Seja a v.a X ~ N(µ, σ ) com µ e σ descohecdos, etão - µ ão é estatístca porque ão é observável, é fução do parâmetro descohecdo µ. EXEMPLO 6: Seja uma v.a. com dstrbução N(µ;σ ). Quas são Estatístcas? a) X -µ d) X-4 b) X σ e) X - logx 3 c) X -3 7

DEF.5: MOMENTOS AMOSTRAIS Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da desdade f X (). Etão, o k-ésmo mometo amostral é defdo por: M k = OBS : Se k= M = X = k (méda amostral) E, o k-ésmo mometo amostral em toro de X é defdo por M k = ( - ) k OBS : Mometos amostras são eemplos de estatístcas. RESULTADO : Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da população com desdade f (). Etão, a esperaça do k-ésmo mometo amostral é gual ao k-ésmo mometo populacoal, sto é: e também, E(M k ) = µ k = E( k ) V(M k ) = [E( k ) [E( k ) ] = [µk (µ k ) ], se M k este. EXERCÍCIO : Prove o resultado ateror. DEF.6.: VARIÂNCIA AMOSTRAL Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da desdade f (), etão defda como varâca amostral. s = ( ) é OBS: Tato s quato M = σ ˆ medem a dspersão da amostra, cotudo s é melhor que σ ˆ porque E(s ) = m = σ, equato E(M ) = E( σ ˆ ) m = σ RESULTADO : Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da desdade f (), que tem méda µ e varâca fta σ, etão : E () = µ e σ V( ) = σ = EXERCÍCIO : Prove o resultado. RESULTADO 3: Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da desdade f () e seja s a varâca amostral, etão E(s ) = σ e V(s 3 4 ) = µ 4 σ EXERCÍCIO 3: Prove a prmera parte do resultado 3. 8

.4 AMOSTRAGEM DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL RESULTADO 4: Seja a méda amostral da a.a. [X, X,...,X ] da dstrbução N (µ,σ ). Etão N (µ,σ /). Uma v.a. X é ormalmete dstrbuída se sua f ( ) é dada por: f X ( ) = f X ( ; µ, σ ) = e πσ µ ( ) σ, µ e X R, σ>0 REVISÃO: FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS ψ ψ X X, Y ( t ) = E( e t ) bt Seja Y = a + b ψ ( t) = e. ψ ( at) tx + t ( t, t ) = E( e Y ) Y Sejam as v.a s X e Y. Elas serão depedetes se e somete se: ψ t, t ) = ψ ( t ) ψ ( ) X, Y ( X Y t X EXERCÍCIO 4: Prove o resultado 4. DEF. 7: DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO (χ ) υ υ e ( υ ) Se X é uma v.a com desdade f a () =, > 0, etão X é dta ter Γ dstrbução qu-quadrado com ν graus de lberdade, ode ν é um tero postvo. OBS.: Se X ~ χ υ E(X) = ν e V(X) = ν RESULTADO 5: Se as v.a s X, =,,..., são ormas e depedetemete dstrbuídas com méda µ, e varâca σ, etão a v.a EXERCÍCIO 5: a) Prove o resultado ctado a observação ateror. b) Prove o resultado 5. U = µ σ ~. 9

RESULTADO 6 : Se [z, z,..., z ] é uma a.a. de uma dstrbução N( 0,), etão : () z ~ N 0, ) COROLÁRIO : Se ( (II) z e ( z z) são depedetes (III) ( z z) ~ s = ( ) é a varâca amostral de uma N(µ,σ ), etão ( ) s U = tem uma dstrbução χ. σ EXERCÍCIO 6: a) Prove o resultado 6. b) Prove o coroláro do resultado 6. DEF. 8: DISTRIBUIÇÃO I Se a v.a X tem a desdade abao, etão X é defda como uma v.a com dstrbução I com ν e ν graus de lberdade. υ + υ υ Γ ( υ ) f X ( ) = υ υ υ υ υ + υ > 0 υ Γ Γ [ + ( ) ] υ RESULTADO 7: Seja U uma v.a com dstrbução χ com ν graus de lberdade e seja V uma v.a χ com ν graus de lberdade, v.a s depedetes. Etão a v.a X= tem dstrbução I com ν e ν graus de lberdade. COROLÁRIO: Se [X, X,...,X m+ ] é uma a.a. de tamaho m + de uma população N( µ σ ) e se [Y, Y,..., Y + ] é uma a.a. de tamaho + de uma população,, σ y y N( µ ) e se as duas amostras são depedetes, etão : U υ V υ m + ( ) + ( U = ~ χ m, V = σ y y) σ ~ χ, tal que EXERCÍCIO 7: a) Prove o resultado 7 b) Prove o coroláro do resultado 7. ( ) ( y y) / m / ~ I m,. RESULTADO 8: Seja X uma v.a I υ,υ, etão : υ E(X) = υ > e V(X) = υ υ υ ( υ ( υ + υ ) ( υ ) 4) υ > 4 0

EXERCÍCIO 8: Prove o resultado 8. CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO F ) Dstrbução Assmétrca; ) Depede de m e para sua caracterzação; ) Há uma relação etre t k e F (;k) : t k = F (;k) v) Esperaça e Varâca ( m + ) E[] = ; ( > ) e V[] = m( ) ( 4) v) F - (m;) = Fα ( ; m) ; ( > 4) APLICAÇÕES - Aálse de Varâca (ANOVA) - Teste de Homogeedade de Varâcas DEF.9: DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT A dstrbução "t" estuda os casos de pequeas amostras (<30) e/ou quado se descohece a varâca populacoal (σ ). Assm, faz-se ecessáro estmar σ através da estatístca S, fução da a.a. X ;...;X. O Teorema do Lmte Cetral mostra que a dstrbução amostral da méda tem dstrbução N(µ; σ /), quado é grade. Logo, a estatístca Z Z = X µ σ ~ N(0;) Agora, se usarmos a estatístca S e for pequeo, Z ão terá mas dstrbução Normal. Qual será será etão a ova dstrbução? O estatístco W.S.Gosset ("The Probable Error of Mea" Bometrka,.908), sob pseudômo de Studet, obteve uma dstrbução eata para ova estatístca, deotada por "t"de Studet: t = X µ ; S um estmador mparcal de σ. S Esta dstrbução é defda pela razão etre uma v.a com dstrbução Normal Padrão e

a raz quadrada de uma v.a com dstrbução Qu-quadrado, ou seja, X = Z U υ, com Z e U depedetes. Desta forma X tem dstrbução t de Studet com f.d.p : Γ[( υ + ) / ] f X ( ) = ( υ + ) / υ υπ Γ + υ RESULTADO 9: Se Z ~ N(0,) e U ~ χ Z ν e são depedetes, etão X = ~tν. EXERCÍCIO 9: Prove o resultado 9. RESULTADO 0: Se X é uma v.a com dstrbução t ν, etão: U υ E(X) = 0 e V(X) = υ, υ >. υ EXERCÍCIO 0: Prove o resultado 0. Algumas fuções geradoras de mometo (f.g.m.): 0) Normal M (t) = e ( µ. t + ½. σ. t ) Ν(0;) M (t) = e t = E(e t ) 0) Qu-quadrado M (t) = t 03) t de Studet Não este!! k 04) F de Sedecor Não este!!, t < ½ Outros resultados: ΣBeroull ~Bomal ΣPosso ~Posso (Σ λ) ΣEpoecal ~Gamma (; λ)

II SUFICIÊNCIA. INTRODUÇÃO CONCEITO Dada uma população com f.p. ou f.d.p pertecete a classe f θ = {f X ( θ ) ; θ Θ} ode Θ é o espaço paramétrco, um estmador ou uma estatístca, T = t(x,x,...,x ), pode ser terpretada como o procedmeto destado a retrar da a.a., (X,X,...,X ), formação sobre o valor descohecdo do parâmetro θ. Esta estatístca estdo, é chamada de sufcete para θ. Assm uma estatístca sufcete permte um resumo das formações trazdas pela amostra, ou seja, resume os dados sem perder ehuma formação sobre o parâmetro θ. Portato, cohecda uma estatístca sufcete, os dados da amostra passam a ser rrelevates, pos ada mas dzem sobre θ, fcaram eaustos quado se calculou a estatístca T sufcete.. DEFINIÇÃO: ESTATÍSTICA SUFICIENTE: Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da população com f.p. ou f.d.p a classe f θ = {f X ( θ); θ Θ}; uma estatístca T é sufcete para θ se e somete se a dstrbução de (X, X,..., X ) codcoada por T=t ão depeder de θ, para qualquer que seja o valor t do domío de T. EXERCÍCIOS : ) Seja [ X, X, X 3 ] uma a.a. de uma população de Beroull com parâmetro θ. a) A v.a. X é dscreta ou cotíua? Por quê? X ~b(; θ) f X ( )= θ ( θ ), Ι (0;) () Dscreta, pos seu domío é um cojuto eumerável fto. b) Qual o espaço amostral da amostra X ; X ;X 3? N S = = 3 = 8 S = {(0;0;0); (0;0;);...;(;;)} c) Qual a dstrbução de prob. cojuta de [X ; X ;X 3 ]? ( ) ( ) f X;...; X ( ; ) = f *...* f θ ( θ ) θ = θ ( θ )... θ ( θ ) = θ ( θ ) d) Qual o espaço amostral de θ (espaço paramétrco)? θ = {θ: 0 < θ < } 3

e) Seja a estatístca T=ΣX, represetado o de sucessos do cojuto de observações. Qual a dstrbução da v.a. T? f T (t) = t t θ ( θ ) t Prove através da fução geradora de mometos (f.g.m.) Ber. = M (t) = θ + (-θ)e t B.= M (t) = [θ + (-θ)e t ] f) Qual a prob. de ocorrêca do resultado { ; ;...;.} codcoado à T=t? P[X/T=t] = P[X = ;...;X = /T=t] = θ ( θ ) t t θ θ t ( ) = t } P[X =,..., X = / T = t] P[T = t] = g) A Est. T= Σ é sufcete para (estmar) θ? Como P[/ Σ = t] = SUFICIENTE!! ão depede de θ, etão T é uma ESTATÍSTICA t ) Na stuação do eercíco ateror, seja T 0 = X + X 3. a) Qual a dstrbução de T? T ~b(; θ) b) A estatístca T é sufcete? P[X =,X =,X 3 = 3 / X + X 3 = t] P[/T=t] = P[T = t] = θ θ θ θ θ t θ ( t ) ( ) ( ) ( ) t t = θ ( θ ) t = 4

= θ θ 3 ( ) t θ θ t ( ) + t ( + t ) t = θ ( θ ) t ; Portato T ão é sufcete! 3) INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM: Uma máqua produz tes sucessvamete. Cada tem produzdo é bom com probabldade θ e defetuoso com probabldade -θ, ode θ é um parâmetro descohecdo. Supoha que ão há depedêca etre a qualdade dos tes produzdos e seja X = se o -ésmo tem é bom e X = 0 em caso cotráro. a) Qual a dstrbução de probabldade da v.a X? b) Qual a dstrbução de probabldade da v.a T = c) Determe a dstrbução cojuta de X = [X, X,..., X ]. d) Verfque se a estatístca T = X X? é sufcete para θ. 4) No coteto do eercíco, verfque se a estatístca S = X.X + X 3 é sufcete para estmar θ, segudo a seqüêca de tes segute: a) Qual o cotradomío da v.a S? Relacoe os evetos e o cotradomío de S. b) Calcule P (X =,X =,X 3 = 3 ) para todos os 8 termos [X,X,X 3 ]. Costrua uma tabela que mostre tudo que é peddo. c) Calcule P(S=0), P(S=) e P(S=), ou seja, determe a dstrbução de probabldade de S, P(S=s). Costrua uma tabela que mostre os valores. d) Calcule a dstrbução cojuta de X = [X,X,X 3 ] codcoada a S = s. e) Qual a coclusão que se pode trar sobre S? 5) Seja [X, X,..., X ]uma a.a. de uma população Posso P(θ) ode θ > 0. Mostre dretamete que X é uma estatístca sufcete para θ, respodedo os tes : a) A v.a X é dscreta ou cotíua? Por quê? b) Escreva a f.p. da v.a X. c) Escreva a f.p. cojuta para = [X, X,..., X ]. d) Calcule a probabldade cojuta de X, codcoada a T = t. e) O que se coclu sobre T = X. 5

.3 TEOREMA DE NEYMAN-FISHER OU TEOREMA DA FATORIZAÇÃO Seja uma a.a. [X, X,...,X ] de uma dstrbução f(;θ), θ Θ. A estatístca T(X) é sufcete para θ se e somete se este fução g(t, θ), defda para todo t e para todo θ Θ, e h(x) defda em R tal que : P(X,θ) = g(t(x),θ).h(x) Eemplos: 0) X ~Beroull (θ); amostra = [,, 3 ]. T=ΣX é sufcete? ( θ = 3 ) ( θ ) θ ( θ ) θ ( θ 3 θ = = = ) = ( θ ) f, X f,. ~ ~ θ 3 g t h ( ; θ ) =.( θ ) ( ;...; ) θ θ = 3 depede da amostra apeas atravé s de t. depede de θ, assm T é sufcete 0) X ~N(θ;σ ), - < θ < +, σ cohecdo. f X ( ) = e πσ Pelo teorema tem-se: ( θ ) θ ( ) σ ( X θ ) ( X θ ) * f X ;. e. e ~ ~ π σ σ σ = = = = π σ Mas Σ(X-θ) = Σ[(X-X )-(θ -X )] = Σ[(X-X ) -(X-X )(θ -X )+(θ -X ) ]= = Σ(X-X ) -Σ(X-X )(θ -X )+Σ(θ -X ) = Σ(X-X ) +(θ -X ) * ( θ) = = [ ( X X ) + ( θ X ) ] * σ f X ;. e = g( t; θ). h( ;...; ) = ~ ~ πσ = X é uma estatístca sufcete para θ. EXERCÍCIOS: 6

)PROCESSO DE POISSON Supoha que as chegadas de cosumdores em um servço sejam cotadas segudo um Processo de Posso com parâmetro de chegada θ. Seja X o tempo de espera até a chegada do -ésmo cosumdor. a) Qual a dstrbução do tempo de espera X? b) Escreva de maera formal a f.d.p da v.a X. c) Escreva a f.d.p da v.a X usado a fução dcadora I, que vale quado X > 0 e 0 em caso cotráro (cotradomío de X ). d) Qual a fução desdade cojuta da a.a. (X, X,...,X ) da população X ~ E (θ)? e) Verfque se a estatístca T = Neyma-Fsher. ) Seja ( X, X,..., X ) a.a. de uma população com f.p. P (θ). X é sufcete para θ, usado o Teorema de a) Escreva a f.p. da varável aleatóra X. b) Escreva a f.p. da v.a X, usado a fução dcadora I (que descreverá o cotradomío de X). c) Qual a f.p. cojuta da a.a. [ X, X,..., X ]? d) Determe usado o teorema de Neyma-Fscher a estatístca sufcete para θ. 3) Seja [X, X,..., X ] uma a.a. de uma dstrbução N (0, θ ), 0 < θ <. a) Escreva a f.d.p da varável aleatóra X. b) Escreva a f.d.p da v.a X usado a varável dcadora I para o seu domío. c) Qual a fução de desdade cojuta da a.a. [X,X,...,X ]? d) Qual a estatístca sufcete para θ? 4) Seja [X, X,..., X ] uma a.a. de tamaho de uma dstrbução geométrca com parâmetro θ, G(θ). a) Escreva a f.p. da varável aleatóra X. b) Escreva a f.p. da varável aleatóra X, usado a varável dcadora para o seu cotradomío. c) Qual a f.p. cojuta da a.a. (X, X,..., X )? d) Determe a estatístca sufcete para estmar θ. 5) Seja [X, X,...,X ] uma a.a. de uma dstrbução U [0, θ]. a) Escreva a f.d.p da varável aleatóra X. b) Escreva a f.d.p da v.a X usado a varável dcadora I para o seu cotradomío. c) Qual a fução desdade cojuta da a.a. [X,X,...,X ]? d) Determe a estatístca sufcete para θ. 7

6) Seja [X,X,...,X ] a.a., ode X é uma v.a..d. N(µ,σ ), com ambos os parâmetros descohecdos. Seja θ = [µ,σ ]. a) Escreva a f.d.p da varável aleatóra X. b) Escreva a f.d.p da varável aleatóra X usado a varável dcadora I para o seu cotradomío. c) Qual a fução de desdade cojuta da a.a. (X,X,...,X )? d) Determe usado o T. de Neyma-Fscher a estatístca sufcete para θ = [µ,σ ]..4 FAMÍLIA EXPONENCIAL UNIPARAMÉTRICA Uma v.a. em R possu dstrbução da famíla epoecal uparamétrca se a sua f.p. ou f.d.p é da forma f( θ) = ep{c(θ)t() + d(θ) + S()}.I A (), ode θ Θ, tervalo aberto de R e o cojuto A = { f( θ) > 0 } é depedete de θ. EXEMPLO :A dstrbução bomal, b(,θ), pertece a famíla epoecal, pos : f( θ) = θ ( θ ) = ep l + lθ + ( ) l( θ ) I * N () = ep l + lθ + l( θ ) l( θ ) I * N () θ f( θ) = ep l + l + l( θ ) I ( ) N θ θ f( θ) = ep l + l( θ ) + l I ( ) N 4 43 4 43θ d ( θ ) 3 T ( ) S ( ) EXEMPLO : A dstrbução U [0, θ] ão pertece a famíla epoecal, pos : f X () = 0 X θ θ f X () = ep{-lθ} ão correspode a forma de famíla epoecal, uma vez que o lmte a etremdade b depede de θ. Se [X, X,...,X ] é uma a.a. de uma população com f.p. ou f.d.p da famíla epoecal, etão a estatístca T(X) é uma estatístca sufcete para θ, pelo Teorema de Fatorzação. EXERCÍCIOS: ) Seja [X, X,...,X ] uma a.a. de uma dstrbução ormal N(µ,θ) com µ fo e cohecdo. a) Escreva a fução desdade de probabldade cojuta. b) Escreva a f.d.p cojuta a forma da famíla epoecal. c) Idetfque as fuções c(θ), T(), d(θ) e S(). 8

d) Qual a estatístca sufcete para θ? ) Supoha [X, X,...,X ] uma a.a. de uma população com uma das segutes desdades. Ache a estatístca sufcete para θ, com a fo, e detfque c(θ), T(), d(θ) e S(). a) Beta(θ,) b) Webull(θ,a) c) Paretto (θ,a).5 FAMÍLIA EXPONENCIAL K-PARAMÉTRICA A famíla de dstrbuções {P θ ; θ Θ} é dta famíla epoecal com k parâmetros ou k-paramétrca, se estem as fuções de valor real c, c,..., c K e d(θ), e ada T, T,..., T K fuções de varável real, e também S, defdas em R e um cojuto A R tal que a f.d.p (ou f.p.) de P θ pode ser escrta a forma : K p(,θ) = ep c ( θ ) T ( ) + d( θ ) + S( ) I A ( ) e pelo Teorema da Fatorzação o vetor T() = [T (),..., T K ()] é sufcete para θ = (θ, θ,..., θ K ). EXERCÍCIOS : ) Seja ( X, X,..., X ) uma a.a. de uma dstrbução N(µ,σ µ ), ode θ =. σ a) Qual o espaço paramétrco do parâmetro θ? b) Escreva a f.d.p de X. c) Escreva a f.d.p cojuta da amostra. d) Escreva a f.d.p cojuta a forma da famíla epoecal. e) Qual a estatístca sufcete para θ? α ) Seja (X,X,...,X ) uma a.a. de uma dstrbução Γ(α,β), ode θ = é o vetor de β parâmetros. a) Qual o espaço paramétrco de θ? b) Escreva a f.d.p da v.a X. c) Escreva a f.d.p cojuta da amostra. d) Escreva a f.d.p cojuta a forma da famíla epoecal e detfque c (θ), T (), d(θ) e S(). e) Qual a estatístca sufcete para θ? 9

III MODELOS PARAMÉTRICOS 3. CONCEITO Quado se usa a desgação paramétrco, o sgfcado do termo é o de que a forma da f.p. ou f.d.p da v.a. fo especfcada a pror e ão é posta em questão. Além dsto tem-se que: as ferêcas dzem respeto a um úmero fto de parâmetros; as ferêcas depedem da forma especfcada para a f.d.p. ou f.p. 3. DEFINIÇÕES a. ) Espaço paramétrco Θ é o cojuto de todos os valores que o parâmetro θ pode assumr. a. ) Uma parametrzação é chamada detfcável quado para parâmetros dferetes tem-se f.d.p s ou f.p s dferetes ou seja para θ θ tem-se Pθ P θ. EXEMPLO No modelo X ~ N(θ,σ ), o parâmetro θ possu o espaço paramétrco Θ = {θ θ R}. EXEMPLO O modelo X ~ N(µ,σ ) tem o parâmetro θ = [µ,σ ] com espaço paramétrco Θ = {(µ,σ ) < µ <, σ > 0} EXERCÍCIOS ) Uma geólogo mede os dâmetros de um grade úmero,, de seos em um leto de um racho. Cosderações teórcas o coduz a acredtar que o logartmo do dâmetro da pedra possu dstrbução N(µ,σ ). Ele deseja usar suas observações para obter alguma formação sobre µ e σ, mas ão tem cohecmeto ehum da magtude dos dos parâmetros. 0 a) Escreva se o modelo a ser usado pelo geólogo é paramétrco ou ão e o porquê. b) Escreva o espaço paramétrco do parâmetro θ = (µ,σ ). c) Sabedo-se que uma parametrzação é chamada de detfcável quado para θ θ tem-se f(, θ ) f(, θ ), escreva se a parametrzação do modelo é detfcável. ) Seja [X, X,...,X ] determações de uma costate µ (físca). Um modelo sugerdo para a v.a. X é X = µ+ε, =,,...,, ode ε pode ser cosderado como erro de medda (strumeto, pessoa, etc.). A costate físca é cohecda a Físca como o verdadero valor. As codções para ε são : ª ) A dstrbução de ε é depedete de µ ; ª ) A dstrbução de ε é smétrca e cotíua em toro de 0 ; 3ª ) Os ε são detcamete dstrbuídos ; 4ª ) ε é depedete de ε j para j ;

5ª ) ε ~ N(0,σ ); 6ª ) σ é cohecda (varâca da população). Pede-se: a) O modelo é paramétrco? b) A parametrzação é detfcável? c) Supodo que o strumeto de medda seja vcado para o lado postvo por 0,. A parametrzação é detfcável? d) Supodo que o strumeto de medda seja vcado, mas com víco b descohecdo. O modelo é detfcável? e) Qual o espaço paramétrco de θ, descosderado as suposções dos tes c e d ; descosderado somete o tem d e ão descosderado tem ehum? 3) O úmero de ovos postos por um seto segue uma dstrbução de Posso com meda λ descohecda. Uma vez botado, cada ovo tem uma chace descohecda p de chocar e o ato de chocar um ovo é depedete do chocameto dos outros. Um etomologsta estuda o cojuto de de tas setos, observado ambos o úmero de ovos botados o úmero de ovos chocados para cada ho. a) modelo é paramétrco, por quê? b) Escreva o espaço paramétrco do parâmetro (λ,p). c) A parametrzação é detfcável? d) Qual a epressão da fução dstrbução de probabldade correspodete a cada uma das v.a s evolvdas o estudo? IV ESTIMAÇÃO 4. ESTIMAÇÃO POR PONTO A estmação potual (por poto) cosstrá smplesmete em, à falta de melhor formação, adotar a estmatva dspoível como sedo o valor do parâmetro. A déa é, em sua essêca, etremamete smples, porém a qualdade dos resultados rá depeder fudametalmete da coveete escolha do estmador. Assm, detre os város estmadores razoáves que poderemos magar para um determado parâmetro, devemos ter a preocupação de escolher aquele que melhor satsfaça às propredades de um bom estmador. Cosdere a famíla das f.d.p. ou f.p. {f X (,θ) θ Θ}. Pode ocorrer do epermetador ecesstar selecoar um membro desta famíla como sedo a f.d.p. ou f.p. da varável aleatóra X. Isto é, ele ecessta de uma estmatva por poto do parâmetro θ. Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da dstrbução que tem como f.d.p. (f.p.) um membro da famíla {f X (,θ) θ Θ}. Nosso problema é defr uma estatístca T(X) de maera que [X, X,...,X ] são os valores epermetas observados, etão o úmero T(X) é uma boa estmatva potual de θ.

EXEMPLO : Seja [X, X,...,X ] uma a.a. da dstrbução com f.d.p.. f ( ) = θ ( θ ) = 0, A estmatva T(X) = = é um bom estmador do parâmetro θ. 4.- PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES PARAMÉTRICOS 4..- Cosstêca DEF. Um estmador T (X) é cosstete para estmar o parâmetro θ quado, a medda que, se aumeta o tamaho da a.a., cosegue-se uma maor precsão a estmatva ou seja, para T (X) = T(,,..., ) e um ε, real postvo arbtraramete pequeo, > tem-se P(θ-ε < T < θ+ε)>p(θ-ε < T < θ-ε). Assm um estmador T (X) é dto cosstete se, DESIGUALDADE DE TCHEBYCHEV lm P( T -θ < ε)= ε > 0 V ( X ) P[ X E(X) λ] λ V ( X ) P[ X E(X) < λ] - λ λ > 0 λ > 0 EXERCÍCIO : Prove que a méda amostral,, de uma a.a. de uma população (dstrbução) com méda µ e varâca σ é estmador cosstete do parâmetro µ.. TEOREMA DAS CONDIÇÕES PARA CONSISTÊNCIA DE UM ESTIMADOR As codções geras para cosstêca de um estmador são: lm E[T (X)] = θ lm V[T (X)] = 0 são sufcetes para que a estatístca T () seja estmador cosstete do parâmetro θ. EXERCÍCIO Verfque aplcado as codções dadas o teorema ateror e também o coceto de covergêca em probabldade se os estmadores segutes são cosstetes. a) X ~ N(µ,σ ), T (X) = como estmador de µ (parâmetro méda populacoal) b) X ~ N(µ,σ ), T (X) = s = populacoal). ( ) como estmador de σ (parâmetro varâca

c) X ~R(θ ) Dstrbução Rayleg, T () = d) X~ Γ(4,/θ), T () = 4 como estmador de θ. para o parâmetro θ 4...- Estmadores Não-vcados DEF. : Quado estmamos o parâmetro θ ou uma fução do parâmetro, q(θ), usado como estmador a estatístca T(X), ode X = [X, X,...,X ] é uma a.a., temos que uma medda do desempeho do estmador pode ser dada pelo erro médo quadrátco: 3 R(θ,T) = E[T(X) q(θ)] Que pode ser colocada a forma R(θ,T) = V(T(X)) + b (θ,t), ode b (θ,t) é o quadrado do víco do estmador para o parâmetro θ. EXERCÍCIO 3 Prove que o erro médo quadrátco, defdo acma como a esperaça do quadrado do desvo da estatístca em relação ao parâmetro, pode ser decomposto a forma acma especfcada. É mportate observar que: A varâca V(T(X)) mede como os valores de T(X) estão dspersos em toro do cetro E(T(X)), sto defe a precsão da estatístca. O víco b(t,θ) = E(T(X) q(θ) mede quato e em qual dreção o cetro da dstrbução de T(X) (valor esperado) está fora do verdadero valor q(θ), sto defe a acuráca da estatístca. DEF. 3 Se a estatístca T(X) que estma o parâmetro q(θ) é tal que R(θ,T) = V(T(X)), etão T(X) é chamado de estmador ão vcado de q(θ). DEF. 4 Dados os estmadores T(X) e S(X) do parâmetro q(θ), S(X) será estmador admssível de q(θ) se R(θ,T) < R(θ,S) θ Θ. EXERCÍCIO 4: Supoha que X seja uma a.a. de tamaho de uma população N(µ,σ ) e cosdere os estmadores dos parâmetros µ e σ, respectvamete e σˆ = a) Calcule o valor da esperaça e varâca de. b) Calcule o víco e o erro médo quadrátco de. c) Calcule o valor da esperaça e varâca de σˆ. d) Calcule o víco e o erro médo quadrátco de σˆ. ( ).

EXERCÍCIO 5: Supoha que [X,X,...,X ] seja uma a.a. de uma população P(θ). a) Verfque se o estmador do parâmetro θ é ão vcado. b) Este algum outro estmador ão vcado para θ? Qual? EXERCÍCIO 6: Supoha que [X,X,...,X ] seja uma a.a. de uma população b(,θ). a) Verfque se o estmador do parâmetro θ (proporção de sucessos) é ão-vcado. b) Verfque se o estmador s = populacoal) é ão-vcado. ( ) do parâmetro σ = θ(-θ) (varâca EXERCÍCIO 7: Supoha que [X,X,...,X ] seja uma a.a. de uma população N(µ,σ ). Determe um estmador sufcete, ão-vcado e cosstete para cada um dos parâmetros µ e σ (cosdere os casos de µ cohecdo ou ão). EXERCÍCIO 8: Supoha que [Y,Y,...,Y ] seja uma a.a. de uma população b(,θ). Determe um estmador sufcete, ão-vcado e cosstete para cada um dos parâmetros µ = θ e σ = θ(-θ) que correspodem a méda e a varâca da v.a. Y que cota o úmero de sucessos essas provas Beroull. OBS. Uma propredade fudametal dos estmadores é a sufcêca que fo abordada aterormete e outra fudametal é a da efcêca ou varâca míma que será vsta adate. EXERCÍCIO 9: Descreva as quatro propredades fudametas dos estmadores: sufcêca, cosstêca, ão-tedecosdade e efcêca (estmador de varâca míma). 4.3 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO A evolução da Estatístca através do tempo provocou o aparecmeto de váras metodologas para costrução de estmadores de parâmetros. 4.3. Método da Máma Verossmlhaça (Fsher) Este método fo desevolvdo por Fsher a partr de uma déa orgal de Gauss. Seja a a.a. X = [X,X,...,X ] de uma população (dstrbução), com X..d., e com f.p. ou f.d.p. pertecete a famíla p(,θ) θ Θ e se deseja estmar o parâmetro θ. A fução cojuta p(x,θ) represeta a probabldade (ou a f.d.p.) de ocorrer o vetor X = [X,X,...,X ], quado o valor do parâmetro é θ. Assm poderíamos far a amostra X e procurar o valor de θ que mamza a probabldade de ocorrer esta amostra X. 4

DEF. 5: O estmador θˆ (X) é o estmador de máma verossmlhaça (EMV) de θ, quado p[x, θˆ (X)] = ma p(x,θ) θ Θ. EXEMPLO Supoha que θ pode assumr os valores ou 0 e que p(,θ) é dada pelo quadro abao: θ 0 0 0,3 0,6 0,7 0,4,0,0 O estmador EMV de θ quado = 0 é θˆ () =, porque mamza a probabldade de = 0 ocorrer (0,6); O estmador EMV de θ quado = é θˆ () = 0, porque mamza a probabldade de = ocorrer (0,7). DEF.6: FUNÇÃO DE VEROSSIMILHANÇA A fução p(θ,x) é chamada de fução de verossmlhaça quado a fução da dstrbução famos o valor de X e fazemos varar θ, de forma que L(X,θˆ (X)) = p(x,θˆ (X)) = ma{p(x,θˆ (X); θ Θ} = L(X,θˆ (X,θ)). CÁLCULO DO ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA Para determar o EMV do parâmetro θ basta achar o valor de θ que mamza a fução p(x,θ), fado X. Como a fução λ (p(x,θ)) é ão decrescete (moótoa crescete), mamzar p(x,θ) é o mesmo que mamzar λ [p(x,θ)]. Assm, se o EMV θˆ este, λ[ p(, θ )] deve verfcar = 0, uma vez que se supõe que esta dervada parcal em θ relação a θ. EXERCÍCIO 9 Seja X = [X,X,...,X ] uma a.a. de uma dstrbução b(,θ). a) Escreva a f.p. da v.a. X ; b) Escreva a dstrbução (cojuta) da amostra; c) Escreva a fução de verossmlhaça da a.a.; d) Qual o valor de θ que mamza a fução de verossmlhaça? OBS. Nem sempre é possível achar o EMV por dervada, etão temos que aalsar a fução (fução ão-crescete). EXERCÍCIO 0 Seja a v.a. X ~ U(0,θ), ode θ é um parâmetro postvo e descohecdo. Determe o EMV de θ. EXERCÍCIO : Seja X o úmero de cosumdores que chegam em um Servço e que são observados por hora, em horas. Se as chegadas formam um Processo de Posso, etão X ~ P(θ), ode θ represeta o úmero esperado de chegadas em uma hora ou equvaletemete, a taa 5

de chegadas. Na prátca θ é descohecdo e ós desejamos estma-lo, usado os valores observados de X (amostra). Determe o EMV de θ. EXERCÍCIO Seja X uma característca físca de teresse que segue a dstrbução N(µ,σ ). Supoha que ão se cohece os parâmetros µ e σ, e se deseja estma-los com base o cojuto de observações X = [X,X,...,X ]. Determe os estmadores EMV destes parâmetros. 4.3. Métodos dos Mometos (K. Pearso) Seja uma a.a. X = [X,X,...,X ] de uma população com f.p. ou f.d.p. depededo de k parâmetros θ,θ,... θ k. Os mometos ordáros da população m j = j f (, θ,θ,... θ k )d, se estrem, são fuções dos k parâmetros m j = f(θ,θ,... θ k ) j =,,3,... Cosdere, também, os mometos ordáros da amostra, M j = forme o sstema de equações: M j = m j = f(θ,θ,... θ k ) j =,,3,... j j =,,3,..., e admta que tem solução úca, θˆ j (X,X,..., X ) j =,,3,...,k. Etão, estes k estmadores, solução do sstema de equações, são os estmadores dos parâmetros pelo Método dos Mometos. OBS. Os estmadores obtdos pelo Método dos Mometos são em geral cosstetes e possuem dstrbução asstótca Gaussaa, porém ão são asstotcamete mas efcetes do que os estmadores de máma verossmlhaça. EXERCÍCIO 3: Seja X = [X,X,...,X ] amostra aleatóra de uma população Beroull, b(,θ). Determe o estmador de θ pelo Método dos Mometos. EXERCÍCIO 4 Seja X = [X,X,...,X ] amostra aleatóra de uma população Γ(α,β). Determe os estmadores dos parâmetros pelo Método dos Mometos. EXERCÍCIO 5 Cosdere sstemas com tempos de falha X = [X,X,...,X ]. Assumdo que as v.a s X são..d. com dstrbução ε(θ), determe: a) O estmador de θ pelo Método dos Mometos; b) Um estmador de θ dferete do ateror; c) Um estmador da probabldade P(X > ); d) Um estmador da probabldade P(X <). 6

4.3.3. Método dos Mímos Quadrados (Gauss) Toda observação aleatóra pode ser escrta a forma do modelo Y = g (θ,θ,..., θ k ) + ε =,,...,, ode a prmera parcela correspode a parte sstemátca do modelo e a seguda parcela é a parte estocástca. As fuções g são cohecdas e os úmeros reas θ,θ,...,θ k são descohecdos (parâmetros), podedo varar lvremete o cojuto Θ R k. A parte estocástca ε deve satsfazer pelo meos apromadamete as segutes restrções: ε é uma v.a. com E(ε ) = 0 =,,... ε é uma v.a. com varâca costate V(ε ) = σ =,,..., Os erros ε são ão-correlacoados, cov(ε, εj) = 0. O método cosste em estmar θ pelo estmador que mmza a Soma dos Quadrados do Erros (resíduos): SQR = ( Y - g (θ,θ,..., θ k )) = ε Os estmadores de mímos quadrados são obtdos resolvedo o sstema de equações: [ y g ( θ )] = 0 j =,,...,k θ Estas equações são deomadas de equações ormas. EXERCÍCIO 6 Seja o modelo lear especfcado por Y = θ + θ X + ε Determar os estmadores de mímos quadrados dos parâmetros θ e θ, com base em observações (Y, X ). EXERCÍCIO 7 Resolver o eercíco ateror cosderado um modelo geérco com p parâmetros e > p observações. Assuma o tratameto matrcal. EXERCÍCIO 8 Foram tomadas = 9 amostras de um solo (cateros) que foram tratadas com dferetes quatdades X de fósforo. Seja Y a quatdade de fósforo presete em semetes de platas, de 38 das, crescdas os dferetes cateros. Os dados estão abao. a) Determe as estmatvas dos parâmetros θ e θ da reta de mímos quadrados com que se pretede fazer a regressão de Y para X; b) Determe a estmatva de máma verossmlhaça do coefcete de correlação ρ que mede a assocação etre X e Y, assumdo que Y e X têm dstrbução Gaussaas. c) Desehe um esboço do Dagrama de Dspersão etre X e Y. 7

4.4 ESTIMADORES NÃO-VICIADOS UNIFORMEMENTE DE MÍNIMA VARIÂNCIA (UMVU) E INTERVALOS DE CONFIANÇA 4.4. Estatístcas Completas A uma estatístca T (X), ós podemos acrescetar ao coceto de sufcêca (devdo a Fsher) o coceto de complettude (devdo a Lehma e Scheffé) e afrmar que ela é uma estatístca ótma. DEF.7: Famíla completa de desdades: Seja [X,X,...,X ] uma a.a. da desdade f(.,θ) com espaço paramétrco Θ, e seja T = t(x) uma estatístca. A famíla de desdades de T é defda como completa se e somete se E θ [z(t)] 0 θ Θ mplca em P θ [z(t)=0] = θ Θ, ode z(t) é uma estatístca. E, também, uma estatístca é dta ser completa se e somete se sua famíla de desdades é completa. DEF.8: Uma estatístca T (X) é dta ser completa se a fução de valor real g(t (X)) = g(t) defda a varação de T que satsfaz a equação E θ [g(t)] = 0 θ Θ é a fução g(t) = 0. EXEMPLO: Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma dstrbução Beroull, b(,θ). A estatístca T = X X ão é completa, pos E θ [X -X ] = 0 θ Θ, mas X X ão é 0 com probabldade. EXERCÍCIO 9 Cosdere o eemplo ateror e a estatístca T = X. Seja z(t) uma estatístca que é fução de T e E θ [z(t)] 0 θ Θ. Prove que T é completa, mostrado que z(t) = 0 para t = 0,,...,. TEOREMA DE RAO-BLACKWELL Seja [X,X,...,X ] uma a.a. da desdade f(.,θ), e seja S = s (X), S = s (X),...,S k = s k (X) um cojuto de estatístcas cojutamete sufcetes. Seja a estatístca T = t(x) um estmador ão-vcado de q(θ). Defa T por T = E[T S,S,...,S k ], etão: T é uma estatístca e é uma fução de estatístcas sufcetes S,S,... S k ; E θ [T ] = q(θ), sto é T é um estmador ão-vcado de q(θ); V θ [T ] < V(T) θ Θ e V θ [T ] < V(T) para algum θ a meos que T seja gual a T com probabldade. EXERCÍCIO 0 Prove o resultado eucado acma. EXERCÍCIO Seja [X,X,...,X ] uma a.a. da desdade Beroull, b(,θ). E, seja X um estmador de 8

q(θ)= θ que será assumdo como T = t(x) o Teorema de Rao-Blackwell. estatístca sufcete para θ, assm usar-se-á S = X X é uma como o cojuto de estatístcas sufcetes (de um elemeto). Etão, de acordo com o Teorema de Rao-Blackwell T = E[T S] = E[X X ] é um estmador ão-vcado de θ com varâca ão maor do que a de T = X. Mostre que a varâca de T é meor que a varâca de T = X. TEOREMA DA FAMÍLIA EXPONENCIAL PARA ESTATÍSTICAS SUFICIENTES E COMPLETAS Seja {P θ θ Θ} uma famíla epoecal k-paramétrca dada por p(,θ) = {ep[ c ( θ ) T ( ) + d( θ ) S( )]} I ( ). Supoha que a varação de c = [c (θ),c (θ),... + A,c k (θ)] teha um teror ão-vazo. Etão T() = [T (), T (),...,T k ()] é uma estatístca sufcete e completa. EXERCÍCIO Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma população N(µ,σ ) ode os parâmetros são descohecdos. Mostre que a estatístca T() = [ 4.4. Estmadores UMVU TEOREMA DE LEHMANN-SCHEFFÉ X, X ] é sufcete e completa. Se T(X) é uma estatístca sufcete e completa e S(X) é um estmador ão-vcado de q(θ), etão T * (X) = E[S(X) T(X)] é um estmador UMVU de q(θ). Se V θ (T * (X) < θ Θ, T * (X) é o úco estmador UMVU de q(θ). Podemos usar o Teorema de Lehma-Scheffé a busca de estmadores UMVU de dos modos: Se ós podemos achar uma estatístca uma estatístca da forma h[t(x)] tal que h[t(x)] seja um estmador ão-vcado de q(θ), etão h[t(x)] é UMVU para q(θ). Porquê, sto é verdade? Se ós podemos achar algum estmador ão-vcado S(X) de q(θ), etão E[S(X) T(X)] é UMVU para q(θ). EXERCÍCIO 3 Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma população N(µ,σ ) ode os parâmetros são descohecdos. Determe os estmadores UMVU de µ e σ. 9

EXERCÍCIO 4 Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma população ε(θ) ode o parâmetro θ é descohecdo. a) Escreva a f.d.p da v.a. X ; b) Escreva a f.d.p. da v.a. X a forma da famíla epoecal; c) Escreva a f.d.p. da a.a. ; d) Escreva a f.d.p. da a.a. a forma da famíla epoecal; e) Idetfque alguma estatístca sufcete e completa para estmar θ; f) Determe um estmador UMVU para θ. EXERCÍCIO 5 Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de dcadores de provas bomas com probabldade θ de sucesso. a) Escreva a f.d.p da v.a. X ; b) Escreva a f.d.p. da v.a. X a forma da famíla epoecal; c) Escreva a f.d.p. da a.a. ; d) Escreva a f.d.p. da a.a. a forma da famíla epoecal; e) Idetfque alguma estatístca sufcete e completa para estmar θ; f) Determe um estmador UMVU para θ. EXERCÍCIO 6 Seja [X,X,...,X ] uma a.a. de uma população P(θ) com θ > 0. a) Escreva a f.d.p da v.a. X ; b) Escreva a f.d.p. da v.a. X a forma da famíla epoecal; c) Escreva a f.d.p. da a.a. ; d) Escreva a f.d.p. da a.a. a forma da famíla epoecal; e) Idetfque alguma estatístca sufcete e completa para estmar θ; f) Determe um estmador UMVU para θ. 30