Set Feir Cálculo Diferecil e Itegrl A // Fuções Reis iite de Fuções Código: EXA7 A Tur: EEAN MECAN Prof. HANS-URICH PICHOWSKI
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski Nots de ul Cálculo Diferecil iites de Fuções Sej f ( ) u fução defiid sore lgu itervlo erto que coté o úero " " eceto possivelete o próprio " ". Etão diz-se que o ite de f ( ) qudo tede " " ( ) é e repret-se por se f ( ) < < δ pr todo ε > há u úero correspodete δ > tl que ( ) < ε f sepre que < < δ Eeplo: Provr que ( ) 7 Solução: () Ecotrr u vlor pr δ : < f. isto é se < δ ( ) < ε U álise preir do prole idic que se ε > deve ecotrr-se u δ tl que ( ) 7 < ε sepre que < < δ s ( ) 7 < ε sepre que < < δ isto é ε ε < sepre que < < δ logo δ. () Prov: ε Por tto ddo ε > escolhe-se δ e se < < δ etão ε 7 < δ Assi 7 < sepre que < < δ ( ) ε ( ) ε por tto ( ) 7 N prátic é suficiete sustituir vriável pelo vlor o qul el tede isto é dode Eeplos: ( ) 7 ) 9
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski.. iite de fuções ) ( 7) 7 7 E lgus eeplos o ite ão é tão evidete. Sej fução ( ) f co isto é f ( ) Ideterição f rge todos os úeros reis co eceção de que ul o deoidor e o uerdor. O que sigific que fução é idefiid este poto. Poré o se utilizr Bskr o uerdor ou sej estuddo-se est fução te-se que o doíio de ( ) Assi c ± c. ± 6 8 6 ± 8 6 f ( )( ) ( ) f ( ) 9 99 999 77 797 7997 8 8 8 8 8 Y X f ( ) Poto ( 8 ) deve ser ecluído do gráfico pois quele poto fução é idefiid. O gráfico ostr que pr proido de f ( ) se proi de 8 s se sustituir-se epressão f ( ) ão está defiid quele poto. Dest for te-se que f ( )( ) ( ) 8
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski Nots de ul Cálculo Diferecil Ideterições e deterições de ites Assi eiste certos ites que deve ser cosiderdos coo ideterições ou sej ão te sigificdo e por isto são dits ideterições. Poré ± k ( ) ( ) ( ± ) ± ( ± ) k te sigificdo e por tto são ites deteridos. Eercícios: 6 Ideterição ode sustituição diret ovete ul o deoidor e o uerdor e fução é idefiid este poto. Poré otedo-se s rízes do uerdor ou sej ( )( ) ( ) ( ) 8 E f ( ) o poto ( 8 ) doíio de f ( ) é: : { R / ( ) U ( ) } I : { R / ( 8) U ( 8 ) }. deve ser ecluído do gráfico pois pois o D e te coo ige 8 Y X Proprieddes dos ites ) [ u ± v] ( u) ± ( v) pr u u( ) e v v( )
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski.. iite de fuções ) [ C ( u) ] C ( u) pr u u( ) e C é u costte ) [ u v] ( u) ( v) pr u u( ) e v v( ) ) ( u) ( v) ( u) ( v) pr u u ( ) e v v( ) ) ( u ) ( u) [ ] pr u u( ) 6) u ( u) pr u u( ) 7) ( log u) log ( u) v 8) ( u ) ( u) [ ] pr u u( ) ( v ) [ ] pr u u( ) e v v( ) Eeplos: ) 8 8 9 ) Ideterição Coo tod ideterição deve ser levtd te-se Solução: Deve-se prieirete ecotrr s rízes do poliôio superior isto é ± 6 (Bskr) ± ( )( ) ( )( ) c dode ( z )( z ) z ( z ) Etão deve-se ecotrr s rízes do poliôio iferior isto é z z z ± z ( z )( z )
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski Nots de ul Cálculo Diferecil ssi ( z )( z ) z ( z)( z ) ( z ) z ( z) ) 6 ( )( ) ( ) ) Ideterição Neste cso pr eir ideterição se deve rciolizr o uerdor isto é ( ) ( ). Dest for te-se: [ ][ ] iites otáveis U ite cosiderdo otável é o do o que ocorre porque qudo o âgulo (ou rco) α tede diiuir o vlor do ( ) tede ficr igul este rco e vlor de for que o seu quociete ted pr e o ite otável o cso é iite do o ( α ) α α α ( α ) ( ) S rα > se r ; S α ( ) s 6) Clculr ( ) fz-se t t pr t
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski.. iite de fuções t t ( t) ( t) ( t) t t t t ( ) 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8) t ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos ( ) ( ) iite que defie o úero e O úero "e" usdo coo se do logrito turl é otido pel epressão io. e 97 78 769 78 e 7888K Eeplo: e põe-se z pr z z z z z z z z e 6
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski Nots de ul Cálculo Diferecil 7 iites ifiitos de fuções rciois Se fução for do tipo [ ] ) ( ) ( Q P isto é que é u ideterição. E pr resolver est ideterição st dividir o uerdor e o deoidor pel vriável idepedete elevd à ior potêci que precer frção. Assi se > te-se: e pssdo o ite te-se:. Se > te-se:
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski.. iite de fuções 8 e pssdo o ite te-se:. Se te-se: e pssdo o ite te-se:.
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski Nots de ul Cálculo Diferecil 9 Dest for pode colocr-se regr gerl: Idepedete de qul dos três csos for cosiderdo todos os ites eos os de ior epoete tto o dividedo quto o divisor irão ulr-se ou sej. Assi se > se e se >. Eeplos: ) o resultdo dri (ideterição) Aplicdo técic epost teriorete se te: ou siplete ( ) ) Clculr o ite ou ) Clculr o ite
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski.. iite de fuções ( 7 ) 7 7 7 7 ou ( ) 7 7 ( 7 ) 7 7 7 ) Clculr o ite 7 ou siplete 7 7 ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( 7 ) 7 ( ) ( ) iites lteris ) Defiição: Diz-se que o ite esquerdo de f ( ) qudo tede (ou que o ite de f ( ) qudo tede pel esquerd) é e repret-se por f ( ) se for cosiderdo que tede pel esquerd isto é <. Eeplo: [ t ( ) ] π ( ) π π cos ( ) π cos ) Defiição: Diz-se que o ite direito de f ( ) qudo tede (ou que o ite de f ( ) qudo tede pel direit) é e repret-se por
Prof. Hs-Ulrich Pilchowski Nots de ul Cálculo Diferecil f ( ) se for cosiderdo que tede pel esquerd isto é <. Eeplo: [ t ( ) ] π ( ) π π cos ( ) π cos Eercícios Resolver os ites io. 6 6. ( h) h h 9. 7. h h h. 8. 6. ( ) 9. ( ). 7 ) ( 7 )