O oscilador harmôico A U L A 5 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico ao caso de um potecial de um oscilador harmôico simples, V( x) kx. objetivos obter a solução da equação de Schrödiger para um oscilador harmôico simples quâtico; comparar esses resultados com o correspodete oscilador clássico. Pré-requisitos Para melhor compreesão desta aula, você deverá rever o oscilador harmôico clássico, que estudou em Física A e Mecâica Clássica, e seus estudos sobre equações difereciais e séries de potêcias das disciplias de Cálculo.
Itrodução à Mecâica Quâtica O oscilador harmôico O OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES O oscilador harmôico simples é um dos primeiros sistemas que estudamos a Mecâica Clássica e também um dos mais importates. Uma de suas realizações experimetais mais simples é por meio de uma massa m ligada a uma mola ideal de costate elástica k. A mola exerce sobre a massa uma força restauradora (Lei de Hooke) sempre que a partícula sofre um deslocameto x, medido a partir da posição em que a mola está relaxada. O sistema é descrito por uma eergia potecial V( x) kx, e as soluções da equação de movimeto de Newto são fuções x(t) que oscilam o tempo com a freqüêcia atural do oscilador, ω k m. Ao logo do seu curso, você deve ter percebido que a importâcia do oscilador harmôico a Física Clássica vai muito além do sistema massa-mola. Oscilações harmôicas surgem em uma imesa variedade de sistemas: pêdulo, fluidos, circuitos eletromagéticos etc. Um sistema massa-mola quâtico é defiido por uma partícula quâtica de massa m sob ação de um potecial da forma V( x) kx, tal como o ilustrado a Figura 5.. F kx V(x) x Figura 5.: O potecial do oscilador harmôico. Assim como a Física Clássica, o oscilador harmôico também tem uma importâcia fudametal a Mecâica Quâtica. O motivo para isso é que sempre podemos aproximar o poto de equilíbrio de um potecial qualquer, V(x), pelo potecial parabólico do oscilador harmôico, como ilustrado a Figura 5.. Graficamete, isso sigifica ecotrar a parábola que melhor se ajusta ao potecial em toro do míimo. Se a eergia total da partícula for suficietemete pequea, de 6 C E D E R J
modo que a partícula passa a maior parte do tempo em toro do míimo, ode a parábola é uma boa aproximação à curva de eergia potecial, o sistema será aproximadamete harmôico. V(x) AULA 5 MÓDULO V(a) Figura 5.: O potecial V(x) (liha cheia), aproximado a região do etoro de seu míimo, em x a, por um potecial parabólico, típico de um oscilador harmôico (liha tracejada). a x Aaliticamete, podemos ecotrar o potecial harmôico que aproxima V(x) a vizihaça do poto x a, em que V(x) tem um míimo, cosiderado a expasão em série de Taylor em toro do míimo, V x V a x a dv d V ( ) ( ) + ( ) ( x a)... + + dx x a dx V( a) + ( x a) d V dx x a x a, (5.) já que a primeira derivada do potecial, em x a, é ula, por se tratar de um míimo. Assim, vemos que o potecial de oscilador harmôico com d V k dx x a é uma aproximação de V(x) em toro do míimo. Desta forma, o potecial harmôico pode ser utilizado em casos em que existem pequeas oscilações em toro de potos de equilíbrio estável, como, por exemplo, o estudo de vibrações de moléculas ou dos átomos em um sólido. SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER No caso do oscilador harmôico, a equação de Schrödiger tem a forma: h d ψ ( x) + kx ψ ( x) Eψ ( x), (5.) m dx C E D E R J 6
Itrodução à Mecâica Quâtica O oscilador harmôico que tem soluções para valores positivos da eergia E. Costuma-se reescrever a Equação (5.) utilizado as defiições da freqüêcia agular do oscilador clássico, ω λ E /( ω) e h ξ ( mω / h ) de Schrödiger fica a forma: d ψ ( ξ ) + λ ξ ψ ( ξ ) k / m, e das variáveis adimesioais x. Fazedo essas substituições, a equação ( ). (5.3) Vamos começar osso estudo pela aálise do comportameto da fução de oda ψ(ξ). Fazemos mais uma substituição, defiido a fução h(ξ) de modo que: ξ / ψ ( ξ) e h( ξ). (5.4) Substituido a Equação (5.4) a Equação (5.3), obtemos a equação diferecial para h(ξ): d h( ξ) dh( ξ) ξ + ( λ ) h( ξ). (5.5) Essa equação é cohecida como equação de Hermite. ATIVIDADE. Faça, em detalhe, os passos algébricos que levam à Equação (5.3) e à Equação (5.5). RESPOSTA COMENTADA Partimos da equação de Schrödiger, h d ψ ( x) + kx ψ ( x) Eψ ( x), m dx e fazemos as substituições sugeridas, ou seja, ω k / m, λ E /( hω) e mω / h x. Note que as derivadas com relação a x também têm de ser substituídas: dψ mω dψ d ψ mω d ψ. dx h dx h ξ ( ) Assim, obtemos: 6 C E D E R J
ξ / que é a Equação (5.3). Fazedo agora a substituição ψ ( ξ) e h( ξ), vamos tomar a derivada seguda: h mω d ψ h h + mω m h m ω ξ ψ ξ ωλ ( ) ψ ( ξ ) hω d ψ hω hωλ + ξ ψ ( ξ ) ψ ( ξ ) d ψ + ( λ ξ ) ψ ( ξ), AULA 5 MÓDULO d ψ d dh ξ ξ e ξe h ξ ( ) ξ d h e ξ e ξ dh ξ + ( ξ ) e h( ξ ). Fialmete, substituido esse resultado em Equação (5.5): d ψ + λ ξ ψ ( ξ) ( ), obtemos a e d h dh ξ e + ( ξ ) e h( ξ ) + ( λ ξ ) e h( ξ ) ξ ξ ξ ξ d h dh ξ + λ h ξ d ξ ( ) ( ). Para resolver a equação de Hermite, lembramos que, como o potecial do oscilador harmôico é uma fução par, V(-x) V(x), pela discussão da aula passada, a fução de oda ψ(x) e, portato, a fução h(ξ) terão paridade bem defiida; ou seja, serão fuções pares ou ímpares. Vamos, assim, cosiderar a expasão de h(ξ) em séries de potêcias os dois casos: quado essa fução for par e quado ela for ímpar. a. h(ξ) par Neste caso, h(ξ) terá uma expasão exclusivamete em potêcias pares: h( ξ) c ξ, que, quado substituída a Equação (5.5), leva à relação (5.6) ( ) c 4 c ( ) ξ + ( λ ) ξ a que pode ser reescrita [ ( + )( + ) c+ + ( λ 4) c ] ξ (5.7) (5.8) C E D E R J 63
Itrodução à Mecâica Quâtica O oscilador harmôico Essa série de potêcias será exatamete ula somete se todos os coeficietes forem ulos, o que leva imediatamete à relação de recorrêcia: c + 4 + λ c ( + )( + ) (5.9) ATIVIDADE. Obteha a Equação (5.7). RESPOSTA Substituido a Equação (5.6) a Equação (5.5), obtemos: d d d cξ ξ c λ cξ d + ( ) ξ ξ c c + ξ ξ ξ ( λ ) c ξ ( ) cξ 4cξ ( ) cξ 4cξ ( ) cξ + ( λ 4) c ξ + ( ) λ c ξ + ( ) λ cξ Observamos que, para valores grades de, o quociete c + c +, (5.) que é justamete a relação etre os coeficietes da expasão e ξ ξ ;! (5.) 64 C E D E R J
já que /( + )!. (5.) /! + AULA 5 MÓDULO Vemos assim que, para valores grades de ξ, em que é ecessário icluir muitos termos a expasão em série de Taylor, que o comportameto assitótico de h(ξ) é aproximadamete: lim h ξ ξ e, (5.3) ξ ( ) e, portato, ξ limψ ( ξ ) lim ( ) ξ ξ e h ξ e Isto é iaceitável, já que a fução ξ e ξ. (5.4) ão pode ser ormalizada. A úica maeira de evitar esta divergêcia de ψ( ξ) para valores grades de ξ é fazer com que a série (5.6) ão seja ifiita e termie para um dado valor de N. Nesse caso, h(ξ) vai ser um poliômio a variável ξ. Se cosideramos que a máxima potêcia de ξ esse poliômio é ξ N, temos, a Equação (5.6), que c N, equato que c N +. Levado essa iformação a relação (5.9), vemos que isso somete pode acotecer se λ 4N +. Temos agora a liberdade de escolher em qual valor N a expasão poliomial irá termiar. Na verdade, isso pode ocorrer para qualquer valor fiito de N, de modo que, para cada um desses valores, teremos uma solução diferete da equação de Schrödiger. Assim, λ pode tomar um dos valores λ 4N +, N,,,... (5.5) Para cada um desses valores de N, a fução h(ξ) será um poliômio de ordem N de ξ, e teremos uma fução de oda ψ(ξ) par e que vai teder a zero para valores grades de ξ, o que é fisicamete aceitável. b. h(ξ) ímpar Neste caso ψ(-ξ) -ψ(ξ), e, portato, h(-ξ) -h(ξ), que terá uma expasão em série de Taylor com todos os expoetes ímpares: + h( ξ) d ξ, (5.6) C E D E R J 65
Itrodução à Mecâica Quâtica O oscilador harmôico que, quado substituída a Equação (5.7), leva, após um tratameto similar ao feito o caso de h(ξ) par, à seguite relação etre os coeficietes: d + 4 + 3 λ d. ( + )( + 3) (5.7) Tal como o caso a, o quociete dos coeficietes d + /d / ( +) para valores grades de, o que ovamete leva à ecessidade de iterromper a série de potêcias em N, ou seja, dn, d N+. Nesse caso os valores possíveis de λ serão: λ 4N + 3, N,,,.... (5.8) Assim, cada valor N,,,... terá associado um poliômio h(ξ) de grau N+ e uma fução de oda ímpar, ψ(ξ). NÍVEIS DE ENERGIA Jutado os casos a e b, temos que os autovalores λ da Equação (5.3) são da forma: λ +,,,,..., (5.9) e, como λ E /( hω), os valores possíves para a eergia são dados por: E ( + / ) hω,,,,.... (5.) Perceba as difereças com relação ao oscilador harmôico clássico. No caso clássico, a eergia pode ter qualquer valor, sedo determiada pelas codições iiciais do problema (velocidade e posição iiciais da massa). Já o caso quâtico, o espectro de eergias cosiste em um úmero ifiito de íveis discretos, como mostrado a Figura 5.3. Vemos que, para todos os valores da eergia, a partícula está ligada, e que os íveis de eergia estão igualmete espaçados, com separação hω etre eles; exatamete da mesma forma que Plack havia proposto quado formulou a teoria que explicava a radiação emitida por um corpo 66 C E D E R J
egro, que voce estudou em Física 4B. Outra difereça com relação ao oscilador clássico é que o ível de meor eergia correspode a e é E hω/. Este valor fiito da eergia do estado fudametal, como vimos a discussão do poço ifiito, é chamado de eergia de poto zero, um feômeo essecialmete quâtico e que está relacioado ao Pricípio da Icerteza. Equato a Mecâica Clássica a meor eergia possível para o oscilador seria a que correspode à situação em que a partícula estiver em repouso a origem de coordeadas, ou seja, eergia igual a zero, o caso da Mecâica Quâtica a relação de icerteza ão permite esta situação de termos a partícula com mometo zero em uma posição determiada, pois assim teria posição e mometo simultaeamete bem defiidos. Notamos, fialmete, que, de acordo com a observação de que os estados ligados dos sistemas em uma dimesão são ão-degeerados, também o caso do oscilador harmôico quâtico existe apeas uma fução de oda associada a cada eergia E. AULA 5 MÓDULO V(x) E 4 E 3 E E E x Figura 5.3: Espectro de eergias para o potecial de oscilador harmôico quâtico. FUNÇÕES DE ONDA Voltado às fuções de oda ψ(ξ), vimos que elas podem ser colocadas a forma ξ / ψ ( ξ) H ( ξ) e, (5.) C E D E R J 67
Itrodução à Mecâica Quâtica O oscilador harmôico ode as fuções H (ξ), que víhamos chamado de h(ξ), são poliômios de grau chamados de poliômios de Hermite. A partir do que discutimos ateriormete, as fuções H (ξ) satisfazem à equação de Hermite (5.5) para λ +, ou seja: ( ) ( ) + ( ) d H ξ dh ξ ξ H ξ. (5.) As soluções desta equação são obtidas a partir das equações (5.6) e (5.6): H N + H N ( ξ ) N ( ξ ) i d ξ i N i i+ c ξ i i ( N, caso par), (5.3) ( N +, caso ímpar). (5.4) Como a Equação (5.) é homogêea, os poliômios de Hermite estão defiidos a meos de uma costate multiplicativa. Por coveção, costuma-se escolher esta costate de modo que o coeficiete de ξ em H (ξ) seja. Isto defie completamete os demais coeficietes a partir das relações de recorrêcia (5.9) e (5.7), que, usado os valores permitidos para λ, toram-se: c i+ 4( i N) ci ( i + )( i + ) (caso par, poliômio de grau N), (5.5) d i+ 4( i N) di ( i + )( i + 3) (caso ímpar, poliômio de grau N + ). (5.6) Os cico primeiros poliômios de Hermite são: H ( ξ) H ( ξ) ξ H 3 H ( ξ) 8ξ ξ H 3 4 ( ξ) ξ 4 ( ξ) ξ ξ + 4 6 48 (5.7) 68 C E D E R J
ATIVIDADE 3. A partir das defiições (5.3) e (5.4) e das relações de recorrêcia (5.5) e (5.6), obteha os quatro primeiros poliômios de Hermite. AULA 5 MÓDULO RESPOSTA COMENTADA o. (par). Só haverá um termo costate o poliômio, que pela coveção adotada será c. Assim, o poliômio ( ) será H ξ. o. (ímpar). Mais uma vez, só haverá um termo o poliômio, correspodedo a N. Usado ovamete a coveção, o coefi ciete deste termo será d. Assim, o poliômio será ( ) H ξ ξ. 3 o. (par). Desta vez, teremos dois termos o poliômio. O coeficiete do termo de ordem mais alta será c 4. O coefi ciete c pode ser obtido pela relação de recorrêcia (5.3): 4( ) c c, que dá. Assim, o poliômio é c ( + )( + ) ( ) H ξ 4ξ. 4 o. 3 (ímpar). Novamete, teremos dois termos o poliômio. 3 O coefi ciete do termo de ordem mais alta será d 8. O coefi ciete d pode ser obtido pela relação de recorrêcia (5.4): d ( ) 4 d ( + )( + 3), que dá d. Assim, o poliômio ( ) 3 é H 3 ξ 8ξ ξ.! Existe uma fórmula geral que permite calcular todos os poliômios de Hermite: H ξ ξ d e ( ξ) ( ) e. (5.8) C E D E R J 69
Itrodução à Mecâica Quâtica O oscilador harmôico Fialmete, cocluimos que para cada autovalor da eergia, E ( +, correspode uma úica autofução ψ (x), que pode ser ) hω escrita a forma: α x / ψ ( x) C H ( αx) e, (5.9) ode α m ω / h vem da defiição da variável ξ, e C é uma costate que vem da exigêcia da fução de oda estar ormalizada, ou seja, que: + + C ξ ψ ( x) dx e H ( ξ). α (5.3) de que A partir de uma propriedade geral dos poliômios de Hermite, + ξ e H ( ξ) H ( ξ) π! δ, m m (5.3) ode δ m é a delta de Kroecker, δ m para m, δ m, ecotramos que C α π! /, (5.3) de ode temos a expressão geral para ψ (x): ψ ( x) α π! / α x / H ( αx) e. (5.33) Na Figura 5.4, mostramos algumas fuções de oda do oscilador harmôico. Em particular, otamos que, à medida que aumeta a eergia, a paridade das fuções de oda vai alterado etre par e ímpar. Note aida que a eergia da partícula aumeta com o úmero de odos de sua fução de oda, da mesma maeira que observamos os poços de potecial fiito e ifiito. 7 C E D E R J
Vemos também que a expressão (5.3) também leva à ortoormalidade das fuções de oda, ou seja, cada ψ (x) está apropriadamete ormalizada e fuções ψ (x) e ψ m (x) para m são ortogoais. Matematicamete, E hω 6 4 4 6 AULA 5 MÓDULO + ψ * ( x ) ψ ( m x ) dx δ. m (5.34) E 3 hω A partir do cohecimeto das fuções de oda ψ (x), podemos calcular todas as propriedades do oscilador harmôico quâtico. Por exemplo, podemos mostrar muito facilmete que o valor esperado da posição x, para qualquer ψ (x), é ulo. De fato, a expressão + x ψ * ( x) xψ ( x) dx ψ ( x) x dx. (5.35) temos que, como ψ (x) tem paridade defiida, par ou ímpar, ψ (x) vai ser sempre uma fução par, e quado multiplicada por x vai resultar em um itegrado ímpar a Equação (5.35), que vai levar sempre a uma itegral ula. De forma semelhate, utilizado as propriedades de ψ (x), ou mais precisamete, dos poliômios de Hermite, que podem ser ecotradas em livros-texto, podemos mostrar que: + x ψ * x x ψ h ( ) ( x) dx + mω (5.36) Cocluímos efatizado, mais uma vez, a importâcia do oscilador harmôico a Mecâica Quâtica. Como vimos, trata-se de um sistema que pode ser solucioado exatamete, apesar de que as dificuldades matemáticas são um pouco maiores do que as que vimos os sistemas que estudamos ateriormete. No etato, o importate é que ecotramos todas as fuções de oda e autovalores da eergia. Isto ão é comum em Mecâica Quâtica; pelo cotrário, a maioria dos sistemas quâticos ão tem solução exata! + + * d x p x ψ ( ) ψ ( ) ih dx dx p + ψ * ( x) h d ψ ( x) + dx dx mhω 6 4 4 6 E 5 hω 6 4 4 6 E 7 hω 6 4 4 6 E 9 hω 6 4 4 6 E hω 6 4 4 6 Figura 5.4: As fuções de oda do oscilador harmôico para,,, 3, 4 e 5. C E D E R J 7
Itrodução à Mecâica Quâtica O oscilador harmôico ATIVIDADE FINAL No oscilador harmôico clássico, o valor médio temporal da eergia ciética é igual ao da eergia potecial. Usado as relações (5.36), mostre que algo semelhate ocorre com o oscilador harmôico quâtico: os valores esperados da eergia ciética e da eergia potecial são ambos iguais à metade da eergia do oscilador, qualquer que seja o estado quâtico em que ele se ecotre. RESPOSTA COMENTADA Os valores esperados da eergia ciética e da eergia potecial são, respec- tivamete, p e mω x. Usado as expressões (5.36) para a m fução de oda ψ p (x), obtemos: + mhω + hω e m m h ( + ) hω mω x mω +, como queríamos mω demostrar. ( ) ( ) R E S U M O Um oscilador harmôico quâtico possui íveis discretos de eergia dados por ( ) E + São, portato, íveis de eergia igualmete hω,,,,... espaçados. Note aida que a eergia do estado fudametal ão é ula, e sim hω, em acordo com o Pricípio da Icerteza. As fuções de oda do oscilador são pares ou ímpares, com um úmero de odos que cresce com a eergia. INFORMAÇÃO SOBRE A PRÓXIMA AULA Na próxima aula, passaremos ao estudo dos sistemas quâticos em três dimesões, ivestigado iicialmete a partícula livre e a caixa de potecial tridimesioal. 7 C E D E R J